In a previous paper [1] two of the

In a previous paper [1] two of the present authors considered
in detail the mechanics of a superball bouncing back and forth on
a rough horizontal plane. Reversals in direction in the horizontal
motion of the ball result from the application of a tangential law
of restitution at the point of impact of the ball and the plane. This
concept was first introduced by Garwin [2] who used a tangential
coefficient of restitution of one, which is not physically realistic.
Garwin’s model was modified by Cross [3] who employed a
tangential coefficient of restitution a satisfying 0oao1, with the
horizontal velocity of the point of impact of the ball being
reversed and reduced in magnitude by a factor of a in the impact.
Further details of the physics of this model are given in [1],
together with references to other theoretical and experimental
work.
All who have experimented with a superball will have at
sometime bounced the ball on the floor, followed by a bounce on a
vertical wall. If the bounce on the wall occurs while the ball is still
rising, it gives the ball some backspin, so that the direction of
motion is reversed at the next bounce on the floor resulting in the
ball hitting the wall a second time. With practice, the ball can be
made to bounce between the floor and wall several times. Such
motion is illustrated in the animations in Figs. 2, 3, 5, and 11. It is
our purpose to give a theoretical investigation of such motions
and the non-linear mappings which they engender. To this end we
establish in Section 2 the basic equations governing the model.
Essentially, each journey of the ball from floor to wall to floor,
assumed to take place in the same vertical plane, comprises four
events: (i) after launch from the floor the ball pursues a parabolic
trajectory until it hits the wall, (ii) the rebound from the wall,
(iii) the parabolic trajectory of the return journey to the floor and
(iv) the impact with the floor which provides the launch data for
the next excursion of the ball. The result of this analysis is the
derivation of a non-linear mapping which relates the floor launch
data (linear and angular velocity components of the ball and
distance from the wall) to the same parameters after the next
bounce on the floor.
In Section 3 some numerical trajectories of the non-linear
mapping are computed and examples given of motions with
various numbers of floor to wall bounces. Also illustrated are the
parameter spaces of initial conditions required to produce various
numbers of bounces off the wall. In Section 4 a scaling invariance
is introduced which rewrites the non-linear map of Section 2 in
terms of suitable canonical coordinates. This results in a threedimensional
non-linear map, a reduction in dimension by one
from the original system.
Section 5 presents some numerical results for the regions of
initial conditions which will result in a given number of bounces
against the wall in the canonical variables, analogous to those of
Section 3 for the original variables. The next two sections of the
work analyse these numerical results in some detail, focussing on
the behaviour of the mapping on two planes which comprise
boundaries of the region of interest. The paper concludes by
proposing a number of further questions related to the problem.
Before continuing to our analysis of the problem we have just
described, we note that there are limitations to the model of the
bounce of the superball that we use. It is recognised that th

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในกระดาษก่อนหน้า [1] สองของผู้เขียนอยู่ถือว่าในกลศาสตร์ของ superball สะท้อนไปมาในรายละเอียดเครื่องบินแนวนอนหยาบ กลับทิศทางในแนวนอนความเคลื่อนไหวของผลลูกจากการประยุกต์ใช้กฎหมาย tangentialการชดใช้ความเสียหายณขณะกระทบลูกและเครื่องบิน นี้แนวคิดแรกแนะนำ Garwin [2] เคยเป็น tangentialค่าสัมประสิทธิ์ของการชดใช้ความเสียหายอย่างใดอย่างหนึ่ง ซึ่งไม่จริงจริงของ Garwin รุ่นล่าสุดโดยข้าม [3] ที่ใช้เป็นtangential ค่าสัมประสิทธิ์ของการชดใช้ความเสียหาย 0oao1 น่าพอใจ มีการความเร็วแนวนอนของจุดของผลกระทบของลูกบอลกลับ และในขนาดที่ลดลง โดยปัจจัยมีผลกระทบต่อการรายละเอียดเพิ่มเติมของฟิสิกส์รุ่นนี้ถูกกำหนดใน [1],พร้อมกับข้อมูลอ้างอิงอื่น ๆ ตามทฤษฎี และการทดลองทำงานทุกคนที่ได้ทดลองกับ superball ที่จะมีบางครั้งเด้งลูกบอลบนพื้น ตาม ด้วยเด้งที่ในการผนังแนวตั้ง ถ้าเด้งบนผนังที่เกิดขึ้นในขณะที่ลูกบอลยังคงเป็นเพิ่มขึ้น ทำให้ลูก backspin บางอย่าง ดังนั้นทิศทางของกลับเคลื่อนที่ตีกลับถัดไปบนชั้นในการลูกตีผนังเป็นครั้งที่สอง แบบฝึกหัด ลูกบอลได้ทำให้ตีกลับระหว่างพื้นและผนังหลายครั้ง ดังกล่าวเคลื่อนไหวจะเห็นภาพเคลื่อนไหวในมะเดื่อ. 2, 3, 5 และ 11 มันเป็นจุดประสงค์เพื่อให้การตรวจสอบทฤษฎีของการเคลื่อนไหวดังกล่าวและแมปสมบัติที่พวกเขาเกิด เพื่อการนี้เราสร้างในส่วนที่ 2 ว่าด้วยแบบจำลองสมการพื้นฐานหลัก แต่ละการเดินทางของลูกจากชั้นผนังชั้นสันนิษฐานว่าจะใช้สถานที่ในแนวระนาบเดียวกัน ประกอบด้วย 4กิจกรรม: (i) หลังจากที่เปิดตัวจากชั้นลูก pursues เป็นจานวิถีจนกระทั่งมันฮิตผนัง, (ii) การฟื้นตัวจากผนัง(iii) วิถีจานของเดินทางกลับไปยังชั้น และ(iv) ผลกระทบกับพื้นซึ่งให้ข้อมูลเปิดใช้งานสำหรับท่องเที่ยวต่อไปของลูก ผลของการวิเคราะห์นี้เป็นการที่มาของแผนที่สมบัติที่เกี่ยวข้องเปิดชั้นข้อมูล (ความเร็วเชิงเส้น และเชิงมุมส่วนประกอบของลูก และระยะห่างจากผนัง) พารามิเตอร์เดียวกันหลังจากถัดไปเด้งกลับบนชั้นในส่วน 3 ทีมบางตัวเลขของการไม่เชิงเส้นการแมปจะคำนวณ และตัวอย่างที่ให้ภาพเคลื่อนไหวด้วยตัวเลขต่าง ๆ ของชั้นผนังตีกลับ ตัวอย่างมีการช่องพารามิเตอร์เงื่อนไขเบื้องต้นที่จำเป็นในการผลิตต่าง ๆหมายเลขของแพทเทิร์นปิดผนัง ใน 4 ส่วน invariance มาตราส่วนมีแนะนำที่มีแก้ไข 2 ส่วนในแผนที่สมบัติเงื่อนไขของพิกัดมาตรฐานที่เหมาะสม ผลลัพธ์ที่ได้ threedimensionalแผนที่สมบัติ การลดขนาดโดยหนึ่งจากระบบเดิมส่วนที่ 5 แสดงผลบางตัวเลขสำหรับในภูมิภาคเงื่อนไขเริ่มต้นซึ่งจะส่งผลให้จำนวนแพทเทิร์นในตัวแปรมาตรฐาน คล้ายกับกำแพงส่วนที่ 3 ตัวแปรเดิม ในสองส่วนถัดไปของการงานวิเคราะห์ผลลัพธ์ตัวเลขเหล่านี้ในรายละเอียดบางอย่าง มุ่งเน้นพฤติกรรมของการแม็ปบนสองซึ่งประกอบด้วยขอบเขตของภูมิภาคที่สนใจ กระดาษสรุปโดยเสนอจำนวนเพิ่มเติมคำถามที่เกี่ยวข้องกับปัญหาก่อนที่จะวิเคราะห์ปัญหา ที่เรามีเพียงอธิบาย เราได้ทราบว่า มีข้อจำกัดของรูปแบบของการตีกลับของ superball ที่เราใช้ มันรับรู้ว่า

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในกระดาษก่อนหน้า [1]
สองของผู้เขียนในปัจจุบันการพิจารณาในรายละเอียดกลศาสตร์ของSuperball
กระดอนไปมาบนระนาบแนวนอนหยาบ กลับในทิศทางในแนวการเคลื่อนที่ของลูกส่งผลให้เกิดจากการประยุกต์ใช้กฎหมายวงของการชดใช้ความเสียหายที่จุดของผลกระทบของลูกและเครื่องบิน นี้แนวคิดเป็นครั้งแรกโดย Garwin [2] ที่ใช้วงค่าสัมประสิทธิ์ของการชดใช้ความเสียหายของหนึ่งซึ่งไม่เป็นจริงร่างกาย. รุ่น Garwin ได้รับการแก้ไขโดยการครอส [3] ที่จ้างค่าสัมประสิทธิ์วงของการชดใช้ความเสียหาย0oao1 พอใจกับความเร็วในแนวนอนจุดของผลกระทบของลูกที่มีการกลับรายการและลดขนาดโดยปัจจัยในผลกระทบ. รายละเอียดเพิ่มเติมของฟิสิกส์ของรุ่นนี้จะได้รับใน [1], ร่วมกันที่มีการอ้างอิงไปยังอีกทางทฤษฎีและการทดลองการทำงาน. ทุกคนที่ ได้ทดลองกับ Superball จะมีบางครั้งลูกกระดอนบนพื้นตามด้วยการตีกลับบนผนังในแนวตั้ง ถ้าเด้งบนผนังเกิดขึ้นในขณะที่ลูกยังคงเพิ่มขึ้นจะช่วยให้ลูก backspin บางส่วนเพื่อให้ทิศทางของการเคลื่อนไหวจะถูกกลับรายการที่เด้งต่อไปบนชั้นที่เกิดในช่องลูกตีผนังเป็นครั้งที่สอง กับการปฏิบัติลูกสามารถทำที่จะตีกลับระหว่างพื้นและผนังหลายต่อหลายครั้ง เช่นการเคลื่อนไหวที่แสดงในภาพเคลื่อนไหวในมะเดื่อ 2, 3, 5, และ 11 มันเป็นจุดประสงค์ของเราที่จะให้การตรวจสอบทางทฤษฎีของการเคลื่อนไหวดังกล่าวและการแมปที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่พวกเขาก่อให้เกิด ด้วยเหตุนี้เรา. สร้างในมาตรา 2 สมการพื้นฐานการปกครองรูปแบบพื้นฐานแล้วการเดินทางของแต่ละลูกจากพื้นกับผนังกับพื้น, สันนิษฐานว่าจะเกิดขึ้นในแนวตั้งเดียวกันประกอบด้วยสี่เหตุการณ์: (i) หลังจากการเปิดตัวจาก ชั้นลูกแสวงหาพาราโบลาวิถีจนฮิตผนัง(ii) การตอบสนองจากผนัง(iii) วิถีโค้งของการเดินทางกลับมากับพื้นและ(iv) ผลกระทบกับพื้นซึ่งมีข้อมูลการเปิดตัวเที่ยวต่อไปของลูก ผลของการวิเคราะห์นี้เป็นที่มาของการทำแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่เกี่ยวข้องเปิดตัวชั้นข้อมูล(เชิงเส้นและส่วนประกอบความเร็วเชิงมุมของลูกและห่างจากผนัง) พารามิเตอร์เดียวกันหลังจากต่อไปเด้งบนพื้น. ในส่วนที่ 3 บางลูกทีมของตัวเลขที่ไม่ใช่เชิงเส้นการทำแผนที่จะคำนวณและตัวอย่างที่กำหนดของการเคลื่อนไหวที่มีตัวเลขที่แตกต่างกันของพื้นกับผนังตีกลับ แสดงยังมีพื้นที่พารามิเตอร์ของเงื่อนไขเริ่มต้นที่จำเป็นในการผลิตต่างๆตัวเลขของการตีกลับออกมาจากผนัง ในส่วนที่ 4 การปรับแปรเปลี่ยนเป็นที่รู้จักซึ่งปรับเปลี่ยนแผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นในมาตราที่2 ในแง่ของการยอมรับพิกัดที่เหมาะสม นี้ส่งผลใน threedimensional แผนที่ที่ไม่ใช่เชิงเส้นลดลงในมิติหนึ่งจากระบบเดิม. มาตรา 5 ที่มีการจัดผลการค้นหาตัวเลขสำหรับภูมิภาคของเงื่อนไขเริ่มต้นซึ่งจะส่งผลในจำนวนที่กำหนดของการตีกลับกับผนังในตัวแปรที่ยอมรับที่คล้ายกับที่ของส่วนที่ 3 สำหรับตัวแปรเดิม ต่อมาอีกสองส่วนของการทำงานผลการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเหล่านี้ในรายละเอียดบางอย่างที่มุ่งเน้นการทำงานของการทำแผนที่บนเครื่องบินสองลำซึ่งประกอบด้วยขอบเขตของพื้นที่ที่สนใจ กระดาษสรุปโดยเสนอจำนวนของคำถามเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับปัญหาที่เกิดขึ้น. ก่อนที่จะดำเนินการต่อไปการวิเคราะห์ของเราของปัญหาที่เราได้เพียงแค่อธิบายเราทราบว่ามีข้อ จำกัด กับรูปแบบของการตีกลับของSuperball ที่เราใช้ เป็นที่ยอมรับว่าครั้ง