1. IntroductionWe begin with notati

1. Introduction
We begin with notation. Let ABC be a triangle with sidelengths a, b, c, orthocenter H, and circumcenter O. Let KA, KB, KC denote the vertices of the tangential triangle, OA, OB, OC the reflections of O in A, B, C, and AS, BS, CS the reflections of the vertices of A in BC, ofB in CA, and of C in AB. Let M∗ = isogonal conjugate of a point M; M = inverse of M in the circumcircle;
LL = the measure, modulo π, of the directed angle of the lines L, L ; SA = bccosA = 1 2(b2 + c2 −a2), with SB and SC defined cyclically;x : y : z = barycentric coordinates relative to triangle ABC; ΓA = circle with diameter KAOA, with circles ΓB and ΓC defined cyclically. The circle ΓA passes through the points BS, CS and is the locus of M such that
BSMCS =−2
BAC. An equation for ΓA, in barycentrics, is 2SA
a2yz + b2zx+ c2xy+
b2c2x+2 c2SCy +2 b2SBz(x+ y + z)=0 . Consider a triangle ABC, where A, B, C lie respectively on the sidelines BC, CA, AB. The three circles ABC, BCA, CAB meet in a point S called the Miquel point of ABC. See [2, pp.131–135]. The point S (or S) is the only point whose pedal triangle is directly (or indirectly) similar to A BC. The circles ΓA,ΓB,ΓC have a common point T: the Parry reflection point, X399 in [3]; the three radical axes TA S, TBS, TCS are the reflections with respect to a sideline of ABC of the parallel to the Euler line going through the opposite vertex. See [3, 4], and Figure 1. T lies on the circle (O,2R), on the Neuberg cubic, and is the antipode of O on the Stammler hyperbola. See [1].

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำเราเริ่มต้น ด้วยเครื่องหมาย ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมกับ sidelengths a, b, c, orthocenter H และ circumcenter o ให้ KA, KB, KC แสดงจุดของ tangential สามเหลี่ยม OA, OB, OC reflections ของ O ใน A, B, C และ AS, BS, CS reflections ของจุดยอด ของ A ใน BC, ofB ใน CA และ C ใน AB. ปล่อยให้ M∗ = isogonal conjugate ของจุด M M =ผกผันของ M ใน circumcircle LL =การวัด modulo π ระบุโดยตรงมุมของเส้น L, L SA = bccosA = 1 2 (b2 + c2 −a2), กับ SB และ SC หมาย cyclically; x: y: z =พิกัด barycentric สัมพันธ์กับสามเหลี่ยม ABC ΓA =วงกลม มีเส้นผ่าศูนย์กลาง KAOA วง ΓB และ ΓC ตกลง cyclically ΓA วงกลมผ่านจุด BS, CS และเป็นทีของ M ดังกล่าวว่า BSMCS = −2 BAC สมการสำหรับ ΓA, barycentrics ในเป็น 2SA a2yz + b2zx + c2xy + b2c2x + 2 c2SCy b2SBz + 2 (x + y + z) = 0 พิจารณารูปสามเหลี่ยม A B C ที่ A, B, C อยู่ลำดับบน sidelines BC, CA, AB. สามวงกลม AB C, BC, CA ตัว A B ตรงกับในจุดเรียกว่า Miquel จุดของ A B C ดู [2, pp.131–135] จุด S (หรือ S) เป็นจุดเดียวที่มีสามเหลี่ยมเหยียบเป็นโดยตรง (หรือโดยทางอ้อม) คล้ายกับ A B C วง ΓA, ΓB, ΓC มี t:เป็นจุดร่วมจุดปัดป้อง reflection, X399 ใน [3]; สามแกนรุนแรงตา S, TBS, TCS มี reflections เกี่ยวกับงานอดิเรกของ ABC แบบขนานกับเส้นออยเลอร์ที่ผ่านจุดยอดตรงข้าม ดู [3, 4], และรูปที่ 1 T อยู่บนวงกลม (O, 2R), Neuberg ลูกบาศก์ และเป็น antipode ของ O บนไฮเพอร์โบลา Stammler ดู [1]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1. บทนำ
เราเริ่มต้นด้วยสัญกรณ์ ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ sidelengths A, B, C, orthocenter H และวงล้อมทุม Let KA, KB, KC แสดงจุดของรูปสามเหลี่ยมวงที่โอเอ, OB, เรื่อง the oc ections ชั้นใหม่ของ O A, B, C, และ AS, BS, CS ใหม่ ections ฟลอริด้าของจุดของในปีก่อนคริสตกาล, OFB ในแคลิฟอร์เนียและซีใน AB Let M * = ผัน isogonal ของจุด M; M = ผกผันของเอ็มล้อม; ? LL? = วัดโมดูโลπ, ของมุมกำกับของเส้น L, L?; SA = bccosA = 1 2 (B2 + C2 -a2) กับ SB และ SC เดนิยามวน; X: Y: Z = Barycentric พิกัดเทียบกับสามเหลี่ยม ABC; ΓA = วงกลมมีเส้นผ่าศูนย์กลาง KAOA กับแวดวงΓBและΓCเดนิยามวน วงกลมΓAผ่าน BS จุดบริการลูกค้าและเป็นสถานทีของ M ดังกล่าวว่า? BSMCS = -2? บัค สมการสำหรับΓAใน barycentrics เป็น 2SA? a2yz + + b2zx c2xy? +? b2c2x + 2 c2SCy 2 b2SBz (X + Y + Z) = 0 พิจารณารูปสามเหลี่ยมหรือไม่ A B? C ?, โดยที่ A B ?, ?, C? นอนตามลำดับบนสนาม BC, CA, AB สามวงการ AB? C ?, BC หรือไม่ ?, CA? B? พบกันในจุดที่เรียกว่าจุด Miquel ของ? B? เซลเซียส ?. ดู [2, pp.131-135] จุด S (หรือ S) เป็นจุดเดียวที่มีรูปสามเหลี่ยมเหยียบโดยตรง (หรือโดยอ้อม) คล้ายกับ? B? C ?. วงการΓA, ΓB, ΓCมีจุด T ทั่วไปที่: Parry Re ชั้นสะท้อนจุด X399 ใน [3]; แกนสามแกนรุนแรง TA S, TBS, TCS เป็น ections FL เรื่องที่เกี่ยวกับงานอดิเรกของเอบีซีขนานไปกับเส้นออยเลอร์จะผ่านจุดสุดยอดอยู่ตรงข้าม ดู [3, 4] และรูปที่ 1 T อยู่ในวงกลม (O, 2R) บน Neuberg ลูกบาศก์และเป็นขั้วตรงข้ามของ O ใน hyperbola Stammler ดู [1]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . แนะนำเราเริ่มต้นด้วยสัญกรณ์ ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มี sidelengths A , B , C , H และ O circumcenter อ ์โทเซนเตอร์ , กันค่ะ , KB , KC แทนจุดยอดของสามเหลี่ยม แนว OA OB , โอซี Re fl ections o ใน A , B , C , และ , BS , CS Re fl ections ของจุดยอด ของใน BC ใช้ Ca , และ C ในต่างประเทศให้ M ∗ = isogonal คือจุด M ; M = 3 M ใน circumcircle ; ll = วัด , โมดูโล่πของผู้กํากับมุมของเส้น L , L ; ซา = bccosa = 2 ( B2 + C2 − 1 A2 ) กับ SB และ SC de จึงเน็ด cyclically ; X : Y : Z = จุดพิกัดที่สัมพันธ์กับรูปสามเหลี่ยม ABC ; Γ = วงกลมที่มีเส้นผ่าศูนย์กลาง kaoa กับวงการΓ B และ C จึงΓเดอเน็ด cyclically . Γเป็นวงกลมผ่านจุด BS , CS และสถานที่เช่นที่ bsmcs M = − 2bac . สมการสำหรับΓ , ใน barycentrics , 2saa2yz + + + b2zx c2xy b2c2x + 2 c2scy + 2 b2sbz ( x + y + z ) = 0 พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABC ที่ A , B , C โกหกตามลำดับบน sidelines BC , CA , AB สามวงกลม ABC BCA , Cab เจอในจุดที่เรียกว่าจุดมิเกล ของ ABC ดู [ 2 pp.131 ( 135 ) จุด ( หรือ S ) เป็นจุดเดียวที่เหยียบตรงสามเหลี่ยม ( หรืออ้อม ) คล้ายกับ BC วงกลมΓ , Γ B , Γ C มีจุดทั่วไป T : ตอบคำถามอีกครั้งfl ection จุด x399 ใน [ 3 ] ; สามรากแกนตา S , TBS , TCS เป็นอีกfl ections ส่วนปลีกย่อยของ ABC ของขนานกับออยเลอร์เส้นผ่านจุดยอดที่อยู่ตรงข้าม ดู [ 3 , 4 ] และรูปที่ 1 ไม่ตั้งอยู่บนวงกลม ( O , 2R ) ในนอยเบิร์กลูกบาศก์ และเป็นขั้วตรงข้ามของโอ ใน stammler ไฮเพอร์โบลา ดู [ 1 ]