In calculus, the integral of a func

In calculus, the integral of a function is a generalization of area, mass, and
volume. Unlike the closely-related process of differentiation, there are several
possible definitions of integration, with diffferent technical underpinnings.
They are, however, compatible; any two different ways of integrating a function
will give the same result when they are both defined.
The most important integrals are the Riemann integral and the Lebesgue
integral. The Riemann integral was created by Bernhard Riemann in 1854
and was the first rigorous definition of the integral. The Lebesgue integral was
created by Henry Lebesgue to integrate a wider class of function and prove
very strong theorems about interchanging limits and integrals.
Definite integrals may be approximated using several methods of numerical
integration. One popular method, called the rectangle method, relies on
dividing the region under the function into a series of rectangles and finding
the sum.
One difficulty in computing definite integral is that, it is not always possible
to find “explicit formula” for antiderivatives. For instance, there is a (nontrivial)
proof that there is no nice function (e.g., sin, cos, exp, polynomials, roots
and so on) whose derivative is x
x
. Integrals of positive functions always give
the area under the graph and can fail to exist either because the function is
not behaving well in terms of its area or beacuse the area is not finite. As the
concept of function became wider this task became more diffucult, and led to
the need for more and more general integrals.
In this paper, we introduce a new way of integrating a function and in
general, finding the area of any bounded region through integration over a
radius-decreasing circles.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แคลคูลัส ทิกรัลจำกัดเขตของฟังก์ชันเป็น generalization ของพื้นที่ มวล และไดรฟ์ข้อมูล ไม่เหมือนอย่างใกล้ชิดเกี่ยวกับกระบวนการสร้างความแตกต่าง มีหลายข้อกำหนดที่เป็นไปได้ของรวม กับ diffferent underpinnings เทคนิคจะ อย่างไรก็ตาม เข้ากันได้ มีสองวิธีของการรวมฟังก์ชันจะให้ผลลัพธ์เดียวกันเมื่อพวกเขาทั้งสองไว้ปริพันธ์สำคัญใจ Riemann เป็น Lebesgueถือเป็นการ Riemann เป็นสร้าง โดย Bernhard Riemann 1854และมีข้อกำหนดเข้มงวดแรกของทฤษฎีบูรณาการการ ทฤษฎีบูรณาการ Lebesgue ถูกสร้าง โดย Henry Lebesgue รวมระดับกว้างของฟังก์ชัน และพิสูจน์ทฤษฎีบทที่แรงมากเกี่ยวกับ interchanging จำกัดและปริพันธ์ปริพันธ์อาจจะเลียนแบบโดยใช้วิธีการต่าง ๆ ของตัวเลขรวม อาศัยหนึ่งนิยมเรียกวิธีการ วิธีสี่เหลี่ยมภูมิภาคภายใต้ฟังก์ชันแบ่งชุดของสี่เหลี่ยม และการค้นหาผลรวมปัญหาหนึ่งในปริพันธ์คอมพิวเตอร์คือ มันไม่เสมอได้ในการค้นหา "สูตรชัดเจน" สำหรับ antiderivatives ตัวอย่าง มีการ (nontrivial)หลักฐานว่า มีฟังก์ชันไม่ดี (เช่น บาป cos, exp, polynomials รากเรื่อย ๆ) มีอนุพันธ์ xx. ปริพันธ์ของฟังก์ชันค่าบวกอยู่เสมอพื้นที่ใต้กราฟ และไม่สามารถอยู่อย่างใดอย่างหนึ่งเนื่องจากการทำงานพฤติกรรมที่ไม่ดีในพื้นที่ที่เป็นหรือได้เนื่อง จากพื้นที่ไม่จำกัด เป็นแนวคิดของฟังก์ชันเป็นกว้างงานนี้กลายเป็น diffucult เพิ่มเติม และนำไปสู่ต้องการปริพันธ์ทั่วไปมากในเอกสารนี้ เราแนะนำวิธีการใหม่รวมฟังก์ชัน และในทั่วไป การหาพื้นที่ของภูมิภาคใดภูมิภาคหนึ่งกี่โดยรวมมากกว่าการลดรัศมีวงกลม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในแคลคูลัสหนึ่งของฟังก์ชั่นนี้เป็นลักษณะทั่วไปของพื้นที่มวลและ
ปริมาณ ซึ่งแตกต่างจากกระบวนการที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของความแตกต่างมีหลาย
คำจำกัดความที่เป็นไปได้ของการรวมกลุ่มกับตีแผ่เทคนิค diffferent.
พวกเขามี แต่เข้ากันได้; สองวิธีที่แตกต่างกันของการบูรณาการการทำงาน
จะให้ผลเหมือนกันเมื่อพวกเขามีทั้งที่กำหนดไว้.
ปริพันธ์ที่สำคัญที่สุดคือหนึ่ง Riemann และเกอ
หนึ่ง หนึ่ง Riemann ถูกสร้างขึ้นโดยแบร์นฮาร์ดรีมันน์ในปี 1854
และเป็นความหมายอย่างเข้มงวดแรกของหนึ่ง เกอหนึ่งถูก
สร้างขึ้นโดยเฮนรีเกอเพื่อบูรณาการระดับกว้างของฟังก์ชั่นและพิสูจน์
ทฤษฎีบทที่แข็งแกร่งมากเกี่ยวกับการสับเปลี่ยนข้อ จำกัด และปริพันธ์.
อินทิกรั Definite อาจจะประมาณโดยใช้วิธีการหลายตัวเลข
บูรณาการ วิธีการหนึ่งที่นิยมเรียกว่าวิธีการรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอาศัย
หารภูมิภาคภายใต้ฟังก์ชั่นเป็นชุดของรูปสี่เหลี่ยมและการหา
ผลรวม.
หนึ่งความยากลำบากในการคำนวณหนึ่งที่แน่นอนก็คือว่ามันเป็นไปไม่ได้เสมอ
ที่จะหา "สูตรอย่างชัดเจน" สำหรับปฏิยานุพันธ์ ยกตัวอย่างเช่นมี (ขี้ปะติ๋ว)
พิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชั่นที่ดี (เช่นบาป cos, EXP, พหุนาม, ราก
และอื่น ๆ ) ซึ่งเป็นอนุพันธ์ x
x
ปริพันธ์ของฟังก์ชันบวกมักจะให้
พื้นที่ใต้กราฟและไม่สามารถจะมีชีวิตอยู่เพราะฟังก์ชั่นที่มี
พฤติกรรมไม่ดีในแง่ของพื้นที่หรือ beacuse พื้นที่ไม่ จำกัด ในฐานะที่เป็น
แนวคิดของฟังก์ชั่นกลายเป็นที่กว้างขึ้นงานนี้กลายเป็น diffucult มากขึ้นและนำไปสู่
​​ความจำเป็นในการปริพันธ์มากขึ้นและกว้างขึ้น.
ในบทความนี้เราจะแนะนำวิธีการใหม่ของการบูรณาการการทำงานและ
โดยทั่วไปการหาพื้นที่ของพื้นที่ จำกัด ใด ๆ ที่ผ่าน บูรณาการมากกว่า
วงกลมรัศมีลดลง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในแคลคูลัสปริพันธ์ของฟังก์ชันนัยทั่วไปของพื้นที่ , มวล , และ
ปริมาณ ซึ่งแตกต่างจากความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิด กระบวนการของการมีคำนิยามที่เป็นไปได้หลาย
รวมกับความเชื่อทางด้านเทคนิคต่าง .
พวกเขา , อย่างไรก็ตาม , เข้ากันได้ ; ใด ๆสองวิธีที่แตกต่างกันของการรวมฟังก์ชัน
จะให้ผลเดียวกันเมื่อพวกเขาทั้งกำหนด .
ส่วนประกอบที่สำคัญที่สุดคือรีมันน์อินทิกรัลและ lebesgue
ครบถ้วนแล้ว ที่ถูกสร้างขึ้นโดยแบร์นฮาร์ดรีมันน์อินทิกรัลรีมันน์ใน 1854
และความหมายเคร่งครัดแรกของหนึ่ง เกอครบถ้วนคือ
สร้างโดยเฮนรี่ lebesgue บูรณาการระดับกว้างของฟังก์ชันและพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตมาก

และ interchanging integrals .integrals แน่นอน อาจจะประมาณโดยใช้หลายวิธีของการอินทิเกรต

วิธีที่นิยมหนึ่ง เรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบอาศัย
แบ่งภูมิภาคภายใต้ฟังก์ชันเป็นชุดของรูปสี่เหลี่ยมและการหาผลรวมหนึ่ง
.
ยากในการคำนวณปริพันธ์จำกัดเขตนั่น มันไม่ได้เป็นไปได้เสมอ
หา " สูตร " ที่ชัดเจนสำหรับ antiderivatives . สำหรับอินสแตนซ์มี ( นอนทริเวียล )
หลักฐานว่าไม่มีดี ฟังก์ชั่น ( เช่น sin , cos , exp , พหุนาม , ราก
และอื่น ๆ ) ที่มีอนุพันธ์ x
x
ส่วนประกอบของฟังก์ชันบวกเสมอให้
พื้นที่ใต้กราฟ และสามารถล้มอยู่เช่นกัน เพราะฟังก์ชัน
ไม่ทำตัวดีในแง่ของพื้นที่ หรือ เพราะพื้นที่ไม่จำกัด
เป็นแนวคิดของฟังก์ชันเป็นกว้าง งานนี้กลายเป็น diffucult มากขึ้นและนำไปสู่
ต้องการมากขึ้นและส่วนประกอบทั่วไป .
ในกระดาษนี้เราแนะนำวิธีใหม่ของการรวมฟังก์ชันและ
ทั่วไป การหาพื้นที่ของภูมิภาค โดยผสมผสานกับหลักการลด
รัศมีวงกลม