A number of art museums around the

A number of art museums around the country have been featuring work by an artist
named Mark Lombardi (1951 2000), consisting of a set of intricately rendered graphs.
Building on a great deal of research, these graphs encode the relationships among
people involved in major political scandals over the past several decades: the nodes
correspond to participants, and each edge indicates some type of relationship between
a pair of participants. And so, if you peer closely enough at the drawings, you can
trace out ominous-looking paths from a high-ranking U.S. government official, to a
former business partner, to a bank in Switzerland, to a shadowy arms dealer.
Such pictures form striking examples of social networks, which have nodes representing
people and organizations, and edges representing relationships of various kinds.
And the short paths that abound in these networks have attracted considerable attention
recently, as people ponder what they mean. In the case of Mark Lombardi’s
graphs, they hint at the short set of steps that can carry you from the reputable to the
disreputable.
Of course, a single, spurious short path between nodes v and w in such a network
may be more coincidental than anything else; a large number of short paths between
v and w can be much more convincing. So in addition to the problem of computing
a single shortest v − w path in a graph G, social networks researchers have looked at
the problem of determining the number of shortest v − w paths.
This turns out to be a problem that can be solved efficiently. Suppose we are given
an undirected graph G = (V, E), and we identify two nodes v and w in G. Give an
algorithm that computes the number of shortest v − w paths in G. (The algorithm
should not list all the paths; just the number suffices.) The running time of your
algorithm should be O(m + n) for a graph with n nodes and m edges.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

พิพิธภัณฑ์ศิลปะทั่วประเทศต่าง ๆ มีการมีงาน โดยศิลปินชื่อเครื่องหมาย Lombardi (1951 2000), ประกอบด้วยชุดของกราฟแสดงผลประณีตอาคารการวิจัย กราฟเหล่านี้เข้ารหัสความสัมพันธ์ระหว่างคนที่เกี่ยวข้องกับหลักเรื่องอื้อฉาวทางการเมืองหลายทศวรรษ: โหนสอดคล้องกับผู้เรียน และแต่ละขอบระบุว่า บางชนิดของความสัมพันธ์ระหว่างคู่ของผู้เรียน ดังนั้น ถ้าคุณเพื่อนที่ใกล้ชิดพอที่วาด คุณสามารถติดตามทางดคิลมองจากระดับสูงรัฐบาลสหรัฐฯ การเป็นอดีตพันธมิตรธุรกิจ ธนาคารในสวิตเซอร์แลนด์ การตัวแทนจำหน่ายแขนหมองมัวภาพเช่นแบบฟอร์มตัวอย่างโดดเด่นของเครือข่ายทางสังคม ซึ่งมีโหนดแทนบุคคล และองค์กร และขอบที่แสดงความสัมพันธ์ของชนิดต่าง ๆและเส้นทางสั้นที่มากมายในเครือข่ายเหล่านี้มีความสนใจมากเมื่อเร็ว ๆ นี้ เป็นคนไตร่ตรองความหมาย ในกรณีที่เครื่องหมาย Lombardiกราฟ พวกเขาคำแนะนำในชุดสั้นของขั้นตอนที่สามารถดำเนินการคุณจากชื่อเสียงการเส็งเคร็งแน่นอน เดียว เก๊สั้นเส้นทางระหว่างโหนด v และ w ในเครือข่ายอาจบังเอิญยิ่งกว่าสิ่งอื่นใด เส้นทางสั้น ๆ ระหว่างจำนวนมากv และ w ได้ผลมากขึ้น ดังนั้นนอกเหนือจากปัญหาของระบบคอมพิวเตอร์− v ที่สั้นที่สุดเดียวเส้น w ในกราฟ G นักวิจัยเครือข่ายสังคมได้มองไปที่ปัญหาการกำหนดหมายเลขของ− v ที่สั้นที่สุดเส้นทาง wนี้เปิดออกจะ เป็นปัญหาที่สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ สมมติว่า เราจะได้รับข้อ undirected กราฟ G = (V, E), และเราระบุสองโหน v และ w ใน G. ให้มีอัลกอริทึมที่คำนวณจำนวน− v ที่สั้นที่สุดเส้นทางที่กว้างใน G. (ขั้นตอนวิธีควรแสดงเส้นทาง หมายเลขจึง) ใช้เวลาของคุณอัลกอริทึมควรเป็น O (m + n) สำหรับกราฟที่มีโหนด n และ m ขอบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จำนวนของพิพิธภัณฑ์ศิลปะทั่วประเทศที่ได้รับผลงานโดยศิลปินชื่อมาร์ค Lombardi (1951 2000) ประกอบด้วยชุดของกราฟแสดงผลประณีต. อาคารการจัดการที่ดีของการวิจัยกราฟเหล่านี้เข้ารหัสความสัมพันธ์ระหว่างคนที่เกี่ยวข้องในที่สำคัญเรื่องอื้อฉาวทางการเมืองในช่วงหลายทศวรรษที่ผ่านมา: โหนดสอดคล้องกับผู้เข้าร่วมและขอบแต่ละประเภทของการแสดงให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างบางคู่ของผู้เข้าร่วม ดังนั้นถ้าคุณเพียร์อย่างใกล้ชิดพอที่ภาพวาดที่คุณสามารถติดตามออกเส้นทางที่เป็นลางไม่ดีที่ดูจากการจัดอันดับสูงอย่างเป็นทางการของรัฐบาลสหรัฐไปยังอดีตหุ้นส่วนทางธุรกิจกับธนาคารในประเทศสวิสเซอร์แลนด์ไปยังแขนเงาตัวแทนจำหน่ายก. รูปแบบภาพดังกล่าว ตัวอย่างที่โดดเด่นของเครือข่ายทางสังคมที่มีโหนดที่เป็นตัวแทนของผู้คนและองค์กรและขอบที่เป็นตัวแทนของความสัมพันธ์ของทุกชนิด. และเส้นทางที่สั้นมากในเครือข่ายเหล่านี้ได้ดึงดูดความสนใจมากเมื่อเร็ว ๆ นี้เป็นคนไตร่ตรองสิ่งที่พวกเขาหมายถึง ในกรณีที่มาร์ค Lombardi ของกราฟพวกเขาแบะท่าชุดของขั้นตอนสั้นที่สามารถดำเนินการให้คุณจากที่มีชื่อเสียงไปยังไม่น่าไว้วางใจ. แน่นอนเดียวเส้นทางที่สั้นปลอมระหว่างโหนดโวลต์และน้ำหนักอยู่ในเครือข่ายดังกล่าวอาจจะเป็นเรื่องบังเอิญมากกว่าสิ่งอื่น; เป็นจำนวนมากของเส้นทางสั้น ๆ ระหว่างโวลต์และน้ำหนักสามารถมากน่าเชื่อถือมากขึ้น ดังนั้นนอกเหนือไปจากปัญหาที่เกิดจากการคำนวณA v สั้นเดียว - น้ำหนักเส้นทางในกราฟ G นักวิจัยเครือข่ายทางสังคมได้มองไปที่ปัญหาของการกำหนดจำนวนของโวลต์ที่สั้นที่สุด-. w เส้นทางนี้จะออกมาเป็นปัญหาที่สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ สมมติว่าเราจะได้รับundirected กราฟ G = (V, E) และเราระบุสองโหนดโวลต์และน้ำหนักในกรัมให้อัลกอริทึมที่คำนวณจำนวนโวลต์ที่สั้นที่สุด- น้ำหนักในเส้นทางกรัม (อัลกอริทึมไม่ควรรายการทั้งหมดเส้นทาง. เพียงจำนวนพอเพียง) เวลาการทำงานของคุณขั้นตอนวิธีการที่ควรจะเป็นO (m + n) สำหรับกราฟกับโหนด n และขอบเมตร