where n is a given positive nonsqua

where n is a given positive nonsquare integer and integer solutions are sought for x and y. In Cartesian coordinates, the equation has the form of a hyperbola; solutions occur wherever the curve passes through a point whose x and y coordinates are both integers, such as the trivial solution with x = 1 and y = 0. Joseph Louis Lagrange proved that, as long as n is not a perfect square, Pell's equation has infinitely many distinct integer solutions. These solutions may be used to accurately approximate the square root of n by rational numbers of the form x/y.

This equation was first studied extensively in India, starting with Brahmagupta, who developed the chakravala method to solve Pell's equation and other quadratic indeterminate equations in his Brahma Sphuta Siddhanta in 628, about a thousand years before Pell's time. His Brahma Sphuta Siddhanta was translated into Arabic in 773 and was subsequently translated into Latin in 1126. Bhaskara II in the 12th century and Narayana Pandit in the 14th century both found general solutions to Pell's equation and other quadratic indeterminate equations. Solutions to specific examples of the Pell equation, such as the Pell numbers arising from the equation with n = 2, had been known for much longer, since the time of Pythagoras in Greece and to a similar date in India. The name of Pell's equation arose from Leonhard Euler's mistakenly attributing Lord Brouncker's solution of the equation to John Pell.[1]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่ได้รับและการแก้ปัญหาที่ nonsquare จำนวนเต็มจะขอสำหรับ x และ y ในพิกัดคาร์ทีเซียนสมการมีรูปแบบของ hyperbola; การแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นได้ทุกที่โค้งผ่านจุดที่มี x และ y พิกัดเป็นจำนวนเต็มทั้งสองเช่นการแก้ปัญหาที่น่ารำคาญกับ x = 1 และ y = 0 โจเซฟหลุยส์ Lagrange พิสูจน์ให้เห็นว่าตราบใดที่ n ไม่ได้เป็นตารางที่สมบูรณ์แบบสมการของเพลล์ มีหลายโซลูชั่นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันอย่างมากมาย โซลูชั่นเหล่านี้อาจถูกนำมาใช้อย่างถูกต้องใกล้เคียงกับรากที่สองของ n โดยตัวเลขเหตุผลของรูปแบบ x / y ที่. สมการนี้ได้รับการศึกษาครั้งแรกอย่างกว้างขวางในประเทศอินเดียที่เริ่มต้นด้วย Brahmagupta ผู้พัฒนาวิธีการ chakravala ในการแก้สมการเพลล์และสมการไม่แน่นอนอื่น ๆ กำลังสอง ในพระพรหมของเขา Sphuta Siddhanta ใน 628 ประมาณพันกว่าปีก่อนที่เวลาของเพลล์ พระพรหมของเขา Sphuta Siddhanta ได้รับการแปลเป็นภาษาอาหรับใน 773 และต่อมาได้รับการแปลเป็นภาษาละตินใน 1126. Bhaskara ครั้งที่สองในศตวรรษที่ 12 และพระนารายณ์บัณฑิตในศตวรรษที่ 14 ทั้งสองพบว่าการแก้ปัญหาทั่วไปที่จะสมเพลล์และสมการกำลังสองไม่แน่นอนอื่น ๆ การแก้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงของสมเพลล์เช่นเพลล์ตัวเลขที่เกิดขึ้นจากสมกับ n = 2 ได้รับการรู้จักกันนานตั้งแต่เวลาของ Pythagoras ในกรีซและวันที่ที่คล้ายกันในประเทศอินเดีย ชื่อของสมการของเพลล์เกิดขึ้นจาก Leonhard ออยเลอร์เข้าใจผิดเจตนารมณ์แก้ปัญหาพระเจ้า Brouncker ของสมการที่จอห์นเพลล์. [1]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มจำนวนเต็มให้บวก nonsquare และโซลูชั่นหา x และ y ในพิกัด สมการมีรูปแบบของไฮเพอร์โบลา ; โซลูชั่นเกิดขึ้นทุกที่ที่โค้งผ่านจุดที่มีพิกัด X และ Y มีทั้งจำนวนเต็ม เช่นโซลูชั่นเล็กน้อยกับ x = 1 และ y = 0 โจเซฟหลุยส์ลากรองจ์ได้พิสูจน์แล้วว่า ตราบใดที่ N ไม่ใช่ตารางที่สมบูรณ์แบบสมการ เพล มีจำนวนที่แตกต่างกันเป็นโซลูชั่น โซลูชั่นเหล่านี้อาจจะถูกใช้อย่างถูกต้องประมาณรากที่สองของ n โดยสรุปตัวเลขของรูปแบบ X / Y .

สมการนี้เป็นครั้งแรกที่การศึกษาอย่างกว้างขวางในอินเดีย เริ่มจากพราหมคุปตะ ,ที่พัฒนา chakravala วิธีการแก้สมการสมการเพลเนทอื่นกำลังสองในพรหม sphuta siddhanta 628 ประมาณพันปีก่อนเพล เวลา เขาพระพรหม sphuta siddhanta ถูกแปลเป็นภาษาอาหรับใน 773 และต่อมาได้แปลเป็นภาษาละตินที่ .bhaskara II ในศตวรรษที่ 12 และพระนารายณ์บัณฑิตในศตวรรษที่ 14 ที่พบทั่วไปทั้งโซลูชั่นเพลเนทอื่นและสมการสมการกำลังสอง . โซลูชั่นให้ตัวอย่างเฉพาะของเพลล์สมการ เช่น เพลตัวเลขที่เกิดขึ้นจากสมการด้วย n = 2 , เคยรู้จักอีกต่อไป เนื่องจากเวลาของปีธากอรัสในกรีซและวันที่ที่คล้ายกันในอินเดียชื่อของสมการ เพล เกิดขึ้นจาก เลออนฮาร์ด ออยเลอร์เป็นผิดพลาดของพระเจ้า brouncker และโซลูชั่นของสมการ จอห์น [ 1 ]
เพล