In this chapter we turn our attenti

In this chapter we turn our attention to exact solutions of polynomial equations.
The Babylonians used tables of values of n
3
+ n to find numerical solutions of easy
cubic equations, however the Greeks around the time of Euclid became obsessed with
exactness. Largely due to the dominant influence of Euclid’s Elements there was a
great interest in exact solutions up to the proof by Abel and Galois of the impossibility
of such solutions in general. In the first few sections of this chapter we review some of
the history of exact solutions. A good overview of this history is included in B.L van
der Waerden’s A History of Algebra.
4.1 Solutions of Quadratic Equations
Although Euclid, in keeping with the philosophy of his time, rejected all numbers
he still indirectly considered quadratic equations. His version of the solution of the
quadratic equation ax + x
2
= b
2
is the geometric theorem:
If a straight line be bisected and a straight line be added to it in a straight
line, the rectangle contained by the whole (with the added straight line) and
the added straight line together with the square on the half is equal to the
square on the straight line made up of the half and the added straight line.
Essentially this is completing the square

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในบทนี้ เราหันเหความสนใจไปแก้ปัญหาที่แน่นอนของพหุนามสมการ
Babylonians ที่ใช้ตารางค่าของ n
3
n เพื่อค้นหาคำตอบเป็นตัวเลขของง่าย
สมการลูกบาศก์ แต่ กรีกรอบเวลาของยุคลิดเป็นหลังด้วย
ไป ส่วนใหญ่เนื่องจากอิทธิพลหลักขององค์ประกอบของยุคลิด มีการ
ในโซลูชั่นที่แน่นอนได้พิสูจน์โดย Abel Galois ของที่เป็นไปได้ทำ
โซลูชั่นดังกล่าวโดยทั่วไป ในสามส่วนแรกของบทนี้ เราทบทวนบาง
ประวัติของโซลูชั่นที่แน่นอน ภาพรวมดีประวัติเหล่านี้จะรวมอยู่ในตู้ B.L
der Waerden A ประวัติของพีชคณิต
4.1 แก้ปัญหาสมการกำลังสอง
แม้ว่ายุคลิด เน้นปรัชญาของเวลา ปฏิเสธตัวเลขทั้งหมด
เขายังอ้อมถือว่าสมการกำลังสอง โซลูชันของรุ่นของเขา
สมการกำลังสอง ax x
2
= b
2
เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิต:
ถ้าเป็น bisected เป็นเส้นตรง และเส้นตรงจะเพิ่มลงในตรง
บรรทัด สี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ทั้งหมด (มีเพิ่มเส้นตรง) และ
เส้นเพิ่มกับสแควร์บนครึ่งตัวจะเท่ากับ
สแควร์บนเส้นขึ้นครึ่งตัว แล้วการเพิ่มตรงบรรทัด
หลักนี้เป็นสองสมบูรณ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในบทที่เราหันความสนใจของเราในการแก้ปัญหาที่แท้จริงของสมการพหุนามนี้
บาบิโลเนียใช้ตารางของค่าของ n
3
+ n เพื่อค้นหาวิธีการเชิงตัวเลขของง่าย
ลูกบาศก์สม แต่ชาวกรีกในช่วงเวลาของยุคลิดกลายเป็นหมกมุ่นอยู่กับ
ความถูกต้อง ส่วนใหญ่เนื่องมาจากอิทธิพลของ Euclid 's องค์ประกอบมี
ความสนใจอย่างมากในการแก้ปัญหาที่แน่นอนขึ้นอยู่กับหลักฐานโดยอาเบลลัวส์และเป็นไปไม่ได้
ในการแก้ปัญหาดังกล่าวโดยทั่วไป ในส่วนแรกของบทนี้เราจะตรวจสอบบางส่วนของ
ประวัติศาสตร์ของการแก้ปัญหาที่ถูกต้อง ภาพรวมที่ดีของประวัติศาสตร์นี้จะรวมอยู่ใน BL แวน
เดอร์ Waerden ประวัติของพีชคณิต
4.1 โซลูชั่นของสมการกำลังสอง
แม้ว่ายุคลิดในการรักษาด้วยปรัชญาของเวลาของเขาปฏิเสธตัวเลขทั้งหมด
ที่เขายังคงเป็นทางอ้อมสมการกำลังสอง รุ่นของเขาของการแก้ปัญหาของ
ขวานสมการกำลังสอง + x
2
= ข
2
เป็นทฤษฎีบทเรขาคณิต:
ถ้าเป็นเส้นตรงได้รับการก่อตัวและเป็นเส้นตรงจะเพิ่มลงไปในตรง
เส้นสี่เหลี่ยมที่มีอยู่โดยรวม (โดยมีการเพิ่ม เส้นตรง) และ
เส้นตรงเข้าด้วยกันกับตารางครึ่งเท่ากับ
สี่เหลี่ยมที่อยู่บนเส้นตรงที่สร้างขึ้นจากครึ่งและเส้นตรงที่เพิ่ม
เป็นหลักนี้จะเสร็จสิ้นตาราง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในบทนี้เราหันความสนใจของเราที่จะแน่นอนคำตอบของสมการพหุนาม .
ชาวบาบิโลนใช้ตารางค่าของ n
3
n เพื่อหาผลเฉลยเชิงตัวเลขของสมการลูกบาศก์ง่าย
แต่กรีกรอบเวลาของยุคลิดกลายเป็นหมกมุ่นกับ
อย่างถูกต้อง ส่วนใหญ่เนื่องจากการเด่นอิทธิพลขององค์ประกอบของยูคลิดมี
ความสนใจในโซลูชั่นที่ตรงกับขึ้นเพื่อพิสูจน์โดย Abel ของกาลัวและเป็นไปไม่ได้
เช่นโซลูชั่นทั่วไป ในไม่กี่ส่วนแรกของบทนี้เราจะตรวจสอบบางส่วนของ
ประวัติแน่นอน โซลูชั่น ภาพรวมที่ดีของประวัติศาสตร์นี้จะรวมอยู่ใน B . l รถตู้พยาบาล เดอ waerden ประวัติของพีชคณิต .
4.1 แก้ไขสมการกําลังสอง
ถึงแม้ว่าซิดนีย์ในการรักษาด้วยปรัชญาของเวลาที่เขาปฏิเสธตัวเลขทั้งหมด
เขาทางอ้อมพิจารณาสมการ . เขารุ่นของผลเฉลยของสมการกําลังสอง ax
x
2
= b
2

ถ้าเป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิต : เส้นตรงเป็นเส้นตรงเป็นเปอร์เซ็นต์และเพิ่มให้มันเป็นเส้นตรง
, สี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ โดยทั้งหมด ( เป็นเส้นตรง ) และ
เป็นเส้นตรงพร้อมกับตารางในครึ่งเท่ากับ
ตารางบนเส้นตรงที่สร้างขึ้นจากครึ่งปีและเพิ่มบรรทัดตรง หลักนี้คือการกรอกตาราง