Proof #64And yet one more proof by

Proof #64
And yet one more proof by Floor van Lamoen; in a quintessentially mathematical spirit, this time around Floor reduces the general statement to a particular case, that of a right isosceles triangle. The latter has been treated by Socrates and is shown independently of the general theorem.



FH divides the square ABCD of side a + b into two equal quadrilaterals, ABFH and CDHF. The former consists of two equal triangles with area ab/2, and an isosceles right triangle with area c²/2. The latter is composed of two isosceles right triangles: one of area a²/2, the other b²/2, and a right triangle whose area (by the introductory remark) equals ab! Removing equal areas from the two quadrilaterals, we are left with the identity of areas: a²/2 + b²/2 = c²/2.

The idea of Socrates' proof that the area of an isosceles right triangle with hypotenuse k equals k²/4, has been used before, albeit implicitly. For example, Loomis, #67 (with a reference to the 1778 edition of E. Fourrey's Curiosities Geometrique [Loomis' spelling]) relies on the following diagram:



Triangle ABC is right at C, while ABD is right isosceles. (Point D is the midpoint of the semicircle with diameter AB, so that CD is the bisector of the right angle ACB.) AA' and BB' are perpendicular to CD, and AA'CE and BB'CF are squares; in particular EF ⊥ CD.

Triangles AA'D and DB'B (having equal hypotenuses and complementary angles at D) are congruent. It follows that AA' = B'D = A'C = CE = AE. And similar for the segments equal to B'C. Further, CD = B'C + B'D = CF + CE = EF.

Area(ADBC) = Area(ADC) + Area(DBC)
Area(ADBC) = CD×AA'/2 + CD×BB'/2
Area(ADBC) = CD×EF/2.
On the other hand,

Area(ABFE) = EF×(AE + BF)/2
Area(ADBC) = CD×AA'/2 + CD×BB'/2
Area(ADBC) = CD×EF/2.
Thus the two quadrilateral have the same area and ΔABC as the intersection. Removing ΔABC we see that

Area(ADB) = Area(ACE) + Area(BCF).

The proof reduces to Socrates' case, as the latter identity is equivalent to c²/4 = a²/4 + b²/4.

More recently, Bùi Quang Tuån came up with a different argument:



From the above, Area(BA'D) = Area(BB'C) and Area(AA'D) = Area(AB'C). Also, Area(AA'B) = Area(AA'B'), for AA'||BB'. It thus follows that Area(ABD) = Area(AA'C) + Area(BB'C), with the same consequences.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐาน #64และได้ หลักฐานเพิ่มเติมหนึ่ง โดยชั้นตู้ Lamoen ในวิญญาณ quintessentially คณิตศาสตร์ เวลาชั้นลดงบทั่วไปกับกรณีเฉพาะ ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วด้านขวา หลังได้รับการรักษา โดยโสกราตีส และแสดงเป็นอิสระจากทฤษฎีบททั่วไปFH แบ่ง ABCD ตารางของด้าน + b เป็น 2 เท่ากับ quadrilaterals, ABFH และ CDHF เดิมประกอบด้วยสองสามเหลี่ยมเท่ากับตั้ง ab/2 และเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วทรงตั้ง c²/2 หลังประกอบด้วยสามเหลี่ยมขวาหน้าจั่วทรงสอง: หนึ่งตั้ง a²/2 อื่น ๆ b²/2 และสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีพื้นที่ (โดยเหตุเกริ่น) เท่ากับ ab เอาพื้นที่เท่าจาก quadrilaterals สอง เราจะเหลือไว้กับตัวตนของพื้นที่: a²/2 + b²/2 = c²/2ความคิดของการพิสูจน์ของเขาที่มีการใช้พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากมีหน้าจั่วทรงกับ hypotenuse k เท่ากับ k²/4 ก่อน แม้ว่าที่นัย ตัวอย่าง Loomis, #67 (ด้วยการอ้างอิงถึงรุ่น E. Fourrey ห้องสารภัณฑ์ Geometrique [สะกดของ Loomis] 1778) อาศัยไดอะแกรมต่อไปนี้:สามเหลี่ยม ABC เป็น C, ABD เป็นหน้าจั่วทรงสิทธิ์ (จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของ semicircle มีเส้นผ่าศูนย์กลาง AB เพื่อให้ซีดี bisector ของ ACB มุมขวา) AA' และ BB' จะตั้งฉากกับแผ่นซีดี และ AA'CE และ BB'CF สี่เหลี่ยม ใน CD ⊥ EF เฉพาะสามเหลี่ยม AA จะ DB'B (มี hypotenuses เท่าและมุมมื้อที่ D) มีแผง เป็นไปตาม ' = B จะ = A'C = CE =แอะ และคล้ายคลึงกันสำหรับเซ็กเมนต์ที่เท่ากับ B'C เพิ่มเติม CD = B'C + B จะ = CF + CE = EFArea(ADBC) = Area(ADC) + Area(DBC)Area(ADBC) = AA ซื้อซีดี ' / 2 + CD ซื้อ BB'/ 2Area(ADBC) =ซีดีซื้อ EF/2ในทางตรงข้ามArea(ABFE) = EF ×(AE + BF)/2Area(ADBC) = AA ซื้อซีดี ' / 2 + CD ซื้อ BB'/ 2Area(ADBC) =ซีดีซื้อ EF/2จึง quadrilateral สองได้ตั้งและ ΔABC เดียวกันเป็นสี่แยก เราเอา ΔABC เห็นว่าArea(ADB) = Area(ACE) + Area(BCF)หลักฐานการลดกรณีของโสกราตีส เป็นตัวหลังเท่ากับ c²/4 = a²/4 + b²/4เมื่อเร็ว ๆ นี้ Bùi Tuån ควงมากับอาร์กิวเมนต์ต่าง ๆ:จากข้างบน Area(BA'D) = Area(BB'C) และ Area(AA'D) = Area(AB'C) ยัง Area(AA'B) = Area(AA'B') สำหรับ AA'|| บีบี ' ดังนั้นตามที่ Area(ABD) = Area(AA'C) + Area(BB'C) มีผลเดียวกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐาน # 64
และยังเป็นหนึ่งในหลักฐานเพิ่มเติมโดยชั้นของ Lamoen; ในจิตวิญญาณทางคณิตศาสตร์พลัดบ้านพลัดเมืองเวลาประมาณชั้นนี้จะช่วยลดคำสั่งทั่วไปในกรณีที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เหมาะสม หลังได้รับการรักษาโดยโสกราตีสและแสดงให้เห็นเป็นอิสระจากทฤษฎีบททั่วไป. FH แบ่งตาราง ABCD ด้าน A + B เป็นสอง quadrilaterals เท่ากัน ABFH และ CDHF อดีตประกอบด้วยสองรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากับ AB / 2 และหน้าจั่วสามเหลี่ยมที่เหมาะสมกับพื้นที่c² / 2 หลังประกอบด้วยสองหน้าจั่วสามเหลี่ยมขวา: หนึ่งในพื้นที่รฒร / 2, b²อื่น ๆ / 2 และสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ (โดยตั้งข้อสังเกตเบื้องต้น) เท่ากับ AB! การถอดพื้นที่เท่ากันจากทั้งสอง quadrilaterals เราจะเหลือตัวตนของพื้นที่: รฒร / 2 + b² / 2 = c² / 2. ความคิดของการพิสูจน์โสกราตีสว่าพื้นที่ของหน้าจั่วสามเหลี่ยมที่เหมาะสมกับด้านตรงข้ามมุมฉากเคเท่ากับk² / 4 ได้ถูกนำมาใช้ก่อนแม้ว่าโดยปริยาย ยกตัวอย่างเช่นลูมิส # 67 (ที่มีการอ้างอิงถึง 1,778 ฉบับอีวิทยากร Fourrey ของ Geometrique [สะกดลูมิส ']) อาศัยแผนภาพต่อไปนี้: สามเหลี่ยม ABC เป็นสิทธิที่ C ในขณะที่อับดุลเป็นสิทธิหน้าจั่ว (จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของครึ่งวงกลมมีเส้นผ่าศูนย์กลาง AB เพื่อให้แผ่นซีดีที่เป็นเส้นแบ่งครึ่งของ ACB มุมขวา.) AA และ BB 'จะตั้งฉากกับแผ่นซีดีและ AA'CE และ BB'CF สี่เหลี่ยม; โดยเฉพาะอย่างยิ่ง EF ⊥ซีดี. สามเหลี่ยม AA'D และ DB'B (มี hypotenuses เท่ากันและมุมเสริมที่ D) จะสอดคล้องกัน มันตามที่ AA '= B'D A'C = = = CE AE และที่คล้ายกันสำหรับกลุ่มเท่ากับ B'C นอกจากซีดี = B'C + B'D = CF + CE = EF. พื้นที่ (ADBC) = พื้นที่ (ADC) + พื้นที่ (DBC) พื้นที่ (ADBC) = ซีดี× AA / 2 + ซีดี× BB '/ 2 พื้นที่ (ADBC) = ซีดี× EF / 2. บนมืออื่น ๆพื้นที่ (ABFE) = EF × (AE + อาหารเช้า) / 2 พื้นที่ (ADBC) = ซีดี× AA / 2 + ซีดี× BB '/ 2 พื้นที่ ( ADBC) = × EF ซีดี / 2. ดังนั้นทั้งสองรูปสี่เหลี่ยมมีพื้นที่เดียวกันและΔABCเป็นสี่แยก การถอดΔABCเราจะเห็นว่าพื้นที่ (ADB) = พื้นที่ (ACE) + พื้นที่ (BCF). หลักฐานช่วยลดกรณีโสกราตีสเป็นตัวตนหลังเทียบเท่ากับc² / 4 = รฒร / 4 + b² / 4. เมื่อเร็ว ๆ นี้ Bùi Quang Tuan มากับข้อโต้แย้งที่แตกต่างกันจากข้างต้นพื้นที่(BA'D) = พื้นที่ (BB'C) และพื้นที่ (AA'D) = พื้นที่ (AB'C) นอกจากนี้พื้นที่ (AA'B) = พื้นที่ (AA'B) สำหรับ AA '|| บีบี' มันจึงต่อว่าพื้นที่ (ABD) = พื้นที่ (AA'C) + พื้นที่ (BB'C) ที่มีผลกระทบเหมือนกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หลักฐาน# 64
และอีกหลักฐานชั้น รถตู้ lamoen ; ในจิตวิญญาณทางคณิตศาสตร์เวลาเผื่อส่วนตัว , รอบนี้ชั้นลดงบทั่วไปเฉพาะในกรณี ที่ของขวารูปสามเหลี่ยม . หลังได้รับการรักษาโดยนักปราชญ์ชาวกรีก และเป็นอิสระของทฤษฎีบททั่วไป .



FH แบ่งสี่เหลี่ยม ABCD ด้าน B เป็น 2 เท่า abfh รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและ , cdhf .อดีตประกอบด้วยสองพื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ AB / 2 และสามเหลี่ยมด้านเท่าสามเหลี่ยมด้านขวาที่มีพื้นที่ c พนักงานขาย / 2 หลังจะประกอบด้วยสองหน้าจั่วสามเหลี่ยมขวาหนึ่งพื้นที่พนักงานขาย / พนักงานขาย / B 2 , อื่น ๆ 2 และเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีพื้นที่ ( โดยความเห็นเบื้องต้น ) มีค่าเท่ากับ AB ! เอาพื้นที่เท่ากันจากทั้งสองรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เหลือ ด้วยเอกลักษณ์ของพื้นที่ : พนักงานขาย / พนักงานขาย 2 B / 2 = c

พนักงานขาย / 2แนวคิดของโสเครติสพิสูจน์ว่าพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่าสามเหลี่ยมด้านขวาด้วยด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ k k พนักงานขาย / 4 มาใช้ก่อน แต่ไปโดยปริยาย ตัวอย่างเช่น ลูมิส # 67 ( อ้างอิงจากเกมส์รุ่นของ E . fourrey วิทยากร geometrique [ ลูมิส ' สะกด ) อาศัยแผนภาพต่อไปนี้ :



สามเหลี่ยม ABC เป็นขวาที่ C ในขณะที่อับดุลถูกหน้าจั่ว .( จุด D คือจุดกึ่งกลางของครึ่งวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง AB เพื่อให้แผ่นซีดีเป็นเส้นแบ่งครึ่งของ ACB . มุมขวา ) AA ' บีบี ' ตั้งฉากกับซีดีและ aa'ce bb'cf และเป็นสี่เหลี่ยม โดยเฉพาะ EF ⊥ซีดี

สามเหลี่ยมและ AA จะ db'b ( มี hypotenuses เท่ากันและมุมประกอบมุมฉากที่ D ) ที่สอดคล้องต้องกัน มันเป็นไปตามที่ AA ' = B จะ a'c CE = = = เอ และที่คล้ายกันสำหรับกลุ่มเท่ากับ b'c. เพิ่มเติมซีดี = b'c B จะ CF CE = EF =

= พื้นที่ ( adbc ) พื้นที่ ( ADC ) พื้นที่ ( DBC )
พื้นที่ ( adbc ) = ซีดี× AA ' ' × CD / BB / 2 พื้นที่ 2
( adbc ) = EF / ซีดี 2 × .

บนมืออื่น ๆ พื้นที่ ( abfe ) = EF × ( เอ BF ) 2
/ พื้นที่ ( adbc ) = ซีดี× AA ' ' × CD / BB / 2 พื้นที่ 2
( adbc ) = EF / ซีดี 2 × .
ดังนั้นทั้งสองรูปสี่เหลี่ยมมีพื้นที่เดียวกันและΔ ABC เป็นสี่แยก ลบΔ ABC เราเห็น

พื้นที่ ( ADB ) = พื้นที่ ( ACE ) พื้นที่ ( BCF ) .

หลักฐานที่ช่วยลดคดีโสเครติสเป็นตัวหลังเท่ากับ c พนักงานขาย / 4 = 4 b พนักงานขาย / พนักงานขาย / 4

b ùเมื่อเร็วๆ นี้ ผม กวาง มธ. ปี N มาด้วยเหตุผลที่แตกต่างกัน :



จากข้างต้น พื้นที่ ( BA ) = ( พื้นที่ bb'c ) และพื้นที่ ( AA ) = พื้นที่ ( ab'c ) นอกจากนี้ พื้นที่ ( aa'b ) = พื้นที่ ( aa'b ' ) | | AA ' บีบี ' ดังนั้นตามพื้นที่ ( ABD ) = พื้นที่ ( aa'c ) พื้นที่ ( bb'c ) กับผลเดียวกัน