(using the ordinal number ‘5’), thr

(using the ordinal number ‘5’), through the processes of abstraction and reification, which ultimately leads (via the cardinal number ‘5’) to the abstract concept of ‘number’.



This account is not offered as a psychological hypothesis, but as a theoretical reconstruction of the genesis of subjective mathematical knowledge by abstraction.



What is proposed is that by a vertical process of abstraction or concept lorrnation, a collection of objects or constructions at lower, pre-existing levels of a personal concept hierarchy become ‘reified’ into an object-like concept, or noun-like term.




Skemp refers to this ‘detachability’, or ‘the ability to isolate concepts from any of the examples which give rise to them’ (skemp, 1971, page 28) as an essential part of the process of abstraction in concept formation.




Such a newly defined concept applies to those lower level concepts whose properties it abstracts, but it has a generality that goes beyond them.



The term ‘reification’ is applied because such a newly formed concept acquired an integrity and the properties of a primitive mathematical object, which means that it can be treated as a unity, and at a subsequent stage it too can be abstracted from, in an iteration of the process.



The increasing complexity of subjective mathematical knowledge can also be attributed to horizontal processes of concept and property elaboration and clarification.



This horizontal process of object formation in mathematics is that described by Lakatos (1976), in his reconstruction of the evolution of the Euler formula and its justification.



Namely, the reforrnulation (and ‘stretching’) of mathematical concepts or definitions to achieve consistency and coherence in their relationships within a broader context.



This is essentially a process of elaboration and refinement, unlike the vertical process which lies behind ‘objectification’ or ‘reification’.


Thus far, the account given has dwelt on the genesis and structure of the conceptual and terminological part of subjective mathematics.



There is also the genesis of the propositions, relationships and conjectures of subjective mathematical knowledge to be considered.


But this can be accommodated analogously.

We have already discussed how the elementary truths of mathematics and logic are acquired during the learning of mathematical language.



As new concepts are developed by individuals, following the hierarchical pattern described above, their definitions, properties and relationships underpin new mathematical propositions, which must be acquired with them, to permit their uses.




New items of propositional knowledge are developed by the two modes of genesis described above, namely by informal inductive and deductive processes.



Intuition being the name given to the facility of perceiving (i.e., conjecturing with belief) such propositions and relationships between mathematical concepts on the basis of their meaning and properties, prior to the production of warrants for justifying them.




Overall, we see.


Therefore.


That the general features of the account of the genesi of mathematical concepts also holds for propositional mathematical knowledge.



That is we posit analogous inductive and deductive processes, albeit informal, to account for this genesis.



In summary, this section has dealt with the genesis of the concepts and propositions of subjective mathematical knowledge.



The account given of this genesis involves four claims.


First of all, the concepts and propositions of mathematics originate and are rooted in those of natural language, and are acquired (constructed)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

(ใช้เลขลำดับ '5'), ผ่านทางกระบวนการของ abstraction และ reification ที่สุดเป้าหมาย (ผ่านตัวเลข '5') ให้แนวคิดนามธรรม 'จำนวน'


บัญชีนี้ไม่นำเสนอสมมติฐานจิตวิทยา แต่ เป็นการฟื้นฟูทฤษฎีของปฐมความรู้ทางคณิตศาสตร์ตามอัตวิสัย abstraction


อะไรจะนำเสนอว่า กระบวนการแนวตั้งของ abstraction หรือแนวคิด lorrnation คอลเลกชันของวัตถุหรือก่อสร้างที่ต่ำ ระดับชั้นแนวคิดส่วนบุคคลที่มีอยู่ก่อนเป็น 'reified' เป็นวัตถุเช่นแนวคิด การ term. นามเหมือน


Skemp อ้างการนี้ 'detachability' 'ความสามารถในการแยกแนวคิดจากตัวอย่างที่ให้ขึ้นไป' (skemp ปี 1971 หน้า 28) เป็นเป็นส่วนสำคัญของกระบวนการของ abstraction ในแนวความคิดก่อตัว


แนวใหม่กำหนดใช้กับเหล่านั้นต่ำกว่าระดับแนวคิดมีคุณสมบัติเรื่องบทคัดย่อ แต่มันมี generality ที่เกินกว่านั้น


ใช้คำว่า 'reification' เพราะมาแนวใหม่รูปแบบสมบูรณ์และคุณสมบัติของวัตถุทางคณิตศาสตร์ดั้งเดิม, ซึ่งหมายความ ว่า สามารถถือว่าเป็นความสามัคคี และในขั้นตอนต่อ ๆ ไป มันเกินไปสามารถจะออกจาก ในการเกิดซ้ำของกระบวนการ


ความซับซ้อนเพิ่มขึ้นของความรู้ทางคณิตศาสตร์ตามอัตวิสัยยังสามารถเกิดจากการกระบวนการแนวแนวความคิดและทรัพย์สินทุก ๆ และชี้แจงได้


ขั้นตอนการก่อตัวของวัตถุในคณิตศาสตร์แนวนอนเป็นที่อธิบายไว้ โดย Lakatos (1976), เขาฟื้นฟูของวิวัฒนาการของสูตรของออยเลอร์และเหตุผลของการ


คือ reforrnulation (และ 'ยืด') ของแนวคิดทางคณิตศาสตร์หรือข้อกำหนดเพื่อให้บรรลุความสอดคล้องและศักยภาพในความสัมพันธ์ภายในบริบทที่กว้างขึ้น


นี่คือหลักการของทุก ๆ และละเอียดลออ ซึ่งแตกต่างจากกระบวนการแนวตั้งที่อยู่เบื้องหลัง 'objectification' หรือ 'reification'.


ฉะนี้ บัญชีให้ได้อาศัยอยู่ในปฐมกาลและโครงสร้างของแนวคิด และ terminological ส่วนของคณิตศาสตร์ตามอัตวิสัย


มีปฐมของขั้น ความสัมพันธ์และ conjectures รู้ตามอัตวิสัยทางคณิตศาสตร์จะถือว่า


แต่นี้สามารถอาศัย analogously.

แล้วเราได้กล่าวถึงวิธีรับสัจธรรมระดับประถมศึกษาคณิตศาสตร์และตรรกะในการเรียนรู้ของคณิตศาสตร์ภาษา


เป็นแนวคิดใหม่ที่พัฒนา โดยบุคคล ต่อรูปแบบลำดับที่อธิบายไว้ข้างต้น คำนิยาม คุณสมบัติและความสัมพันธ์หนุนฟอร์ดที่มีใหม่คณิตศาสตร์ขั้น ซึ่งต้องมากับพวกเขา การอนุญาตให้ใช้การ


รู้ propositional รายการใหม่ถูกพัฒนา โดยโหมดสองข้าง คือ โดยไม่เหนี่ยว และ deductive กระบวนการปฐมกาล


สัญชาตญาณเป็นสิ่งอำนวยความสะดวกของ perceiving (เช่น ชื่อ conjecturing กับความเชื่อ) กับข้อเสนอและความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดทางคณิตศาสตร์ตามความหมายของคุณสมบัติ ก่อนการผลิตของใบสำคัญแสดงสิทธิสำหรับ justifying พวกเขาดังกล่าว


โดยรวม เราดู


ดังนั้นการ


ว่า คุณลักษณะทั่วไปของบัญชีของ genesi ของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ยังมีความรู้ทางคณิตศาสตร์ propositional


นั่นคือเรา posit คู่เหนี่ยว deductive กระบวน และ เป็น บัญชีปฐมกาลนี้แม้ว่า


สรุป ส่วนนี้ได้ติดต่อกับแหล่งกำเนิดของแนวคิดและขั้นของตามอัตวิสัยทางคณิตศาสตร์ความรู้


บัญชีกำหนดปฐมกาลนี้เกี่ยวข้องกับสี่ร้อง


ครั้งแรกของทั้งหมด แนวคิดและขั้นของคณิตศาสตร์มาใช้ในบรรดาภาษา และมีซื้อ (สร้าง)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(โดยใช้เลขลำดับ '5') ผ่านกระบวนการของนามธรรมและทำให้เป็นจริงซึ่งในที่สุดนำไปสู่ ​​(ผ่านจำนวนพระคาร์ดินัล '5') กับแนวคิดนามธรรมของ 'ตัวเลข' บัญชีนี้ไม่ได้มีการเสนอเป็นสมมติฐานทางจิตวิทยา แต่ ขณะที่การฟื้นฟูทฤษฎีของแหล่งกำเนิดของความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมอัตนัยโดยสิ่งที่เสนอคือโดยกระบวนการตามแนวตั้งของนามธรรมหรือแนวคิด lorrnation คอลเลกชันของวัตถุหรือสิ่งปลูกสร้างที่ต่ำกว่าระดับที่มีอยู่ก่อนของลำดับชั้นแนวความคิดส่วนบุคคลที่กลายเป็น 'ทำให้เป็นรูปธรรม 'เป็นแนวคิดวัตถุเหมือนหรือคำนามเหมือนSkemp หมายถึงนี้ detachability 'หรือ' ความสามารถในการแยกแนวความคิดจากส่วนใดของตัวอย่างที่ก่อให้เกิดพวกเขา (skemp 1971, หน้า 28) ในฐานะที่เป็น ส่วนหนึ่งที่สำคัญของกระบวนการของนามธรรมในการสร้างแนวคิดดังกล่าวเป็นแนวคิดที่กำหนดขึ้นใหม่นำไปใช้กับผู้ที่ต่ำกว่าระดับแนวความคิดที่มีคุณสมบัติมันบทคัดย่อ แต่ก็มีทั่วไปที่นอกเหนือไปจากพวกเขาคำว่า 'ทำให้เป็นจริง' ถูกนำมาใช้เพราะแนวคิดดังกล่าวเพิ่งตั้งขึ้นใหม่ ที่ได้รับความสมบูรณ์และคุณสมบัติของวัตถุทางคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมซึ่งหมายความว่ามันสามารถจะถือว่าเป็นความสามัคคีและในขั้นตอนต่อ ๆ มามันก็จะใจลอยจากในรอบของกระบวนการที่ซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นของความรู้ทางคณิตศาสตร์อัตนัยสามารถ นอกจากนี้ยังนำมาประกอบกับกระบวนการในแนวนอนของแนวคิดและทรัพย์สินของรายละเอียดและชี้แจงกระบวนการในแนวนอนของการสร้างวัตถุในวิชาคณิตศาสตร์ก็คือการอธิบายโดย Lakatos (1976) ในการฟื้นฟูของวิวัฒนาการของสูตรออยเลอร์และเหตุผลของมันคือ reforrnulation ( และ 'ยืด') ของแนวคิดทางคณิตศาสตร์หรือคำนิยามเพื่อให้บรรลุความสอดคล้องและเชื่อมโยงกันในความสัมพันธ์ของพวกเขาในบริบทที่กว้างขึ้นนี้เป็นหลักขั้นตอนของรายละเอียดและการปรับแต่งซึ่งแตกต่างจากกระบวนการในแนวตั้งซึ่งอยู่เบื้องหลัง 'รูปธรรม' หรือ 'ทำให้เป็นจริง' ป่านนี้ บัญชีที่กำหนดได้อาศัยอยู่ในแหล่งกำเนิดและโครงสร้างของส่วนที่คิดและคำศัพท์ของคณิตศาสตร์อัตนัยนอกจากนี้ยังมีแหล่งกำเนิดจากข้อเสนอความสัมพันธ์และคาดเดาของความรู้ทางคณิตศาสตร์อัตนัยได้รับการพิจารณาแต่สามารถอาศัย analogously เรามี ที่กล่าวแล้วว่าจริงระดับประถมศึกษาของคณิตศาสตร์และตรรกะที่ได้มาในระหว่างการเรียนรู้ของภาษาทางคณิตศาสตร์เป็นแนวคิดใหม่ที่พัฒนาโดยบุคคลดังต่อไปนี้รูปแบบลำดับชั้นที่อธิบายไว้ข้างต้นของพวกเขานิยามคุณสมบัติและความสัมพันธ์หนุนข้อเสนอทางคณิตศาสตร์ใหม่ซึ่งต้องได้รับด้วย พวกเขาจะอนุญาตให้มีการใช้งานของพวกเขารายการใหม่ของความรู้ประพจน์ได้รับการพัฒนาโดยทั้งสองรูปแบบของการกำเนิดอธิบายไว้ข้างต้นคือโดยทางการกระบวนการอุปนัยและนิรนัยปรีชาเป็นชื่อที่ได้รับไปยังสถานที่การรับรู้ (เช่น conjecturing ด้วยความเชื่อ) ข้อเสนอดังกล่าว และความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดทางคณิตศาสตร์บนพื้นฐานของความหมายและคุณสมบัติของพวกเขาก่อนที่จะมีการผลิตของใบสำคัญแสดงสิทธิที่พวกเขาตัดสินโดยรวมเราจะเห็นดังนั้นที่คุณสมบัติทั่วไปของบัญชีของเจเนซิสของแนวความคิดทางคณิตศาสตร์ยังถือความรู้ทางคณิตศาสตร์ประพจน์ . นั่นคือเราวางตัวกระบวนการอุปนัยและนิรนัยคล้ายแม้ว่าทางการบัญชีสำหรับการกำเนิดนี้โดยสรุปในส่วนนี้ได้มีการจัดการกับแหล่งกำเนิดของแนวความคิดและข้อเสนอของความรู้ทางคณิตศาสตร์อัตนัยบัญชีที่กำหนดของแหล่งกำเนิดนี้เกี่ยวข้องกับการเรียกร้องสี่แรกของทุกแนวความคิดและข้อเสนอของคณิตศาสตร์มาและได้รับการฝังในที่ของภาษาธรรมชาติและจะได้รับ (สร้าง)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( โดยใช้หมายเลขอันดับ 5 ' ' ) ที่ผ่านกระบวนการของนามธรรมและการทำให้เป็นรูปธรรม ซึ่งในที่สุดนำไปสู่ ( ผ่านทางหมายเลข 5 ' ' นัล ) แนวคิดนามธรรมของ ' หมายเลข ' .



บัญชีนี้ไม่ได้เสนอเป็นจิตวิทยาสมมติฐาน แต่สร้างใหม่ทางทฤษฎีของการกำเนิดของความรู้ทางคณิตศาสตร์ อัตนัยด้วย



นามธรรมสิ่งที่เสนอคือว่า โดยกระบวนการแนวตั้งของนามธรรมหรือแนวคิด lorrnation , คอลเลกชันของวัตถุหรือสิ่งก่อสร้างที่ต่ำกว่าระดับเดิม แนวคิดส่วนบุคคลลำดับขั้นกลายเป็น ' reified ' ลงในวัตถุ เช่น แนวคิด หรือคำนาม เช่น ระยะ




skemp หมายถึง ' detachability ' หรือ ' ความสามารถในการแยกแนวคิดจากใด ๆ ในตัวอย่างที่ให้สูงขึ้นเพื่อให้พวกเขา ( skemp ' ,2514 , หน้า 28 ) เป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการในการสร้างแนวคิดนามธรรม




เช่นกำหนดแนวคิดใหม่ ใช้กับพวกระดับล่างจากแนวคิดที่มีคุณสมบัติ แต่มันมีทั่วไปนอกเหนือของพวกเขา .



เทอมของ reification ' ใช้ เนื่องจากเป็นแนวคิดที่ได้มาใหม่เกิดขึ้น คุณธรรมและคุณสมบัติของวัตถุทางคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิม ,ซึ่งหมายความว่ามันสามารถจะถือว่าเป็นเอกภาพ และในขั้นตอนต่อมามันเกินไปสามารถสรุปจากในรูปของกระบวนการ .



เพิ่มความซับซ้อนของอัตนัยคณิตศาสตร์ความรู้นอกจากนี้ยังสามารถเกิดจากกระบวนการของแนวคิดและคุณสมบัติการวิเคราะห์แนวนอนและ



ชี้แจงกระบวนการเกิดวัตถุในแนวนอนนี้คณิตศาสตร์ที่อธิบายโดย ลากาตอส ( 1976 ) ในการฟื้นฟูของวิวัฒนาการของออยเลอร์และสูตรของเหตุผล .



คือ reforrnulation ( และ ' ยืด ' ) แนวคิดทางคณิตศาสตร์ หรือความหมายเพื่อให้บรรลุความสอดคล้องและการมองโลก ในความสัมพันธ์ของพวกเขาในบริบทที่กว้างขึ้น



นี้เป็นหลักของกระบวนการการวิเคราะห์และการปรับแต่ง ซึ่งแตกต่างจากกระบวนการแนวตั้งซึ่งอยู่เบื้องหลัง ' รักใคร่ปรองดอง ' หรือ ' reification '


ป่านนี้ บัญชีให้มีอาศัยอยู่บนต้นกำเนิดและโครงสร้างของส่วนแนวคิดและ terminological คณิตศาสตร์ . .



มันยังเป็นแหล่งกำเนิดของข้อเสนอ ,ความสัมพันธ์และคาดเดาความรู้ทางคณิตศาสตร์ของอัตนัยที่ต้องพิจารณา


แต่นี้สามารถรองรับ analogously

เราได้กล่าวแล้วว่า ความจริงเบื้องต้นของคณิตศาสตร์และตรรกะจะได้รับในการเรียนรู้ภาษาคณิตศาสตร์ .



เป็นแนวคิดใหม่ที่พัฒนาโดยบุคคล ตามรูปแบบของการอธิบายไว้ข้างต้น ความหมายคุณสมบัติและความสัมพันธ์หนุนข้อเสนอทางคณิตศาสตร์ใหม่ ซึ่งต้องได้รับกับพวกเขาเพื่อให้ใช้ของพวกเขา




รายการใหม่ของความรู้เชิงประพจน์ที่พัฒนาโดยสองโหมดของเจเนซิสที่อธิบายข้างต้น คือแบบอุปนัยและนิรนัยโดยกระบวนการที่ไม่เป็นทางการ



สัญชาตญาณเป็นชื่อให้กับสถานที่ของการรับรู้ ( เช่นคาดเดากับความเชื่อ ) ข้อเสนอดังกล่าวและความสัมพันธ์ระหว่างแนวคิดทางคณิตศาสตร์บนพื้นฐานของความหมายของพวกเขาและคุณสมบัติก่อนการผลิตของใบสำคัญแสดงสิทธิที่เหมาะสมกับพวกเขา




รวม เราเห็น





เพราะฉะนั้น โดยทั่วไป คุณสมบัติของบัญชีของ genesi ของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ยังถือสำหรับข้อเสนอทางความรู้



ที่เราวางตัวแบบอุปนัยและนิรนัยคล้ายคลึงแม้ว่ากระบวนการทางการบัญชีสำหรับเจเนซิสนี่



สรุป มาตรานี้ ได้จัดการกับต้นกำเนิดของแนวคิดและข้อเสนอของความรู้ทางคณิตศาสตร์นามธรรม



บัญชีให้กำเนิดนี้เกี่ยวข้องกับสี่เรียกร้อง


ครั้งแรกของทั้งหมดแนวคิดและข้อเสนอของคณิตศาสตร์มาและเป็นรากฐานในธรรมชาติของภาษา และมีการซื้อ ( สร้าง )