(active tab)CoauthorsPDFSourceproof

(active tab)
Coauthors
PDF
Source
proof of second isomorphism theorem for rings

In the context of rings, the Second Isomorphism Theorem can be phrased as follows:
If A is an ideal in a ring R and S is a subring of R, then
S+A is a subring of R,
A is an ideal in S+A,
S∩A is an ideal in S,
There is an isomorphism S/(S∩A)≅(S+A)/A.
It should be emphasized that the proof of this is exactly the same as the proof of the corresponding statement for groups. Again, the main idea is to use the First Isomorphism Theorem. (It is quite routine to verify the above statements concerning what’s a subring of what and what’s an ideal in what. The heart of the matter is the isomorphism, and that is what we are up to here.)
Consider the mapping f:S→(S+A)/A where f(s)=s+A. Note that this is a ring homomorphism. Furthermore, it is surjective (or “onto”): If (s+a)+A is an arbitrary element of (S+A)/A with s∈S and a∈A, then f(s)=s+A=s+(a+A)=(s+a)+A.
Consequently, the First Isomorphism Theorem tells us that
S/ker(f)≅(S+A)/A, where ker(f) denotes the kernel of f.
So it all comes down to showing that ker(f)=S∩A.
Let x∈ker(f). Then A=f(x)=x+A. So x∈A. Moreover, since ker(f)⊆S, we have x∈S. Thus x∈S∩A and so ker(f)⊆S∩A.
Conversely, suppose x∈S∩A. Then x∈A. So f(x)=x+A=A. That is, x∈ker(f) and so S∩A⊆ker(f).
Therefore, ker(f)=S∩A.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(แท็บปัจจุบัน)
Coauthors
รูปแบบไฟล์ PDF ที่มาพิสูจน์ทฤษฎีบทมอร์ฟที่สองสำหรับแหวนในบริบทของแหวนที่สองมอร์ฟทฤษฎีบทสามารถphrased ดังนี้ถ้าเป็นอุดมคติในแหวนR และ S เป็น subring ของ R แล้วS + เป็น subring การวิจัยที่เป็นอุดมคติในS + A, S∩Aเหมาะใน S, นอกจากนี้มอร์ฟ S / (S∩A) ≅ (S + A) / A. มันควรจะเน้นย้ำว่า ข้อพิสูจน์เรื่องนี้เป็นสิ่งเดียวกับหลักฐานของคำสั่งที่สอดคล้องกันสำหรับกลุ่ม อีกครั้งที่ความคิดหลักคือการใช้มอร์ฟแรกทฤษฎีบท (มันเป็นประจำมากทีเดียวที่จะตรวจสอบข้อความข้างต้นเกี่ยวกับสิ่งที่เป็น subring ของสิ่งที่และสิ่งที่เหมาะในสิ่งที่หัวใจของเรื่องคือมอร์ฟและนั่นคือสิ่งที่เราจะขึ้นไปที่นี่..) พิจารณาฉแผนที่: S → (S + A) / A ที่ f (s) = s + A ทราบว่าเป็นแหวน homomorphism นอกจากนี้ยังเป็น surjective (หรือ "ลง"): ถ้า (s + ก) + A เป็นองค์ประกอบโดยพลการของ (S + A) / A กับs∈Sและa∈Aแล้ว f (s) = s + A = s + (A + A) = (s + ก) + A. ดังนั้นมอร์ฟแรกทฤษฎีบทบอกเราว่าS / เคอร์ (ฉ) ≅ (S + A) / A, ที่เคอร์ (ฉ) หมายถึงเมล็ดในของ f . ดังนั้นมันทั้งหมดลงมาเพื่อแสดงให้เห็นว่าเคอร์ (ฉ) = S∩A. ให้x∈ker (ฉ) จากนั้น A = f (x) = x + A ดังนั้นx∈A นอกจากนี้ตั้งแต่เคอร์ (ฉ) ⊆Sเรามีx∈S ดังนั้นx∈S∩Aและเคอร์ (ฉ) ⊆S∩A. ตรงกันข้ามสมมติว่าx∈S∩A จากนั้นx∈A ดังนั้น f (x) = x + A = a นั่นคือx∈ker (ฉ) และอื่น ๆ S∩A⊆ker (ฉ). ดังนั้นเคอร์ (ฉ) = S∩A

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( ใช้งานแท็บ )



coauthors PDF แหล่งพิสูจน์ทฤษฎีบทสมสัณฐานสำหรับ 2 วง

ในบริบทของแหวน สองก้อนทฤษฎีบทสามารถ phrased ดังนี้
ถ้าเป็นอุดมคติในแหวน r และ s เป็น subring R ,
S เป็น subring ของ R ,
a เป็นอุดมคติใน S ,
s ∩เป็นอุดมคติใน S
มีก้อน / s ( s ∩ ) ≅ ( S )
/ aมันควรจะเน้นว่า หลักฐานนี้จะเหมือนกันกับหลักฐานของงบที่สอดคล้องกันสำหรับกลุ่ม อีกครั้ง , ความคิดหลักคือการใช้ครั้งแรกก้อนทฤษฎีบท ( มันค่อนข้างรูทีนเพื่อตรวจสอบข้อความข้างต้นเกี่ยวกับอะไร subring ของสิ่งที่และสิ่งที่เป็นอุดมคติในอะไร หัวใจของเรื่องคือ แรงงาน และนั่นคือสิ่งที่เราได้ถึง )
ที่นี่เลยพิจารณาแผนที่ F : S → keyboard - key - name ( s ) ที่ F ( s ) = S . โปรดทราบว่านี้เป็นแหวน homomorphism . นอกจากนี้ จะทั่วถึง ( หรือ " ลง " ) : ถ้า ( S ) เป็นองค์ประกอบหนึ่งของ ( s ) / A กับ S ∈ S และ∈ แล้ว F ( s ) = s = S ( a ) = ( s ) a .
จากนั้น ก่อนก้อนทฤษฎีบอกเราว่า
/ s เคอร์ ( F ) ≅ ( s ) / ที่เคอร์ ( F ) แสดงเคอร์เนลของ F .
มันทั้งหมดลงมาเพื่อแสดงเคอร์ ( F ) = S
∩ .ให้ x ∈เคอร์ ( F ) แล้ว = f ( x ) = x . ดังนั้น x ∈ . ยิ่งไปกว่านั้น เคอร์ ( F ) ⊆ s เรามี x ∈ S x S จึง∈∩และดังนั้นเคอร์ ( F ) ⊆ S ∩ .
ในทางกลับกันสมมติว่า x ∈ S ∩ . แล้ว x ∈ดังนั้น f ( x ) = A x = a ที่ x ∈เคอร์ ( F ) และ S ∩เป็น⊆เคอร์ ( F )
ดังนั้นเคอร์ ( F ) = S ∩ .