4.5.3 How to do it with RThe factor

4.5.3 How to do it with R
The factorial n! is computed with the command factorial(n) and the binomial coefficient (■(n@k)) with the command choose(n,k)
The sample spaces we have computed so far have been relatively small ,and we can visually study them without much trouble. However, it is very easy to generate sample spaces that are prohibitively large. And while R is wonderful and powerful and does almost everything except wash windows, even R has limits of which we should be mindful.
But we often do not need to actually generate the sample space; it suffices to count the number of outcomes. The nsamp function will calculate the number of rows in a sample space made by urnsamples without actually devoting the memory resources necessary to generate the sample space. The arguments are n, the number of (distinguishable) objects in the urn , k , the sample size , and replace , ordered , as above.
Example 4.25. We will compute the number of outcomes for each of the four urnsamples examples that we sew in Example4.2. Recall that we took a sample of size two from an urn with three distinguishable elements.
*******************************โปรแกรม*************************************
Compare these answers with the length of the data frames generated above.


The Multiplication Principle
A benefit of nsamp is that it is vectorized so that entering vectors instead of numbers for n , k , replace ,and ordered results in a vector of corresponding answers. This becomes particularly convenient for combinatorics problems.
Example 4.26. There are 11 artists who each submit a portfolio containing 7 paintings for competition in an art exhibition. Unfortunately, the gallery director only has space in the winners’ section to accommodate 12 paintings in a row equally spread over three consecutive walls. The director decides to give the first , second , and third place winners each a wall to display the work of their choice. The walls boast 31 separate lighting options apiece. How many displays are possible?
Answer: The judges will pick 3 (ranked) winner out of 11 (with rep = FALSSE , ord = TRUE).Each artist will select 4 of his/her paintings from 7 for display in a row(rep = FALSSE , ord = TRUE), and lastly, each of the 3 walls has 31 lighting possibilities(rep = TRUE , ord = FALSSE).These three numbers can be calculated quickly with
*******************************โปรแกรม*************************************
(Notice that ordered is always TRUE;nsamp will recycle ordered and replace to the appropriate length.) By the Multiplication Principle , the number of ways to complete the experiment is the product of the entries of x:
*******************************โปรแกรม*************************************
Compare this with the some other ways to compute the same thing:
*******************************โปรแกรม*************************************
As one can guess, in many of the standard counting problems there aren’t substantial savings in the amount of typing ;it is about the same using nsamp versus factorial and choose. But the virtue of nsamp lies in its collecting the relevant counting formulas in a one-stop shop. Ultimately, it is up to the user to choose the method that works best for him/herself.
Example 4.27. The Birthday Problem. Suppose that there are n people together in a room. Each person announces the date of his/her birthday in turn. The question is: what is the probability of at least one match? If we let the event A represent {there is at least one match},then would like to know P(A), but as we will see ,it is more convenient to calculate P(A^C ).
For starters we will ignore leap years and assume that there are only 365 days in a year. Second, we will assume that births are equally distributed over the course of a year (which is not true due to all sorts of complications such as hospital delivery schedules). See http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem for more.
Let us next think about the sample space. There are 365 possibilities for the first person’s birthday.365 possibilities for the second .and so forth. The total number of possible birthday sequences is therefore#(S)=365n.
Now we will use the complementation trick we saw in Example 4.11.We realize that the only situation in which A does not occur is if there are no matches among all people in the room. That is , only when everybody’s birthday is different.so
P(A)=1-P(Ac)=1-(〖#(A〗^c))/(#(S))
Since the outcomes are equally likely. Let us then suppose that there are no matches. The first person has one of 365 possible birthdays. The second person must not match the first , thus , the second person has only 364 available birthdays from which to choose. Similarly , the third person has only 363 possible birthdays, and so forth , until we reach the nth person. Who has only 365-n+1 remaining possible days for a birthday. By the Multiplication Principle, we have # (Ac)=365 ∙364∙∙∙(365-n+1), and
P(A)= 1-(365 ∙364∙∙∙(365-n+1))/〖365〗^n =1-364/365∙363/365∙∙∙((365-n+1))/365
As a surprising consequence ,consider this : how many people does it take to be in the room so that the probability of at least one match is at least 0.50? Clearly , if there is only n=1 person in the room then the probability of a match is zero, and when there are n=366 people in the room
*******************************กราฟ*************************************
There is a 100% chance of a match (recall that we are ignoring leap yeas). So how many people does it take so that there is an equal chance of a match and no match?
When I have asked this question to students, the usual response is “somewhere around n=180 people” in the room. The reasoning seems to be that in order to get a 50% chance of a match, there should be 50% of the available days to be occupied. The number of students in a typical classroom is 25, so as a companion question I ask students to estimate the probability of a match when there are n=25 students in the room. Common estimates are a 1%, or 0.5%, or even 0.1% chance of a match. After they have given their estimates, we go around the room and each student announces their birthday. More often than not, we observe a match in the class ,to the students’ disbelief.
Student are usually surprised to hear that, using the formula above, one needs only n=23 student to have a greater than 50% chance of at least one match. Figure 4.5.1 shows a graph of the birthday probabilities:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

4.5.3 การทำกับ RN แฟก คำนวณ factorial(n) สั่งและสัมประสิทธิ์ทวินาม (■(n@k))-กับ choose(n,k) คำสั่งช่องว่างอย่างที่เราได้คำนวณจนได้ขนาดค่อนข้างเล็ก และเราสามารถเห็นได้ศึกษาได้ไม่มาก อย่างไรก็ตาม มันจะง่ายมากที่จะสร้างพื้นที่ตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่ prohibitively และ R เป็นยอดเยี่ยม และมีประสิทธิภาพ และไม่เกือบทุกอย่างยกเว้นล้าง windows, R แม้มีราคาที่เราควรคำนึงถึงขีดจำกัดแต่เรามักจะไม่จำเป็นต้องสร้างพื้นที่ตัวอย่าง มัน suffices การนับจำนวนผลลัพธ์ ฟังก์ชัน nsamp จะคำนวณจำนวนของแถวในพื้นที่ตัวอย่างที่ทำไม่จริง devoting ทรัพยากรหน่วยความจำจำเป็นเพื่อสร้างพื้นที่ตัวอย่าง urnsamples อาร์กิวเมนต์เป็นวัตถุหมายเลข (แตกต่าง) ในผอบ k จิ๋ว แทน สั่ง ดังกล่าว n ตัวอย่างที่ 4.25 เราจะคำนวณจำนวนของผลลัพธ์แต่ละตัวอย่าง urnsamples สี่ที่เราเย็บ Example4.2 นึกว่า เราเอาตัวอย่างของขนาดสองจากผอบมีสามองค์ประกอบที่แตกต่าง*******************************โปรแกรม*************************************เปรียบเทียบคำตอบเหล่านี้ มีความยาวของเฟรมข้อมูลที่สร้างขึ้นเหนือหลักการคูณสวัสดิการของ nsamp ไม่ว่า จะเป็น vectorized เพื่อให้การป้อนเวกเตอร์แทนเลข n, k แทน และผลสั่งเวกเตอร์ของคำตอบที่สอดคล้องกัน นี้จะสะดวกโดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาคณิตศาสตร์เชิงการจัดตัวอย่างที่ 4.26 มี 11 ศิลปินที่แต่ละส่งผลงานภาพวาด 7 ในการแข่งขันในการจัดแสดงศิลปะที่ประกอบด้วย อับ กรรมการเก็บเฉพาะมีพื้นที่ในส่วนของผู้ชนะเพื่อรองรับ 12 ภาพในแถวเท่า ๆ กัน แพร่กระจายติดต่อกันกว่าคติ กรรมการที่ตัดสินใจให้ที่สองแรก และที่สาม วางผู้ชนะแต่ละผนังเพื่อแสดงการทำงานของ ผนังโม้ 31 แยกไฟตัวหนึ่ง แสดงจำนวนที่เป็นไปได้หรือไม่คำตอบ: ผู้พิพากษาจะเลือกผู้ชนะ (จัดอันดับ) 3 จาก 11 (พร้อมตัวแทน = FALSSE ใบสั่ง = TRUE) ศิลปินแต่ละจะเลือก 4 ของเขา/เธอภาพ 7 แสดงในแถว (ตัวแทน = FALSSE ใบสั่ง = TRUE), และสุดท้าย ผนัง 3 มี 31 แสงไป (ตัวแทน = TRUE ใบสั่ง = FALSSE) เลขสามตัวนี้สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วด้วย *******************************โปรแกรม*************************************(สังเกตที่สั่งเป็นจริงเสมอ nsamp จะสั่งรีไซเคิล และเปลี่ยนตามระยะเวลาที่เหมาะสม) โดยใช้หลักการคูณ วิธีการทดลองมีจำนวนสินค้าของรายการ x:*******************************โปรแกรม*************************************เปรียบเทียบนี้ มีบางวิธีต่าง ๆ การคำนวณเดียวกัน:*******************************โปรแกรม*************************************เป็นหนึ่งสามารถคาดเดา ในมาตรฐานนับปัญหา ไม่มีประหยัดพบจำนวนพิมพ์ เป็นเหมือนกันใช้ nsamp กับแฟกทอเรียล และเลือก แต่คุณธรรมของ nsamp อยู่ในสูตรนับเกี่ยวข้องในร้านต้องการรวบรวม ในที่สุด ได้ถึงผู้ใช้สามารถเลือกวิธีที่ดีที่สุดสำหรับเขา/ตัวเองอย่าง 4.27 วันเกิดปัญหา สมมติว่า มี n คนเข้าด้วยกันในห้องพัก แต่ละคนประกาศวันที่ของวันเกิดเขา/เธอจะ คำถาม: น่าน้อยจับคู่คืออะไร ถ้าเราปล่อยให้เหตุการณ์แสดงถึง {มีน้อยตรง}, แล้ว อยากรู้ P(A) แต่เราจะเห็น จะสะดวกในการคำนวณ P(A^C)การเริ่ม เราจะละเว้นปีอธิกสุรทิน และสมมติว่า มีเพียง 365 วันในหนึ่งปี สอง เราจะสมมติว่า เกิดเท่า ๆ กันกระจายผ่านหลักสูตรของปี (ซึ่งไม่เป็นความจริงเนื่องจากทุกประเภทของภาวะแทรกซ้อนเช่นกำหนดการจัดส่งโรงพยาบาล) ดู http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมให้เรานั้นคิดถึงพื้นที่ตัวอย่าง มีไป 365 สำหรับไป birthday.365 คนแรกสำหรับแบบที่สองและอื่น ๆ ออก จำนวนของลำดับวันเกิดได้จึง #(S) = 365nตอนนี้เราจะใช้ เทคนิค complementation ที่เราเห็นในตัวอย่าง 4.11.We ตระหนักถึงสถานการณ์เฉพาะซึ่ง A ไม่เกิดขึ้นว่าถ้ามีไม่ตรงกันทุกคนในห้อง นั่นคือ เฉพาะ เมื่อวันเกิดของทุกคนเป็น different.soP(A)=1-P(Ac)=1-(〖#(A〗^c))/(#(S))เนื่องจากผลลัพธ์จะเท่ากัน ให้เราแล้วสมมติว่า มีตรงกันไม่ คนแรกมี 365 วันเกิดที่เป็นไปได้อย่างใดอย่างหนึ่ง คนที่สองไม่ต้องแรก ดังนั้น คนที่สองได้เกิดว่าง 364 เท่าที่ ในทำนองเดียวกัน บุคคลที่สามมีเพียง 363 ได้เกิด และอื่น ๆ จนกว่าเราเข้าถึงคนที่ n ที่มีเพียง 365-n + 1 ที่เหลืออยู่ ไปวันวันเกิด โดยใช้หลักการคูณ เรามี# (Ac) = 365 ∙364∙∙∙(365-n+1) และ P(A) = 1-(365 ∙364∙∙∙(365-n+1))/〖365〗 ^ n =1-364/365∙363/365∙∙∙((365-n+1)) / 365เป็นสัจจะที่น่าแปลกใจ พิจารณานี้: คนใช้เวลาอยู่ในห้องนั้นน่าจับน้อยเป็นอย่างน้อย 0.50 ชัดเจน ถ้ามีเฉพาะ n = 1 คนในห้อง แล้วตรงนี้น่าเป็นศูนย์ และ เมื่อมี n = 366 คนในห้อง*******************************กราฟ*************************************มีโอกาส 100% ตรงกัน (เราจะละเว้น yeas กระโดดเรียกคืน) ดังนั้น คนใช้เวลาให้เป็นพอ ๆ กันตรงและไม่ตรงกันเมื่อได้ถามคำถามนี้กับนักเรียน มีการตอบสนองที่ปกติ "อยู่รอบ n = 180 คน" ในห้อง เหตุผลที่น่าจะ เป็นที่การได้ 50% ของการแข่งขัน ควรมี 50% วันว่างจะว่าง จำนวนนักเรียนในห้องเรียนปกติคือ 25 เพื่อเป็นคำถามเพื่อน ฉันให้นักเรียนประเมินความเป็นไปได้ของการแข่งขันเมื่อมี n = 25 นักเรียนในห้อง ประเมินทั่วไปเป็น 1% หรือ 0.5% หรือแม้แต่ 0.1% โอกาสของการแข่งขัน หลังจากที่พวกเขาได้รับการประเมิน เราไปรอบห้อง และนักเรียนประกาศวันเกิดของพวกเขา มากมักจะไม่เป็น เราสังเกตตรงกันในชั้นเรียน การ disbelief ของนักเรียน นักเรียนมักจะแปลกใจที่ได้ยินว่า ใช้สูตรข้างต้น หนึ่งต้อง n เท่านั้น =นักเรียน 23 ต้องการมากขึ้นกว่า 50% โอกาสของการแข่งขันน้อย รูป 4.5.1 แสดงกราฟของกิจกรรมวันเกิด:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

4.5.3 วิธีที่จะทำมันด้วย R
โทรศัพท์ n ปัจจัย! คำนวณกับปัจจัยคำสั่ง (n) และค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม (■ (n @ k)) ที่มีคำสั่งเลือก (n, k)
ช่องว่างตัวอย่างที่เราได้คำนวณเพื่อให้ห่างไกลได้รับที่ค่อนข้างเล็กและเรามองเห็นสามารถศึกษาได้โดยไม่ต้อง ปัญหามาก แต่มันเป็นเรื่องง่ายมากที่จะสร้างพื้นที่ตัวอย่างที่มีขนาดใหญ่สาหัส และในขณะที่ R คือที่ยอดเยี่ยมและมีประสิทธิภาพและไม่เกือบทุกอย่างยกเว้นหน้าต่างล้างแม้ R มีข้อ จำกัด ที่เราควรจะมีสติ.
แต่เรามักจะไม่จำเป็นต้องสร้างพื้นที่จริงตัวอย่าง; มันพอเพียงที่จะนับจำนวนของผล ฟังก์ชั่น nsamp จะคำนวณจำนวนแถวในพื้นที่ตัวอย่างที่ทำโดย urnsamples ไม่จริงอุทิศทรัพยากรหน่วยความจำที่จำเป็นในการสร้างพื้นที่ตัวอย่าง ข้อโต้แย้งที่มี n จำนวน (แตกต่าง) วัตถุในโกศ, k ขนาดตัวอย่างและแทนที่สั่งการดังกล่าวข้างต้น.
ตัวอย่าง 4.25 เราจะคำนวณจำนวนของผลสำหรับแต่ละสี่ urnsamples ตัวอย่างที่เราเย็บ Example4.2 จำได้ว่าเราเอาตัวอย่างของทั้งสองขนาดโกศที่มีสามความแตกต่างอย่างเป็น คำตอบเหล่านี้มีความยาวของเฟรมข้อมูลที่สร้างขึ้นดังกล่าวข้างต้น. หลักการคูณประโยชน์ของ nsamp เป็นว่ามัน vectorized เพื่อให้เข้าเวกเตอร์แทนตัวเลขสำหรับ n, k แทนและสั่งให้ผลลัพธ์ในเวกเตอร์ของคำตอบที่สอดคล้องกัน นี้จะกลายเป็นความสะดวกสบายโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปัญหา combinatorics. ตัวอย่าง 4.26 มี 11 ศิลปินที่ส่งผลงานของแต่ละคนที่มีภาพวาดที่ 7 สำหรับการแข่งขันในการจัดนิทรรศการศิลปะ แต่น่าเสียดายที่ผู้อำนวยการแกลลอรี่เท่านั้นที่มีพื้นที่ในส่วนผู้ชนะที่จะรองรับ 12 ภาพวาดในแถวแพร่กระจายอย่างเท่าเทียมกันกว่าสามผนังติดต่อกัน ผู้อำนวยการตัดสินใจที่จะให้ครั้งแรกที่สองและสามผู้ชนะแต่ละสถานที่ผนังที่จะแสดงผลงานของทางเลือกของพวกเขา ผนังโม้ 31 ตัวเลือกแสงที่แยกจากกันคนละ วิธีการแสดงจำนวนมากที่ไปได้หรือไม่คำตอบ: ผู้พิพากษาจะเลือก 3 (การจัดอันดับ) ผู้ชนะจาก 11 (มีตัวแทน = FALSSE, อ๊อด = TRUE) ศิลปินห้องพักทุกห้องจะเลือก 4 / ภาพวาดของเธอของเขาจาก 7 สำหรับการแสดงผลในแถว (ตัวแทน = FALSSE, อ๊อด = TRUE) และสุดท้ายแต่ละผนัง 3 มีความเป็นไปได้ 31 แสง (ตัวแทน = TRUE, อ๊อด = FALSSE) สามตัวเลขเหล่านี้สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วด้วย ************ ******************* โปรแกรม ****************************** ******* (. ขอให้สังเกตว่ามีคำสั่งอยู่เสมอ TRUE; nsamp จะรีไซเคิลสั่งซื้อและเปลี่ยนความยาวที่เหมาะสม) โดยหลักการคูณหลายวิธีที่จะเสร็จสิ้นการทดลองเป็นผลิตภัณฑ์ของรายการของ x ไปนี้: * * * * ****************************** โปรแกรม ******************* ****************** เปรียบเทียบกับวิธีอื่น ๆ ในการคำนวณในสิ่งเดียวกัน: ******************* ************ โปรแกรม ************************************* ในฐานะที่เป็นหนึ่งสามารถคาดเดาในหลายปัญหาที่เกิดขึ้นนับมาตรฐานไม่มีเงินออมที่สำคัญในจำนวนของการพิมพ์นั้นมันเป็นเรื่องเดียวกันโดยใช้ nsamp เมื่อเทียบกับปัจจัยและเลือก แต่อาศัยอำนาจตามความ nsamp อยู่ในการเก็บรวบรวมสูตรการนับที่เกี่ยวข้องในร้านค้าแบบครบวงจรของมัน ในท้ายที่สุดมันก็ขึ้นอยู่กับผู้ใช้สามารถเลือกวิธีการที่ดีที่สุดสำหรับเขา / เธอ. ตัวอย่าง 4.27 วันเกิดปัญหา สมมติว่ามี n คนร่วมกันในห้องพัก แต่ละคนประกาศวันที่ / วันเกิดของเธอของเขาในการเปิด คำถามคือสิ่งที่เป็นความน่าจะเป็นของอย่างน้อยหนึ่งแมตช์? ถ้าเราปล่อยให้เหตุการณ์เป็นตัวแทน {มีอย่างน้อยหนึ่งในการแข่งขัน} แล้วอยากจะรู้ว่า P (A) แต่ที่เราจะเห็นก็จะสะดวกมากขึ้นในการคำนวณ P (A ^ C). สำหรับ starters เราจะไม่สนใจ กระโดดปีและคิดว่ามีเพียง 365 วันในหนึ่งปี ประการที่สองเราจะสมมติว่าเกิดมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันในช่วงเวลาของปี (ซึ่งไม่เป็นความจริงเนื่องจากการทุกประเภทของภาวะแทรกซ้อนเช่นตารางการส่งโรงพยาบาล) ดู http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem มาก. ขอให้เราต่อไปคิดเกี่ยวกับพื้นที่ตัวอย่าง มีความเป็นไปได้สำหรับ 365 คนแรกของความเป็นไปได้สำหรับ birthday.365 .and สองอื่น ๆ มี จำนวนรวมของลำดับวันเกิดที่เป็นไปได้ดังนั้นจึงเป็น # (S) = 365n. ตอนนี้เราจะใช้เคล็ดลับ complementation ที่เราเห็นในตัวอย่างที่ 4.11.We ตระหนักดีว่าสถานการณ์เดียวที่ใช้การไม่ได้เกิดขึ้นคือถ้ามีการแข่งขันที่ไม่มีในหมู่คนทุกคน ในห้อง. นั่นคือเฉพาะเมื่อวันเกิดของทุกคนเป็น different.so P (A) = 1-P (Ac) = 1 - (# 〖 (A 〗 ^ c)) / (# (S)) เนื่องจากผลที่มีแนวโน้มที่เท่าเทียมกัน ขอให้เราแล้วคิดว่ามีการแข่งขันที่ไม่มี คนแรกที่มีหนึ่งใน 365 วันเกิดที่เป็นไปได้ คนที่สองจะต้องไม่ตรงกับครั้งแรกที่ทำให้คนที่สองมีเพียง 364 วันเกิดที่มีอยู่ที่จะเลือก ในทำนองเดียวกันบุคคลที่สามมีเพียง 363 วันเกิดที่เป็นไปได้และอื่น ๆ จนกว่าจะถึงคนที่ n ใครมีเพียง 365 1 + n วันเป็นไปได้ที่เหลือสำหรับวันเกิด โดยหลักการคูณเรามี # (Ac) = 365 ∙ 364 ∙∙∙ (365-1 + n) และP (A) = 1 (365 ∙ 364 ∙∙∙ (365-1 + n)) / 〖 365 〗 ^ n = 1-364 / 365 ∙ 363/365 ∙∙∙ ((365-1 + n)) / 365 เป็นผลที่น่าแปลกใจพิจารณานี้ว่าหลายคนที่ไม่ได้ใช้เวลาอยู่ในห้องเพื่อให้ น่าจะเป็นของอย่างน้อยหนึ่งในการแข่งขันเป็นอย่างน้อย 0.50? เห็นได้ชัดว่ามีเพียงคนเดียวที่ n = 1 ในห้องพักแล้วน่าจะเป็นของการแข่งขันเป็นศูนย์และเมื่อมีจำนวน 366 คนในห้องพัก***************** ************** กราฟ *********************************** ** มีโอกาส 100% ของการแข่งขัน (จำว่าเราจะไม่สนใจ yeas ก้าวกระโดด) เป็น ดังนั้นวิธีที่หลาย ๆ คนที่ไม่ได้ใช้เพื่อให้มีโอกาสเท่าเทียมกันในการแข่งขันและการแข่งขันไม่? เมื่อฉันได้ถามคำถามให้กับนักเรียนที่นี้การตอบสนองตามปกติคือ "บางรอบ n = 180 คน" ในห้องพัก เหตุผลน่าจะเป็นว่าในการที่จะได้รับโอกาส 50% ของการแข่งขันควรจะมี 50% ของจำนวนวันที่จะครอบครอง จำนวนนักเรียนในห้องเรียนทั่วไปคือ 25 เพื่อให้เป็นคำถามสหายผมขอให้นักเรียนที่จะประเมินความน่าจะเป็นของการแข่งขันเมื่อมีจำนวน 25 คนในห้องพัก ประมาณการสามัญเป็น 1% หรือ 0.5% หรือแม้กระทั่งโอกาสที่ 0.1% ของการแข่งขัน หลังจากที่พวกเขาได้ให้การประมาณการของพวกเขาที่เราจะไปรอบ ๆ ห้องและนักเรียนแต่ละคนประกาศเกิดของพวกเขา บ่อยกว่าไม่, เราสังเกตการแข่งขันในชั้นเรียนเพื่อให้การปฏิเสธศรัทธาของนักเรียน. นักศึกษามักจะประหลาดใจที่ได้ยินว่าใช้สูตรข้างต้นหนึ่งต้องเพียง n = 23 นักเรียนจะมีโอกาสมากขึ้นกว่า 50% อย่างน้อย หนึ่งในการแข่งขัน รูปที่ 4.5.1 แสดงกราฟของความน่าจะเป็นวันเกิดที่:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

4.5.3 ทำยังไงกับ R
แฟกทอเรียล n ! จะคำนวณด้วยคำสั่งแฟกทอเรียล ( N ) และสัมประสิทธิ์ทวินาม ( ■ ( @ k ) ด้วยคำสั่งเลือก ( n , k )
ตัวอย่างเป็นเราได้คำนวณจนมีขนาดค่อนข้างเล็ก และเราสามารถมองเห็นการศึกษาพวกเขาได้โดยไม่มีปัญหามาก อย่างไรก็ตาม , มันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างช่องว่างที่ถูก prohibitively ตัวอย่างขนาดใหญ่และในขณะที่ R เป็นที่ยอดเยี่ยมและมีประสิทธิภาพและทำเกือบทุกอย่างยกเว้น Windows ล้างแม้ R มีข้อจำกัด ซึ่งเราควรจะใจจดใจจ่อ .
แต่เรามักจะไม่ต้องจริงสร้างพื้นที่ตัวอย่าง มันก็ให้นับจํานวนผลลัพธ์ฟังก์ชัน nsamp จะคำนวณจำนวนแถวในพื้นที่ตัวอย่างที่ทำโดย urnsamples โดยไม่ต้องทุ่มเททรัพยากรที่จำเป็นเพื่อสร้างหน่วยความจำตัวอย่างพื้นที่ อาร์กิวเมนต์ n เป็นจำนวน ( แยกแยะ ) วัตถุในโกศ , K , ขนาดตัวอย่างและแทนที่คำสั่งข้างต้น
ตัวอย่าง 4.25 .เราจะคำนวณตัวเลขของผลสำหรับแต่ละสี่ urnsamples ตัวอย่างที่เราเย็บ example4.2 . จำได้ว่า เราเอาตัวอย่างของขนาดสองจากผอบที่มีสามองค์ประกอบที่แตกต่าง .
******************************* โปรแกรม *************************************
เปรียบเทียบคำตอบเหล่านี้กับความยาวของเฟรมข้อมูลที่สร้างขึ้นข้างบน



กฎการคูณประโยชน์ของ nsamp ก็คือว่ามัน vectorized เพื่อป้อนเวกเตอร์แทนเลข n , K , แทน และสั่งให้ผลในเวกเตอร์ของคำตอบที่สอดคล้องกัน นี้จะสะดวกโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับคณิตศาสตร์เชิงการจัดปัญหา .
ตัวอย่าง 4.26 . มี 11 ศิลปินที่ส่งแต่ละผลงานที่มี 7 ภาพวาดเพื่อการแข่งขันในนิทรรศการศิลปะ ขออภัยผู้อำนวยการหอศิลป์ มีเพียงพื้นที่ในส่วนของผู้ชนะเพื่อรองรับ 12 ภาพในแถวอย่างเท่าเทียมกันกระจายไปสามผนังติดกัน ผู้กำกับตัดสินใจให้แรกที่สองและที่สามผู้ชนะแต่ละผนังเพื่อแสดงการทำงานของทางเลือกของพวกเขา ผนังโม้ 31 แยกแสงตัวเลือกแต่ละ วิธีการหลายแสดงที่เป็นไปได้ ?
ตอบคณะกรรมการจะเลือก 3 ( อันดับ ) ผู้ชนะจาก 11 ( กับตัวแทน = falsse อ๊อด , จริง = ) ศิลปินแต่ละคน จะเลือก 4 ภาพวาดของเขา / เธอจาก 7 เพื่อแสดงในแถว ( ตัวแทน = falsse อ๊อด , จริง = ) , และสุดท้าย แต่ละที่ 3 ผนังมี 31 โอกาสแสงสว่าง ( ตัวแทน = = จริง เพื่อ falsse ) ตัวเลขทั้ง 3 สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วด้วย
******************************* โปรแกรม *************************************
( สังเกตได้ว่าสั่งเป็นจริงเสมอ ; nsamp จะรีไซเคิลสั่งและแทนที่เพื่อความยาวที่เหมาะสม ) โดยกฎการคูณ จำนวนวิธีที่จะเสร็จสมบูรณ์การทดสอบผลิตภัณฑ์ของรายการของ X :

******************************* โปรแกรม *************************************เปรียบเทียบกับบางวิธีอื่น ๆเพื่อหาสิ่งที่เหมือนกัน

******************************* โปรแกรม ************************************* เป็นหนึ่งสามารถคาดเดาในหลายมาตรฐานนับปัญหาไม่มีความประหยัดในปริมาณการพิมพ์ มันเป็นเรื่องเดียวกันกับที่ใช้ nsamp เมื่อเทียบกับการทดลองและเลือกแต่ธรรมของ nsamp ตั้งอยู่ในการเก็บรวบรวมที่เกี่ยวข้องนับสูตรได้ในร้านเดียว ในที่สุดก็ขึ้นอยู่กับผู้ใช้ เพื่อเลือกวิธีที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเขา / เธอ .
ตัวอย่าง 4.27 . เกิดปัญหา สมมติว่ามี N คนห้องเดียวกัน แต่ละคนประกาศวันที่ของเขา / เธอในวันเกิด ในการเปิด คำถาม : อะไรคือความเป็นไปได้อย่างน้อยหนึ่งตรงถ้าเราปล่อยให้เหตุการณ์แทน { } มีอย่างน้อยหนึ่งคู่ แล้วอยากทราบว่า P ( A ) แต่ที่เราเห็น มันสะดวกกว่าที่จะคำนวณ P (
c )
ก่อนอื่นเราจะไม่สนใจกระโดดปีและสมมติว่ามีเพียง 365 วันใน 1 ปี . ประการที่สองเราจะสมมติว่าเกิดมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันผ่านหลักสูตรของปี ( ซึ่งไม่เป็นความจริง เนื่องจากทุกประเภทของภาวะแทรกซ้อน เช่น กำหนดการส่งโรงพยาบาล ) ดู http://en.wikipedia.org/wiki/birthday_problem เพิ่มเติม .
เราถัดไปคิดเกี่ยวกับตัวอย่างพื้นที่ มี 365 ความเป็นไปได้สำหรับคนแรกของ birthday.365 โอกาสที่สอง และอื่น ๆจำนวนของลำดับวันเกิดที่สุดจึง# ( s ) = 365n .
ตอนนี้เราจะใช้เอนไซม์กลที่เราเห็นในตัวอย่าง 4.11.we ตระหนักว่าสถานการณ์เท่านั้น ซึ่งจะไม่เกิดขึ้นถ้าไม่มีการแข่งขันในหมู่คนทั้งหมดในห้อง นั่นคือ เมื่อวันเกิดของทุกคนจะแตกต่างกัน ดังนั้น
P ( A ) = 1-p ( AC ) = 1 - ( 〖# ( 〗
c ) / ( # ( s )
ตั้งแต่ผลมีแนวโน้มที่เท่าเทียมกันให้เราสมมติว่ามีไม่ตรงกัน คนแรกมี 365 วันเป็นไปได้ คนที่สอง จะต้องไม่ตรงกับครั้งแรก ดังนั้น คนที่ 2 ได้แค่ 364 ของวันเกิดที่ต้องเลือก ส่วนคนที่สามได้เพียง 363 เป็นไปได้วันเกิดและอื่น ๆจนกว่าเราจะไปถึงครั้งที่ร้อยคน ใครมีเหลือเพียง 1 วัน 365-n เป็นไปได้สำหรับวันเกิดโดยกฎการคูณ เรามี# ( AC ) = 365 ∙ 364 ∙∙∙ ( 365-n 1 ) ,
p ( A ) = 1 - ( 365 ∙ 364 ∙∙∙ ( 365-n 1 ) ) / 〖 365 〗
n = 1-364 / 365 ∙ 363 / 365 ∙∙∙ ( ( 365-n 1 ) / 365
ผลที่ตามมา , น่าแปลกใจพิจารณานี้ต้องใช้คนกี่คนอยู่ในห้องแล้วว่าน่าจะเป็นอย่างน้อยหนึ่งนัดเป็นอย่างน้อย 0.50 ? อย่างชัดเจนหากมีเพียง n = 1 คนในห้อง น่าจะตรงกันคือศูนย์ และเมื่อมี N = 366 คนในห้อง

******************************* กราฟ ************************************* มีโอกาส 100% ของราคา ( จำได้ว่า เราจะไม่สนใจกระโดด yeas ) ดังนั้น ต้องใช้คนกี่คน ให้มี โอกาสที่เท่าเทียมกันของการแข่งขันและการแข่งขัน
เมื่อผมถามคำถามนี้กับนักเรียน การตอบสนองที่ปกติคือ " แถว N = 180 คน " ในห้อง ดูเหมือนว่าเหตุผลที่เป็นเพื่อที่จะได้มีโอกาส 50% ของราคาควรมี 50% ของวันพร้อมที่จะครอบครอง จำนวนนักเรียนในชั้นเรียนปกติคือ 25ดังนั้นเป็นคำถามเพื่อนฉันถามนักเรียนเพื่อประเมินความน่าจะเป็นของการแข่งขัน เมื่อมี N = 25 นักเรียนในห้อง ประมาณการทั่วไปคือ 1% , หรือ 0.5 เปอร์เซ็นต์ , หรือแม้กระทั่ง 0.1% โอกาสของการแข่งขัน หลังจากที่พวกเขาได้ให้ประมาณการของพวกเขา เราเดินไปรอบๆห้องและนักเรียนแต่ละประกาศวันเกิดของพวกเขา บ่อยกว่าไม่ , เราสังเกตตรงในชั้นเรียน การไม่ยอมรับของนักเรียน
นักเรียนมักจะประหลาดใจที่ได้ยินว่า ใช้สูตรข้างต้น หนึ่งต้องการเพียง n = นักเรียน 23 มีมากกว่า 50% โอกาสอย่างน้อยหนึ่งตรงกัน รูป 4.5.1 แสดงกราฟของวันเกิด :
ความน่าจะเป็น