Proof Involving mod 5Date: 10/27/20

Proof Involving mod 5

Date: 10/27/2002 at 15:35:58
From: Marjorie Preston
Subject: Proof involving mod 5

I have a Discrete Math assignment, to prove the following:

Prove n^2 mod 5 = 1 or 4 when n is an integer not divisible by 5.

I can see that it's true, but don't know how to prove it. I know that
the possible remainders for mod 5 are 0-4; I know that multiples of 5
all end in 0 or 5... It's interesting that the only squares less than
5 are 0, 1, and 4; and 5 divides 0, so we're left with 1 and 4....
What's the formula I'm missing? Does it have anything to do with
primes?

Any insight would be appreciated.
Thanks!

Date: 10/27/2002 at 19:49:11
From: Doctor Paul
Subject: Re: Proof involving mod 5

You've already done the problem...

Given an integer n, there are five possibilities:

n = 0 mod 5
n = 1 mod 5
n = 2 mod 5
n = 3 mod 5
n = 4 mod 5

If n = 0 mod 5, then 5 divides n. We discard this case since it is
the noted exception given above.

Now we proceed just as you noted above:

if n = 1 mod 5, then n^2 = 1^1 = 1 mod 5

if n = 2 mod 5, then n^2 = 2^2 = 4 mod 5

if n = 3 mod 5, then n^2 = 3^2 = 9 = 4 mod 5

if n = 4 mod 5, then n^2 = 4^2 = 16 = 1 mod 5

Thus when 5 does not divide n, n^2 = 1 mod 5 or n^2 = 4 mod 5.

That's all there is to it...

I hope this helps. Please write back if you'd like to talk about
this some more.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5วัน: 10/27/2002 ที่ 15:35:58จาก: Marjorie เพรสตันเรื่อง: หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5มีการมอบหมายคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง การพิสูจน์ต่อไปนี้:พิสูจน์ n ^ 2 mod 5 = 1 หรือ 4 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่หารได้ ด้วย 5 ไม่จะเห็นว่า มันเป็นความจริง แต่ไม่ทราบวิธีที่จะพิสูจน์มันได้ ฉันรู้แล้วน่า remainders เป็นไปได้สำหรับ mod 5 มี 0-4 ผมรู้ว่าผลคูณของ 5 ทั้งหมดจบใน 0 หรือ 5 ... เป็นที่น่าสนใจที่เดียวสี่เหลี่ยมน้อยกว่า 5 คือ 0, 1 และ 4 และ 5 หาร 0 ดังนั้นเราจะเหลือ 1 และ 4 ...สูตรที่ผมขาดหายไปคืออะไร มีอะไรที่จะทำด้วยไหม โรงแรมไพรม์หรือไม่ข้อมูลเชิงลึกจะนิยม ขอบคุณวัน: 10/27/2002 ที่ 19:49:11จาก: หมอ Paulหัวข้อ: Re: หลักฐานเกี่ยวข้องกับ mod 5คุณได้ดำเนินการปัญหา...ให้ n เป็นจำนวนเต็ม มีโอกาส 5: n = 0 mod 5 n = 1 mod 5 n = 2 mod 5 n = 3 mod 5 n = 4 mod 5ถ้า n = 0 n แบ่ง mod 5 แล้ว 5 เรายกเลิกกรณีและปัญหานี้เนื่องจากเป็น ยกเว้นตามที่กำหนดข้างต้นเราดำเนินการเป็นคุณไว้ด้านบน: ถ้า n = 1, mod 5 แล้ว n ^ 2 = 1 ^ 1 = 1 mod 5 ถ้า n = 2 mod 5 แล้ว n ^ 2 = 2 ^ 2 = 4 mod 5 ถ้า n = 3 mod 5 แล้ว n ^ 2 = 3 ^ 2 = 9 = 4 mod 5 ถ้า n = 4 mod 5 แล้ว n ^ 2 = 4 ^ 2 = 16 = 1 mod 5ดังนั้น เมื่อ 5 ไม่แบ่ง n, n ^ 2 = 1 mod 5 หรือ n ^ 2 = 4 mod 5นั่นคือทั้งหมดมีไป...ฉันหวังว่า นี้ช่วย กรุณาเขียนกลับถ้า คุณต้องการพูดคุยเกี่ยวกับ นี้บ้าง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5 วันที่: 2002/10/27 ที่ 15:35:58 จาก: มาร์จอรี่เพรสตันเรื่องหลักฐานที่เกี่ยวข้องกับmod 5 ฉันมีการกำหนดคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องเพื่อพิสูจน์ต่อไปนี้: พิสูจน์ n ^ 2 สมัย 5 = 1 หรือ 4 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มไม่หารด้วย 5. ฉันจะเห็นว่ามันเป็นความจริง แต่ไม่ทราบวิธีการที่จะพิสูจน์มัน ฉันรู้ว่าที่เหลือเป็นไปได้สำหรับ 5 สมัย 0-4; ฉันรู้ว่าหลาย 5 สิ้นสุดทั้งหมดใน 0 หรือ 5 ... มันน่าสนใจว่าสแควร์เพียงน้อยกว่า5 0, 1 และ 4; และแบ่ง 5 0 ดังนั้นเราจะเหลือ 1 และ 4 .... อะไรสูตรฉันหายไป? มันมีอะไรที่จะทำอย่างไรกับ? เฉพาะข้อมูลเชิงลึกใดๆ ที่จะได้รับการชื่นชม. ขอบคุณ! วันที่: 2002/10/27 ที่ 19:49:11 จาก: หมอพอลเรื่อง: Re: หลักฐานที่เกี่ยวข้องกับ mod 5 คุณได้ทำมาแล้วปัญหาที่เกิดขึ้น .. ป.ร. ให้ไว้จำนวนเต็ม n มีห้าเป็นไปได้: n = 0 5 mod n = 1 สมัย 5 n = 2 สมัย 5 n = 3 สมัย 5 n = 4 สมัย 5 ถ้า n = 0 สมัยที่ 5 แล้ว 5 แบ่ง n เราทิ้งกรณีนี้เพราะมันเป็นข้อยกเว้นที่ระบุไว้ดังกล่าวข้างต้น. ตอนนี้เราจะดำเนินการเช่นเดียวกับที่คุณระบุไว้ข้างต้น: ถ้า n = 1 สมัยที่ 5 แล้ว n ^ 2 = 1 ^ 1 = 1 สมัย 5 ถ้า n = 2 สมัยที่ 5 แล้ว n ^ 2 = 2 ^ 2 = 4 สมัย 5 ถ้า n = 3 สมัยที่ 5 แล้ว n ^ 2 = 3 ^ 2 = 9 = 4 สมัย 5 ถ้า n = 4 สมัยที่ 5 แล้ว n ^ 2 = 4 ^ 2 = 16 = 1 mod 5 ดังนั้นเมื่อ 5 ไม่ได้แบ่ง n, n ^ 2 = 1 สมัย 5 หรือ n ^ 2 = 4 สมัย 5. นั่นคือทั้งหมดที่มีให้มัน ... ฉันหวังว่านี้จะช่วยให้ กรุณาเขียนกลับถ้าคุณต้องการที่จะพูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้บางมากขึ้น