Definitions of mathematicsMain arti

Definitions of mathematics
Main article: Definitions of mathematics

Leonardo Fibonacci, the Italian mathematician who established the Hindu–Arabic numeral system to the Western World
Aristotle defined mathematics as "the science of quantity", and this definition prevailed until the 18th century.[29] Starting in the 19th century, when the study of mathematics increased in rigor and began to address abstract topics such as group theory and projective geometry, which have no clear-cut relation to quantity and measurement, mathematicians and philosophers began to propose a variety of new definitions.[30] Some of these definitions emphasize the deductive character of much of mathematics, some emphasize its abstractness, some emphasize certain topics within mathematics. Today, no consensus on the definition of mathematics prevails, even among professionals.[7] There is not even consensus on whether mathematics is an art or a science.[8] A great many professional mathematicians take no interest in a definition of mathematics, or consider it undefinable.[7] Some just say, "Mathematics is what mathematicians do."[7]

Three leading types of definition of mathematics are called logicist, intuitionist, and formalist, each reflecting a different philosophical school of thought.[31] All have severe problems, none has widespread acceptance, and no reconciliation seems possible.[31]

An early definition of mathematics in terms of logic was Benjamin Peirce's "the science that draws necessary conclusions" (1870).[32] In the Principia Mathematica, Bertrand Russell and Alfred North Whitehead advanced the philosophical program known as logicism, and attempted to prove that all mathematical concepts, statements, and principles can be defined and proven entirely in terms of symbolic logic. A logicist definition of mathematics is Russell's "All Mathematics is Symbolic Logic" (1903).[33]

Intuitionist definitions, developing from the philosophy of mathematician L.E.J. Brouwer, identify mathematics with certain mental phenomena. An example of an intuitionist definition is "Mathematics is the mental activity which consists in carrying out constructs one after the other."[31] A peculiarity of intuitionism is that it rejects some mathematical ideas considered valid according to other definitions. In particular, while other philosophies of mathematics allow objects that can be proven to exist even though they cannot be constructed, intuitionism allows only mathematical objects that one can actually construct.

Formalist definitions identify mathematics with its symbols and the rules for operating on them. Haskell Curry defined mathematics simply as "the science of formal systems".[34] A formal system is a set of symbols, or tokens, and some rules telling how the tokens may be combined into formulas. In formal systems, the word axiom has a special meaning, different from the ordinary meaning of "a self-evident truth". In formal systems, an axiom is a combination of tokens that is included in a given formal system without needing to be derived using the rules of the system.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความหมายของคณิตศาสตร์
บทความหลัก: ความหมายของคณิตศาสตร์Leonardo Fibonacci, นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีที่จัดตั้งระบบเลขฮินดูอาหรับโลกตะวันตกอริสโตเติลกำหนดคณิตศาสตร์เป็น "วิทยาศาสตร์ของปริมาณ" และคำนิยามนี้ชนะจนกระทั่งศตวรรษที่ 18 [29]. เริ่มต้นในศตวรรษที่ 19 เมื่อการศึกษาคณิตศาสตร์ที่เพิ่มขึ้นในความรุนแรงและเริ่มที่จะอยู่ที่หัวข้อที่เป็นนามธรรมเช่นทฤษฎีกลุ่มและเรขาคณิต projective ซึ่งไม่มีความสัมพันธ์ที่ชัดเจนกับปริมาณและการวัด, นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาเริ่มที่จะนำเสนอความหลากหลายของใหม่ คำจำกัดความ. [30] บางส่วนของคำนิยามเหล่านี้เน้นตัวละครนิรนัยมากของคณิตศาสตร์บางเน้นนามธรรมที่เน้นบางเรื่องบางอย่างภายในคณิตศาสตร์ วันนี้มติเกี่ยวกับความหมายของคณิตศาสตร์ชัยแม้ในหมู่ผู้เชี่ยวชาญ. [7] ไม่มีแม้แต่ความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะหรือวิทยาศาสตร์. [8] นักคณิตศาสตร์ที่ดีมืออาชีพมากให้ความสนใจในความหมายของคณิตศาสตร์ หรือพิจารณานิยามไม้. [7] บางคนก็พูดว่า "คณิตศาสตร์คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ." [7] สามประเภทชั้นนำของความหมายของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า logicist, intuitionist และเหือดแต่ละสะท้อนให้เห็นถึงปรัชญาโรงเรียนที่แตกต่างกันของความคิด. [31 ] ทั้งหมดมีปัญหารุนแรงไม่มีมีการยอมรับอย่างกว้างขวางและการตรวจสอบไม่น่าเป็นไปได้. [31] ความหมายแรกของคณิตศาสตร์ในแง่ของตรรกะคือเบนจามินเพียรซ "วิทยาศาสตร์ที่นำข้อสรุปที่จำเป็น" (1870). [32] ใน Principia Mathematica, เบอร์ทรานด์รัสเซลและอัลเฟรดนอร์ทเฮดสูงโปรแกรมปรัชญาที่รู้จักกันเป็น logicism และความพยายามที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่าแนวคิดทางคณิตศาสตร์ทุกงบและหลักการสามารถกำหนดและได้รับการพิสูจน์ทั้งในแง่ของตรรกะสัญลักษณ์ นิยาม logicist ของคณิตศาสตร์คือรัสเซล "คณิตศาสตร์ทั้งหมดเป็นสัญลักษณ์ Logic" (1903). [33] คำจำกัดความ intuitionist พัฒนาจากปรัชญาของนักคณิตศาสตร์ LEJ เว่อร์ที่ระบุคณิตศาสตร์กับปรากฏการณ์ทางจิตบางอย่าง ตัวอย่างของความหมาย intuitionist คือ "คณิตศาสตร์เป็นกิจกรรมจิตซึ่งประกอบด้วยในการดำเนินการสร้างหนึ่งหลังจากที่อื่น." [31] ความไม่ชอบมาพากลของ intuitionism ก็คือว่ามันปฏิเสธความคิดทางคณิตศาสตร์บางคนคิดว่าถูกต้องตามคำจำกัดความอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในขณะที่ปรัชญาของคณิตศาสตร์ช่วยให้วัตถุที่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามีอยู่ถึงแม้ว่าพวกเขาจะไม่สามารถสร้าง intuitionism ช่วยให้วัตถุทางคณิตศาสตร์เพียง แต่ที่จริงสามารถสร้าง. คำจำกัดความเหือดระบุคณิตศาสตร์ที่มีสัญลักษณ์และกฎระเบียบสำหรับการดำเนินงานเกี่ยวกับพวกเขา แกง Haskell กำหนดคณิตศาสตร์ง่าย ๆ ว่า "วิทยาศาสตร์ของระบบอย่างเป็นทางการ". [34] ระบบอย่างเป็นทางการคือชุดของสัญลักษณ์หรือสัญญาณและกฎบางอย่างบอกว่าสัญญาณอาจจะรวมกันเป็นสูตร ในระบบอย่างเป็นทางการจริงคำที่มีความหมายพิเศษที่แตกต่างจากความหมายสามัญของ "ความจริงที่ชัดเจนในตัวเอง" ในระบบอย่างเป็นทางการความจริงคือการรวมกันของสัญญาณที่รวมอยู่ในระบบได้รับอย่างเป็นทางการโดยไม่จำเป็นต้องได้รับโดยใช้กฎของระบบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ความหมายของบทความหลักคณิตศาสตร์
: นิยามของคณิตศาสตร์

Leonardo Fibonacci อิตาลีนักคณิตศาสตร์ที่สถาปนาฮินดู–ตัวเลขภาษาอาหรับระบบโลกตะวันตก
อริสโตเติลนิยามคณิตศาสตร์เป็น " วิทยาศาสตร์ของปริมาณ และความหมายนี้มีชัยจนกระทั่งศตวรรษที่ 18 [ 29 ] เริ่มต้นในศตวรรษที่ 19 ,เมื่อศึกษาคณิตศาสตร์เพิ่มความเข้มงวดและเริ่มข้อที่เป็นนามธรรม เช่น ทฤษฎีกลุ่มและเรขาคณิตเชิงภาพฉาย ซึ่งไม่มีความสัมพันธ์ที่ชัดเจนกับปริมาณและการวัด นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาเริ่มเสนอความหลากหลายของนิยามใหม่ [ 30 ] บางส่วนของคำนิยามเหล่านี้เน้นตัวแบบของมากของคณิตศาสตร์ บางคนเน้นที่เป็นนามธรรม ,บางคนเน้นบางหัวข้อในคณิตศาสตร์ วันนี้ไม่เอกฉันท์ในความหมายของคณิตศาสตร์ มีชัย แม้แต่ในหมู่ผู้เชี่ยวชาญ [ 7 ] ไม่มีฉันทามติว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะหรือวิทยาศาสตร์ [ 8 ] นักคณิตศาสตร์มืออาชีพที่ดีมากไม่มีความสนใจในความหมายของคณิตศาสตร์ หรือพิจารณา undefinable [ 7 ] บางคนก็พูดว่า " คณิตศาสตร์ คือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำ" [ 7 ]

สามนำประเภทของคำนิยามของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า logicist intuitionist , และ formalist แต่ละโรงเรียนที่แตกต่างกันของความคิดสะท้อนปรัชญา [ 31 ] มีปัญหารุนแรง ไม่มีใครมีฉาวยอมรับ และไม่ปรองดองอาจเป็นไปได้ [ 31 ]

เป็นนิยามแรกของคณิตศาสตร์ในแง่ตรรกะคือเบนจามิน เพิร์ซ " วิทยาศาสตร์ที่วาดข้อสรุปที่จำเป็น " ( 1870 ) [ 32 ] ใน principia Mathematica , เบอร์ทรันด์รัสเซลล์และอัลเฟรด North Whitehead ปรัชญาขั้นสูงโปรแกรมที่รู้จักกันเป็นตรรก และพยายามที่จะพิสูจน์ว่า แนวคิดทางคณิตศาสตร์ งบและหลักการที่สามารถกำหนดและพิสูจน์ทั้งหมดในแง่ของตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ เป็น logicist นิยามของคณิตศาสตร์คือ รัสเซล " คณิตศาสตร์ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ " ( 1903 ) . [ 33 ]

intuitionist นิยามการพัฒนาจากปรัชญาของนักคณิตศาสตร์ l.e.j. บรูเวอร์ ระบุ คณิตศาสตร์ กับ จิตบางอย่างของปรากฏการณ์ตัวอย่างของ intuitionist นิยามคือ " คณิตศาสตร์เป็นกิจกรรมทางจิตซึ่งประกอบด้วยในการสร้างหนึ่งหลังจากที่อื่น ๆ . " [ 31 ] ความไม่ชอบมาพากลของ intuitionism นั้นปฏิเสธบางความคิดทางคณิตศาสตร์ถือว่าถูกต้องตามข้อกำหนดอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในขณะที่ปรัชญาอื่น ๆของคณิตศาสตร์ให้วัตถุที่สามารถพิสูจน์การมีอยู่ถึงแม้ว่าพวกเขาไม่สามารถสร้าง intuitionism อนุญาตเฉพาะวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่หนึ่งจริงสามารถสร้าง

formalist คำจำกัดความระบุคณิตศาสตร์ด้วยสัญลักษณ์และกฎสำหรับการใช้พวกเขา แอสเค็ลล์แกงนิยามคณิตศาสตร์ก็เป็น " วิทยาศาสตร์ของระบบ " อย่างเป็นทางการ[ 34 ] อย่างเป็นทางการเป็นระบบสัญลักษณ์ หรือสัญญาณ และกฎบางอย่างบอกว่าสัญญาณจะถูกรวมไว้ในสูตร ในระบบที่เป็นทางการ คําพังเพยมีความหมายพิเศษที่แตกต่างจากความหมายธรรมดาของ " ความจริง " ตนเอง ในระบบที่เป็นทางการ เป็นสัจพจน์คือการรวมกันของโทเค็นที่ถูกรวมอยู่ในระบบ โดยไม่ต้องระบุอย่างเป็นทางการจะได้รับการใช้กฎของระบบ