The Beta distribution has support [

The Beta distribution has support [0,1] and the Normal distribution has support (−∞,∞)(−∞,∞) , so they can't be the same distribution. So I'll interpret the question as asking when Beta(a,b) is approximately Normal, and why.

The approximation holds when a and b are both large. It's better if a and b are approximately equal, since Normal distributions are always symmetric but Beta(a,b) is only symmetric when a=b.

Error in the normal approximation to the beta distribution
discusses the quality of the approximation in some examples, and a transformation to improve the approximation.

But why does asymptotic Normality hold when the parameters a and b grow? There are several ways to prove the result. One way to see it intuitively (which can also be turned into a rigorous proof) is to use representation and the delta method.

Let a and b be large, and for simplicity assume they are integers. We can represent a Beta(a,b) r.v. as G/(G+H), where G~Gamma(a) and H~Gamma(b), with G and H independent (here a and b are the convolution parameters of the Gammas, and the scale parameter is 1). We can represent G as the sum of a i.i.d. Exponential r.v.s and H as the sum of b i.i.d. Exponential r.v.s. The usual Central Limit Theorem gives that G and H are approximately Normal, and then the delta method shows that the Beta is also approximately Normal.v

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การกระจาย Beta มีการสนับสนุน [0,1] และการกระจายปกติมีการสนับสนุน (-∞, ∞) (- ∞, ∞) ดังนั้นพวกเขาจึงไม่สามารถกระจายเดียวกัน ดังนั้นฉันจะตีความคำถามเป็นถามว่าเบต้า (A, B) จะอยู่ที่ประมาณปกติและทำไม. ประมาณถือเมื่อ A และ B มีทั้งขนาดใหญ่ มันจะดีกว่าถ้า A และ B มีค่าเท่ากันโดยประมาณเนื่องจากการแจกแจงปรกติอยู่เสมอสมมาตร แต่ Beta (A, B) เป็นเพียงสมมาตรเมื่อ A = ข. ข้อผิดพลาดในการประมาณปกติที่จะกระจายเบต้ากล่าวถึงคุณภาพของการประมาณในตัวอย่างบางส่วน และการเปลี่ยนแปลงในการปรับปรุงประมาณ. แต่ทำไมไม่ asymptotic Normality ถือเมื่อพารามิเตอร์ A และ B เติบโต? มีหลายวิธีที่จะพิสูจน์ผลที่ได้เป็น วิธีการหนึ่งที่จะเห็นมันสังหรณ์ใจ (ซึ่งยังสามารถจะกลายเป็นหลักฐานอย่างเข้มงวด) คือการใช้วิธีการและตัวแทนของเดลต้า. ให้ A และ B จะมีขนาดใหญ่และความเรียบง่ายถือว่าพวกเขาเป็นจำนวนเต็ม เราสามารถเป็นตัวแทนของเบต้า (A, B) RV เป็น G / (G + H), ขณะที่ g ~ แกมมา (ก) และ H ~ แกมมา (ข) กับ G และ H อิสระ (ที่นี่และ b เป็นพารามิเตอร์ม้วน gammas และพารามิเตอร์ขนาดคือ 1) เราสามารถเป็นตัวแทนของ G เป็นผลรวมของ IID RVs ชี้แจงและ H เป็นผลรวมของข IID เอกที่ rvs ปกติเซ็นทรัล จำกัด ทฤษฎีบทที่จะช่วยให้ g และ h ประมาณปกติแล้ววิธีเดลต้าแสดงให้เห็นว่าเบต้ายังเป็นปกติประมาณ V

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เบต้ากระจายได้สนับสนุน [ 0.1 ] และการแจกแจงปกติมีการสนับสนุน ( −∞∞ , ) ( −∞∞ , ) จึงไม่สามารถกระจายเหมือนกัน ดังนั้นฉันจะแปลคำถามที่ถามเมื่อ Beta ( , B ) ประมาณปกติ และทำไมการประมาณถือเมื่อ A และ B มีทั้งขนาดใหญ่ มันจะดีกว่าถ้า A และ B เป็นประมาณเท่ากับเนื่องจากการแจกแจงปกติมักจะสมมาตรแต่เบต้า ( a , b ) เป็นเพียงสมมาตรเมื่อ = Bข้อผิดพลาดในการประมาณปกติการแจกแจงเบต้ากล่าวถึงคุณภาพของการประมาณค่าในตัวอย่างบางส่วนและการเปลี่ยนแปลงเพื่อปรับปรุงการประมาณแต่ทำไมเฉลี่ยปกติค้างเมื่อพารามิเตอร์ a และ b เติบโต ? มีหลายวิธีที่จะพิสูจน์ผล วิธีหนึ่งที่จะเห็นมันสังหรณ์ใจ ( ซึ่งยังสามารถกลายเป็นหลักฐานที่เคร่งครัดเพื่อใช้เป็นตัวแทนและเดลต้า วิธีให้ A และ B เป็นขนาดใหญ่และความเรียบง่ายถือว่าพวกเขาเป็นจำนวนเต็ม . เราสามารถเป็นตัวแทนของเบต้า ( a , b ) รถเป็น g / ( G + H ) โดยที่ G ~ แกมม่า ( Gamma ) และ H ~ ( b ) G และ H อิสระ ( ที่นี่ A และ B เป็นขดพารามิเตอร์ของ gammas และพารามิเตอร์แสดงสเกล คือ 1 ) เราสามารถเป็นตัวแทนของ G เป็นผลรวมของ i.i.d. ชี้แจง r.v.s และ h เป็นผลรวมของข i.i.d. ชี้แจง r.v.s. ทฤษฎีบทจำกัดปกติให้ G และ H ซึ่งปกติแล้ว เดลต้า วิธี พบว่า เบต้าก็ประมาณปกติ วี