The square 169 can be written as a

The square 169 can be written as a sum of two squares 52 + 122, as a sum of three
squares 32 + 42 + 122, as a sum of four squares 12 + 22 + 82 + 102, as a sum of five
squares 12 + 22 + 22 + 42 + 122, and so on for quite a long while. In fact, Jackson,
et al. [5] note that 169 can be written as a sum of k positive squares for all k from 1
to 155 and first fails as a sum of length 156. The authors go on to ask whether there is
any limit to such a string of sums. Specifically, for every positive integer b is there an
integer n which can be written as a sum of k positive squares for all k from 1 to b? We
assemble a collection of results, most of which have been known for quite some time,
to answer this question and, in fact, to specify all possible lengths for sums of squares
equal to a given square.
This investigation began when I read a manuscript in which the author proved that a
certain combinatorially defined integer c(k) could be written as a sum of k positive integer
squares. Although the proof technique was interesting, I wondered if it wouldn’t
be more surprising to find that a sufficiently large integer couldn’t be written as a sum
of k squares. For that reason, in what follows we address the possible lengths for sums
of squares equal to a given integer which may or may not be a square.
resembled the following.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สแควร์ 169 สามารถเขียนเป็นผลรวมของสองช่อง 52 + 122 เป็นผลรวมของสามสี่เหลี่ยม 32 + 42 + 122 เป็นผลรวมของสี่เหลี่ยม 12 + 22 + 82 + 102 เป็นผลรวมของ 5สี่เหลี่ยม 12 + 22 + 22 + 42 + 122 และค่อนข้างยาวนานในขณะที่ ในความเป็นจริง Jacksonหมายเหตุ al. ร้อยเอ็ด [5] ที่ 169 สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวก k สำหรับ k ทั้งหมด 1155 และแรกเหลวเป็นผลรวมของความยาว 156 ผู้เขียนไปถามว่า มีมีจำกัดเช่นสายผล โดยเฉพาะ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก b มีการn จำนวนเต็มซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวก k สำหรับ k ทั้งหมดจาก 1 ลงใน b เรารวบรวมชุดของผลลัพธ์ มากที่สุดที่รู้จักค่อนข้างบางเวลาตอบคำถามนี้และ ในความเป็น จริง การระบุความยาวได้ทั้งหมดสำหรับผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมเท่ากับสี่เหลี่ยมที่กำหนดให้นี้เริ่มเมื่อผมอ่านฉบับที่ผู้เขียนได้ที่การบาง c(k) combinatorially กำหนดจำนวนเต็มที่สามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก kสี่เหลี่ยม แม้ว่าเทคนิคการพิสูจน์น่าสนใจ ฉันสงสัยว่า ถ้า มันจะไม่ได้เพิ่มเติมพบว่า ไม่สามารถเขียนเป็นจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่เพียงพอเป็นผลของสี่เหลี่ยม k เหตุผล ในสิ่งต่อไปนี้เรายาวสุดในผลรวมยกกำลังสองเท่ากับจำนวนเต็มที่กำหนดซึ่งอาจ หรืออาจไม่เหลี่ยมคล้ายกับต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตาราง 169 สามารถเขียนเป็นผลรวมของสองสี่เหลี่ยม 52 + 122 เป็นผลรวมของสาม
สี่เหลี่ยม 32 + 42 + 122 เป็นผลรวมของสี่สี่เหลี่ยม 12 + 22 + 82 + 102 เป็นผลรวมของห้า
สี่เหลี่ยม 12 + 22 + 22 + 42 + 122 และอื่น ๆ สำหรับค่อนข้างนาน ในความเป็นจริงแจ็คสัน,
et al, [5] ทราบว่า 169 สามารถเขียนเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมบวก k สำหรับ k จาก 1
ถึง 155 และเป็นครั้งแรกล้มเหลวเป็นผลรวมของความยาว 156 เขียนไปถามว่ามี
ข้อ จำกัด ใด ๆ ไปเช่นสตริงของผลบวก . โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับทุกขจำนวนเต็มบวกจะมี
จำนวนเต็ม n ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมบวก k สำหรับ k จาก 1 ถึง b? เรา
รวบรวมคอลเลกชันของผลซึ่งส่วนใหญ่ได้รับทราบสำหรับค่อนข้างบางเวลา
ที่จะตอบคำถามนี้และในความเป็นจริงในการระบุความยาวที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับผลรวมของสี่เหลี่ยม
เท่ากับตารางที่กำหนด.
การตรวจสอบนี้เริ่มเมื่อฉันอ่านต้นฉบับ ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นว่าผู้เขียน
บางจำนวนเต็มกำหนด combinatorially ค (k) สามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก k
สี่เหลี่ยม แม้ว่าเทคนิคการพิสูจน์เป็นที่น่าสนใจผมสงสัยว่ามันจะไม่
เป็นที่น่าแปลกใจมากที่พบว่าเป็นจำนวนเต็มขนาดใหญ่พอไม่สามารถเขียนเป็นผลรวม
ของสี่เหลี่ยม k สำหรับเหตุผลที่ในสิ่งต่อไปนี้เราอยู่ที่ความยาวเป็นไปได้สำหรับผลรวม
ของช่องสี่เหลี่ยมเท่ากับจำนวนเต็มซึ่งได้รับอาจจะหรืออาจจะไม่ได้ตาราง.
คล้ายกับต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตารางคุณสามารถเขียนเป็นจำนวนสองสี่เหลี่ยม 52 122 , ผลรวมของ 3
สี่เหลี่ยม 32 42 122 เป็นจำนวนสี่สี่เหลี่ยม 12 22 82 102 เป็นจำนวนห้า
สี่เหลี่ยม 12 22 22 42 122 , และอื่น ๆสำหรับค่อนข้างยาว ในความเป็นจริง , แจ็คสัน ,
et al . [ 5 ] โปรดทราบว่าคุณสามารถเขียนเป็นจำนวน K บวกสี่เหลี่ยมทั้งหมด k 1
155 และล้มเหลวในฐานะผลรวมของความยาว 156ผู้เขียนไปถามว่ามี
จํากัดใด ๆเช่น สตริงของผลบวก โดยเฉพาะสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก B มี
เป็นจำนวนเต็มซึ่งสามารถเขียนเป็นจำนวน K บวกสี่เหลี่ยมทั้งหมด K จาก 1 ไป 2 เรา
รวบรวมคอลเลกชันของผลลัพธ์ ซึ่งส่วนใหญ่เป็นที่รู้จักสำหรับค่อนข้างบางเวลา
เพื่อตอบคำถามนี้ และ ในความเป็นจริง การกำหนดความยาวที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับผลรวมของสี่เหลี่ยม
เท่ากับเป็นสี่เหลี่ยมให้ .
การสืบสวนเริ่มขึ้นเมื่อฉันอ่านบทความที่ผู้เขียนได้พิสูจน์ว่า
combinatorially กำหนดจำนวนเต็มบาง C ( K ) อาจจะเขียนเป็น ผลรวมของจำนวนเต็มบวก k
สี่เหลี่ยม แม้ว่าเทคนิคการพิสูจน์ที่น่าสนใจ ผมสงสัยว่า ถ้ามันไม่น่าแปลกใจมากขึ้น
หาจำนวนเต็มขนาดใหญ่เพียงพอไม่สามารถเขียนเป็นสรุป
K เหลี่ยมสำหรับเหตุผลนั้น สิ่งที่ตามเราอยู่ยาวที่สุดสำหรับผลรวม
ของสี่เหลี่ยมเท่ากับจำนวนเต็มที่กำหนดซึ่งอาจจะหรืออาจจะไม่ ตาราง
มีดังต่อไปนี้