Ratio estimation of the population

Ratio estimation of the population mean using auxiliary information in
simple random sampling and median ranked set sampling
Amer Ibrahim Al-Omari
Department of Mathematics, Faculty of Science, Al al-Bayt University, P.O. Box 130095, Mafraq 25113, Jordan
a r t i c l e i n f o
Article history:
Received 31 January 2012
Received in revised form 1 July 2012
Accepted 3 July 2012
Available online 7 July 2012
Keywords:
Auxiliary variable
Ratio estimator
Simple random sampling
Median ranked set sampling
Double sampling
a b s t r a c t
In this article, two modified ratio estimators of the population mean are suggested provided
that the first or third quartiles of the auxiliary variable can be established when the mean
of the auxiliary variable is known. The double-sampling method is used to estimate the
mean of the auxiliary variable if it is unknown. The suggested estimators are investigated
under simple random sampling (SRS) and median ranked set sampling (MRSS) schemes.
The new estimators when using MRSS are compared to their counterparts under SRS. The
bias and the mean square error of the proposed estimators are derived. It turns out that
the estimators are approximately unbiased and the MRSS estimators are more efficient
than the SRS estimators, on the basis of the same sample size, correlation coefficient, and
quartile. A real data set is used for illustration.
© 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.
1. Introduction
The auxiliary information associated with an auxiliary variable X that is correlated with the variable of interest Y can
be employed to increase the efficiency of estimators. The most commonly used auxiliary information is the mean of the
auxiliary variable. However, other auxiliary information associated with the variable X such as the median, coefficient of
variation or correlation coefficient can be used to improve the efficiency of the estimators. Upadhyaya and Singh (1999)
suggested two ratio-type estimators for when the coefficient of variation and the coefficient of kurtosis of the auxiliary
variable are available. Srivastava and Jhajj (1981) suggested a class of estimators of the population mean assuming that the
mean and the variance are known.
The usual SRS ratio estimator of the population mean from a sample of size n is given by
μˆ YSRS = μX
 ¯ YSRS
¯ XSRS

, (1)
where ¯ XSRS = 1n
ni
=1 Xi and ¯ YSRS = 1n
ni=1 Yi are the sample means of the auxiliary variable X and the variable of interest
Y, respectively, and μX ,μY are the respective populationmeans. The approximatemean square error (MSE) of μˆ YSRS is given
by
MSE

μˆ YSRS

∼=
1 − f
n

σ2
Y + R2σ2
X − 2RσXY

, (2)
where f = nN
, N is the population size, n is the sample size, σ2
Y and σ2
X are the population variances of the variables Y and X,
respectively, R = μY/μX is the population ratio, and σXY is the covariance of X and Y. For more details see Cochran (1977),
Kadilar and Cingi (2004) and Singh and Tailor (2003).
E-mail address: [e-mail].
0167-7152/$ – see front matter © 2012 Elsevier B.V. All rights reserved.
doi:10.1016/j.spl.2012.07.001
1884 A.I. Al-Omari / Statistics and Probability Letters 82 (2012) 1883–1890
McIntyre (1952) was the first to suggest using ranked set sampling (RSS) in order to estimate the population means of
pasture and forage yields. He showed that the RSS estimator of the population mean is unbiased and more efficient than
the SRS estimator based on the same sample size. Takahasi and Wakimoto (1968) provided the necessary mathematical
theory of RSS. Samawi and Muttlak (1996) proposed the use of RSS to estimate the population ratio. Jemain and Al-
Omari (2006) suggested multistage median ranked set samples for estimating the population mean. Al-Saleh and Al-
Ananbeh (2007) considered the estimation of the means of the bivariate normal using moving extreme ranked set sampling
with a concomitant variable. Jemain et al. (2007) suggested multistage extreme ranked set sampling for estimating the
population mean. Al-Saleh and Samawi (2007) investigated inclusion probabilities in ranked set sampling for sample sizes
2 and 3. Ozturk (2007) suggested a two-sample median test for order restricted randomized schemes. For more about RSS,
see Al-Saleh and Al-Omari (2002), Al-Omari and Jaber (2008), Balakrishnan and Li (2006), Bouza (2002), Ozturk and
Deshpande (2006) and Tiensuwan et al. (2007).
In this paper, we investigate new ratio-type estimators of the population mean μY of the variable of interest, Y, involving
either the first or the third quartile of the auxiliary variable X, using SRS and MRSS methods. In Section 2, the suggested
estimators of the population mean obtained using SRS and MRSS, with their properties, are presented in detail for when
the mean of the auxiliary variable is known. The double-sampling method is considered in Section 3. A simulation study is
given in Section 4, carried out in order to evaluate the performance of the estimators. In Section 5, a real data set is used to
illustrate the method. Finally, in Section 6, conclusions about the suggested estimators are provided.
2. Estimation of the population mean when μX is known
Let (X1, Y1) , (X2, Y2) , . . . , (Xn, Yn) be a bivariate random sample with pdf f (x, y), cdf F (x, y), means μX ,μY ,
variances σ2
X , σ2
Y and correlation coefficient ρ. Assume that the ranking is performed on the auxiliary variable X
to estimate the mean of the variable of interest Y. Let (X11, Y11) , (X12, Y12) , . . . , (X1n, Y1n) , (X21, Y21) , (X22, Y22) ,
. . . , (X2n, Y2n) , . . . , (Xn1, Yn1) , (Xn2, Yn2) , . . . , (Xnn, Ynn) be n independent bivariate random samples each of size n.
2.1. Using SRS
The suggested ratio estimators of the population mean μY using SRS based on the first (q1) and third (q3) quartiles of X,
respectively, are given by
μˆ YSRS1 = Y¯SRS

μX + q1
¯ XSRS + q1

and μˆ YSRS3 = Y¯SRS

μX + q3
¯ XSRS + q3

, (3)
where X¯SRS and Y¯SRS are the sample means of X and Y, respectively, based on SRS. For short, we write μˆ YSRSk (k = 1, 3) for
μˆ YSRS1 and μˆ YSRS3, respectively. Using the Taylor series method, μˆ YSRSk can be approximated as
μˆ YSRSk
∼=
¯ YSRS − Lk

¯ XSRS − μX

+ LkVk

¯ XSRS − μX
2
− Vk

¯ XSRS − μX
 
¯ YSRS − μY

, (4)
where Lk = μY
μX+qk
and Vk = 1
μX+qk
. Using the first-degree approximation, the estimator is given by
μˆ YSRSk
∼=
¯ YSRS − Lk

¯ XSRS − μX

. (5)
The bias and MSE of μˆ YSRSk (k = 1, 3), respectively, are
Bias

μˆ YSRSk

∼=
E

¯ YSRS − Kh

¯ XSRS − μX

− μY = 0, (6)
and
MSE

μˆ YSRSk

∼=
Var

¯ YSRS

+ L2k
Var

¯ XSRS

− 2LkCov

¯ XSRS , ¯ YSRS

∼=
σ2
Y
n
+
σ2
X
n

L2k
− 2βLk

, (7)
where Var

¯ YSRS

=
σ2
Y
n , Var

¯ XSRS

=
σ2
X
n , β = ρ σY
σX
and
Cov

¯ XSRS , ¯ YSRS

= E

¯ XSRS − μX
 
¯ YSRS − μY

= ρ
σY σX
n
.
2.2. Using MRSS
The ranked set sampling method (McIntyre, 1952) can be described as in the following steps:
1. Randomly select n2 units from the target population. Allocate them randomly into n sets each of size n.
2. By visual inspection or any cost free method, rank each set of n units with respect to the variable of interest.
A.I. Al-Omari / Statistics and Probability Letters 82 (2012) 1883–1890 1885
3. For actual quantification, from the ith set select the ith ranked unit. The whole process can be repeated m times if
necessary to obtain a sample of size nm.
As a modification of the RSS, Muttlak (1997) suggested the median ranked set sampling (MRSS) method for estimating
the population mean. In this study, we modified the MRSS as follows:
1. Select n random samples each of size n bivariate units from the population of interest.
2. The units within each sample are ranked by visual inspection or any other cost free method with respect to a variable of
interest.
3. If n is odd, select the
 n+1
2

th-smallest ranked unit X together with the associated Y from each set, i.e., the median of each
set. If n is even, from the first n2
sets select the
n2

th ranked unit X together with the associated Y and from the other n2
sets the
 n+2
2

th ranked unit X together with the associated Y.
4. The whole process can be repeated m times if needed to obtain a sample of size nm units.
Samawi and Muttlak (1996) showed that ranking on variable X is more efficient than ranking on variable Y; so in this
study we will consider ranking on the auxiliary variable X.
Let

Xi(1), Yi[1]

,

Xi(2), Yi[2]

, . . . ,

Xi(n), Yi[n]

be the order statistics of Xi1, Xi2, . . . , Xin and the judgment order of
Yi1, Yi2, . . . , Yin (i = 1, 2, . . . , n), where () and [ ] indicate that the ranking of X is perfect and the ranking of Y has errors.
The MRSS estimators of the population mean μY , obtained using q1 and q3, are given respectively by
μˆ YMRSS1 = Y¯MRSS

μX + q1
¯ XMRSS + q1

and μˆ YMRSS3 = Y¯MRSS

μX + q3
¯ XMRSS + q3

. (8)
For odd and even sample sizes we denote the units measured using MRSS by MRSSO and MRSSE, respectively. The
measured MRSSO units are denoted by

X1

n+1
2
, Y1

n+1
2


,

X2

n+1
2
, Y2

n+1
2


, . . . ,

Xn

n+1
2
, Yn

n+1
2


, and ¯ XMRSSO =
1n
n
i=1 Xi

n+1
2
 and ¯ YMRSSO = 1n
ni
=1 Yi

n+1
2
, with variances, respectively given by
Var

¯ XMRSSO

=
1
n2
n
i=1
Var

Xi

n+1
2


=
1
n
σ2
X

n+1
2

and
Var

¯ YMRSSO

=
1
n2
n
i=1
Var

Yi

n+1
2


=
1
n
σ2
Y

n+1
2
.
The measured MRSSE units are

X1(n2
), Y1[n2
]

,

X2(n2
), Y2[n2
]

, . . . ,

Xn2
(n2
), Yn2
[n2
]

,

Xn+2
2

n+2
2
, Y n+2
2

n+2
2


,

Xn+4
2

n+2
2
, Y n+4
2

n+2
2


, . . . ,

Xn

n+2
2
, Yn

n+2
2


, where
¯ XMRSSE =
1
n


n2

i=1
Xi(n2
) +
n
i=n+2
2
Xi

n+2
2


 and ¯ YMRSSE =
1
n


n2

i=1
Yi[n2
] +
n
i=n+2
2
Yi


ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คณะวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยอัลอัลบั ตู้ป.ณ. 130095, Mafraq 25113, จอร์แดนRT ฉัน Cle ฉัน NFO บทความประวัติ: รับวันที่ 31 มกราคม 2555 ได้รับในแบบฟอร์มการปรับปรุง 1 กรกฎาคม 2555 Language: 3 กรกฏาคม 2555 มีออนไลน์ 7 กรกฏา 2555 bstrct ในบทความนี้สองประมาณ แรก ประมาณ (SRS) (MRSS) ประมาณค่าใหม่เมื่อใช้ MRSS ประมาณเสนอมามันบจากที่ประมาณที่ประมาณคนประมาณ MRSS มีประสิทธิภาพมากขึ้นและกว่า SRS ประมาณตามขนาดตัวอย่างเดียวกันสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ 2012 เอลส์ bv สงวนลิขสิทธิ์ทั้งหมด 1 X ที่มีความสัมพันธ์กับตัวแปร Y ประมาณข้อมูลเสริมที่ใช้บ่อยที่สุดคือ ข้อมูลเสริมอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร X เช่นมัธยฐาน ประมาณUpadhyaya และสิงห์ (1999)แนะนำ 2 ชนิดอัตราส่วนประมาณ ประมาณค่าของค่าเฉลี่ยประชากรที่สมมติว่าที่ Srivastava และ Jhajj SRS n ถูกกำหนดโดยไมครอน YSRS = ΜX ¯ YSRS ¯ XSRS  (1) ที่¯ XSRS = 1n ni = ซีอานซีกวนและ¯ YSRS 1 = 1n ni = 1 X และตัวแปรที่น่าสนใจY ตามลำดับμXและμYเป็น populationmeans เกี่ยวข้องApproximatemean ตารางข้อผิดพลาด (MSE) ของμ YSRS ได้รับโดยMSE  ไมครอน YSRS  ~ = 1 - ฉn  Σ2 + Y R2Σ2 2RΣXY X -  , (2) ที่ f = N: , N คือขนาดประชากร n คือขนาดตัวอย่างσ2 Y และσ2 X คือผลต่างของประชากรของตัวแปร Y และ X ตามลำดับ R = μY / μXอัตราส่วนประชากรและσXYเป็นความแปรปรวนร่วมของ X และ Y สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดูค็อชฮาน (1977),และ Kadilar Cingi (2004) และสิงห์และเทเลอร์ (2003) ที่อยู่อีเมล์: [e-mail] 0167-7152 / $ - ดูหน้าเรื่อง© 2012 เอลส์ bv สงวนลิขสิทธิ์ทั้งหมดดอย: 10.1016 / j.spl.2012.07.001 1884 AI อัล -Omari / สถิติและความน่าเป็นตัวอักษร 82 (2012) 1883-1890 แมคอินไทร์ (1952) (RSS) RSS ของค่าเฉลี่ยประชากรคนมีประสิทธิภาพมากกว่าและประมาณ SRS ที่ขึ้นอยู่กับขนาดอย่างเดียวTakahasi และ Wakimoto (1968) RSS samawi และ Muttlak (1996) เสนอการใช้ RSS ในการประเมินอัตราส่วนประชากรJemain และอัล - Omari (2006) แนะนำหลายขั้นตอน (2007) bivariate และคณะ (2007) แนะนำอันดับสุดหลายขั้นตอน samawi (2007) และ 3 Ozturk (2007) สุ่มสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ RSSดูอัลศอลิหและอัล -Omari (2002), อัล -Omari และ Jaber (2008), บาลาคและ Li (2006), Bouza (2002), Ozturk และDeshpande (2006 ) และ Tiensuwan และคณะ (2007) ในเอกสารนี้เราตรวจสอบประมาณค่าชนิดอัตราส่วนใหม่ของμY Y แรกหรือควอไทล์ที่ 3 ของตัวแปรเสริม X ใช้ SRS และ MRSS วิธีการในส่วน 2 ที่แนะนำประมาณค่าของค่าเฉลี่ยประชากรที่ได้รับใช้และ SRS MRSS คุณสมบัติ 3 4 ประมาณที่ในส่วน 5 ในส่วน 6 บทสรุปเกี่ยวกับประมาณแนะนำมี 2 ประเมินค่าเฉลี่ยประชากรเมื่อμXเป็นที่รู้จักกันให้ (x1, Y1) (X 2, Y2), ... (Xn, Yn) เป็นตัวอย่างสุ่ม bivariate กับไฟล์ PDF f (x, y), f (x, Y), cdf หมายถึงμX, μY ผลต่างσ2 X, Σ2 Y จะดำเนินการจัดอันดับตัวแปรเสริม X การประมาณค่าเฉลี่ยของตัวแปร Y สนใจให้ (X 11, Y11), (X 12, Y12) ... (X1n, Y1n) (x 21 Y21), (X 22 Y22) ... (X2n, Y2n) ... (Xn1, yn1) (Xn2, yn2) ... (XNN, ยิน) n อิสระสองตัวแปรสุ่มตัวอย่างแต่ละขนาด n จะ2.1 การ ใช้ SRS ประมาณค่าแนะนำอัตราส่วนของประชากรหมายถึงμYใช้ SRS ตามแรก (ไตรมาสที่ 1) และสาม (Q3) ควอไทล์ของ X ตามลำดับได้โดยไมครอน YSRS1 = Y¯SRS  ΜX + ไตรมาสที่ 1 ¯ XSRS + ไตรมาสที่ 1  μและ YSRS3 = Y¯SRS  ΜX + ไตรมาสที่ 3 ¯ XSRS + ไตรมาสที่ 3  (3) X¯SRSและY¯SRSหมายถึงตัวอย่างของ X และ Y ตามลำดับตาม SRS สั้น ๆ เราเขียนμ YSRSk (k = 1, 3) สำหรับไมครอน YSRS1 และμ YSRS3 ตามลำดับวิธีการใช้ชุดเทย์เลอร์ไมครอน YSRSk สามารถหาค่าประมาณเป็นไมครอน YSRSk ~ = ¯ YSRS - แอล ¯ XSRS - ΜX  + LkVk  ¯ XSRS - ΜX 2 - Vk  ¯ XSRS - ΜX  ¯ YSRS - ΜY  (4) ที่แอล = μY ΜX + QK Vk และ = 1 ΜX + QK . ใช้ประมาณครั้งแรกองศาประมาณการที่ถูกกำหนดโดยไมครอน YSRSk ~ = ¯ YSRS - แอล ¯ XSRS - ΜX  . (5)ความโน้มเอียงและ MSE ของμ YSRSk (k = 1, 3) ตามลำดับเป็นความโน้มเอียง ไมครอน YSRSk  ~ = อี ¯ YSRS - Kh  ¯ XSRS - ΜX  - ΜY = 0, (6) และMSE  ไมครอน YSRSk  ~ = Var  ¯ YSRS  + L2K Var  ¯ XSRS  - 2LkCov  ¯ XSRS, ¯ YSRS  ~ = Σ2 Y n + Σ2 X n  L2K - 2βLk  (7) ที่ Var  ¯ YSRS  = Σ2 Y n, Var  ¯ XSRS  = Σ2 X n = βρσY ΣX และผ้าห่ม ¯ XSRS, ¯ YSRS  = E  ¯ XSRS - ΜX  ¯ YSRS - ΜY  = Ρ ΣYΣX n . 2.2 การใช้ (แมคอินไทร์ 1952) ได้อธิบายไว้ในขั้นตอนต่อไปนี้: 1 สุ่มเลือกหน่วย n2 NN ขนาดแต่ละ 2 โดยวิธีใด ๆ ฟรีต้นทุนหรือตรวจสอบภาพจัดอันดับแต่ละชุดของหน่วย n กับตัวแปรที่น่าสนใจAI อัล -Omari / สถิติและความน่าเป็นตัวอักษร 82 (2012) 1890 1883-1885 3 การนับจริง เมตร RSS, Muttlak (1997) (MRSS) เราปรับ MRSS ดังนี้: 1 เลือก n สุ่มตัวอย่างแต่ละหน่วยขนาด n bivariate โดยภาพ ๆดอกเบี้ย3 ถ้า n เป็นคี่การ 1 + n 2  อันดับหน่วย X กับ Y สัมพันธ์กันจากแต่ละชุดเช่น n เป็นเลขคู่จาก n2 แรกเลือกการตั้งค่าn2  อันดับหน่วย X กับ Y สัมพันธ์และ th n2 ตั้งค่าการ n + 2 2  th จัดอันดับหน่วย X กับ Y สัมพันธ์4 กระบวนการทั้งหมดได้เวลาเมตร นาโนเมตรsamawi และ Muttlak (1996) พบว่าการจัดอันดับตัวแปร X X ปล่อยให้ Xi (1), ยี่ [1]  ,  Xi (2) ยี่ [2]  , . . ,  Xi (n) ยี่ [n]  สามารถสั่งสถิติของ Xi1, Xi2 ... , ซิและสั่งพิพากษาของยิน Yi1, เน่ยยี่ 2, ... (ฉัน = 1, 2, ... , n ) ซึ่ง () และ [] บ่งชี้ว่าเป็นการจัดอันดับของ X และการจัดอันดับของ Y มีข้อผิดพลาดประมาณค่า MRSS ของประชากรหมายถึงμYได้รับใช้ไตรมาส 1 และไตรมาสที่ 3 จะได้รับตามลำดับโดยไมครอน YMRSS1 = Y¯MRSS  ΜX + ไตรมาสที่ 1 ¯ XMRSS + ไตรมาสที่ 1  ไมครอนและ YMRSS3 = Y¯MRSS  ΜX + ไตรมาสที่ 3 ¯ XMRSS + ไตรมาสที่ 3  . (8) สำหรับหน้าคี่และแม้แต่ตัวอย่างขนาดเราแสดง หน่วยวัดโดยใช้ MRSS MRSSE และ MRSSO ตามลำดับที่ MRSSO หน่วยวัดคุณสามารถระบุโดย X 1  1 + n 2  Y1  1 + n 2   ,  X 2  1 + n 2  Y2  1 + n 2   , . . ,  Xn  1 + n 2  Yn  1 + n 2   และ¯ XMRSSO = 1n n ฉัน = 1 สิ 1 + n 2 YMRSSO และ¯ = 1n ni = 1 Yi  1 + n 2  ด้วยผลต่างกำหนดตามลำดับVar  ¯ XMRSSO  = 1 n2 n ฉัน = 1 Var  ซีอานซีกวน 1 + n 2   = 1 n Σ2 X  1 + n 2  และVar  ¯ YMRSSO  = 1 n2 n ฉัน = 1 Var  ยี่ 1 + n 2   = 1 n Σ2 Y  1 + n 2  มีหน่วยวัด MRSSE  X 1 (N2 ), Y1 [N2 ]  ,  X 2 (N2 ), Y2 [N2 ]  , . . ,  Xn2 (N2 ), yn2 [N2 ]  ,  Xn + 2 2  n + 2 2  Y n + 2 2  n + 2 2   ,  Xn +4 2  n + 2 2  Y n + 4 2  n + 2 2   , . . ,  Xn  n + 2 2  Yn  n + 2 2   ที่¯ XMRSSE = 1 n   n2  ฉัน = 1 ซีอานซีกวน (N2 ) + n ฉัน = n + 2 2 ซีอานซีกวน n + 2 2   และ¯ YMRSSE = 1 n   n2  ฉัน = 1 ยี่ [n 2 ] + n ฉัน = n + 2 2 ยี่

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

อิบราฮิมอัล
PO Box 130095, Mafraq 25113,


31 มกราคม 2012
ที่ได้รับการแก้ไขในรูปแบบที่ 1 กรกฎาคม 2012
ได้รับการยอมรับที่ 3 กรกฎาคม 2012
พร้อมให้บริการออนไลน์ 7 กรกฎาคม











(SRS) และเฉลี่ยอันดับตั้งสุ่มตัวอย่าง (MRSS) แผนการ
ประมาณค่าใหม่เมื่อใช้ MRSS เมื่อเทียบกับคู่ของพวกเขาภายใต้

MRSS มีประสิทธิภาพมากขึ้น
กว่าที่ประมาณ SRS

2012 บริษัท เอลส์ BV

X ช่วยที่มีความสัมพันธ์กับตัวแปร Y

ๆ ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปร X เช่นค่ามัธยฐาน,
และซิงห์

และ Jhajj (1981)

SRS n จะได้รับจาก
ไมครอน YSRS = μX
¯ YSRS
¯ XSRS

(1)
ที่¯ XSRS = 1n
ni
= 1 Xi และ¯ YSRS = 1n
ni = 1 ยี่เป็นตัวอย่างหมายของตัวแปร X และตัวแปรอื่น ๆ ที่ความ น่าสนใจ
Y ตามลำดับและμX, μYเป็น populationmeans ตามลำดับข้อผิดพลาดตาราง approximatemean (MSE) ของμ YSRS จะได้รับ
โดย
MSE

ไมครอน YSRS

~ =
1 - ฉ
n

σ2
+ Y R2σ2
X - 2RσXY

(2 )
ที่ f = ไม่มี:
, N คือขนาดของประชากร n คือขนาดของกลุ่มตัวอย่างσ2ที่ที่
Y และσ2
X มีแปรปรวนประชากรของตัวแปร Y และ X, ความ
ตามลำดับ, R = μY / (1977),
และ Kadilar Cingi (2004) และซิงห์และเทเลอร์ (2003)
E-mail address: [e-mail]
0167-7152 / $ - เห็นว่าด้านหน้า© 2012 บริษัท เอลส์ BV สงวนลิขสิทธิ์
ดอย : 10.1016 / j.spl .2012.07.001
1884 AI อัล Omari / สถิติและความน่าจะเป็นตัวอักษรที่ 82 (2012) 1883-1890
แมคอินไทร์ (1952) (RSS)
RSS
SRS และ Wakimoto (1968) ให้ทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น
ทฤษฎีของ RSS samawi และ Muttlak (1996) ได้เสนอการใช้งานของ RSS ที่จะประเมินอัตราประชากรJemain และอั
Omari (2006)
(2007)
และคณะ(2007)
samawi (2007)
2 และ 3 Ozturk (2007) จำกัด RSS,
เห็นอัลซาเลห์และอัล Omari (2002), อัล Omari และ Jaber (2008), บาลาคและหลี่ (2006), Bouza (2002), Ozturk และ
Deshpande (2006) และ Tiensuwan
Y
X ช่วยใช้ SRS และวิธีการ MRSS ในมาตรา 2
SRS และ MRSS
3
4 5
6

(X1, Y1) (X2, Y2) . . (Xn, Yn) PDF f (x, y), cdf F (x, y) หมายถึงμX, μY,
แปรปรวนσ2
X, σ2
Y X
(X11, Y11) (X12, Y12) . . (X1n, Y1n) (X21, Y21) (X22, Y22)
. . . (X2n, Y2n) . . (Xn1, yn1) (Xn2, yn2) . . (XNN, ยิน) เป็นสองตัวแปรอิสระ n ตัวอย่างสุ่มแต่ละขนาด n
2.1 โดยใช้
SRS ขึ้นอยู่กับครั้งแรก (Q1) และสาม (Q3) ควอไทล์ของ X,
ตามลำดับจะได้รับจาก
ไมครอน YSRS1 = Y¯SRS

μX + Q1
¯ XSRS + Q1

และไมครอน YSRS3 = Y¯SRS

μX + q3
¯ XSRS +


X และ Y ตามลำดับขึ้นอยู่กับ SRS สำหรับระยะสั้นเราเขียนμ YSRSk (k = 1, 3) สำหรับ
ไมครอน YSRS1 และμ YSRS3 YSRSk สามารถประมาณเป็น
ไมครอน YSRSk
~ =
¯ YSRS - แอล

¯ XSRS - μX

+ LkVk

¯ XSRS - μX
2
- Vk

¯ XSRS - μX

¯ YSRS - μY

(4)
ที่แอล = μY
μX + QK
และ Vk = 1
μX +

YSRSk
~ =
¯ YSRS - แอล

¯ XSRS - μX

. (5)
การมีอคติและ MSE ของμ YSRSk (k = 1, 3) ตามลำดับมี
อคติ

ไมครอน YSRSk

~ =
E

¯ YSRS - Kh

¯ XSRS - μX

- μY = 0, (6)
และ
MSE

ไมครอน YSRSk

~ =
Var

¯ YSRS

+ L2K
Var

¯ XSRS

- 2LkCov

¯ XSRS, ¯ YSRS

~ =
σ2
Y
n
+
σ2
X
n

L2K
- 2βLk

(7)
ที่ Var

¯ YSRS

=
σ2
Y
n, Var

¯ XSRS

=
σ2
X
n, β = ρσY
σX
และ
ผ้าห่ม

¯ XSRS, ¯ YSRS

= E

¯ XSRS - μX

¯ YSRS - μY

= ρ
σYσX
n
.
2.2 โดยใช้ MRSS
อันดับวิธีการสุ่มตัวอย่างตั้ง (แมคอินไทร์ 1952)
n2 n ชุดแต่ละขนาด
n
อัล Omari / สถิติและความน่าจะเป็นตัวอักษรที่ 82 (2012) 1883-1890 1885
3

RSS, Muttlak (1997) (MRSS)
MRSS ดังนี้
1 เลือกตัวอย่าง n สุ่มแต่ละหน่วยขนาด n bivariate
ๆ ฟรีวิธีใด ๆ ที่เกี่ยวกับตัวแปร
ที่น่าสนใจ
3 ถ้า n เป็นเลขคี่เลือก
 1 + n
2

th เล็กที่สุดอันดับหน่วย X ร่วมกับ Y
n เป็นแม้กระทั่งจาก n2 แรก
ชุดเลือก
n2

th อันดับหน่วย X ร่วมกับ Y ที่เกี่ยวข้องและจากที่อื่น ๆ n2
ชุด
 n + 2
2

th อันดับหน่วย X

และ Muttlak (1996) X



(1), ยี่ [1]

,

Xi (2) ยี่ [2]

, . . ,

Xi (n) ยี่ [n]

เป็นสถิติคำสั่งของ Xi1, Xi2, . . ซินและเพื่อตัดสิน ของ
Yi1, เน่ยยี่ 2 . . หยิน (i = 1, 2 ... n) ที่ () และ [] ระบุว่าการจัดอันดับของ X ที่สมบูรณ์แบบและการจัดอันดับของ Y มีข้อผิดพลาด
ประมาณ MRSS ของค่าเฉลี่ยประชากรμYได้รับใช้ Q1 และ Q3 จะได้รับตามลำดับโดย
ไมครอน YMRSS1 = Y¯MRSS

μX + Q1
¯ XMRSS + Q1

และไมครอน YMRSS3 = Y¯MRSS

μX + q3
¯ XMRSS +


MRSS โดย MRSSO และ MRSSE ตามลำดับ
หน่วย MRSSO วัดจะแสดงด้วย

X1

1 + n
2
, Y1

1 + n
2


,

X2

1 + n
2
, Y2

1 + n
2


, . . ,

Xn

1 + n
2
, Yn

1 + n
2


และ¯ XMRSSO =
1n
n
i = 1 Xi

1 + n
2
และ¯ YMRSSO = 1n
ni
= 1 Yi

1 + n
2
, มีค่าความแปรปรวนให้ตามลำดับโดย
Var

¯ XMRSSO

=
1
n2
n
i = 1
Var

Xi

1 + n
2


=
1
n
σ2
X

1 + n
2

และ
Var

¯ YMRSSO

=
1
n2
n
i = 1
Var

Yi

1 + n
2


=
1
n
σ2
Y

1 + n
2

วัดหน่วย MRSSE จะ

X1 (N2
), Y1 [N2
]

,

X2 (n2
), Y2 [N2
]

, . . ,

Xn2
(N2
), yn2
[N2
]

,

Xn + 2
2

n + 2
2
, Y n + 2
2

n + 2
2


,

Xn 4
2

n + 2
2
, Y + 4 n
2

n + 2
2


, . . ,

Xn

n + 2
2
, Yn

n + 2
2


ที่
¯ XMRSSE =
1
n


n2

i = 1
จิน (N2
) +
n
i = n + 2
2
Xi

n + 2
2


และ¯ YMRSSE =
1
n


n2

i = 1
ยี่ [n 2
] +
n
i = n + 2
2
Yi


ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

Omari มัธยฐาน ( ) ภาควิชาคณิตศาสตร์คณะวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัยอัลอัลไบท์ตู้ ป.ณ. 130,095 มะฟรัก 25113, จอร์แดน, NFO CLE RTI: บทความประวัติศาสตร์ที่ได้รับวันที่ 31 มกราคม 2012 รับแก้ไขแบบฟอร์มที่ 1 กรกฎาคม 2012 วันที่ 3 กรกฎาคม 2012 Language:







ออนไลน์วันที่ 7 กรกฎาคม 2012
คำสำคัญ ) หรือ 3 ควไทลของตัวแปรเสริมสามารถ









ถ้ามันไม่รู้จัก
(SRS) โดยอันดับของชุดตัวอย่าง (MRSS) โครงร่าง
ตัวประมาณใหม่เมื่อใช้MRSS เมื่อเทียบกับคู่ของพวกเขาภายใต้ SRS
ปรากฎว่า
ตัวประมาณไม่เอนเอียงและประมาณประมาณ MRSS จะมีประสิทธิภาพมากขึ้น
กว่า SRS ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์และ
ควอร์ไทล์ ชุดข้อมูลที่แท้จริงคือใช้ภาพประกอบ
© 2012 สามารถนำเสนอสงวนลิขสิทธิ์
1
มีความสัมพันธ์กับตัวแปรที่สนใจ
Y
อย่างไรก็ตามข้อมูลเสริมอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรเช่นค่ามัธยฐาน
และ Upadhyaya ซิงห์ (1999)
(
jhajj ศรีวัสทวา (1981)
และค่าความแปรปรวนเป็นที่รู้จักกัน
ปกติSRS ตัวประมาณอัตราส่วนของประชากรหมายถึงจากตัวอย่างของขนาด n จะได้รับโดย ysrs = x μμ¯ ysrs ¯ xsrs  (1) ที่ xsrs ¯ = 1n นิ = 1 11 ¯ ysrs = 1n พรรณี = 1 ยี ตามลำดับและμ x, y เป็นμ populationmeans นั้น ๆ









การ approximatemean ความคลาดเคลื่อนกำลังสอง (MSE) μ ysrs ให้( μโดย ysrs ~ = 1 - ฉn 2 σ Y R2 σ 2 X - 2R σ XY ( 2) ที่ F = NN , n ขนาด n ขนาดตัวอย่างที่ 2 คือประชากรคือσ 2 XY และσมีประชากรแปรปรวนของ Y และ X, ความตัวแปร(r = μ Y / μ x คืออัตราส่วนประชากรและσ XY คือแปรปรวนของ x ความ และ Y สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเห็นค็อชฮาน (1977)



















และ kadilar Cingi (2004) และซิงค์และช่างตัดเสื้อ (2546) จ
- address: alomari_amer @ yahoo com
0167-7152 / $ และเห็นส่วนหน้า© 2012 นำเสนอ เรื่องจากทั้งหมดสงวนสิทธิ์
ดอย.: 10.1016 / j.spl 2012.07.001
1884 AI อัล Omari / สถิติและความน่าจะเป็นจดหมาย 82 (2012) 1883-1890
แมคอินไตย์ (1952) (RSS)
เขาพบว่าตัวประมาณค่า RSS ของประชากรหมายถึงไม่ฝักใฝ่ฝ่ายใดและมีประสิทธิภาพมากกว่า
SRS takahasi wakimoto (1968) และมีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์
จำเป็นของ RSS samawi และ muttlak (1996) ได้เสนอการใช้ RSS เพื่อประมาณสัดส่วนประชากร jemain และอัล -
Omari (2006) อัลซาเลห์และอัล. -
ananbeh (2007)
jemain et al. (2007)
และ samawi (2007)
และ 3 Ozturk (2007) แนะนำสองมัธยฐานตัวอย่างทดสอบเพื่อ จำกัด จำนวน 0.5 สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ RSS
เห็นอัลซาเลห์และอัล Omari (2002), อัล Omari และ Jaber (2008), บาลาคและ Li (2006) , โบวซ่า (2002), และ Ozturk
Deshpande (2006) และพบ et al. (2550)
Y
หรือควอไทล์ที่ 3 ของเสริมตัวแปร x การใช้ SRS และวิธีการ MRSS. ในส่วนที่ 2
SRS MRSS
) โดยพิจารณาในมาตรา 3 การจำลองการศึกษา
ที่ระบุในมาตรา 4 ในส่วนที่ 5
ในที่สุดในมาตรา 6 สรุปเรื่องเสนอประมาณการไว้
2 การประมาณค่าประชากรหมายถึงเมื่อμ X เป็นที่รู้จักกัน (x1, y1
) (x2, y2.)...... (ซินในการสุ่มตัวอย่าง, ) เทียบกับรูปแบบไฟล์ PDF F (X, Y), CDF f (x, y) หมายถึงμ X, Y μ,
2
x พฤติกรรมσσ 2
, Y และสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ρ. สันนิษฐานว่าการจัดอันดับการเสริมตัวแปร
(X11 Y11 Y), (x12 y12,.)...... (y1n x1n), (x21 y21), (x22 y22) ....... (x2n y2n,.) ..... (yn1 xn1), (xn2 yn2,.).....

(XNN ยิน n) ไม่มี
2.1. การใช้
Y ใช้ SRS ตาม (1) และที่ 3 (Q3) ควไทล x, μตามลำดับจะได้รับโดย ysrs1 = y ¯ SRS μ X Q1 ¯ xsrs Q1 μ ysrs3 = y ¯ SRS และμ X Q3 ¯ xsrs  Q3 (3) x และ Y ที่¯¯ SRS SRS มีตัวอย่างวิธีการของ X และ Y,












ตามลำดับขึ้นอยู่กับ SRS. สั้น ๆ ที่เราเขียนμ ysrsk (k = 1, 3)
μและ ysrs1 μ ysrs3 ตามใช้อนุกรมเทย์เลอร์วิธีμ ysrsk สามารถประมาณเป็น ysrsk ลำดับการค่า= μ~ ¯ ysrs - แอลเคxsrs -μ x ¯  lkvk ¯ xsrs -μ x 2 -VK  xsrs -μ x ¯ ysrs -μ Y  (4) ที่ LK = μ Y μ x QK x = 1 และวีμ QK ใช้เป็นประมาณ,






















ประมาณการจะได้รับโดยμ ysrsk ~ = ¯ ysrs - แอลเค¯ xsrs -μ X (5 ) อคติและ MSE ของμ ysrsk (k = 1, 3), ตามลำดับ, . μ ysrsk ~ = E ¯ ysrs - KH ¯ xsrs --μμ x Y = 0 (6) และ( μ ysrsk  ~ =  var ¯ ysrs  L2K var ¯ xsrs - 2lkcov ¯ xsrs ¯, ysrs σ~ = 2 ปีn σ 2 x n  L2K - 2 บีตาแอลเค(7) ¯ที่ var  ysrs = 

























































σ 2
ปี
n var ¯ xsrs  = σ 2 x n = ρบีตาσσ Y x ¯และมี xsrs ¯, ysrs  = อี¯ xsrs -μ x ¯ ysrs บริษัท เวสเทิร์น μ Y Y  = ρσσ x n . 2.2 การจัดอันดับ MRSS. ชุดการสุ่มตัวอย่าง (แมคอินไตย์ 1952) สามารถอธิบายได้ว่าในขั้นตอนต่อไป: 1 สุ่มเลือก 2 หน่วยจากประชากรเป้าหมายการจัดสรรแบบสุ่ม ในแต่ละชุดขนาด n 2


























โดยการตรวจสอบภาพหรือค่าใช้จ่ายใด ๆ ฟรีวิธี
อัล Omari / สถิติและความน่าจะเป็นจดหมาย 82 (2012) 1883 - 1890 1885
3. จริงของปริมาณจากอตั้งเลือกบอดอันดับหน่วยกระบวนการทั้งหมดสามารถทำซ้ำ M ครั้ง เป็นเปลี่ยนแปลงของ RSS,

muttlak (1997) แนะนำโดยอันดับของชุดตัวอย่าง (MRSS) วิธีประมาณค่าเฉลี่ยประชากร
ในการศึกษานี้จึงได้ปรับบ MRSS ดังนี้.
1 เลือกตัวอย่างแบบสุ่มแต่ละ NN .
2 ถ้า n เป็นคี่

n เลือก
1
2 น้อยจาก th ที่สุดอันดับหน่วย X กับ Y ที่แต่ละชุดเช่นค่ามัธยฐานของแต่ละชุดถ้า n ได้จากชุดแรกเลือก N2 และจากอันดับ 2 ไทยหน่วย x กับปีที่เกี่ยวข้อง2 ชุดอื่น ๆ  n 2 2  th อันดับหน่วย X กับ Y ที่ 4












กระบวนการทั้งหมดสามารถทำซ้ำ M นาโนเมตรขนาดและ muttlak
samawi (1996) พบจัดอันดับในตัวแปร x ว่าการ y;
X ช่วยให้ ซี (1) อี [1]  ,  จิน (2), อี [2] ,,,,,,....... ,  Xi (N) ยี [ตัวอย่าง ] เป็นสถิติเพื่อของ XI2 xi1........












ซินและการตัดสินใจเพื่อ yi1 ยยี่ 2
,,,,,,,,........ หยิน (, i = 1, 2, ........ n) () และ () ระบุว่าการจัดอันดับของ X ที่สมบูรณ์แบบและการจัดอันดับของ Y มีข้อผิดพลาด MRSS
ประมาณค่าเฉลี่ยประชากรμ Q1 และ Q3 Y ได้ด้วยจะ ได้รับตามลำดับโดย ymrss1 = Y
ไมครอน MRSS μ X Q1 ¯ xmrss 1 μและ ymrss3 = y ¯ MRSS μ X Q3 ¯ xmrss  Q3 (8










MRSS โดย mrsso mrsse ตามลำดับ
วัด mrsso หน่วยแทนโดย x1  1 n 2  y1 ไม่มี,  1 2   X2 1 n 2 , Y2  1 n 2  ....... , คริสเตียน 1 n 2 ใน n, 1 2 และ¯ xmrsso = ผมกับ n = 1 ซี1 2 n และ¯ ymrsso = 1n นิ = 1 ยี่ 1 2 n ที่มีความ แปรปรวนตามลำดับโดยให้วาร์



















































¯ xmrsso

=
1
2
n = 1  วาร์ซี 1 n 2  = 1 n 2 x σ 1 n 2 และ ymrsso ¯วาร์ = 1 2 n = 1   var อี 1 n 2  = 1 n 2 ปีσ 1 n 2 . วัด mrsse หน่วยเป็น (N2 X1 ) y1 [2]  ,  X2 (N2 ) Y2 N2 []  , ....... ,  xn2 (N2 ) yn2 []  N2 ซิน 2 2  n 2 2 , Y n 2 2 n  2 2  , 4 2 ซิน n 2 2 , Y n 2 4 2 2 n  ....... , คริสเตียน n 2 2



































































































ใน
ไม่มี,
2
2 ที่¯ xmrsse = 1 n  N2 ผม Xi (N2 = 1 ) ผมไม่มี = N 2 2 n Xi  2 2  และ¯ ymrsse = 1 n  N2 ผม = 1 [] ยี N2 n n = 2 2 ยิ