6.1. The number of planar gluings.

6.1. The number of planar gluings. Let us return to the setting of §4. Thus, we have a potential
U(x) = x2/2 − j≥0 gjxj/j (with gj being formal parameters), and consider the matrix integral
ZN (�) = �−N/2 −T rU(A) e dA.
hN
Let ZˆN (�) = ZN (�/N). We have seen that
lnZˆN lim = W∞, N→∞ N2
where W∞ is given by summation over planar fat graphs:
�� � �b(Γe
) W∞ = gni
i |Aut(Γ) � | n i Γe∈Gec(n)[0]
In particular, the coefficient of gni is (up to a power of �) the number of (orientation preserving) i
gluings of a fat graph of genus zero out of a collection of fat flowers containing ni i-valent flowers for
each i, divided by i
nini!.
On the other hand, one can compute W∞ explicitly as a function of gi by reducing the matrix integral
to an integral over eigenvalues, and then using a fundamental fact from the theory of random matrices:
the existence of an asymptotic distribution of eigenvalues as N → ∞. This approach allows one to
obtain simple closed formulas for the numbers of planar gluings, which are quite nontrivial and for
which direct combinatorial proofs were discovered only very recently.
4 To illustrate this method, we will restrict ourselves to the case of the potential U(x) = x2/2 + gx
(so g4 = −4g and other gi = 0), and set � = 1. Then W∞ = n≥1 cn(−g)n/n!, where cn is a number
of connected planar gluings of a set of n 4-valent flowers. In other words, cn is the number of ways (up
to isotopy) to connect n “crosses” in the 2-sphere so that all crosses are connected with each other, and
the connecting lines do not intersect.
Exercise. Check by drawing pictures that c1 = 2, c2 = 36.
Theorem 6.1. (Brezin, Itzykson, Parisi, Zuber, 1978). One has
cn = (12)n(2n − 1)!/(n + 2)!

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

6.1.จำนวนระนาบ gluings ให้เรากลับไปตั้งค่าของ §4 ดังนั้น เรามีศักยภาพU(x) = 2 x 2 − j≥0 gjxj/j (กับ gj พารามิเตอร์อย่างเป็นทางการ), และพิจารณาเป็นเมตริกซ์(ZN) = −N/2 −T rU(A) e ดาhN ให้(ZˆN) = ZN (1 /N) เราได้เห็นที่ริม lnZˆN = W∞, N→∞ N2ที่ W∞ จะได้รับ โดยรวมผ่านระนาบกราฟไขมัน:บี (Γe) W∞ = gni ฉัน |Aut(Γ) | n ฉัน Γe∈Gec(n) [0]โดยเฉพาะ สัมประสิทธิ์ของ gni เป็น (ขึ้นอยู่กับกำลังของ) หมายเลข (แนวเสีย) ของฉันดอกไม้ที่มี ni i valent สำหรับดอกไม้ gluings กราฟไขมันของพืชสกุลศูนย์ออกจากคอลเลกชันของไขมันแต่ละ i หารฉันniniในทางกลับกัน หนึ่งสามารถคำนวณ W∞ อย่างชัดเจนเป็นฟังก์ชันของ gi ลดทฤษฎีบูรณาการเมทริกซ์กับทฤษฎีบูรณาการเวกเตอร์ แล้ว ใช้ข้อเท็จจริงพื้นฐานจากทฤษฎีของเมทริกซ์แบบสุ่ม:มีการแจกจ่าย asymptotic ของเวกเตอร์ N →∞ วิธีการนี้ช่วยให้การขอสูตรง่าย ๆ ปิดสำหรับหมายเลข gluings ระนาบ ซึ่งค่อนข้าง nontrivial และสำหรับซึ่งตรงหลักฐานปัญหาถูกค้นพบเท่านั้นเพิ่งมาก4 เพื่อแสดงวิธีการนี้ เราจะจำกัดตัวเองกับกรณีของ U(x) เป็นไปได้ = 2 x 2 + gx(มี g4 = −4g และอื่น ๆ จิ = 0), และตั้งค่า = 1 แล้ว W∞ = n≥1 cn (−g) n/n !, ที่ cn เป็นจำนวนของ gluings ระนาบเชื่อมต่อชุดของดอกไม้ n 4-valent ในคำอื่น ๆ cn คือ จำนวนวิธี (ค่าisotopy) เชื่อมต่อ n "ตัด" ที่อยู่ในทรงกลม 2 ให้ตัดทั้งหมดจะเชื่อมต่อกัน และไม่อินเส้นเชื่อมต่อออกกำลังกาย ตรวจสอบ โดยการวาดภาพที่ c1 = 2, c2 = 36ทฤษฎีบทที่ 6.1 (Brezin, Itzykson, Parisi, Zuber, 1978) หนึ่งได้cn = (12) n (2n − 1) ! / (n + 2)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

6.1 . จำนวน gluings ระนาบ . ให้เรากลับไปที่การตั้งค่าของ§ 4 ดังนั้นเราจึงมีศักยภาพ
u ( x ) = x 2 / 2 − 0 J / J ( ≥ gjxj กับ GJ เป็นพารามิเตอร์อย่างเป็นทางการ ) , และพิจารณาเมทริกซ์ครบถ้วน
Zn ( � ) = �− N / 2 −ไม่รุ ( A ) E ดา .

ให้ Z ˆ HN ( � ) = Zn ( � / N ) เราได้เห็นแล้วว่า
lnz ˆ N ลิม = w ∞ N →∞ N2
w ∞ที่ไหนให้มากกว่าไขมันรวมกราฟระนาบ :
���� B ( à e
=
) W ∞ GNIผม | หรือ ( Γ ) � | ผมΓ E ∈ gec ( N ) [ 0 ]
โดยเฉพาะค่า GNI ( ถึงพลังของ� ) จำนวน ( การรักษา )
gluings ของกราฟไขมันประเภทศูนย์จากคอลเลกชันของดอกไม้ที่มี i-valent อ้วนนิ ดอกไม้สำหรับ
แต่ละชั้น แบ่งตามชั้น
นินิ ! .
บนมืออื่น ๆ , หนึ่งสามารถคำนวณน้ำหนัก∞อย่างชัดเจนเป็นฟังก์ชันของกี โดยลดส่วนประกอบ
Matrixที่จะเป็นมากกว่าค่า และจากนั้น ใช้ข้อเท็จจริงพื้นฐานจากทฤษฎีเมทริกซ์สุ่ม :
การดำรงอยู่ของแหล่งการกระจายของค่าเป็น n → keyboard - key - name ∞ . วิธีการนี้จะช่วยให้หนึ่ง

ขอรับปิดสูตรง่ายๆสำหรับตัวเลขของระนาบ gluings ซึ่งค่อนข้างนอนทริเวียล ซึ่งหลักฐานเชิงและ
โดยตรงเท่านั้น
ค้นพบเมื่อเร็ว ๆ นี้4 แสดงให้เห็นถึงวิธีการนี้ เราจะ จำกัด ตัวเองเพื่อกรณีศักยภาพ u ( x ) = x 2 / 2 GX
( g4 = 4G −และกิ = 0 ) และตั้ง� = 1 แล้ว∞ w = N ≥ 1 CN ( − g ) N / n ! ที่ CN เป็นหมายเลข
เชื่อม gluings ระนาบของชุด N 4-valent ดอกไม้ ในคำอื่น ๆ , CN เป็นเลข (
เพื่อ isotopy ) เพื่อเชื่อมต่อ " กางเขน " ใน 2-sphere ดังนั้นทุกคนต่างเชื่อมต่อกับแต่ละอื่น ๆและ

เชื่อมเส้นไม่ตัด ออก ตรวจสอบด้วยการวาดภาพที่ C1 = 2 , C2 = 36 .
ทฤษฎีบท 6.1 . ( brezin itzykson ปาริซูเบอร์ , , , 1978 ) หนึ่งมี
CN = ( 12 ) N ( 2n − 1 ) ! / ( 2 )