This is obvious for i = 0. For posi

This is obvious for i = 0. For positive i, it follows from the observation that the left-hand side is no less than the sum of the
first three terms of its binomial expansion, and that this sum exceeds the right-hand side.
In the next lemma we establish conditions for a function f : [0, 1] → [0, 1] to have a unique fixed point, and for the
fixed-point iteration to converge to this fixed point from any starting value. Notably, we do not assume thatf is a contraction.
This fixed-point theorem will be the key ingredient in our proof of Theorem 1.2.
Lemma 2.3. Let f : [0, 1] → [0, 1] be a differentiable convex function such that f(0) = f(1) = 1 and limx→1 f
′
(x) > 1. Then
f has exactly one fixed point x∗
in (0, 1). If, moreover, |f
′
(x
∗
)| < 1, f is symmetric around 1/2 and c := f(1/2) is such that
either c < 1/2 and f(c) < 1/2, or c > 1/2, then, for every x ∈ (0, 1), the sequence of function iterates (x, f(x), f(f(x)), . . .)
converges to x∗
.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นี้เป็นที่ชัดเจนสำหรับผม = 0 เชิงบวก ดังนั้นจากการสังเกตด้านซ้ายที่ไม่ต่ำกว่าผลรวมของการก่อน ขยายของทวินาม และที่สามเงื่อนไขผลบวกนี้เกินอยู่ด้านขวาใน lemma ถัดไป เราสร้างเงื่อนไขสำหรับฟังก์ชัน f: [0, 1] → [0, 1] จะมีเฉพาะจุด แก้ไขและการเรื่องซ้ำให้มาบรรจบกันนี้คงจุดจากค่าเริ่มต้นใด ๆ สะดุดตา เราไม่ถือว่า thatf เป็นการหดตัวทฤษฎีบทนี้แต่จะเป็นส่วนประกอบสำคัญในของเราพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.2Lemma ที่ 2.3 ให้ f: [0, 1] → [0, 1] สามารถ differentiable นูนฟังก์ชันดังกล่าวว่า f(0) = f(1) = f 1 และ limx→1′(x) > 1 แล้วf มี x∗ จุดคงเดียวใน (0, 1) ถ้า นอกจากนี้ |f′(x∗)| < 1, f เป็นสมมาตรรอบ 1/2 และ c: = f(1/2) เป็นที่c เป็น < 1/2 และ f(c) < 1/2 หรือ c > 1/2 แล้ว สำหรับทุก x ∈ (0, 1), ลำดับของฟังก์ชันคำนวณซ้ำ (x, f(x), f(f(x)), ... .)แร็คเพื่อ x∗.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นี้เป็นที่ชัดเจนสำหรับ i = 0 สำหรับผมบวกดังนี้จากการสังเกตว่าด้านซ้ายมือคือไม่น้อยกว่าผลรวมของ
สามข้อแรกของการขยายตัวทวินามและจำนวนนี้เกินกว่าด้านขวามือ
ในบทแทรกถัดไปที่เราสร้างเงื่อนไขสำหรับฟังก์ชัน f: [0, 1] → [0, 1] ที่จะมีจุดคงที่ไม่ซ้ำกันและเป็น
จุดคงย้ำจะมาบรรจบกันถึงจุดนี้คงเริ่มต้นจากมูลค่าใด ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราไม่ถือว่าเป็น thatf หดตัว.
ทฤษฎีบทจุดคงที่นี้จะเป็นองค์ประกอบที่สำคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.2 ของเรา.
แทรก 2.3 ให้ f: [0, 1] → [0, 1] เป็นฟังก์ชันนูนอนุพันธ์ดังกล่าวว่า f (0) = f (1) = 1 และ limx → 1 F
'
(x)> 1 แล้ว
F มีตรงหนึ่งคงที่ จุด x *
ใน (0, 1) ถ้ายิ่งไปกว่านั้น | F
'
(x
* )
| <1 F สมมาตรรอบ 1/2 และ C = f (1/2) เป็นเช่นนั้น
ทั้ง C <1/2 และ f (c) <1/2 หรือ C> 1/2 แล้วสำหรับทุกคน x ∈ (0, 1), ลำดับของ iterates ฟังก์ชั่น (x, f (x), f (f (x))...)
ลู่ไป x
*

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นี้เป็นที่ชัดเจนสำหรับฉัน = 0 บวกฉัน มันคือจากการสังเกตว่า ด้านซ้ายมือคือไม่น้อยกว่าผลรวมของสามเงื่อนไขแรกของการขยายตัวของการแจกแจงทวินามและจำนวนนี้เกินกว่าขวามือในบทตั้งต่อไปเราสร้างเงื่อนไขสำหรับฟังก์ชัน f : [ 0 , 1 ] → keyboard - key - name [ 0 , 1 ] มีเฉพาะจุดคงที่ และสำหรับจุดตรึงซ้ำไปบรรจบกับจุดคงที่จากค่าเริ่มต้น . โดยเฉพาะ เราไม่ถือว่า thatf มีการหดตัวทฤษฎีบทจุดตรึงนี้จะเป็นกุญแจสำคัญในการพิสูจน์ของทฤษฎีบท 1.2เลย์ 2.3 ให้ f : [ 0 , 1 ] → keyboard - key - name [ 0 , 1 ] เป็น Differentiable นูนฟังก์ชัน เช่น f ( 0 ) = f ( 1 ) = 1 และ limx → keyboard - key - name 1 Fนั้น( x ) 1 จากนั้นF มีแน่หนึ่งจุดคงที่∗ x( 0 , 1 ) ถ้ายัง | Fนั้น( x∗) | < 1 , f คือสมมาตรรอบ 1 / 2 c : = f ( 1 / 2 ) เช่นให้ C < 1 / 2 และ f ( c ) < 1 / 2 หรือ C > 1 / 2 แล้วสำหรับทุกๆ x ∈ ( 0 , 1 ) , ลำดับของฟังก์ชันกล่าวย้ำ ( x , f ( x ) , f ( f ( x ) ) . . . . . . . )เข้าสู่∗ x.