1. Basic concepts of combinatorial

1. Basic concepts of combinatorial game theory and the concept of the nim dimension
One of the principal goals of combinatorial game theory is the study of combinatorial games with the following definition:
1. There are two players who take turns moving alternately.
2. No chance devices such as dice, spinners, and card deals are involved, and each player is aware of all the details of the
game state at all times.
3. The rules of a combinatorial game ensure that it will end after a finite sequence of moves, and the winner is often
determined on the basis of who made the last move. Under normal play, the last player to move wins, while in misère
play, the last player loses.
The options of a game are all those positions which can be reached in one move. In combinatorial game theory, games can
be expressed recursively as G = {G
L
| G
R
} where G
L
are the left options and G
R
are the right options of G. An example of a
combinatorial game is the classic game of nim, first studied by Bouton [3]. This game is played with piles of stones. In each
player’s turn, they can remove any number of stones from any pile. The winner is the player who takes the last stone. nim is
an example of an impartial game: left options and right options are the same for the game and all its followers. The values
involved in nim are called nimbers (stars):
∗k = {0, ∗, . . . , ∗(k − 1) | 0, ∗, . . . , ∗(k − 1)}.
It is a surprising fact that all impartial games take only nimbers as values (the Sprague–Grundy Theorem; see [1,2]).
The minimum excluded value of a set S is the least non-negative integer which is not included in S and is denoted as
mex(S). The nim-value of an impartial game G, denoted by G(G), is given by
G(G) = mex{G(H)|H is an option of G}.
An impartial game G is a previous player win, i.e. the next player has no good move, if and only if G(G) = 0. If a game is a
previous player win, we say it is a P-position. If a game is a next player win, we say it is an N-position. The set of P-positions
is denoted as P and the set of N-positions is denoted as N .
∗ Corresponding address: Av. Rainha Dona Amélia 8, 4 esq, 1600-677 Lisboa, Portugal. Fax: [phone].

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. พื้นฐานแนวคิดของทฤษฎีเกมปัญหาและแนวคิดของมิตินิ่มหนึ่งในเป้าหมายหลักของทฤษฎีเกมปัญหาเป็นการศึกษาปัญหาเกมกับคำนิยามต่อไปนี้:1. มีผู้เล่นสองคนใช้จะย้ายมาระหว่าง2. ไม่มีอุปกรณ์โอกาสเช่นลูกเต๋า สปินเนอร์ และบัตรข้อเสนอเกี่ยวข้อง และแต่ละผู้เล่นจะทราบรายละเอียดทั้งหมดของการเกมสถานะตลอดเวลา3. กฎของเกมปัญหาให้แน่ใจว่า มันจะสิ้นสุดหลังจากลำดับจำกัดย้าย และเป็นผู้ชนะกำหนดตามที่ทำไปล่าสุด ภายใต้ปกติเล่น เครื่องเล่นสุดท้ายย้ายชนะ ในขณะที่ทำงานกับ misèreเล่น เครื่องเล่นสุดท้ายสูญเสียตัวเลือกของเกมตำแหน่งเหล่านั้นทั้งหมดซึ่งสามารถเข้าถึงกันได้ ในปัญหาทฤษฎีเกม เกมสามารถสามารถ recursively แสดงเป็น G = {GL| GR} ที่ GLตัวเลือกด้านซ้ายและ GRจะมีตัวเลือกที่เหมาะสมของกรัม ตัวอย่างของการปัญหาเกมเป็นเกมคลาสสิกของนิ่ม ศึกษาก่อน โดย Bouton [3] เกมนี้เล่นกับกองหิน ในแต่ละเปิดของผู้เล่น พวกเขาสามารถออกจำนวนหินกองใดก็ได้ ผู้ชนะคือ ผู้เล่นที่ใช้หินล่าสุด นิ่มเป็นตัวอย่างของเกมเป็นธรรม: ตัวซ้ายและขวาตัวเหมือนกันสำหรับเกมและลูกศิษย์ของทั้งหมด ค่าเกี่ยวข้องในนิ่มเรียกว่า nimbers (ดาว):∗k = {0, ∗, . . . , ∗(k − 1) | 0, ∗, . . . , ∗(k − 1)}.มันเป็นความจริงน่าแปลกใจที่ว่า กลางเกมทั้งหมดจะเท่า nimbers เป็นค่า (ทฤษฎีบทของ Sprague – Grundy ดู [1, 2])ไม่รวมค่าต่ำสุดของชุด S เป็นจำนวนเต็มน้อยที่สุดไม่เป็นค่าลบซึ่งไม่ได้รวมอยู่ใน S และสามารถระบุเป็นmex (S) สามารถบุนิ่มค่า G เป็นเกมกลาง จาก G(G) ถูกกำหนดโดยG(G) = mex { G (H) | H คือ ตัวเลือกของ G }มีเกมกลาง G จะชนะผู้เล่นก่อนหน้า เช่นถัดไปผู้เล่นที่มีย้ายไม่ดี ถ้า และเมื่อ G(G) = 0 ถ้าเป็นเกมก่อนหน้านี้เล่นชนะ เราบอกว่า มันเป็นตำแหน่ง P ถ้าเกมจะชนะผู้เล่นถัดไป เราบอกได้ว่า จะเป็นที่ตำแหน่ง N ตั้งค่าของตำแหน่ง Pคุณสามารถระบุเป็นชุดของตำแหน่ง N และ P สามารถระบุเป็น N∗ Corresponding ที่อยู่: Amélia Av. Rainha โดน่า 8, 4 esq, 1600-677 ลิสบัว โปรตุเกส โทรสาร: [phone]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1. แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีเกม combinatorial
และแนวคิดของมิติสะเดาหนึ่งในเป้าหมายหลักของทฤษฎีเกมcombinatorial คือการศึกษาของเกม combinatorial กับคำนิยามต่อไปนี้:
1 มีสองผู้เล่นที่ผลัดกันย้ายสลับกันอยู่.
2
ไม่มีอุปกรณ์ที่มีโอกาสเช่นลูกเต๋าปั่นด้ายและข้อเสนอบัตรมีส่วนร่วมและผู้เล่นแต่ละคนจะทราบรายละเอียดทั้งหมดของรัฐเกมตลอดเวลา.
3 กฎของเกม combinatorial ให้แน่ใจว่ามันจะจบลงหลังจากลำดับ จำกัด
ของการเคลื่อนไหวและผู้ชนะมักจะถูกกำหนดบนพื้นฐานของการที่ทำให้การย้ายที่ผ่านมา ภายใต้การเล่นปกติ,
ผู้เล่นคนสุดท้ายที่จะไปชนะในขณะที่ในmisèreเล่นผู้เล่นคนสุดท้ายสูญเสีย.
ตัวเลือกของเกมที่มีทุกตำแหน่งผู้ที่สามารถเข้าถึงได้ในหนึ่งย้าย ในทฤษฎีเกม combinatorial
เกมสามารถแสดงซ้ำเป็นG = {G
L
| G
R} ที่ G L เป็นตัวเลือกที่ด้านซ้ายและ G R เป็นตัวเลือกที่เหมาะสมของจีตัวอย่างของเกม combinatorial เป็นเกมที่คลาสสิกของ nim, การศึกษาแรกโดย Bouton [3] เกมนี้เล่นกับกองหิน ในแต่ละเปลี่ยนแปลงของผู้เล่นที่พวกเขาสามารถลบหมายเลขของหินใด ๆ จากกองใด ๆ ผู้ชนะคือผู้เล่นที่ใช้หินที่ผ่านมา nim เป็นตัวอย่างของเกมที่เป็นกลางนี้: ตัวเลือกทางด้านซ้ายและตัวเลือกที่เหมาะสมจะเหมือนกันสำหรับการเล่นเกมและลูกน้องทั้งหมด ค่าส่วนร่วมในการ nim จะเรียกว่า nimbers (ดาว): * k = {0, * . . * (k - 1) | 0 * . . . * (k - 1)}. มันเป็นความจริงที่น่าแปลกใจว่าเกมที่เป็นกลางทั้งหมดจะใช้เวลาเพียง nimbers เป็นค่า (คนปราก-ใจแคบทฤษฎีบทดู [1,2]) ต่ำสุดไม่รวมค่า S ชุดเป็นอย่างน้อยไม่ จำนวนเต็มเชิงลบซึ่งไม่ได้รวมอยู่ใน S และมีการแสดงเป็นMEX (S) สะเดามูลค่าของเกมเป็นกลาง G, แสดงโดยจี (G) จะได้รับจากจี(G) = MEX {G (H) | H เป็นตัวเลือกของ G}. เกมเป็นกลาง G เป็นชนะผู้เล่นก่อนหน้านี้ เช่นเครื่องเล่นต่อไปยังไม่มีการย้ายที่ดีถ้าหากจี (G) = 0 ถ้าเกมเป็นชนะผู้เล่นก่อนหน้านี้เราบอกว่ามันเป็นP-ตำแหน่ง ถ้าเกมเป็น win เล่นต่อไปเราบอกว่ามันเป็น N-ตำแหน่ง ชุดของตำแหน่ง P-จะแสดงเป็นP และชุดของตำแหน่ง N-จะแสดงเป็นเอ็น. * ที่อยู่รับผิดชอบ: Av Rainha Dona Amélia 8, 4 เอสไคว, 1600-677 Lisboa, โปรตุเกส โทรสาร: 21 754 351 13 19

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีเกมและแนวคิดของนิมมิติ
หนึ่งในเป้าหมายหลักของทฤษฎีเกมคือการศึกษาเกมที่เยอรมนี กับคำนิยามต่อไปนี้ :
1 มีผู้เล่นสองคนที่ผลัดกันย้ายสลับกัน .
2 ไม่มีอุปกรณ์ เช่น ลูกเต๋า สปินเนอร์ และราคาบัตรที่เกี่ยวข้อง และผู้เล่นแต่ละคนจะทราบรายละเอียดทั้งหมดของ
เกมสถานะตลอดเวลา
3 กฎของเกมการมั่นใจว่า มันจะจบหลังจากที่ลำดับวิธีย้ายและผู้ชนะมัก
ตัดสินใจบนพื้นฐานของผู้ที่เคลื่อนไหวล่าสุด ในการเล่นปกติการเล่นล่าสุดไปชนะ ในขณะที่ใน MIS อีเบย์
เล่น ผู้เล่นคนสุดท้ายแพ้
ตัวเลือกของเกมทั้งหมดเป็นตำแหน่งที่สามารถเข้าถึงได้ในหนึ่งย้าย ในทฤษฎีเกม ,เกมสามารถ
แสดง recursively เป็น G = { g
L
| g
r
g
L
} ซึ่งจะเหลือตัวเลือกและ g
r
จะอยู่ด้านขวาของตัวเลือกของ G . ตัวอย่างของการ
เกมเกมคลาสสิคของนิม ก่อนเรียนด้วย ปุ่ม [ 3 ] เกมนี้เล่นกับกองหิน ในรอบของผู้เล่นแต่ละคน
, พวกเขาสามารถเอาหมายเลขใด ๆของหินจากกอง ผู้ชนะคือผู้เล่นที่ใช้หินสุดท้าย รถยนต์
ตัวอย่างของเกมที่ยุติธรรม : ตัวเลือกซ้ายและตัวเลือกที่เหมาะสมจะเหมือนกันสำหรับเกมและผู้ติดตามของ ค่า
เกี่ยวข้องกับนิมจะเรียกว่า nimbers ( ดาว ) :
∗ K = { 0 , ∗ , . . . . . . . . ∗ , ( K ( − 1 ) | 0 ∗ , . . . . . . . . ∗ , ( K ( − 1 ) } .
มันเป็นข้อเท็จจริงที่น่าแปลกใจที่เกมเป็นธรรมทั้งหมด ใช้เวลาเพียง nimbers เป็นค่า ( ทฤษฎีบท Sprague - กรันดี้ ; ดู [ 1 , 2 ] )
ไม่รวมค่าต่ำสุดของชุดเป็นอย่างน้อย ไม่ลบจำนวนเต็ม ซึ่งไม่รวมอยู่ในและเขียนเป็น
Mex ( s ) แต่มูลค่าของกลางเกม G เขียนแทนด้วย G ( G ) จะได้รับโดย
g ( g ) = Mex { G ( H ) | H เป็นตัวเลือกของ G } .
ที่ยุติธรรมเกม G เป็นผู้เล่นก่อนชนะ คือ ผู้เล่นคนต่อไปได้ไม่ดีไป ถ้าและเพียงถ้ากรัม ( g ) = 0 ถ้าเกมเป็น
ชนะผู้เล่นก่อนหน้าเราว่ามันเป็น p-position . ถ้าเกมเป็นผู้เล่นต่อไปชนะ เราว่า มันเป็น n-position . ชุด p-positions
เขียนเป็น P และชุด n-positions เขียนเป็น n .
∗สอดคล้องกันที่อยู่ : AV . rainha โดนาเลีย จาก 4 เป็น 8 , esq 1600-677 , ลิสบอน , โปรตุเกส โทรสาร : 351 21 มี 13
19