Conversely, we assume that I satisf

Conversely, we assume that I satisfies (I3) and (I4). Let x ∈ X , a ∈ I . Then x ∗ (a ∗ a) = x ∗ 1 = 1 ∈ I , by (I3). By (I4), x ∗ a ∈ I , i.e., (I1) holds. Let x ∈ X, a, b ∈ I . Then (a ∗ x) ∗ (a ∗ x) = 1 ∈ I . By (I4), (a ∗ x) ∗ x ∈ I . Now, ((a ∗ x) ∗ x) ∗ ((b ∗ (a ∗ x)) ∗ (b ∗ x)) = 1, by Proposition 3.10. Hence (a ∗ x) ∗ x ≤ (b ∗ (a ∗ x)) ∗ (b ∗ x). Using Lemma 3.6, we have (b ∗ (a ∗ x)) ∗ (b ∗ x) ∈ I . Since b ∈ I , by (I4), we obtain (b ∗ (a ∗ x)) ∗ x ∈ I . Thus (I2) holds.
Therefore I is an ideal of X .

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในทางกลับกัน เราสมมติว่า ฉันตอบสนอง (I3) และ (I4) X ∈ X ∈ที่ให้ฉัน แล้ว x ∗ (เครื่องหมาย∗การ) =∈ x ∗ 1 = 1 โดยผม (I3) โดย (I4), x ∗ ∈เป็นฉัน เช่น, (I1) ถือ ปล่อยให้ x ∈ X, a, b ∈ฉัน แล้ว (เครื่องหมาย∗ x) ∗ (เครื่องหมาย∗ x) 1 ∈ =ฉัน โดย (I4), (เครื่องหมาย∗ x) ∗ x ∈ ฉัน ตอนนี้ ((a ∗ x) ∗ x) ∗ ((b ∗ (เครื่องหมาย∗ x)) ∗ (b ∗ x)) = 1 โดยเสนอ 3.10 ดังนั้น (เครื่องหมาย∗ x) ∗ x ≤ (b ∗ (เครื่องหมาย∗ x)) ∗ (b ∗ x) ใช้ 3.6 หน่วยการ เรามี (b ∗ (เครื่องหมาย∗ x)) ∗ (b ∗ x) ∈ฉัน ตั้งแต่ b ∈ โดย (I4), เราขอรับ (b ∗ (เครื่องหมาย∗ x)) ∗ x ∈ ฉัน ดังนั้น (I2) ถือดังนั้น ฉันเป็นอุดมคติของ X

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในทางกลับกันเราคิดว่าฉันน่าพอใจ (I3) และ (I4) ให้ x ∈ X เป็น∈ฉัน แล้ว X * (A * ก) = x * 1 = 1 ∈ฉันโดย (I3) โดย (I4) x * a ∈ฉันคือ (I1) ถือหุ้น ให้ x ∈ X, A, B ∈ฉัน จากนั้น (A * x) * (A * x) = 1 ∈ฉัน โดย (I4), (A * x) * x ∈ฉัน ตอนนี้ ((A * x) * x) * ((b * (A * x)) * (b * x)) = 1 โดยโจทย์ 3.10 ดังนั้น (A * x) * x ≤ (b * (A * x)) * (b * x) โดยใช้บทแทรก 3.6 เรามี (b * (A * x)) * (b * x) ∈ฉัน ตั้งแต่ B ∈ฉันโดย (I4) เราได้รับ (b * (A * x)) * x ∈ฉัน ดังนั้น (I2) ถือ.
ดังนั้นผมจึงเป็นอุดมคติของ X

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในทางกลับกัน เราสมมติว่า ผมตรง ( I3 ) และ ( ไอโฟร์ ) ให้ x ∈ x , ∈ฉัน . แล้ว X ∗ ( ∗ ) = x ∗ 1 = 1 ∈ผมด้วย ( I3 ) ( ไอโฟร์ ) x ∗เป็น∈ผมคือ ( i0 ) ถือ ให้ x ∈ X , A , B ∈ฉัน . แล้ว ( ∗ X ) ∗ ( ∗ x ) = 1 ∈ฉัน . ( ไอโฟร์ ) , ( ∗ X ) ∗ x ∈ฉัน . ตอนนี้ ( ( ∗ X ) ∗ X ) ∗ ( B ∗ ( ∗ x ) ∗ ( B ∗ X ) ) = 1 โดยข้อเสนอ 3.10 . ดังนั้น ( ∗ x ) x ( b ∗≤∗ ( ∗ x ) ∗ ( B ∗ X ) ใช้แทรก 3.6 เราได้ ( B ∗ ( ∗ x ) ∗ ( B ∗ X ) ∈ฉัน . ตั้งแต่ B ∈ผมด้วย ( ไอโฟร์ ) ที่เราได้รับ ( B ∗ ( ∗ x ) ∗ x ∈ฉัน . ดังนั้น ( I2 ) ถือดังนั้นฉันจึงเป็นอุดมคติของ x .