( 111) There is also a parallel wit

( 111) There is also a parallel with the three interlocking systems of language distinguished by Halliday (1978), consisting the forms, meaning and functions of language. In the sociology of mathematics, Restivo (1985) distinguishes the syntactical and semantic properties of an object (following Hofstadter), paralleling the syntax semantic distinction. Hersh (1988) makes an analogous distinction between the ‘front’ and ‘back’ of mathematics. Restivo (1988) also distinguishes between ‘social’ and ‘technical’ talk of mathematics, paralleling the distinction between the third level of pragmatic considerations and the first two levels taken as one, respectively. Thus precursors of these three levels, in various forms, are to be found in the literature.
(222)The three levels of mathematical discourse proposed are as follows. First of all, there is the levels of syntax or formal mathematics. This consists of rigorous formulations of mathematics, consisting of the formal statement and proof of results, comprising such things as axioms, definitions, lemmas, theorems and proofs, in pure mathematic, and problems, boundary conditions and values, theorems, methods, derivations, models, predictions and results in applied mathematics. This level includes the mathematics in articles and papers accepted for conferences and journal publication, and constitutes what is accepted as official mathematics. Is is considered to be objective and impersonal, the so-called ‘real’ mathematics. This is the level of high status level is not that of total rigour, which would require exclusive use of one of the logical caculi, but of what passes in the profession for acceptable rigour.
( 333) Secondly, there is the level of infoemal or semantic mathematics. This includes heuristic formulations of problems, informal or unverified conjectures, proof attempts, historical and informal discussion. This is the level of unofficial mathematics, concerned with meanings, relationships and heuristics. Mathematicians refer to remark on this level as ‘motivation’ or ‘background’. It consists of subjective and personal mathematics. Is is considered to be low status knowledge in mathematics, what Hersh (1988) terms ‘the back’ of mathematics.
(444)Third, there is the level of pragmatic or professional knowledge of mathematics and the professional mathematical community. It concerns the institutions of mathematics, including the conferences, places of work, journals, libraries, prizes, grants, and so on. It also concerns the professional lives of mathematicians, their specialisms, publications, position, status and power in the community, their work places and so on. This is not considered to be mathematical knowledge at all. The knowledge has no official status in mathematics, since it does not concern the cognitive content of mathematics, although aspects of it are reflected in journal announcements. This is the level of ‘social talk’ of mathematics (Restivo,(1988).
(555)These three levels are the different domains of practice within which mathematicians operate. As languages and domains of discourse they form a hierarchy, from the more narrow, specialized and précis (the level of syntax), to the more inclusive, expressive and vague (the level of pragmatics). The more expressive systems can refer to the contents of the less expressive systems, but the relation is asymmetric.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

มี (111) เป็นคู่ขนานกับระบบพัวพันสามภาษาด้วย Halliday (1978), ประกอบด้วยแบบฟอร์ม ความหมาย และหน้าที่ของภาษา ในสังคมวิทยาของคณิตศาสตร์ Restivo (1985) แยกคุณสมบัติ syntactical และความหมายของวัตถุ (ต่อ Hofstadter), paralleling แตกทางตรรกไวยากรณ์ Hersh (1988) ทำให้มีความแตกต่างคู่ระหว่าง 'หน้า' และ 'กลับ' ของคณิตศาสตร์ Restivo (1988) ยังแตกต่างระหว่าง 'สังคม' และ 'เทคนิค' การพูดคุยของคณิตศาสตร์ paralleling ความแตกต่างระหว่างระดับที่ 3 การพิจารณาปฏิบัติแรกสองระดับถ่ายเป็นหนึ่ง ตามลำดับ Precursors ดังนี้สามระดับ แบบ จะพบในวรรณคดี
(222) ระดับสามของวาทกรรมทางคณิตศาสตร์การนำเสนอมีดังนี้ ครั้งแรกของทั้งหมด มีระดับไวยากรณ์หรือทางคณิตศาสตร์ นี้ประกอบด้วยสูตรคณิตศาสตร์ ประกอบด้วยคำสั่งอย่างเป็นทางการและพิสูจน์ผลลัพธ์ ประกอบด้วยสิ่งต่าง ๆ เช่นสัจพจน์ คำนิยาม lemmas ทฤษฎี และหลัก ฐาน ในบริสุทธิ์คณิตศาสตร์ ปัญหา และเข้มงวด เงื่อนไขขอบเขตและค่า ทฤษฎี วิธีการ รากศัพท์ รุ่น คาดคะเน และผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์ประยุกต์ ระดับนี้มีบทความและเอกสารที่ยอมรับสำหรับการสัมมนาและวารสารคณิตศาสตร์ และถือว่าเป็นที่ยอมรับเป็นทางคณิตศาสตร์ จะถือเป็นวัตถุประสงค์ และไนซ์ โฮ คณิตศาสตร์เรียกว่า 'จริง' เป็นระดับสถานะสูง ระดับไม่ที่นิตย์รวม ซึ่งจะต้องใช้เฉพาะหนึ่ง ของ caculi ตรรกะ แต่อะไรผ่านไปในอาชีพการยอมนิตย์.
Secondly (333) มีระดับของ infoemal หรือคณิตศาสตร์ทางตรรก นี้มีสูตรแล้วปัญหา conjectures unverified หรือไม่ ความ พยายามในการพิสูจน์ สนทนาประวัติศาสตร์ และเป็น ระดับไม่เป็นทางคณิตศาสตร์ เกี่ยวข้องกับความหมาย ความสัมพันธ์ และลองผิดลองถูกอยู่ Mathematicians อ้างอิงหมายเหตุในระดับนี้เป็น 'จูง' หรือ 'เบื้องหลัง' ประกอบด้วยวิชาคณิตศาสตร์ตามอัตวิสัย และส่วนบุคคล จะได้ รู้สถานะต่ำในวิชาคณิตศาสตร์ สิ่ง Hersh (1988) เงื่อนไข 'หลัง' ของคณิตศาสตร์
สาม (444) ระดับของการปฏิบัติ หรือการทำงานความรู้ของคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ชุมชนมืออาชีพได้ มันเกี่ยวข้องกับสถาบันคณิตศาสตร์ รวมถึงห้องประชุม สถานทำงาน ไลบรารี รางวัล มอบ และอื่น ๆ มันยังเกี่ยวข้องกับชีวิตมืออาชีพ ของ mathematicians, specialisms สิ่งพิมพ์ ตำแหน่ง สถานะในชุมชน สถานทำงานของพวกเขาและอื่น ๆ ไม่ถือเป็น ความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ ความรู้มีไม่มีสถานะทางในคณิตศาสตร์ เนื่องจากมันไม่เกี่ยวข้องรับรู้เนื้อหาของคณิตศาสตร์ ถึงแม้ว่าลักษณะของมันจะสะท้อนอยู่ในสมุดประกาศ เป็นระดับของการ 'สังคมพูดคุย' ของคณิตศาสตร์ (Restivo,(1988).
(555)ระดับที่สามเหล่านี้มีโดเมนแตกต่างกันของการปฏิบัติซึ่งมี mathematicians ภาษาและโดเมนของวาทกรรมที่พวกเขาสร้าง ความลำดับชั้น จากยิ่งแคบ และ précis (ระดับไวยากรณ์), เพิ่มเติมรวม แสดงออก และคลุมเครือ (ระดับของวจนปฏิบัติศาสตร์) ระบบสนิทมากยิ่งขึ้นสามารถอ้างอิงถึงเนื้อหาของระบบการแสดงออกน้อย แต่ความสัมพันธ์เป็น asymmetric

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( 111 ) ยังมีขนานกับสามประสานระบบภาษาโดดเด่นด้วย ฮอลลิเดย์ ( 1978 ) ซึ่งประกอบด้วยรูปแบบ ความหมาย และหน้าที่ของภาษา ในสังคมวิทยาคณิตศาสตร์ restivo ( 1985 ) แตกต่างจากคุณสมบัติของประโยค และความหมายของวัตถุ ( ต่อไปนี้ ฮอฟสเต็ดเตอร์ ) , ขนานวงจรแปลงผันไวยากรณ์ความหมายแตกต่างเฮช ( 1988 ) ทำให้มีความแตกต่างเล็กน้อยระหว่าง ' หน้า ' และ ' ย้อนกลับ ' ของคณิตศาสตร์ restivo ( 1988 ) ยังแตกต่างระหว่าง ' ' และ ' ' พูดสังคมเทคนิคคณิตศาสตร์ ขนานวงจรแปลงผันความแตกต่างระหว่างระดับที่สามของการพิจารณาในทางปฏิบัติและแรกสองระดับ ถ่ายเป็นหนึ่ง ตามลำดับ ดังนั้น สารตั้งต้นของทั้งสามระดับ ในรูปแบบต่าง ๆจะพบได้ในวรรณคดี .
( 222 ) สามระดับของวาทกรรมทางคณิตศาสตร์เสนอ ดังนี้ แรกของทั้งหมดมีระดับของไวยากรณ์หรือคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ นี้ประกอบด้วยการสร้างสูตรทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยแถลงการณ์อย่างเป็นทางการและพิสูจน์ผลลัพธ์ ประกอบด้วยสิ่งต่างๆเช่นสัจพจน์ ความหมาย lemmas ทฤษฎีบท และหลักฐานในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และปัญหาเงื่อนไขขอบเขตและค่า ทฤษฎี วิธีการ แหล่งที่มา , รุ่น , การคาดการณ์และผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์ประยุกต์ ระดับนี้รวมถึงคณิตศาสตร์ในบทความและเอกสารได้รับการยอมรับสำหรับการประชุมและวารสารสิ่งพิมพ์ และถือเป็นสิ่งที่ยอมรับเป็นคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ ก็ถือว่าเป็นวัตถุประสงค์และที่เรียกว่า ' จริง ' คณิตศาสตร์นี้เป็นระดับของค่าสถานะสูงไม่ใช่ของความรุนแรงทั้งหมด ซึ่งจะต้องใช้เฉพาะของหนึ่งใน caculi ตรรกะ แต่สิ่งที่ผ่านไปในอาชีพสำหรับความรุนแรงที่ยอมรับ .
( 333 ) ประการที่สองมีระดับของ infoemal หรือคณิตศาสตร์ ความหมาย ซึ่งรวมถึงชนิดของปัญหานี้อย่างไม่เป็นทางการ หรือยืนยันความคิดเห็นพยายามพิสูจน์การอภิปรายทางประวัติศาสตร์ และไม่เป็นทางการ นี้เป็นระดับของคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็นทางการที่เกี่ยวข้องกับความหมาย ความสัมพันธ์ และการวิเคราะห์พฤติกรรม . นักคณิตศาสตร์ดูหมายเหตุในระดับนี้เป็น ' แรงจูงใจ ' หรือ ' พื้นหลัง ' ประกอบด้วยกลุ่มคณิตศาสตร์และส่วนบุคคล ก็ถือว่าเป็น ความรู้ ฐานะต่ำในวิชาคณิตศาสตร์ ที่เฮช ( 1988 ) เรื่อง ' ' ของคณิตศาสตร์ .
( 444 ) สามมีเป็นระดับปฏิบัติ หรือมืออาชีพ มีความรู้ด้านคณิตศาสตร์และชุมชนคณิตศาสตร์ระดับมืออาชีพ มันเกี่ยวข้องกับสถาบันคณิตศาสตร์ รวมทั้งการประชุม สถานที่ของงาน , วารสาร , สมุด , รางวัล , มอบ , และอื่น ๆ มันเกี่ยวข้องกับชีวิตมืออาชีพของนักคณิตศาสตร์ , พิเศษ , สิ่งพิมพ์ , ตำแหน่ง , สถานะและอำนาจในชุมชนงานสถานที่ และอื่น ๆ นี้ไม่ถือว่าเป็น ความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ ความรู้ไม่มีอย่างเป็นทางการสถานะในทางคณิตศาสตร์ เพราะมันไม่เกี่ยวกับเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ แม้ว่าลักษณะของมันสะท้อนให้เห็นในประกาศในวารสาร นี้เป็นระดับของ ' คุย ' สังคมของคณิตศาสตร์ ( restivo ( 1988 ) .
( 555 ) ทั้ง 3 ระดับ คือ โดเมนที่แตกต่างกันของการปฏิบัติภายใน ซึ่งนักคณิตศาสตร์ใช้งาน เป็นภาษาและโดเมนของวาทกรรมที่พวกเขารูปแบบลำดับชั้นจากยิ่งแคบเฉพาะและ pr é CIS ( ระดับไวยากรณ์ ) , การรวม , แสดงออกและคลุมเครือ ( ระดับภาษา ) ระบบที่แสดงออกสามารถดูเนื้อหาของระบบมากกว่าน้อยกว่าแต่ความสัมพันธ์แบบอสมมาตร