Let E be real normed linear space.

Let E be real normed linear space. The modulus of convexity of E is the function (พิมพ์) defined by (พิมพ์)
E is said to be a real convex if and only if (พิมพ์) for all (พิมพ์)
The norm of E is said to be Frechet differentiable if for each (พิมพ์) with (พิมพ์)
Exists and is attained uniformly for y, with (พิมพ์)
A mapping (พิมพ์) is said to be semi-compact if , for any bounded sequence (พิมพ์) in K such that (พิมพ์) there exists a subsequence say (พิมพ์) such that (พิมพ์) converges strongly to some (พิมพ์) is said to be completely continuous if for every bounded sequence (พิมพ์) there exists a subsequence say (พิมพ์) such that the sequence (พิมพ์) converges to some element of the range of T.
A Banach space E said to satisfy Opial’s condition if for any sequence (พิมพ์) converges weakly implies that (พิมพ์)
For all (พิมพ์)
Mapping (พิมพ์) is said to satisfy condition (พิมพ์) if there exists a non-decreasing function (พิมพ์)
As Tan and Xu {15} pointed out , condtion (A) is weaker than the compactness of K. Yang {20}modified this conditinn for a finite of non-self- asymptotically non-expansive mapping (พิมพ์) as follows
Let K be a non-empty subset of E, the mapping (พิมพ์) are said to satisfy condition (พิมพ์) if there exists a non-decreasing function (พิมพ์)
For all (พิมพ์) where (พิมพ์) We know that condition (พิมพ์) is weaker than the compactness of K, and condition (A) is a special case of (พิมพ์)
In what follows, the following lemmas are needed to prove our main results.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ E เป็น normed จริงเชิงพื้นที่ โมดูลัสของ convexity ของ E เป็นฟังก์ชัน (พิมพ์) ที่กำหนด โดย (พิมพ์)กล่าวว่า ถ้าจริงนูนและรับ E (พิมพ์) สำหรับทั้งหมด (พิมพ์) ปกติอีกล่าวได้ว่า เป็น Frechet differentiable ถ้าสำหรับแต่ละ (พิมพ์) ด้วย (พิมพ์)มีอยู่ และได้สม่ำเสมอเมื่อเทียบเคียงสำหรับ y ด้วย (พิมพ์) การแม็ป (พิมพ์) กล่าวได้ว่า เป็นกึ่งกระชับถ้า ในลำดับใดกี่ (พิมพ์) ใน K ให้ (พิมพ์) มีอยู่ พูด subsequence (พิมพ์) (พิมพ์) converges ขอให้บาง (พิมพ์) ให้ว่า ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ถ้าสำหรับทุกกี่ (พิมพ์) มีมีลำดับ subsequence การพูด (พิมพ์) ให้ลำดับ (พิมพ์) converges บางองค์ประกอบของช่วงต.พื้นที่ Banach E กล่าวว่า เพื่อตอบสนองเงื่อนไขของ Opial ถ้าสำหรับลำดับใด (พิมพ์) converges weakly หมายความว่า (พิมพ์)สำหรับทั้งหมด (พิมพ์)การแม็ป (พิมพ์) กล่าวว่า เพื่อตอบสนองเงื่อนไข (พิมพ์) ถ้ามีฟังก์ชันไม่ลด (พิมพ์)ตาลและสี {15} ชี้ออก condtion (A) เป็นต่ำกว่าที่ compactness ของคุณ Yang { 20 } แก้ไขนี้ conditinn การจำกัดตนเอง - การแม็ป asymptotically ไม่กว้าง (พิมพ์) ดังนี้ให้ K เป็นเซตย่อยไม่ว่างอี การแม็ป (พิมพ์) ได้กล่าวว่า เพื่อตอบสนองเงื่อนไข (พิมพ์) ถ้ามีฟังก์ชันไม่ลด (พิมพ์) For all (พิมพ์) where (พิมพ์) We know that condition (พิมพ์) is weaker than the compactness of K, and condition (A) is a special case of (พิมพ์)In what follows, the following lemmas are needed to prove our main results.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ E เป็นเกณฑ์จริงพื้นที่เชิงเส้น โมดูลัสนูนของ E เป็นฟังก์ชั่น (พิมพ์) กำหนดโดย (พิมพ์)
E กล่าวจะนูนจริงถ้าหาก (พิมพ์) ทั้งหมด (พิมพ์)
บรรทัดฐานของ E กล่าวจะFréchetอนุพันธ์ถ้าสำหรับแต่ละ (พิมพ์) ด้วย (พิมพ์)
ที่มีอยู่และจะบรรลุสม่ำเสมอสำหรับปีด้วย (พิมพ์)
การทำแผนที่ (พิมพ์) จะกล่าวว่าเป็นกึ่งกะทัดรัดถ้าลำดับ จำกัด ใด ๆ (พิมพ์) ใน K ดังกล่าวว่า (พิมพ์) มีอยู่ subsequence พูด (พิมพ์) เช่นนั้น (พิมพ์) ลู่อย่างยิ่งที่จะบาง (พิมพ์) กล่าวจะสมบูรณ์ต่อเนื่องถ้าทุกลำดับ จำกัด (พิมพ์) มีอยู่ subsequence พูด (พิมพ์) เช่นว่าลำดับ (พิมพ์) ลู่ไปบางส่วน ในช่วงของ T.
พื้นที่นาค E กล่าวว่าเพื่อตอบสนองสภาพ Opial ถ้าลำดับใด ๆ (พิมพ์) ลู่อ่อนหมายความว่า (พิมพ์)
สำหรับทุก (พิมพ์)
แมป (พิมพ์) บอกว่าจะตอบสนองสภาพ (พิมพ์) ถ้ามี ฟังก์ชั่นที่ไม่ได้ลดลง (พิมพ์)
ในฐานะที่เป็นตาลและเสี่ยว {15} ชี้ condtion () เป็นที่อ่อนแอกว่าความเป็นปึกแผ่นของเคยาง {20} ดัดแปลง conditinn นี้ จำกัด ของตัวเองที่ไม่ asymptotically การทำแผนที่ที่ไม่ขยายตัว ( พิมพ์) ดังต่อไปนี้
ให้ K เป็นส่วนย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของ E, การทำแผนที่ (พิมพ์) จะกล่าวว่าเพื่อตอบสนองสภาพ (พิมพ์) ถ้ามีฟังก์ชั่นที่ไม่ได้ลดลง (พิมพ์)
สำหรับทุก (พิมพ์) ที่ (พิมพ์) เรารู้ว่า ว่าสภาพ (พิมพ์) เป็นที่อ่อนแอกว่าความเป็นปึกแผ่นของ K และเงื่อนไข () เป็นกรณีพิเศษ (พิมพ์)
ในสิ่งต่อไปนี้ lemmas ต่อไปนี้มีความจำเป็นที่จะพิสูจน์ผลหลักของเรา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ E normed จริงเชิงพื้นที่ โมดูลัสของความโค้งของ E เป็นฟังก์ชัน ( พิมพ์ ) กำหนดโดย ( พิมพ์ )
e กล่าวจะจริงนูนถ้าและเพียงถ้า ( พิมพ์ ) ทั้งหมด ( พิมพ์ )
C E กล่าวว่าเป็น frechet Differentiable ถ้าสำหรับแต่ละ ( พิมพ์ ) กับ ( พิมพ์ )
มีอยู่และเป็นบรรลุ อย่างสม่ำเสมอเพื่อ Y (
พิมพ์ )แผนที่ ( พิมพ์ ) กล่าวว่าเป็นกึ่ง compact ถ้าสำหรับการใด ๆสิ้นสุดลำดับ ( พิมพ์ ) K ( พิมพ์ ) ซึ่งมีอยู่ตามพูด ( พิมพ์ ) เช่น ( พิมพ์ ) - ขอหน่อย ( พิมพ์ ) กล่าวจะสมบูรณ์อย่างต่อเนื่อง ถ้าทุก ๆล้อมรอบลำดับ ( พิมพ์ ) มีอยู่ตามพูด ( พิมพ์ ) ที่ลำดับ ( พิมพ์ ) บรรจบกันบางองค์ประกอบของช่วงของ T .
ปริภูมิบานาค E กล่าวว่าเพื่อตอบสนองเงื่อนไขของ opial ถ้าใดๆโดยลำดับ ( พิมพ์ ) อย่างอ่อน ( พิมพ์ )
ทั้งหมด ( พิมพ์ )
แผนที่ ( พิมพ์ ) ว่า เป็นไปตามเงื่อนไข ( พิมพ์ ) ถ้าไม่มีไม่อุ้มน้ำ ( พิมพ์ )
{ 15 } เป็น tan และ Xu ชี้ให้เห็นว่า condtion ( ) เป็น weaker กว่าความเป็นปึกแผ่นของ Kหยาง { 20 } แก้ไข conditinn นี้ไม่จำกัดของตนเอง asymptotically โนนไพศาลแผนที่ ( พิมพ์ ) ดังนี้
ให้ k เป็นไม่ใช่เปล่าย่อย E , แผนที่ ( พิมพ์ ) กล่าวว่าเพื่อตอบสนองเงื่อนไข ( พิมพ์ ) ถ้าไม่มีไม่อุ้มน้ำ ( พิมพ์ )
ทั้งหมด ( พิมพ์ ) ที่ ( พิมพ์ ) เรารู้สภาพว่า ( พิมพ์ ) แข็งแกร่งกว่าความเป็นปึกแผ่นของเคและเงื่อนไข ( ) เป็นกรณีพิเศษของ ( พิมพ์ )
ในสิ่งที่ตามมา , lemmas ต่อไปนี้จะต้องพิสูจน์ผลลัพธ์หลักของเรา