Euclid's Axioms and PostulatesOne i

Euclid's Axioms and Postulates

One interesting question about the assumptions for Euclid's system of geometry is the difference between the "axioms" and the "postulates." "Axiom" is from Greek axíôma, "worthy." An axiom is in some sense thought to be strongly self-evident. A "postulate," on the other hand, is simply postulated, e.g. "let" this be true. There need not even be a claim to truth, just the notion that we are going to do it this way and see what happens. Euclid's postulates, indeed, could be thought of as those assumptions that were necessary and sufficient to derive truths of geometry, of some of which we might otherwise already be intuitively persuaded. As first principles of geometry, however, both axioms and postulates, on Aristotle's understanding, would have to be self-evident. This never seemed entirely quite right, at least for the Fifth Postulate -- hence many centuries of trying to derive it as a Theorem. In the modern practice, as in Hilbert's geometry, the first principles of any formal deductive system are "axioms," regardless of what we think about their truth -- which in many cases has been a purely conventionalistic attitude. Given Kant's view of geometry, however, the Euclidean distinction could be restored: "axioms" would beanalytic propositions, and "postulates" synthetic. Whether any of Euclid's original axioms are analytic is a good question.
• First Axiom: Things which are equal to the same thing are also equal to one another.
• Second Axiom: If equals are added to equals, the whole are equal.
• Third Axiom: If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.
• Fourth Axiom: Things which coincide with one another are equal to one another.
• Fifth Axiom: The whole is greater than the part.
• First Postulate: To draw a line from any point to any point.
• Second Postulate: To produce a finite straight line continuously in a straight line.
• Third Postulate: To describe a circle with any center and distance.
• Fourth Postulate: That all right angles are equal to one another.
• Fifth Postulate: That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side of which are the angles less than the two right angles.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สัจพจน์ของยุคลิดและ Postulatesหนึ่งคำถามที่น่าสนใจเกี่ยวกับสมมติฐานในระบบเรขาคณิตของยุคลิดเป็นความแตกต่างระหว่าง "สัจพจน์" และการ "postulates" "สัจพจน์" มาจากภาษากรีก axíôma "ที่คุ้มค่า" สัจพจน์อยู่ในความรู้สึกบางความคิดที่จะขอวีรกรรม เป็น "postulate ในทางกลับกัน เป็นเพียง postulated เช่น "ปล่อย"นี้เป็นจริง มีไม่ได้ต้องเรียกร้องความจริง ความคิดที่เราจะไปทำเช่นนี้ และดูว่าเกิดอะไรขึ้น เพียง ของยุคลิด postulates แน่นอน อาจจะคิดว่า เป็นสมมติฐานเหล่านั้นที่จำเป็น และเพียงพอได้รับของเรขาคณิต บางส่วนของ เราอาจมิฉะนั้นแล้วจะหมดเกลี้ยกล่อม เป็นหลักการแรกของเรขาคณิต ไร สัจพจน์และ postulates ในความเข้าใจของอริสโตเติล จะได้เป็นวีรกรรม นี้ไม่เคยดูเหมือนทั้งหมดค่อนข้างขวา น้อยสำหรับห้า Postulate — ดังนั้นหลายศตวรรษของการพยายามสืบทอดมาเป็นทฤษฎีบท ในทางปฏิบัติทันสมัย ในเรขาคณิตของฮิลแบร์ท ระบบ deductive ใด ๆ เป็นหลักแรกคือ "สัจพจน์ ว่าสิ่งที่เราคิดเกี่ยวกับความจริงของพวกเขา - ซึ่งในหลายกรณีได้รับทัศนคติ conventionalistic เพียงอย่างเดียว กำหนดมุมมองของ Kant ของเรขาคณิต ไร แตก Euclidean อาจสามารถคืนค่า: "สัจพจน์" จะเริ่ม beanalytic และหนังสังเคราะห์ "postulates" ได้ ว่าสัจพจน์เดิมของยุคลิดเป็นคู่เป็นคำถามที่ดี•สัจพจน์แรก: สิ่งที่เท่ากับสิ่งเดียวกันก็เท่ากับคนอื่น•สองสัจพจน์: ถ้ามีเพิ่มเท่ากับ เท่ากับทั้งหมดเท่ากัน•สัจพจน์ที่ 3: ถ้าเท่ากับถูกหักออกจากเท่ากับ remainders อยู่เท่านั้น•สัจพจน์ที่สี่: สิ่งที่สอดคล้องกับกันจะเท่ากับคนอื่น•สัจพจน์ที่ห้า: ทั้งหมดมีค่ามากกว่าส่วนการ• Postulate แรก: การวาดเส้นจากจุดใด ๆ ไปยังจุดใด ๆ•สอง Postulate: ผลิตเส้นจำกัดอย่างต่อเนื่องในแนวเส้นตรง•สาม Postulate: เพื่ออธิบายวงกลมใด ๆ ศูนย์และระยะทาง• Postulate 4: มุมขวาทั้งหมดเท่ากับคนอื่น•ห้า Postulate: ว่า ถ้าอยู่ในเส้นตรงสองเส้นตรงทำมุมภายในบนข้างเดียวกันมุมขวาน้อยกว่าสอง สองเส้นตรง ถ้าผลิตโดยไม่จำกัดเวลา ตอบสนองด้านนั้นซึ่งเป็นมุมน้อยกว่าทั้งสองมุมขวา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สัจพจน์ของ Euclid และสมมุติฐานหนึ่งคำถามที่น่าสนใจเกี่ยวกับสมมติฐานสำหรับระบบของEuclid ของเรขาคณิตคือความแตกต่างระหว่าง "หลักการ" และ "สมมุติฐาน." "ความจริง" มาจากภาษากรีก Axioma "คุ้มค่า". ความจริงที่อยู่ในความรู้สึกบางอย่างความคิดที่จะขอตัวเองชัดเจน เป็น "หลักฐาน" ในมืออื่น ๆ ที่มีการตั้งสมมติฐานเพียงเช่น "ให้" นี้จะเป็นจริง ไม่จำเป็นต้องมีแม้จะเรียกร้องความจริงเพียงแค่ความคิดที่ว่าเราจะทำมันด้วยวิธีนี้และดูสิ่งที่เกิดขึ้น สมมุติฐานของยุคลิดจริงอาจจะคิดว่าเป็นสมมติฐานที่มีความจำเป็นและเพียงพอที่จะได้มาซึ่งความจริงของเรขาคณิตของบางอย่างที่เราอาจจะเป็นอย่างอื่นแล้วถูกชักชวนสังหรณ์ใจ ในฐานะที่เป็นหลักการแรกของเรขาคณิต แต่หลักการและสมมุติฐานในความเข้าใจของอริสโตเติลจะต้องเป็นตัวเองชัดเจน นี้ไม่ลำบากทั้งหมดค่อนข้างขวาอย่างน้อยห้าสมมุติ - หลายศตวรรษจึงพยายามที่จะได้รับมาเป็นทฤษฎีบท ในทางปฏิบัติที่ทันสมัยเช่นเดียวกับในรูปทรงเรขาคณิตฮิลแบร์ต, หลักการแรกของระบบนิรนัยใด ๆ อย่างเป็นทางการคือ "หลักการ" โดยไม่คำนึงถึงสิ่งที่เราคิดเกี่ยวกับความจริงของพวกเขา - ซึ่งในหลายกรณีได้รับทัศนคติ conventionalistic อย่างหมดจด ได้รับมุมมองของคานท์ของเรขาคณิต แต่ความแตกต่างแบบยุคลิดจะถูกเรียกคืน "หลักการ" จะ beanalytic ข้อเสนอและ "postulates" สังเคราะห์ ไม่ว่าจะเป็นที่ใด ๆ ของหลักการเดิมของยุคลิดเป็นวิเคราะห์เป็นคำถามที่ดี. •ครั้งแรกที่ความจริง: สิ่งที่มีค่าเท่ากับสิ่งเดียวกันนอกจากนี้ยังมีค่าเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง. •ประการที่สองความจริง:. ถ้าเท่ากับมีการเพิ่มเท่ากับทั้งมีค่าเท่ากัน•สามความจริง: ถ้าเท่ากับถูกหักออกจากเท่าเทียมเหลือเท่ากัน. •ประการที่สี่ความจริง: สิ่งที่ตรงกับอีกคนหนึ่งที่มีค่าเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง. •ห้าความจริง: ทั้งมีค่ามากกว่าส่วน. •ครั้งแรกสมมุติ: ในการวาดเส้น จากจุดไปยังจุดใด. •สมมุติที่สอง: เพื่อผลิตเป็นเส้นตรงที่ จำกัด อย่างต่อเนื่องเป็นเส้นตรง. •สามสมมุติ. เพื่ออธิบายวงกลมกับศูนย์ใด ๆและระยะไกล•สี่สมมุติ: ที่มุมขวาทั้งหมดเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง . •ห้าสมมุติ: นั่นถ้าเป็นเส้นตรงลงบนเส้นตรงสองเส้นให้มุมภายในอยู่ข้างเดียวน้อยกว่าสองมุมขวาทั้งสองเส้นตรงถ้าผลิตไปเรื่อย ๆ ตอบสนองความต้องการในด้านที่ซึ่งเป็นมุมที่น้อยกว่า ทั้งสองมุมขวา