The last mathematical work of Pasca

The last mathematical work of Pascal was that on the cycloid in 1658. The cycloid is the curve traced out by a point on the circumference of a circular hoop which rolls along a straight line. Galileo, in 1630, had called attention to this curve, the shape of which is particularly graceful, and had suggested that the arches of bridges should be built in this form. Four years later, in 1634, Roberval found the area of the cycloid; Descartes thought little of this solution and defied him to find its tangents, the same challenge being also sent to Fermat who at once solved the problem. Several questions connected with the curve, and with the surface and volume generated by its revolution about its axis, base, or the tangent at its vertex, were then proposed by various mathematicians. These and some analogous question, as well as the positions of the centres of the mass of the solids formed, were solved by Pascal in 1658, and the results were issued as a challenge to the world, Wallis succeeded in solving all the questions except those connected with the centre of mass. Pascal's own solutions were effected by the method of indivisibles, and are similar to those which a modern mathematician would give by the aid of the integral calculus. He obtained by summation what are equivalent to the integrals of sin phi, sin^2 phi, and phi sin phi, one limit being either 0 or (1/2) pi. He also investigated the geometry of the Archimedean spiral. These researches, according to D'Alembert, form a connecting link between the geometry of Archimedes and the infinitesimal calculus of Newton.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การทำงานทางคณิตศาสตร์ล่าสุดของปาสกาลได้ที่ในแบบไซคลอยด์ใน 1658 ไซคลอยด์จะติดตามออก โดยจุดบนเส้นรอบวงที่ของห่วงวงกลมที่กลิ้งไปตามเส้นตรงเส้นโค้ง กาลิเลโอ ใน 1630 ได้เรียกความสนใจนี้เส้นโค้ง รูปทรงที่เป็นสง่าโดยเฉพาะอย่างยิ่ง และแนะนำว่า ควรสร้างอาร์เชสของสะพานในแบบฟอร์มนี้ สี่ปีต่อมา ใน 1634, Roberval พบพื้นที่ของไซคลอยด์ Descartes คิดแก้ไขปัญหานี้เล็กน้อย และคณะทำงานเขาหาตัว tangents เหมือนท้าทายยังส่งแฟร์มาที่แก้ไขปัญหาในทันที คำถามต่าง ๆ ที่เชื่อมต่อกับเส้นโค้ง และพื้นผิวและปริมาตรที่สร้างขึ้น โดยการปฏิวัติเกี่ยวกับแกนของ ฐาน หรือแทนเจนต์ที่จุดยอดของ ได้แล้วเสนอ โดย mathematicians ต่าง ๆ เหล่านี้ และบางคำถามคู่ ตลอดจนตำแหน่งของศูนย์กลางของมวลของของแข็งที่เกิดขึ้น ถูกแก้ไข โดยปาสกาลใน 1658 และผลลัพธ์ได้ออกเป็นความท้าทายไปทั่วโลก วาลลิประสบความสำเร็จในการแก้คำถามทั้งหมดยกเว้นรายการที่เชื่อมโยงกับศูนย์กลางของมวล โซลูชั่นแมวเองได้ผลตามวิธีการของ indivisibles และเหมือนกับที่นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่จะให้ by the aid of แคลคูลัสทฤษฎีบูรณาการ เขาได้รับ โดยรวมเท่ากับปริพันธ์ของ phi บาป บาปคืออะไร ^ 2 phi และ phi phi บาป วงเงินหนึ่งเป็น 0 หรือ pi (1/2) นอกจากนี้เขายังสอบสวนเรขาคณิตของก้น งานวิจัยเหล่านี้ ตาม D'Alembert สร้างลิงค์เชื่อมต่อระหว่างรูปทรงเรขาคณิตของเอสและแคลคูลัส infinitesimal ของนิวตัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

งานคณิตศาสตร์สุดท้ายของปาสกาลก็คือว่าในวงแหวนใน 1,658 cycloid โค้งตรวจสอบโดยจุดบนเส้นรอบวงของวงกลมที่ห่วงพร้อมม้วนเป็นเส้นตรง กาลิเลโอใน 1630 ได้เรียกความสนใจไปที่เส้นโค้งนี้รูปร่างของซึ่งเป็นที่สง่างามโดยเฉพาะอย่างยิ่งและได้ชี้ให้เห็นว่าส่วนโค้งของสะพานควรจะสร้างขึ้นในรูปแบบนี้ สี่ปีต่อมาใน 1634, Roberval พบพื้นที่วงแหวน; Descartes คิดเล็ก ๆ น้อย ๆ ของการแก้ปัญหานี้และท้าทายให้เขาไปหาเสียบ้างมันท้าทายเดียวกันถูกส่งไปยังแฟร์มาต์ที่การแก้ไขปัญหาที่เกิดขึ้นในครั้งเดียว หลายคำถามที่เชื่อมต่อกับเส้นโค้งและมีพื้นผิวและปริมาณที่เกิดจากการปฏิวัติที่เกี่ยวกับแกนของฐานหรือสัมผัสที่จุดสุดยอดของตนถูกเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ต่างๆ เหล่านี้และบางคำถามที่คล้ายคลึงเช่นเดียวกับตำแหน่งของศูนย์มวลของของแข็งที่เกิดขึ้นได้รับการแก้ไขโดยปาสกาลใน 1658 และผลก็ออกมาเป็นความท้าทายไปทั่วโลก, วาลลิสประสบความสำเร็จในการแก้คำถามทุกข้อยกเว้น เชื่อมต่อกับจุดศูนย์กลางมวล การแก้ปัญหาของตัวเองปาสคาลที่ได้รับผลกระทบจากวิธีการ indivisibles และมีความคล้ายคลึงกับที่นักคณิตศาสตร์ที่ทันสมัย​​โดยจะให้ความช่วยเหลือของแคลคูลัสหนึ่ง เขาได้รับผลบวกจากสิ่งที่เทียบเท่ากับปริพันธ์บาป พีบาป ^ 2 พีและ พีบาป พีซึ่งเป็นหนึ่งในวงเงินเป็น 0 หรือ (1/2) ปี่ นอกจากนี้เขายังตรวจสอบรูปทรงเรขาคณิตของเกลียว Archimedean งานวิจัยเหล่านี้ตาม D'Alembert รูปแบบการเชื่อมโยงการเชื่อมต่อระหว่างรูปทรงเรขาคณิตของ Archimedes และแคลคูลัสของนิวตัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

งานคณิตศาสตร์สุดท้ายของปาสคาลเป็นในเคมนิทซ์ใน 1658 . ที่เป็นเส้นโค้งไซคลอยด์สืบจากจุดบนเส้นรอบวงของรูปวงกลมห่วงซึ่งม้วนแนวเส้นตรง กาลิเลโอ , 2173 , เรียกความสนใจให้โค้งนี้ รูปร่างของ ที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่สง่างาม และมีข้อเสนอแนะว่าควรโค้งของสะพานที่สร้างขึ้นในรูปแบบนี้ สี่ปีต่อมาในปีที่ , ,roberval พบพื้นที่ของไซคลอยด์ ; เดส์คิดว่าเล็ก ๆน้อย ๆของโซลูชั่นนี้ และท้าทายให้เขาค้นหา tangents , เดียวกัน ความท้าทายที่ถูกส่งไปยังแฟร์มาต์ที่เคยแก้ปัญหาได้ คำถามหลายข้อที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งและพื้นผิวและปริมาณที่สร้างขึ้นโดยการปฏิวัติเกี่ยวกับแกนฐานหรือการสัมผัสที่จุดยอดแล้วที่เสนอโดยนักคณิตศาสตร์ต่าง ๆคำถามเหล่านี้ และบางส่วนที่คล้ายกัน รวมทั้งตำแหน่งของศูนย์กลางของมวลของของแข็งที่เกิดขึ้น , แก้ไขโดย Pascal ใน 1658 และผลลัพธ์ที่ได้ออก เป็นความท้าทายโลก วอลลิส ประสบความสำเร็จในการแก้ปัญหาทุกข้อ ยกเว้น ผู้ที่เชื่อมต่อกับศูนย์กลางของมวล โซลูชั่นเองของปาสคาลเป็นผลโดยวิธี indivisibles ,และจะคล้ายกับผู้ที่นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่จะให้โดยความช่วยเหลือของแคลคูลัส . เขาสามารถทำอะไรได้เทียบเท่ากับส่วนประกอบของบาปพีพี , พีพีบาป
2 , และ N บาปพีพีพีพี หนึ่งขีดถูกให้ 0 หรือ 1 / 2 pi เขาศึกษาเรขาคณิตของจอมใจจอมยุทธ์ . งานวิจัยนี้ d'alembert , ตาม ,รูปแบบการเชื่อมต่อการเชื่อมโยงระหว่างรูปทรงของอาร์คิมิดีสและแคลคูลัสกณิกนันต์นิวตัน .