root of which added to or subtracte

root of which added to or subtracted from 5 gives parts the product of which is 40. These will be 5 +√ −15 and 5−√−15. Putting aside the mental tortures involved, multiply 5 + √ −15 and 5 − √−15making 25 − (−15) which is +15. Hence this product is 40. 7. Rafael Bombelli authored l’Algebra (1572, and 1579), a set of three books. Bombelli introduces a notation for √ −1, and calls it “piu´ di meno”. The discussion of cubics in l’Algebra follows Cardano, but now the casus irreducibilis is fully discussed. Bombelli considered the equation
x3 = 15x + 4
for which the Cardan formula gives
x =
3 q2 +√−121 + 3 q2−√−121 Bombelli observes that the cubic has x = 4 as a solution, and then proceeds to explain the expression given by the Cardan formula as another expression for x = 4 as follows. He sets 3 q2 +√−121 = a + bi from which he deduces 3 q2−√−121 = a− bi and obtains, after algebraic manipulations, a = 2 and b = 1. Thus x = a + bi + a− bi = 2a = 4 After doing this, Bombelli commented:
“ At first, the thing seemed to me to be based more on sophism than on truth, but I searched until I found the proof.”
8. Ren´e Descartes (1596-1650) was a philosopher whose work, La G´eom´etrie, includes his application of algebra to geometry from which we now have Cartesian geometry. Descartes was pressed by his friends to publish his ideas, and he wrote a treatise on science under the title “Discours de la m´ethod pour bien conduire sa raison et chercher la v´erit´e dans les sciences”. Three appendices to this work were La Dioptrique, Les M´et´eores, and La G´eom´etrie. The treatise was published at Leiden in 1637. Descartes associated imaginary numbers with geometric impossibility. This can be seen from the geometric construction he used to solve the equation z2 = az −b2, with a and b2 both positive. According to [1],Descartes coined the term imaginary:
“For any equation one can imagine as many roots [as its degree would suggest], but in many cases no quantity exists which corresponds to what one imagines.”
9. John Wallis (1616-1703) notes in his Algebra that negative numbers, so long viewed with suspicion by mathematicians, had a perfectly good physical explanation, based on a line with a zero mark, and positive numbers being numbers at a distance from the zero point to the right, where negative numbers are a distance to the left of zero. Also, he made some progress at giving a geometric interpretation to √

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

รากที่เพิ่ม หรือลบออกจากผลิตภัณฑ์ที่เป็น 40 ส่วนให้ 5 เหล่านี้จะเป็น 5 + √ −15 และ 5−√−15 วางเฉย tortures จิตเกี่ยวข้อง คูณ 5 + √ −15 และ 5 − √−15making 25 − (−15) ซึ่งเป็น 15 ดังนั้น ผลิตภัณฑ์นี้เป็น 40 7. Rafael Bombelli เขียน l'Algebra (ค.ศ. 1572 จน และ 1579), ชุดสามเล่ม Bombelli แนะนำสัญกรณ์สำหรับ√ −1 และเรียกว่า "เมโนดิ piu´" การสนทนาของ cubics ใน l'Algebra ตาม Cardano แต่ตอนนี้ casus irreducibilis จะกล่าวถึงทั้งหมด พิจารณาสมการ Bombellix 3 = 15 x + 4ให้สูตร Cardanx =3 q2 + √−121 + 3 q2−√−121 Bombelli พิจารณาว่า ลูกบาศก์ที่มี x = 4 เป็นวิธีแก้ปัญหา และดำเนินการอธิบายนิพจน์ที่กำหนด โดยใช้สูตร Cardan เป็นนิพจน์อื่นสำหรับ x = 4 ดังนั้น เขาตั้ง 3 ไตรมาสที่ 2 + √−121 = a + bi ซึ่งเขา deduces 3 q2−√−121 = a− bi และ เหตุผล หลัง manipulations พีชคณิต การ = 2 และ b = 1 ดังนั้น x = a + bi + a− bi = 2a = 4 หลังจากทำเช่นนี้ แสดงความคิดเห็น Bombelli:"first สิ่งดูเหมือนฉันจะตามมาก sophism กว่าในความจริง แต่ค้นจนพบหลักฐาน"8. Ren´e Descartes (ค.ศ. 1596-1650) เป็นนักปราชญ์เป็นทำงาน ลา G´eom´etrie มีเขาประยุกต์พีชคณิตเรขาคณิตซึ่งตอนนี้เรามีเรขาคณิตคาร์ทีเซียน Descartes กด โดยเพื่อนของเขาเพื่อเผยแพร่ความคิดของเขา และเขาเขียนธรรมศาสตร์วิทยาศาสตร์เรื่อง "เบียน conduire sa raison เท Discours de la m´ethod et chercher ลา v´erit´e dans เลสวิทยาศาสตร์" Appendices สามงานนี้ถูก Dioptrique ลา เลส M´et´eores และ G´eom´etrie ลา ตำรับมีการเผยแพร่ในไลเดนใน 1637 Descartes เชื่อมโยงจินตภาพ ด้วยเป็นไปได้ทำรูปทรงเรขาคณิต นี้สามารถดูได้จากการก่อสร้างรูปทรงเรขาคณิตที่เคยแก้ z2 สมการ = az −b2 กับ b2 และบวกทั้งสองได้ ตาม [1], Descartes จังหวะคำว่าจินตภาพ:"สมการใด ๆ หนึ่งสามารถจินตนาการเป็นจำนวนมากราก [เป็นระดับแนะนำ], แต่ในกรณีที่ไม่มีปริมาณที่สอดคล้องกับสิ่งที่หนึ่งจินตนาการ-"9. จอห์นวาลลิ (ค.ศ. 1616-1703) บันทึกในเขาพีชคณิตเลขที่เป็นค่าลบ นาน ดู ด้วยความสงสัย mathematicians ได้เป็นอย่างดีทางกายภาพอธิบาย ตามบรรทัดที่มีเครื่องหมายเป็นศูนย์ และบวกเป็นตัวเลขที่ห่างจากศูนย์ชี้ไปทางขวา ตัวเลขลบอยู่ห่างจากทางด้านซ้ายของศูนย์ ยัง เขาทำให้ความคืบหน้าบางที่ให้ตีความทางเรขาคณิตการ√

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รากที่เพิ่มหรือลบออกจาก 5 ช่วยให้ชิ้นส่วนสินค้าซึ่งเป็น 40 เหล่านี้จะเป็น 5 + √ -15 และ 5 √-15 ใส่กันทรมานจิตใจที่เกี่ยวข้องกับการคูณ 5 + √ -15 และ 5 - √-15making 25 - (-15) ซึ่งเป็น 15 ดังนั้นผลิตภัณฑ์นี้เป็น 40 7. ราฟาเอล Bombelli ประพันธ์แมงพีชคณิต (1572 และ 1579) ชุดของสามหนังสือ Bombelli แนะนำสัญกรณ์สำหรับ√ -1 และเรียกมันว่า "ดิ piu' meno" การอภิปรายของ cubics ในพีชคณิตแมงดังนี้คาร์ แต่ตอนนี้ irreducibilis เหตุพอเพียงจะกล่าวถึงได้อย่างเต็มที่ Bombelli พิจารณาสมการ
x3 = 15x + 4
ซึ่งสูตร Cardan ให้
x =
3 q2 + √-121 + 3 q2-√-121 Bombelli สังเกตว่าลูกบาศก์มี x = 4 เป็นวิธีแก้ปัญหาแล้ววิธีการที่จะอธิบายการแสดงออก ที่ได้รับจากสูตร Cardan เป็นแสดงออกอื่นสำหรับ x = 4 ดังต่อไปนี้ เขากำหนด 3 q2 + √-121 = a + bi จากการที่เขาฉงนฉงาย 3 q2-√-121 = a- สองและได้รับหลังจากกิจวัตรพีชคณิตเป็น = 2 และ B = 1 ดังนั้น x = a + สอง + a- สอง = 2a = 4 หลังจากการทำเช่นนี้ Bombelli แสดงความคิดเห็น:
". ที่สายแรกสิ่งที่ดูเหมือนจะให้ฉันให้เป็นไปตามเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหลอกหลวงกว่าความจริง แต่ฉันค้นหาจนกว่าฉันจะพบหลักฐาน"
8 Ren'e Descartes (1596-1650) เป็นนักปรัชญาที่มีผลงานการลา G'eom'etrie รวมถึงแอพลิเคชันของเขาพีชคณิตเรขาคณิตซึ่งตอนนี้เรามีรูปทรงเรขาคณิตคาร์ทีเซียน Descartes ถูกกดโดยเพื่อนของเขาที่จะเผยแพร่ความคิดของเขาและเขาเขียนบทความเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ภายใต้ชื่อ "Discours de la m'ethod เท bien conduire สา raison et Chercher ลา dans les v'erit'e วิทยาศาสตร์" สามภาคผนวกกับการทำงานครั้งนี้มี La Dioptrique เล M'et'eores และ La G'eom'etrie หนังสือที่ตีพิมพ์ในที่ Leiden 1637 Descartes ที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้จินตนาการทางเรขาคณิต ดังจะเห็นได้จากการก่อสร้างทางเรขาคณิตที่เขาใช้ในการแก้สมการ z2 = az -b2 ที่มีและ b2 ทั้งด้านบวก ตามที่ [1], Descartes บัญญัติศัพท์คำจินตนาการ:
"สำหรับสมการใดคนหนึ่งสามารถจินตนาการรากเป็นจำนวนมาก [เป็นระดับที่จะแนะนำ] แต่ในหลายกรณีไม่มีจำนวนที่มีอยู่ซึ่งสอดคล้องกับสิ่งที่ใครจะคิด."
9 จอห์นวอลลิส (1616-1703) ตั้งข้อสังเกตในพีชคณิตของเขาว่าตัวเลขติดลบดังนั้นยาวดูด้วยความสงสัยโดยนักคณิตศาสตร์มีคำอธิบายทางกายภาพที่ดีอย่างสมบูรณ์แบบตามที่สอดคล้องกับศูนย์เครื่องหมายและตัวเลขบวกเป็นตัวเลขที่มีระยะทางจากศูนย์ที่ ชี้ไปที่ที่เหมาะสมที่ตัวเลขติดลบอยู่ไกลออกไปทางด้านซ้ายของศูนย์ที่ นอกจากนี้เขายังมีความคืบหน้าบางอย่างที่ให้ความหมายทางเรขาคณิตเพื่อ√

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รากซึ่งเพิ่มหรือหักออกจาก 5 ให้ชิ้นส่วนผลิตภัณฑ์ซึ่งเป็น 40 เหล่านี้จะเป็น 5 √− 15 และ 5 −√− 15 นอกจากจะทรมานจิตเกี่ยวข้อง คูณ 5 √− 15 และ 5 −√− 15making 25 − ( − 15 ) ซึ่งเป็น 15 ดังนั้นผลิตภัณฑ์นี้เป็น 40 7 . ราฟาเอล ฟาน บอมเบลลี่ ( ผู้เขียน l'algebra ใหม่ และก็เลย ) ชุดสามเล่ม บอมเบลลี่ เปิดตัว โน้ต สำหรับ√− 1และเรียกมันว่า " ขึ้นใหม่ ดิ เมโน " การสนทนาของลูกบาศก์ใน l'algebra ดังนี้คาร์ดาโน แต่ตอนนี้ irreducibilis Casus เต็มกล่าว บอมเบลลี่คิดสมการ x

3 = 4 ซึ่ง cardan สูตรให้
x =
3 Q2 √− 121 3 Q2 −√− 121 บอมเบลลี่ตั้งข้อสังเกตว่าลูกบาศก์ได้ x = 4 เป็นโซลูชั่นแล้วเงินที่จะอธิบายการแสดงออกให้โดยสูตร cardan เป็นอีกการแสดงออกสำหรับ x = 4 ดังนี้ เขา 3 ชุด 2 √− 121 = บี ที่เขา deduces 3 Q2 −√− 121 = −บีและได้รับหลังจาก manipulations พีชคณิต , = 2 และ B = 1 ดังนั้น x = บีเป็น−บี = 2A = 4 หลังจากทำแบบนี้ บอมเบลลี่ (
" จึงตัดสินใจเดินทางไปที่ ,สิ่งที่ดูเหมือนฉัน จะอยู่ใน sophism มากกว่าความจริง แต่ผมค้นจนพบหลักฐาน "
8 เรนใหม่ e Descartes ( 1596-1650 ) เป็นนักปรัชญาที่มีผลงาน ลา G ใหม่ etrie ออมใหม่รวมถึงโปรแกรมของพีชคณิตเรขาคณิต ซึ่งตอนนี้เรามีของเรขาคณิต เดส์ถูกกดโดยเพื่อนของเขา เพื่อเผยแพร่ความคิดของเขาและเขาเขียนหนังสือเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ ภายใต้หัวข้อ " ของ de la M ใหม่ ethod เทซาเบียน conduire ความเสียหายและ chercher la V ใหม่ erit ใหม่ E ใน Les วิทยาศาสตร์ " 3 เอกสารประกอบเพื่อทำการลา dioptrique เลส M ใหม่และใหม่ eores และ La G ใหม่ ออมใหม่ etrie . ทุกอย่างถูกตีพิมพ์ใน Leiden ใน 1637 . เดส์เกี่ยวข้องตัวเลขในจินตนาการด้วยรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นไปไม่ได้ซึ่งจะเห็นได้จากการก่อสร้างทางเรขาคณิตที่เขาใช้ในการแก้สมการกขึ้น = AZ − 2 กับ 2 และทั้งบวก ตาม [ 1 ] , Descartes coined คำว่าจินตนาการ :
" ใด ๆหนึ่งสามารถคิดเป็นสมการของปริญญาหลายราก [ แนะนำ ] , แต่ในหลายกรณีไม่มีปริมาณที่มีอยู่ซึ่งสอดคล้องกับสิ่งที่จินตนาการ "
9จอห์นวอลลิส ( 1616-1703 ) บันทึกในพีชคณิตที่ลบตัวเลข ถ้าดูด้วยความสงสัย โดยนักคณิตศาสตร์ มีคำอธิบายทางกายภาพที่ดีอย่างสมบูรณ์ตามบรรทัดที่มีเครื่องหมายศูนย์ , และบวกเลขมีตัวเลขที่ระยะห่างจากจุดศูนย์ไปอยู่ที่ตัวเลขติดลบเป็นระยะทางด้านซ้ายของศูนย์ . นอกจากนี้เขาทำบางอย่างที่ให้ความหมายทางเรขาคณิตเพื่อ√