Since the time of Galileo [1], the

Since the time of Galileo [1], the pendulum has constituted a physical object, fascinating physicists and becoming one
of the paradigms in the study of physics and natural phenomena. In the framework of nonlinear dynamics, there is no
doubt that the pendulum is one of the objects that have deserved more attention in modelling all kind of phenomena
related to oscillations, bifurcations and chaos. Its paradigmatic importance in mathematics has been also pointed out
[2]. Its interest derives not only from its intrinsic value as a notable example to test and search for new phenomena, but
also from its wide range of applicability.
From the theoretical point of view, its study may be considered of fundamental interest, where new results appear
once in a while (for example, on the stability of pendula, following the theorem proved by Acheson [3–6]), and all
possible combinations of pendula, such as the double pendulum [7,8], coupled pendula or even networks of pendula are
used from very different perspectives and approaches [9–11]. One example of an interesting new result applied to this
system refers to the Wada property, which was thoroughly studied for the forced pendulum in [12,13], and has to do
with the unpredictability of the system, even when it has simple periodic attractors. On the other hand, very many
physical phenomena may be modelled as pendula. This is because many oscillatory problems may be reduced in some
way to the equations of the pendulum. One could argue that, as a kind of oscillatory unit, it may be found almost
everywhere where oscillations occur. Apart from the familiar cases which appear in mechanics, it has been used to
model a charged particle inside an electric field with applications to nuclear reactors and plasmas, and even as a
universal model for nonlinear resonance [14]. Other fields of application, for example, are the Josephson superconducting
unions [15–17], modelling of structural and electronic properties in condensed matter physics [18] and in celestial
mechanics, especially related to the stability of the solar system [19], just to mention a few examples. A good
source of examples mostly related to mechanical engineering and mechanics are found in the book by Moon [20].
Another reference, which is basically dedicated to many phenomena associated to pendula, including many applications

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตั้งแต่เวลาของกาลิเลโอ [1], ลูกตุ้มมี constituted วัตถุกายภาพ นักฟิสิกส์ที่น่าสนใจ และกลายเป็นหนึ่งของกรอบในการศึกษาฟิสิกส์และปรากฏการณ์ธรรมชาติ ในกรอบของ dynamics ไม่เชิงเส้น มีไม่มีสงสัยว่า ลูกตุ้มที่เป็นวัตถุที่มีความสำคัญในการสร้างแบบจำลองของปรากฏการณ์ทุกชนิดที่สมควรได้รับ อย่างใดอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการแกว่ง bifurcations และความสับสนวุ่นวาย ความสำคัญ paradigmatic ในวิชาคณิตศาสตร์ได้รับยังชี้ให้เห็น[2] ดอกเบี้ยไม่เท่าจากมูลค่าที่แท้จริงมาเป็นตัวอย่างที่โดดเด่นในการทดสอบ และค้นหาปรากฏการณ์ใหม่ แต่จากความหลากหลายของความเกี่ยวข้องจากทฤษฎีมอง การศึกษาอาจพิจารณาพื้นฐานสนใจ ตำแหน่งที่ปรากฏผลลัพธ์ใหม่ในขณะ (เช่น เรื่องความเสถียรของ pendula ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์ โดย Acheson [3-6]), และทั้งหมดชุดเป็นไปได้ของ pendula เช่นลูกตุ้มคู่ [7.8], คู่ pendula หรือแม้แต่เครือข่ายของ pendulaใช้มุมมองที่แตกต่างจากวิธี [9-11] ตัวอย่างหนึ่งของผลลัพธ์ใหม่น่าสนใจที่ใช้นี้ระบบอ้างถึงคุณสมบัติ Wada ซึ่งเป็นศึกษาอย่างทั่วถึงสำหรับลูกตุ้มบังคับใน [12,13], และต้องทำมีการผันผวนของระบบ แม้ว่าจะมีง่ายดึงดูดจุดเป็นครั้งคราว บนมืออื่น ๆ หลายอย่างปรากฏการณ์ทางกายภาพอาจจะจำลองแบบมาเป็น pendula ทั้งนี้เนื่องจากปัญหา oscillatory มากอาจลดลงในวิธีสมการของลูกตุ้ม หนึ่งอาจเถียงว่า เป็นชนิดของหน่วย oscillatory มันอาจพบเกือบทุกตำแหน่งที่เกิดการแกว่ง นอกจากกรณีที่คุ้นเคยซึ่งปรากฏในกลศาสตร์ มันถูกใช้เพื่อแบบจำลองอนุภาคที่เรียกเก็บภายในสนามไฟฟ้ากับเตาปฏิกรณ์นิวเคลียร์และ plasmas และเป็นการรูปแบบสากลสำหรับเรโซแนนซ์เชิงเส้น [14] เขตข้อมูลอื่น ๆ ของแอพลิเคชัน เช่น จะ Josephson ตัวนำยิ่งยวดสหภาพแรงงาน [15-17], นางคุณสมบัติโครงสร้าง และอิเล็กทรอนิกส์ในเรื่องประกอบฟิสิกส์ [18] และ ในฟ้ากลศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับความมั่นคงของระบบพลังงานแสงอาทิตย์ [19], เพียงแค่การเป็นตัวอย่าง ดีแหล่งที่มาของตัวอย่างส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับวิศวกรรมเครื่องกล และกลไกที่พบในหนังสือ โดยดวงจันทร์ [20]อ้างอิงอื่น ซึ่งโดยทั่วไปสำหรับการหลายปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับ pendula รวมถึงโปรแกรมประยุกต์จำนวนมาก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตั้งแต่เวลาของกาลิเลโอ [1] ที่ลูกตุ้มได้บัญญัติวัตถุทางกายภาพฟิสิกส์ที่น่าสนใจและกลายเป็นหนึ่ง
ของกระบวนทัศน์ในการศึกษาของฟิสิกส์และปรากฏการณ์ธรรมชาติ ในกรอบของการเปลี่ยนแปลงเชิงไม่มี
ข้อสงสัยว่าลูกตุ้มเป็นหนึ่งในวัตถุที่สมควรได้รับความสนใจมากขึ้นในการสร้างแบบจำลองทุกชนิดของปรากฏการณ์
ที่เกี่ยวข้องกับการแกว่ง, bifurcations และความสับสนวุ่นวาย ความสำคัญของกระบวนทัศน์ในวิชาคณิตศาสตร์ได้รับการชี้ยังออก
[2] ที่น่าสนใจของมันเกิดขึ้นไม่เพียง แต่จากมูลค่าที่แท้จริงของมันเป็นตัวอย่างที่โดดเด่นในการทดสอบและการค้นหาสำหรับปรากฏการณ์ใหม่ แต่
ยังมาจากหลากหลายของการบังคับใช้.
จากจุดทฤษฎีในมุมมองของการศึกษาอาจได้รับการพิจารณาที่น่าสนใจพื้นฐานที่ผลการค้นหาใหม่ปรากฏ
ครั้งในขณะที่ (เช่นความมั่นคงของ pendula ตามทฤษฎีบทพิสูจน์โดยเคสัน [3-6]) และทั้งหมด
รวมกันเป็นไปได้ของ pendula เช่นลูกตุ้มคู่ [7,8] pendula คู่หรือแม้กระทั่งเครือข่าย ของลูกตุ้มจะ
ใช้จากมุมมองที่แตกต่างกันมากและวิธีการ [9-11] ตัวอย่างหนึ่งของผลใหม่ที่น่าสนใจนำไปใช้นี้
ระบบหมายถึงดะทรัพย์สินซึ่งได้รับการศึกษาอย่างทั่วถึงสำหรับลูกตุ้มบังคับใน [12,13] และมีการทำ
กับความผันผวนของระบบแม้ในขณะที่มันมี attractors ระยะที่เรียบง่าย . ในทางตรงกันข้ามหลายมาก
ปรากฏการณ์ทางกายภาพอาจจะจำลองเป็น pendula เพราะนี่คือปัญหาที่กวัดแกว่งหลายคนอาจจะลดลงในบาง
วิธีการสมการของลูกตุ้ม หนึ่งได้ยืนยันว่าเป็นชนิดของหน่วยแกว่งก็อาจจะพบได้เกือบ
ทุกที่ที่เกิดขึ้นแนบแน่น นอกเหนือจากกรณีที่คุ้นเคยที่ปรากฏในกลศาสตร์จะได้รับการใช้ใน
รูปแบบอนุภาคเรียกเก็บภายในสนามไฟฟ้ากับการใช้งานเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์และพลาสม่าและแม้กระทั่งเป็น
รูปแบบสากลสำหรับเสียงสะท้อนไม่เชิงเส้น [14] สาขาอื่น ๆ ของโปรแกรมตัวอย่างเช่นเป็น Josephson ยิ่งยวด
สหภาพแรงงาน [15-17] การสร้างแบบจำลองของคุณสมบัติโครงสร้างและอิเล็กทรอนิกส์ในข้นเรื่องฟิสิกส์ [18] และในท้องฟ้า
กลศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับความมั่นคงของระบบพลังงานแสงอาทิตย์ [19], เพียงแค่พูดถึงไม่กี่ตัวอย่าง ดี
แหล่งที่มาของตัวอย่างส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับวิศวกรรมเครื่องกลและกลไกที่จะพบในหนังสือโดยดวงจันทร์ [20].
อ้างอิงอื่นซึ่งมีความมุ่งมั่นโดยทั่วไปกับปรากฏการณ์มากมายที่เกี่ยวข้องเพื่อ pendula รวมทั้งการใช้งานมาก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตั้งแต่ยุคของกาลิเลโอ [ 1 ] , ลูกตุ้มมีบัญญัติวัตถุทางกายภาพ นักฟิสิกส์ที่น่าสนใจและกลายเป็นหนึ่งของกระบวนทัศน์ในการศึกษาฟิสิกส์และปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ ในกรอบของพลศาสตร์ไม่เชิงเส้น ไม่มีสงสัยว่า ลูกตุ้มเป็นหนึ่งในวัตถุที่สมควรได้รับความสนใจมากขึ้นในการชนิดทั้งหมดของปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการสั่น bifurcations และความโกลาหล ความสำคัญ paradigmatic คณิตศาสตร์ยังได้ชี้ว่า[ 2 ] ดอกเบี้ยเกิดขึ้นไม่เฉพาะจากมูลค่าที่แท้จริงของมันเป็นตัวเด่น เพื่อทดสอบ และค้นหาปรากฏการณ์ใหม่ แต่จากช่วงกว้างของการบังคับใช้จากจุดของมุมมองเชิงทฤษฎีของการศึกษาอาจจะพิจารณาผลประโยชน์พื้นฐานที่ผลลัพธ์ใหม่ปรากฏบ้าง ( เช่น ต่อเสถียรภาพของเพนดูลดังต่อไปนี้ทฤษฎีบทพิสูจน์โดย คี น [ 3 – 6 ] ) และเป็นไปได้ของเพนดูลา เช่น ลูกตุ้ม [ คู่ 7 , 8 ] คู่เพนดูลา หรือแม้แต่เพนดูลาเป็นเครือข่ายใช้จากมุมมองที่แตกต่างกันมากและวิธีการ [ 9 – 11 ] ตัวอย่างหนึ่งของผลใหม่ที่น่าสนใจนี้ประยุกต์ระบบ หมายถึง ทรัพย์สิน Wada ซึ่งอย่างละเอียดเพื่อบังคับให้ลูกตุ้มใน [ 12 , 13 ‘ ] และได้ทำกับคาดการณ์ของระบบ เมื่อได้ตัวแบบง่ายๆ บนมืออื่น ๆ , มากมายปรากฏการณ์ทางกายภาพอาจจำลองเป็นเพนดูลา . นี้เป็นเพราะปัญหาที่ลังเลมากอาจจะลดลงในบางวิธีสมการของลูกตุ้ม หนึ่งได้ยืนยันว่าเป็นชนิดของหน่วยลังเล อาจจะพบเกือบทุกที่ ที่แนบแน่นขึ้น นอกจากคุ้นกรณีซึ่งปรากฏในกลศาสตร์ มันถูกใช้เพื่อแบบประจุไฟฟ้าในสนามไฟฟ้าที่มีการใช้งานในเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์และพลาสมา และแม้เป็นแบบสากลเชิงแนนซ์ [ 14 ] สาขาอื่น ๆของโปรแกรม เช่น เป็นโจซิฟเซินอะตอมสหภาพแรงงาน [ 15 – 17 ] , การสร้างแบบจำลองของโครงสร้างและสมบัติในเรื่องย่อฟิสิกส์ [ 18 ] และในท้องฟ้าอิเล็กทรอนิกส์กลศาสตร์ , โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับความมั่นคงของระบบสุริยะ [ 19 ] เพียงแค่พูดถึงไม่กี่ตัวอย่าง ดีแหล่งที่มาของตัวอย่างส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับกลศาสตร์และวิศวกรรมเครื่องกล พบในหนังสือโดยดวงจันทร์ [ 20 ]แหล่งอ้างอิงอื่น ซึ่งโดยทั่วไปโดยเฉพาะปรากฏการณ์มากมายที่เกี่ยวข้องกับเพนดูลา รวมถึงการใช้งานหลาย