Rational numbers A rational number

Rational numbers
A rational number is a number that can be expressed as a fraction with an integer numerator and a non-zero integer denominator. Fractions are written as two numbers, the numerator and the denominator, with a dividing bar between them. In the fraction written m/n or

m represents equal parts, where n equal parts of that size make up m wholes. Two different fractions may correspond to the same rational number; for example 1/2 and 2/4 are equal, that is:

If the absolute value of m is greater than n, then the absolute value of the fraction is greater than 1. Fractions can be greater than, less than, or equal to 1 and can also be positive, negative, or 0. The set of all rational numbers includes the integers, since every integer can be written as a fraction with denominator 1. For example −7 can be written −7/1. The symbol for the rational numbers is Q (for quotient), also written .

Real numbers
The real numbers include all of the measuring numbers. Real numbers are usually written using decimal numerals, in which a decimal point is placed to the right of the digit with place value 1. Each digit to the right of the decimal point has a place value one-tenth of the place value of the digit to its left. Thus

represents 1 hundred, 2 tens, 3 ones, 4 tenths, 5 hundredths, and 6 thousandths. In saying the number, the decimal is read "point", thus: "one two three point four five six". In the US and UK and a number of other countries, the decimal point is represented by a period, whereas in continental Europe and certain other countries the decimal point is represented by a comma. Zero is often written as 0.0 when it must be treated as a real number rather than an integer. A number between −1 and 1 is normally written with a 0 before the decimal point, such as 0.123 or -0.456. The zero before the decimal point is sometimes omitted, especially for computer input and output Negative real numbers are written with a preceding minus sign:

Every rational number is also a real number. It is not the case, however, that every real number is rational. If a real number cannot be written as a fraction of two integers, it is called irrational. A decimal that can be written as a fraction either ends (terminates) or forever repeats, because it is the answer to a problem in division. Thus the real number 0.5 can be written as 1/2 and the real number 0.333... (forever repeating 3s, otherwise written 0.3) can be written as 1/3. On the other hand, the real number π (pi), the ratio of thecircumference of any circle to its diameter, is

Since the decimal neither ends nor forever repeats, it cannot be written as a fraction, and is an example of an irrational number. Other irrational numbers include

(the square root of 2, that is, the positive number whose square is 2).
Thus 1.0 and 0.999... are two different decimal numerals representing the natural number 1. There are infinitely many other ways of representing the number 1, for example 2/2, 3/3, 1.00, 1.000, and so on.
Every real number is either rational or irrational. Every real number corresponds to a point on the number line. The real numbers also have an important but highly technical property called the least upper bound property. The symbol for the real numbers is R, also written as . When a real number represents a measurement, there is always a margin of error. This is often indicated by rounding or truncating a decimal, so that digits that suggest a greater accuracy than the measurement itself are removed. The remaining digits are called significant digits. For example, measurements with a ruler can seldom be made without a margin of error of at least 0.001 meters. If the sides of a rectangle are measured as 1.23 meters and 4.56 meters, then multiplication gives an area for the rectangle of5.6088 square meters. Since only the first two digits after the decimal place are significant, this is usually rounded to 5.61. In abstract algebra, it can be shown that any complete ordered field is isomorphic to the real numbers. The real numbers are not, however, an algebraically closed field.

Complex numbers
Moving to a greater level of abstraction, the real numbers can be extended to the complex numbers. This set of numbers arose, historically, from trying to find closed formulas for the roots of cubic and quartic polynomials. This led to expressions involving the square roots of negative numbers, and eventually to the definition of a new number: the square root of −1, denoted by i, a symbol assigned by Leonhard Euler, and called the imaginary unit. The complex numbers consist of all numbers of the form
where a and b are real numbers. In the expression a + bi, the real number a is called the real part and b is called the imaginary part. If the real part of a complex number is 0, then the number is called an imaginary number or is referred to as purely imaginary; if the imaginary part is 0, then the number is a real number. Thus the real numbers are asubset of the complex numbers. If the real and imaginary parts of a complex number are both integers, then the number is called a Gaussian integer. The symbol for the complex numbers is C or . In abstract algebra, the complex numbers are an example of an algebraically closed field, meaning that every polynomial with complex coefficients can be factored into linear factors. Like the real number system, the complex number system is a field and is complete, but unlike the real numbers it is not ordered. That is, there is no meaning in saying that i is greater than 1, nor is there any meaning in saying that i is less than 1. In technical terms, the complex numbers lack the trichotomy property. Complex numbers correspond to points on the complex plane, sometimes called the Argand plane (for Jean-Robert Argand). Each of the number systems mentioned above is a proper subset of the next number system. Symbolically, .

Computable numbers Moving to problems of computation, the computable numbers are determined in the set of the real numbers. The computable numbers, also known as the recursive numbers or the computable reals, are the real numbers that can be computed to within any desired precision by a finite, terminating algorithm. Equivalent definitions can be given using μ-recursive functions, Turing machines or λ-calculus as the formal representation of algorithms. The computable numbers form a real closed field and can be used in the place of real numbers for many, but not all, mathematical purposes.

Other types
Algebraic numbers are those that can be expressed as the solution to a polynomial equation with integer coefficients. The complement of the algebraic numbers are thetranscendental numbers. Hyperreal numbers are used in non-standard analysis. The hyperreals, or nonstandard reals (usually denoted as *R), denote an ordered field that is a proper extension of the ordered field of real numbers R and satisfies the transfer principle. This principle allows true first-order statements about R to be reinterpreted as true first-order statements about *R. Superreal and surreal numbers extend the real numbers by adding infinitesimally small numbers and infinitely large numbers, but still form fields. The p-adic numbers may have infinitely long expansions to the left of the decimal point, in the same way that real numbers may have infinitely long expansions to the right. The number system that results depends on what base is used for the digits: any base is possible, but a prime number base provides the best mathematical properties. For dealing with infinite collections, the natural numbers have been generalized to the ordinal numbers and to the cardinal numbers. The former gives the ordering of the collection, while the latter gives its size. For the finite set, the ordinal and cardinal numbers are equivalent, but they differ in the infinite case. A relation number is defined as the class of relations consisting of all those relations that are similar to one member of the class. Sets of numbers that are not subsets of the complex numbers are sometimes called hypercomplex numbers. They include the quaternions H, invented by Sir William Rowan Hamilton, in which multiplication is not commutative, and the octonions, in which multiplication is not associative. Elements of function fields of non-zero characteristic behave in some ways like numbers and are often regarded as numbers by number theorists.

Specific uses
There are also other sets of numbers with specialized uses. Some are subsets of the complex numbers. For example, algebraic numbers are the roots of polynomials with rational coefficients. Complex numbers that are not algebraic are called transcendental numbers. An even number is an integer that is "evenly divisible" by 2, i.e., divisible by 2 without remainder; an odd number is an integer that is not evenly divisible by 2. (The old-fashioned term "evenly divisible" is now almost always shortened to "divisible".) A formal definition of an odd number is that it is an integer of the form n = 2k + 1, where k is an integer. An even number has the form n = 2k where k is an integer. A perfect number is a positive integer that is the sum of its proper positive divisors—the sum of the positive divisors not including the number itself. Equivalently, a perfect number is a number that is half the sum of all of its positive divisors, or σ(n) = 2n. The first perfect number is 6, because 1, 2, and 3 are its proper positive divisors and 1 + 2 + 3 = 6. The next perfect number is 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. The next perfect numbers are 496 and 8128 (sequence A000396 in OEIS). These first four perfect numbers were the only ones known to early Greek mathematics. A figurate number is a number that can be represented as a regular and discrete geometric pattern (e.g. dots). If the pattern is polytopic, the figurate is lab

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตรรก
จำนวนตรรกยะคือ จำนวนที่แสดงเป็นเศษส่วนเศษเป็นจำนวนเต็มและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มไม่เป็นศูนย์ เขียนเศษส่วนเลขสอง ตัวเศษ และตัว ส่วน ห้องแบ่งระหว่าง ในเศษส่วนเขียน m/n หรือ

m หมายถึงแบ่ง ส่วน n เท่าของขนาดที่ทำให้ค่า m wholes ที่ ส่วนที่แตกต่างกันสองอาจสอดคล้องกับจำนวนตรรกยะเดียวกัน ตัวอย่าง 1/2 และ 2/4 เท่า คือ:

ค่าสัมบูรณ์ของ m มีค่ามากกว่า n ถ้าค่าสัมบูรณ์ของเศษส่วนมีค่ามากกว่า 1 เศษส่วนสามารถมีค่ามากกว่า น้อย กว่า หรือเท่ากับ 1 และยังสามารถบวก ลบ หรือ 0 ชุดจำนวนตรรกยะทั้งหมดประกอบด้วยจำนวนเต็ม เนื่องจากทุกจำนวนเต็มสามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่มีตัวหาร 1 ตัวอย่าง −7 สามารถเขียน −7/1 Q (สำหรับผลหาร), ยัง เขียนเป็นสัญลักษณ์สำหรับจำนวนตรรกยะ

จำนวนจริง
จำนวนจริงรวมทั้งหมดของตัวเลขวัด จำนวนจริงมักจะเขียนโดยใช้ตัวเลขทศนิยม ที่จุดทศนิยมอยู่ทางด้านขวาของตัวเลขที่มีค่า 1 สถานที่ค่าหนึ่งส่วนสิบของค่าตำแหน่งของตัวเลขที่ด้านซ้ายของแต่ละตัวเลขทางด้านขวาของจุดทศนิยมได้ ดังนั้น

ถึง ร้อย 1, 3, 4, 2 สิบหนึ่งตำแหน่ง 5 เป็นหนึ่งส่วนร้อย และ 6 thousandths ในการบอกหมายเลข จุดทศนิยมจะอ่าน "ชี้" ดัง: "หนึ่งสองสามจุดสี่ห้าหก" ในสหรัฐอเมริกา และสหราชอาณาจักร และประเทศอื่น ๆ จำนวนหนึ่ง จุดทศนิยมจะแทน ด้วยระยะ ในขณะที่ในทวีปยุโรปและประเทศอื่น ๆ บาง จุดทศนิยมจะแทน ด้วยเครื่องหมายจุลภาค ศูนย์มักจะเขียนเป็น 0.0 เมื่อต้องถือว่าเป็นจำนวนจริงแทนที่เป็นจำนวนเต็ม ปกติเขียนตัวเลขระหว่าง 1 และ −1 กับ 0 ก่อนจุดทศนิยม เช่น 0.123 หรือ-0.456 ศูนย์ก่อนบางครั้งไม่ใส่จุดทศนิยม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับคอมพิวเตอร์ป้อนข้อมูล และแสดงผล จำนวนจริงลบนั้นเขียน ด้วยเครื่องหมายลบก่อนหน้านี้:

ยังเป็นจำนวนตรรกยะทุกจำนวนจริง ไม่ใช่ อย่างไรก็ตาม ว่าจำนวนจริงทุกเชือดได้ ถ้าไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนจริง จะเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ ทศนิยมที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนปลายทั้งสอง (ยุติ) หรือตลอดไปทำ ซ้ำ เพราะมันเป็นคำตอบของปัญหาในหาร ดังนั้น สามารถเขียนจำนวนจริง 0.5 เป็น 1/2 และจำนวนจริง 0.333 ... (ตลอดซ้ำ 3s หรือเขียน 0.3) สามารถเขียนเป็น 1/3 บนมืออื่น ๆ จำนวนจริงπ (pi), อัตราส่วนของ thecircumference ของวงกลมใด ๆ จะเป็นเส้นผ่าศูนย์กลาง เป็น

เนื่องจากทศนิยมไม่สิ้นสุดและ ไม่ซ้ำตลอด มันไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วน และเป็นตัวอย่างเป็นจำนวนอตรรกยะ จำนวนอตรรกยะอื่น ๆ รวม

(the square root of 2, that is, the positive number whose square is 2).
1.0 ดังและ 0.999 ... เป็นตัวเลขทศนิยมแตกต่างกันสองตัวแทนหมายธรรมชาติ 1 มีเพียบหลายอื่น ๆ วิธีแสดงตัวเลข 1 ตัวอย่าง 2/2, 3/3, 1.00, 1.000 และอื่น ๆ .
ทุกจำนวนจริงจะเชือด หรือจำนวนอตรรกยะ ทุกจำนวนจริงที่สอดคล้องกับจุดบนเส้นจำนวน จำนวนจริงยังมีลักษณะสำคัญ แต่ทางเทคนิคสูงที่เรียกว่าคุณสมบัติขอบเขตบนน้อยที่สุด R ยัง เขียนเป็นสัญลักษณ์สำหรับจำนวนจริงได้ เมื่อจำนวนจริงแทนการประเมิน มีเสมอขอบของข้อผิดพลาด นี้มักจะระบุ โดยปัดเศษ หรือทศนิยม การตัดทอนเพื่อให้ตัวเลขที่แนะนำความถูกต้องมากขึ้นกว่าการประเมินตัวเองจะถูกเอาออก ตัวเลขที่เหลือเรียกว่านัย ตัวอย่าง วัด ด้วยไม้บรรทัดแทบจะไม่ มีระยะขอบของข้อผิดพลาดน้อยกว่า 0.001 เมตร ถ้าด้านของสี่เหลี่ยมจะวัดเป็น 1.23 เมตรและ 4.56 เมตร แล้ว คูณให้พื้นที่สำหรับเหลี่ยม of5.6088 เมตร เนื่องจากเฉพาะตัวเลขที่สองหลังจากตำแหน่งทศนิยมสำคัญ ซึ่งมักจะปัดไป 5.61 ในพีชคณิตนามธรรม มันสามารถถูกแสดงว่าฟิลด์ใดก็สั่งสมบูรณ์ isomorphic กับตัวเลขจริง จำนวนจริงไม่ อย่างไรก็ตาม การปิดไว้ algebraically ฟิลด์

ซ้อน
ย้ายไปยังระดับความสูงของ abstraction จำนวนจริงสามารถขยายให้ซ้อนกัน ชุดนี้หมายเลขเกิด อดีต พยายามหาสูตรปิดสำหรับรากของ polynomials ลูกบาศก์ และ quartic นี้นำนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับรากของจำนวนลบ และในที่สุดการกำหนดหมายเลขใหม่: รากของ −1 สามารถบุ โดย สัญลักษณ์ที่กำหนด โดย Leonhard ออยเลอร์ และเรียกหน่วยจินตภาพ จำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดของฟอร์ม
ที่ตัว และ b เป็นจำนวนจริง ในนิพจน์ที่สอง จำนวนจริงเรียกว่าส่วนจริง และ b เรียกว่าส่วนจินตภาพ ถ้าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนเป็น 0 แล้วหมายเลขคือหมายเลขจินตภาพ หรืออ้างอิงถึงเป็นจินตภาพ ถ้าส่วนจินตภาพเป็น 0 แล้วหมายเลขเป็นจำนวนจริง ดังนั้น จำนวนจริงมี asubset ซ้อน ถ้าส่วนจริง และจำนวนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนเต็มทั้งสอง แล้วจำนวนเรียกว่าจำนวนเต็ม Gaussian C เป็นสัญลักษณ์สำหรับจำนวนเชิงซ้อน หรือการ ในพีชคณิตนามธรรม จำนวนเชิงซ้อนเป็นตัวอย่างหนึ่งของฟิลด์ปิดไว้ algebraically หมายความ ว่า ทุก ๆ พหุนามที่ มีสัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อนสามารถแยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเชิง เช่นระบบจำนวนจริง ระบบจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟิลด์ และเสร็จสมบูรณ์ ได้แตกต่างจากตัวเลขจริง จะไม่สั่ง กล่าวคือ มีความหมายในคำพูดว่า ฉันเป็นมากกว่า 1 ไม่มีความหมายใด ๆ ในการบอกว่า ฉันคือน้อยกว่า 1 ในทางเทคนิค ซ้อนขาดคุณสมบัติ trichotomy จำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับจุดในระนาบเชิงซ้อน บางครั้งเรียกเครื่องบิน Argand (ฌองโรเบิร์ต Argand) ระบบเลขที่ดังกล่าวข้างต้นแต่ละชุดย่อยที่เหมาะสมของระบบตัวเลขถัดไปได้ สัญลักษณ์

Computable เคลื่อนไหวปัญหาการคำนวณกำหนดหมายเลข หมายเลข computable กำหนดในชุดของจำนวนจริง หมายเลข computable หมายเลขซ้ำกันหรือตัวเลขจริง computable เป็นตัวเลขจริงที่สามารถถูกคำนวณให้ในความแม่นยำใด ๆ ต้อง โดยอัลกอริทึมการจำกัด สิ้นสุด กำหนดเทียบเท่าจะใช้ฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำμ เครื่องจักรทัวริง หรือλแคลคูลัสเป็นตัวแทนอย่างเป็นทางการของอัลกอริทึมการ หมายเลข computable ฟอร์มฟิลด์ปิดจริง และสามารถใช้เลิศจำนวนจริงสำหรับหลาย แต่ไม่ทั้ง หมด คณิตศาสตร์เพื่อการ

ชนิดอื่น ๆ
เป็นจำนวนเชิงพีชคณิตที่แสดงเป็นหนทางแก้สมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม ส่วนเติมเต็มของจำนวนเชิงพีชคณิตมีหมายเลข thetranscendental หมายเลข Hyperreal จะใช้ในการวิเคราะห์มาตรฐาน Hyperreals หรือตัวเลขจริงเกือบ (จะสามารถบุเป็น * R), แสดงเขตการสั่งที่ขยายสั่งฟิลด์ของจำนวนจริง R เหมาะสม และเป็นไปตามหลักการโอนย้าย หลักการนี้ช่วยให้รายงานก่อนสั่งจริงเกี่ยวกับ R reinterpreted เป็นคำสั่งแรกจริงเกี่ยวกับ * R. หมายเลข superreal และเหนือจริงขยายจำนวนจริง โดยเพิ่มตัวเลข infinitesimally เล็ก และจำนวนมากเพียง แต่ยังเขตข้อมูลฟอร์ม หมายเลข p adic ได้ขยายเพียบยาวไปทางซ้ายของจุดทศนิยม แบบเดียวกับที่ว่า ตัวเลขจริงอาจจะขยายยาวเพียบต้อง ระบบตัวเลขที่เป็นผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับฐานใดจะใช้สำหรับตัวเลข: ฐานใดอยู่ แต่ฐานเลขนายกมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ส่วน สำหรับจัดการกับคอลเลกชันอนันต์ หมายเลขธรรมชาติมีการตั้งค่าทั่วไปหมายเลขลำดับ และหมายเลขตัวนั้น เดิมให้ลำดับของชุด ในขณะที่หลังให้ขนาดนั้น ตั้งค่าจำกัด ลำดับ และตัวเลขจะเท่ากับ แต่จะแตกต่างกันในกรณีอนันต์ ตัวเลขความสัมพันธ์ถูกกำหนดเป็นระดับความสัมพันธ์ที่ประกอบด้วยความสัมพันธ์เหล่านั้นทั้งหมดที่คล้ายกับหนึ่งสมาชิกของคลาส ชุดหมายเลขที่ไม่ได้ย่อยซ้อนอยู่บางครั้งเรียกว่าหมายเลข hypercomplex รวม quaternions H คิดค้น โดย Sir William Rowan Hamilton ที่คูณไม่สลับ และ octonions ที่คูณไม่สัมพันธ์กัน องค์ประกอบของฟังก์ชันของลักษณะหนึ่งในบางวิธีเช่นหมายเลข และมักจะถือเป็นตัวเลข โดยเลข theorists

ใช้เฉพาะ
ยังมีตัวเลขใช้เฉพาะชุดอื่น ๆ ชุดย่อยของจำนวนเชิงซ้อนได้ ตัวอย่าง จำนวนเชิงพีชคณิตของ polynomials กับสัมประสิทธิ์เชือดได้ จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่พีชคณิตเรียกว่า transcendental เลข เป็นจำนวนคู่คือ จำนวนเต็มที่ "อย่างสม่ำเสมอหารได้" โดย 2 เช่น โดย 2 ไม่เหลือ เป็นเลขคี่คือ จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ภาษีเท่า ๆ กัน 2 (คำไม "อย่างสม่ำเสมอหารได้" คือตอนนี้เกือบตลอดเวลาสั้นเพื่อ "หารได้") เป็นคำนิยามอย่างเป็นทางการเป็นจำนวนคี่ที่เป็นจำนวนเต็มของแบบฟอร์ม 2k = 1 โดยที่ k คือ จำนวนเต็ม เลขมีแบบฟอร์ม n = 2k โดยที่ k คือ จำนวนเต็ม จำนวนสมบูรณ์จะเป็นจำนวนเต็มบวกที่เป็นผลรวมของหารบวกความเหมาะสม — ผลรวมของหารบวกไม่รวมถึงหมายเลขตัวเอง Equivalently สมบูรณ์หมายเลขเป็นหมายเลขที่จะรวมครึ่งหนึ่งของตัวหารที่เป็นบวก หรือ σ(n) = 2n จำนวนสมบูรณ์แรกเป็น 6 เนื่องจาก 1, 2 และ 3 หารบวกความเหมาะสมและ 1 2 3 = 6 จำนวนสมบูรณ์ถัดไปคือ 28 = 1 2 4 7 14 หมายเลขสมบูรณ์ถัดไปมี 496 และ 8128 (ลำดับ A000396 ใน OEIS) ตัวเลขเหล่านี้สมบูรณ์แบบครั้งแรกสี่คนเดียวรู้จักคณิตศาสตร์กรีกต้นได้ หมายเลข figurate เป็นเลขที่สามารถแสดงได้เป็นปกติ และไม่ต่อเนื่องทางเรขาคณิตรูปแบบ (เช่นจุด) รูปแบบคือ polytopic, figurate ที่ว่าห้องปฏิบัติการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สรุปตัวเลขจำนวนจำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม . เศษส่วน จะเขียนเป็นเลขสอง ตัวเศษและตัวส่วนกับหารบาร์ระหว่างพวกเขา ในส่วนที่เขียน M / N หรือ

M แทนส่วนเท่าเมื่อ n เท่ากับส่วนของขนาดแต่งหน้า M ขายส่ง .สองเศษส่วนที่แตกต่างกันอาจสอดคล้องกับตัวเลขที่มีเหตุผลเดียวกันตัวอย่างเช่น 1 / 2 และ 2 / 4 เท่า นั่นคือ :

ถ้าค่าสัมบูรณ์ของ M มากกว่า N แล้วค่าสัมบูรณ์ของเศษมากกว่า 1 เศษส่วนสามารถมากกว่า , น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 และยังสามารถบวก ลบ หรือ 0 เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดรวมถึงคุณสมบัติของจำนวนเต็มเนื่องจากทุกจำนวนเต็มสามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วน 1 ตัวอย่างเช่น− 7 สามารถเขียน− 7 / 1 สัญลักษณ์ ตัวเลข เหตุผลคือ Q ( เชาว์ ) ยังเขียน


จริงตัวเลขตัวเลขจริงรวมทุกวัด ตัวเลข ตัวเลขจริงมักจะเขียนโดยใช้ตัวเลขทศนิยมที่เป็นจุดทศนิยมจะอยู่ทางขวาของตัวเลขที่มีค่าสถานที่ 1แต่ละหลักไปทางขวาของจุดทศนิยมได้สถานที่มูลค่าหนึ่งในสิบของค่าของตัวเลขที่ด้านซ้าย ดังนั้น

เป็น 1 แสน 2 หมื่น 3 คน , 4 / 10 5 ร้อยส่วน , และ 6 / 1000 . บอกเลข , ทศนิยม อ่านว่า " จุด " และ " หนึ่ง สอง สาม สี่ ห้า หก จุด " ในสหรัฐอเมริกาและสหราชอาณาจักรและหลายประเทศอื่น ๆ , จุดทศนิยมจะถูกแสดง โดยระยะเวลาขณะที่ในทวีปยุโรป และประเทศอื่น ๆบางจุด ทศนิยม แทนด้วยเครื่องหมายจุลภาค ศูนย์มักจะเขียนเป็น 0.0 เมื่อมันต้องเป็นจํานวนจริง แทนที่จะเป็นจำนวนเต็ม หมายเลขระหว่าง− 1 และ 1 เป็นปกติเขียนด้วย 0 ก่อนจุดทศนิยม เช่น 0.123 หรือ -0.456 . ศูนย์ก่อนจุดทศนิยมอยู่บางครั้ง ละเว้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการป้อนข้อมูลคอมพิวเตอร์และส่งออกลบตัวเลขจริงจะเขียนด้วยเครื่องหมายลบก่อนหน้านี้ :

ทุกจำนวนตรรกยะเป็นจํานวนจริง มันเป็นกรณีที่ไม่ อย่างไรก็ตาม ทุกๆ จํานวนจริง คือเหตุผล ถ้าเป็นจํานวนจริง ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็ม เรียกว่าเหตุผล ทศนิยมที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนให้จบ ( สิ้นสุด ) หรือตลอดไปอีกครั้งแล้วเพราะมันเป็นคำตอบของปัญหาในกอง ดังนั้น จํานวนจริง 0.5 เขียนได้เป็น 1 / 2 และ จํานวนจริง 0.333 . . . . . . . ( ตลอดไปซ้ำ 3s มิฉะนั้นเขียน 0.3 ) สามารถเขียนได้เป็น 1 / 3 บนมืออื่น ๆ , จํานวนจริง π ( ปี่ ) , อัตราส่วนของ thecircumference ของวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลางเป็น

ตั้งแต่ทศนิยมไม่ซ้ำสิ้นสุดหรือตลอดไป มันไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วน ,และตัวอย่างของเลขจํานวนอตรรกยะ ตัวเลขไม่ลงตัวอื่น ๆรวมถึง

( รากที่สองของ 2 ที่เป็นเลขบวกที่มีตาราง 2 ) .
ดังนั้น 1.0 และ 0.999 . . . เป็นสองที่แตกต่างกันตัวเลขทศนิยมแทนธรรมชาติจำนวน 1 มีจำนวนวิธีอื่นแทนเลข 1 เช่น 2 / 2 , 3 / 3 , 1.00 , 1.00 , และดังนั้นบน
ทุกจำนวนจริงเป็นทั้งมีเหตุผลหรือไร้เหตุผล ทุกจำนวนจริงที่สอดคล้องกับจุดบนเส้นจำนวน . ตัวเลขจริงยังเป็นสำคัญ แต่ในเชิงเทคนิคคุณสมบัติที่เรียกว่าคุณสมบัติอย่างน้อยบนผูกพัน สัญลักษณ์ตัวเลขที่แท้จริงคือ R , เขียนเป็น เมื่อตัวเลขจริงหมายถึงวัด มีเสมอขอบของข้อผิดพลาดนี้มักจะแสดงโดยปัดเศษทศนิยมหรือตัดทอน เพื่อให้ตัวเลขว่ามีความถูกต้องมากกว่าการวัดตัวเองจะถูกลบออก ตัวเลขที่เหลือจะเรียกว่าสำคัญหลัก ตัวอย่างเช่น การวัดด้วยไม้บรรทัดจะไม่ใคร่ได้ โดยไม่มีขอบของข้อผิดพลาดของอย่างน้อย 1 เมตร ถ้าเป็นด้านของสี่เหลี่ยมจะวัดเป็น 1.23 เมตรและ 4.56 เมตรแล้วคูณจะช่วยให้มีพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า of5.6088 ตารางเมตร ตั้งแต่เพียงครั้งแรกสองตัวเลขหลังทศนิยมเป็นสถานที่สำคัญ นี้มักจะปัด 6.73 . ในพีชคณิตนามธรรม มันสามารถแสดงที่สมบูรณ์คำสั่งเขตพวกเราตัวเลขที่แท้จริง ตัวเลขจริงไม่ อย่างไรก็ตาม การปิดสนาม

ซับซ้อนตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิตย้ายไปยังระดับที่มากขึ้นของ abstraction , จำนวนจริงสามารถขยายไปยังตัวเลขที่ซับซ้อน ชุดของตัวเลขนี้เกิดขึ้นในอดีต จากที่พยายามหาสูตรปิดรากลูกบาศก์ และ quartic พหุนาม . นี้นำไปสู่การแสดงออกที่เกี่ยวข้องกับรากที่สองของตัวเลขที่เป็นลบ และในที่สุดความหมายของเบอร์ใหม่ : รากที่สองของ− 1 แทน โดยผมสัญลักษณ์ที่กำหนดโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ และเรียกหน่วยในจินตนาการ หมายเลขที่ซับซ้อนประกอบด้วยตัวเลขของรูปแบบ
ที่ a และ b เป็นจำนวนจริง ในการแสดงออกเป็นบี จํานวนจริง คือเรียกว่าส่วนจริงและ B เรียกว่าส่วนจินตภาพ . ถ้ามีส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อนเป็น 0 แล้วจำนวนจะเรียกว่าจำนวนจินตภาพหรือจะเรียกว่าหมดจดจินตนาการ ;ถ้าส่วนที่เป็น 0 แล้วเบอร์เป็นเบอร์จริง ดังนั้นตัวเลขจริงจะ asubset ของตัวเลขที่ซับซ้อน ถ้าชิ้นส่วนจริงและจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนเต็มแล้วหมายเลขเรียกจำนวนเต็มเกาส์เซียน . สัญลักษณ์ตัวเลขที่ซับซ้อนเป็น C หรือ ในพีชคณิตนามธรรม , ตัวเลขที่ซับซ้อนเป็นตัวอย่างของพีชคณิตปิดสนาม ,พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อนซึ่งหมายความว่าทุกคนสามารถประกอบเป็นปัจจัยเชิงเส้น เหมือนระบบจํานวนจริง ระบบจำนวนเชิงซ้อน เป็นทุ่งนา และสมบูรณ์ แต่แตกต่างจากตัวเลขจริงมันไม่สั่ง คือว่ามันไม่มีความหมาย ว่ามีค่ามากกว่า 1 หรือมีความหมายว่าฉันมีค่าน้อยกว่า 1 ในแง่ทางเทคนิคหมายเลขที่ซับซ้อนขาดสมบัติไตรวิภาค . ตัวเลขที่ตรงกับจุดบนระนาบเชิงซ้อน บางครั้งเรียกว่า argand เครื่องบิน ( Jean Robert argand ) แต่ละหมายเลข ระบบดังกล่าวเป็นชุดย่อยที่เหมาะสมของระบบหมายเลขต่อไป สัญลักษณ์ ,

คำนวณตัวเลขย้ายปัญหาของการคำนวณ , คำนวณตัวเลขได้ในเซตของจำนวนจริงตัวเลขที่คำนวณได้ เรียกว่า recursive reals คำนวณตัวเลข หรือมีตัวเลขจริงที่สามารถคำนวณเพื่อภายในใด ๆความต้องการโดยจำกัดยกเลิกขั้นตอนวิธี คำนิยามเทียบเท่าสามารถได้รับการใช้μ - ฟังก์ชัน recursive เครื่องจักรทัวริงหรือλ - แคลคูลัสเป็นผู้แทนอย่างเป็นทางการของอัลกอริธึมตัวเลขที่คำนวณแบบปิดสนามจริงและสามารถใช้ในสถานที่ของตัวเลขจริงมาก แต่ไม่ทั้งหมด ทางคณิตศาสตร์ วัตถุประสงค์


เลขพีชคณิตประเภทอื่น ๆที่สามารถแสดงเป็นโซลูชั่นที่เป็นสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม . องค์ประกอบของพีชคณิตหมายเลขเป็น thetranscendental ตัวเลข hyperreal ตัวเลขจะถูกใช้ในการวิเคราะห์ไม่มาตรฐานการ hyperreals หรือไม่จริง ( มักจะแสดงเป็น * R ) แสดงการสั่งสาขาที่เป็นส่วนขยายที่เหมาะสมของสั่งฟิลด์ของจำนวนจริง r และตอบสนองการโอนหลัก หลักการนี้ให้จริงเพื่องบเกี่ยวกับ R จะ reinterpreted เป็นจริงเพื่องบประมาณ * .เรียลเซอร์เรียลตัวเลขตัวเลขที่แท้จริงและขยายโดยการเพิ่มตัวเลขวันเวลาและหมายเลขอนันต์ขนาดใหญ่ แต่ยังคงรูปแบบเขต ตัวเลขอำนวยการ - p อาจจะยาวอนันต์ขยายไปทางซ้ายของจุดทศนิยมในทางเดียวกันว่า ตัวเลขที่แท้จริงอาจจะยาวอนันต์ขยายไปด้านขวา หมายเลขระบบผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับฐานแล้วใช้ตัวเลข :ฐาน เป็นไปได้ แต่ฐานเลขนายกแสดงคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุด เพื่อจัดการกับคอลเลกชันอนันต์จำนวนธรรมชาติมีทั่วไปกับเลขลำดับและตัวเลขที่สำคัญ อดีตให้สั่งซื้อของคอลเลกชัน ในขณะที่หลังจะช่วยให้ขนาดของ สำหรับเซตจำกัด , เลขลำดับพระคาร์ดินัลและจะเทียบเท่าแต่พวกเขาขัดแย้งกันในกรณีที่อนันต์ ความสัมพันธ์ของจำนวน หมายถึง ระดับของความสัมพันธ์ ซึ่งความสัมพันธ์เหล่านั้นทั้งหมดที่คล้ายกับหนึ่งในสมาชิกของชั้นเรียน ชุดของตัวเลขที่ไม่ย่อยของตัวเลขที่ซับซ้อนบางครั้งเรียกว่าหมายเลขคอมเพล็กซ์ . พวกเขารวมถึงควอเทอร์เนียน H , คิดค้นโดยเซอร์ วิลเลียม เชกสเปียร์ ซึ่งไม่มีสมบัติการสลับที่การคูณ ,และคโทเนียนซึ่งในการคูณไม่เชื่อมโยง . องค์ประกอบของการทำงานด้านลักษณะไม่เป็นศูนย์ปฏิบัติในบางวิธี เช่น ตัวเลข และมักจะถือเป็นตัวเลขโดยนักทฤษฎีหมายเลขใช้เฉพาะ


มีตัวเลขชุดอื่น ๆที่มีการใช้เฉพาะ บางชุดย่อยของตัวเลขที่ซับซ้อน ตัวอย่างเช่นตัวเลขที่มีรากพีชคณิตพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ของการ . จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่พีชคณิตจะเรียกว่าดีกว่าตัวเลข จำนวนเป็นจำนวนเต็มที่เป็น " กองเท่าๆ กัน " โดย 2 คือ แบ่ง 2 โดยไม่เหลือ ; เลขคี่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ทั่วถึง หารด้วย 2( คำว่า " เชยอย่างลงตัว " คือตอนนี้เกือบจะเสมอสั้น " ลงตัว " . ) นิยามของเลขคี่เป็นจำนวนเต็มของรูป n = 2k 1 ที่ k เป็นจำนวนเต็ม เลขคู่มีรูปแบบ n = 2k ที่ k เป็นจำนวนเต็มตัวเลขที่สมบูรณ์แบบเป็นจำนวนเต็มบวกที่ผลรวมของเหมาะสมบวกตัวหาร ผลรวมของตัวหารไม่รวมบวกเลขเอง ก้อง ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบเป็นจำนวนครึ่งหนึ่งของผลรวมของทั้งหมดของตัวหารที่เป็นบวก หรือσ ( n ) = 2n หมายเลขแรกที่สมบูรณ์แบบ 6 เพราะ 1 , 2 และ 3 มีตัวหารที่เหมาะสมบวก 1 2 3 = 6หมายเลขต่อไปที่สมบูรณ์แบบเป็น 28 = 1 4 7 14 ที่สมบูรณ์แบบต่อไปตัวเลขและ 8128 ( ลำดับ a000396 ใน oeis ) เหล่านี้สี่ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบเป็นคนเดียวที่รู้จักต้นกรีกคณิตศาสตร์ เป็น figurate เบอร์เป็นเบอร์ที่สามารถแสดงเป็น ปกติ รูปแบบทางเรขาคณิตและไม่ต่อเนื่อง ( เช่นจุด ) ถ้าเป็นแบบ polytopic , figurate เป็นแล็บ