A doubly periodic function with per

A doubly periodic function with periods 2omega_1 and 2omega_2 such that

f(z+2omega_1)=f(z+2omega_2)=f(z),
(1)
which is analytic and has no singularities except for poles in the finite part of the complex plane. The half-period ratio tau=omega_2/omega_1 must not be purely real, because if it is, the function reduces to a singly periodic function if tau is rational, and a constant if tau is irrational (Jacobi 1829). omega_1 and omega_2 are labeled such that I[tau]=I[omega_2/omega_1]>0, where I[z] is the imaginary part.

A "cell" of an elliptic function is defined as a parallelogram region in the complex plane in which the function is not multi-valued. Properties obeyed by elliptic functions include

1. The number of poles in a cell is finite.

2. The number of roots in a cell is finite.

3. The sum of complex residues in any cell is 0.

4. Liouville's elliptic function theorem: An elliptic function with no poles in a cell is a constant.

5. The number of zeros of f(z)-c (the "order") equals the number of poles of f(z).

6. The simplest elliptic function has order two, since a function of order one would have a simple irreducible pole, which would need to have a nonzero residue. By property (3), this is impossible.

7. Elliptic functions with a single pole of order 2 with complex residue 0 are called Weierstrass elliptic functions. Elliptic functions with two simple poles having residues a_0 and -a_0 are called Jacobi elliptic functions.

8. Any elliptic function is expressible in terms of either Weierstrass elliptic function or Jacobi elliptic functions.

9. The sum of the affixes of roots equals the sum of the affixes of the poles.

10. An algebraic relationship exists between any two elliptic functions with the same periods.

The elliptic functions are inversions of the elliptic integrals. The two standard forms of these functions are known as Jacobi elliptic functions and Weierstrass elliptic functions. Jacobi elliptic functions arise as solutions to differential equations of the form

(d^2x)/(dt^2)=A+Bx+Cx^2+Dx^3,
(2)
and Weierstrass elliptic functions arise as solutions to differential equations of the form

(d^2x)/(dt^2)=A+Bx+Cx^2.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟังก์ชันประจำงวดสองเหตุการณ์รอบ 2omega_1 และ 2omega_2 ให้ f(z+2omega_1)=f(z+2omega_2)=f(z) (1)ซึ่งเป็นคู่ และมี singularities ไม่เว้นเสาในส่วนของเครื่องบินคอมเพล็กซ์จำกัด เต่าครึ่งรอบระยะเวลาอัตราส่วน = omega_2/omega_1 ไม่ต้องหมดจดจริง เพราะถ้าเป็น ฟังก์ชันลดฟังก์ชันประจำงวดเดี่ยวว่าเชือดเต่า และค่าคงถ้าเต่า ไม่มีเหตุผล (Jacobi 1829) omega_1 และ omega_2 มีชื่อเช่นนั้นฉัน [เต่า] =ฉัน [omega_2 omega_1] > 0 ที่ฉัน [z] เป็นส่วนจินตภาพ"เซลล์" ของฟังก์ชันการ elliptic ถูกกำหนดเป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานในระนาบเชิงซ้อนซึ่งฟังก์ชันไม่หลายบริษัท รวมคุณสมบัติของการเชื่อฟัง โดยฟังก์ชัน elliptic1.จำนวนเสาในเซลล์มี2. จำนวนของรากในเซลล์มี3.ผลตกค้างที่ซับซ้อนในเซลล์ใด ๆ เป็น 04. ทฤษฎีบทฟังก์ชัน elliptic Liouville: เป็นฟังก์ชัน elliptic กับไม่มีขั้วในเซลล์มีค่าคง5.จำนวนศูนย์ของ f (z) -c ("ใบสั่ง") เท่ากับจำนวนของเสาของ f(z)6.ฟังก์ชัน elliptic ง่ายมีสั่ง 2 ตั้งแต่ฟังก์ชันของลำดับที่หนึ่งจะมีตัวอย่างอย่างต่ำเสา ซึ่งจะต้องมีสารตกค้าง nonzero โดยคุณสมบัติที่ (3), นี้เป็นไปไม่ได้7. elliptic ฟังก์ชัน ด้วยเดียวสั่ง 2 มีสารตกค้างซับซ้อน 0 จะเรียกว่าฟังก์ชัน elliptic Weierstrass ฟังก์ชัน elliptic กับเสาอย่างที่สองมีตกค้าง a_0 และ - a_0 เรียกว่า Jacobi elliptic ฟังก์ชัน8.ฟังก์ชัน elliptic expressible Weierstrass elliptic ฟังก์ชันหรือ Jacobi ฟังก์ชัน elliptic ได้9. ผลรวมของส่วนผนวกของรากเท่ากับผลรวมของส่วนผนวกของการหมุน10. ความสัมพันธ์พีชคณิตอยู่ระหว่างฟังก์ชัน elliptic ใด ๆ สองกับรอบระยะเวลาเดียวกันฟังก์ชัน elliptic inversions ของปริพันธ์ elliptic ได้ แบบมาตรฐานสองฟังก์ชันเหล่านี้จะเรียกว่า Jacobi elliptic ฟังก์ชันและฟังก์ชัน elliptic Weierstrass ฟังก์ชัน elliptic Jacobi เป็นโซลูชั่นเกิดสมการเชิงอนุพันธ์ของแบบฟอร์ม (d ^ 2 x) /(dt^2) = A + Bx + Cx ^ 2 + Dx ^ 3 (2)และฟังก์ชัน elliptic Weierstrass เกิดเป็นโซลูชั่นสมการเชิงอนุพันธ์ของแบบฟอร์ม (d ^ 2 x) /(dt^2) = A + Bx + Cx ^ 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟังก์ชั่นระยะซ้ำกับระยะเวลา 2omega_1 และ 2omega_2 ดังกล่าวว่าf (Z + 2omega_1) = f (Z + 2omega_2) = f (Z), (1) ซึ่งเป็นวิเคราะห์และไม่มีเอกยกเว้นเสาในส่วน จำกัด ของความซับซ้อน เครื่องบิน ครึ่งรอบระยะเวลาอัตราส่วนเอกภาพ = omega_2 / Omega_1 ต้องไม่เป็นจริงอย่างหมดจดเพราะถ้ามันเป็นฟังก์ชั่นช่วยลดการทำงานเป็นระยะ ๆ โดยลำพังถ้าเอกภาพเป็นเหตุผลและคงถ้าเอกภาพไม่มีเหตุผล (จาโคบี 1829) Omega_1 omega_2 และมีความโดดเด่นดังกล่าวว่า [เอกภาพ] = ฉัน [omega_2 / Omega_1]> 0 ที่ฉัน [Z] เป็นส่วนจินตภาพ. "เซลล์" ของการทำงานรูปไข่ถูกกำหนดให้เป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานในระนาบที่ซับซ้อนใน ซึ่งฟังก์ชั่นที่ไม่ได้ multi-valued คุณสมบัติเชื่อฟังโดยการทำงานรูปไข่รวม1 จำนวนของเสาในเซลล์มี จำกัด . 2 จำนวนรากในเซลล์มี จำกัด . 3 ผลรวมของสารตกค้างที่ซับซ้อนในเซลล์ใด ๆ เป็น 0. 4 ทฤษฎีบทการทำงานรูปไข่ของ Liouville: ฟังก์ชั่นรูปไข่ที่มีเสาในเซลล์ไม่คงที่. 5 จำนวนของศูนย์ของ f (Z) -c ("สั่ง") เท่ากับจำนวนของเสาของ f (Z). 6 ฟังก์ชั่นที่ง่ายรูปไข่มีคำสั่งสองเนื่องจากการทำงานของคำสั่งอย่างใดอย่างหนึ่งจะมีเสาลดลงง่ายซึ่งจะต้องมีสารตกค้างภัณฑ์ โดยสถานที่ (3) นี้เป็นไปไม่ได้. 7 ทำงานรูปไข่กับเสาเดียวของ 2 สั่งซื้อกับสารตกค้างที่ซับซ้อน 0 จะเรียกว่า Weierstrass ทำงานรูปไข่ ทำงานรูปไข่ที่มีสองขั้วที่เรียบง่ายที่มีสารตกค้าง a_0 และ -a_0 จะเรียกว่าการทำงานรูปไข่จาโคบี. 8 ฟังก์ชั่นใด ๆ ที่เป็นรูปไข่แสดงออกในแง่ของฟังก์ชั่นทั้ง Weierstrass รูปไข่หรือรูปไข่จาโคบีฟังก์ชั่น. 9 ผลรวมของ affixes ของรากเท่ากับผลรวมของ affixes ของเสา. 10 ความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตที่มีอยู่ระหว่างสองทำงานรูปไข่มีระยะเวลาเดียวกัน. ทำงานรูปไข่มี inversions ของ integrals รูปไข่ สองรูปแบบมาตรฐานของฟังก์ชั่นเหล่านี้เป็นที่รู้จักกันทำงานรูปไข่จาโคบีและทำงานรูปไข่ Weierstrass ทำงานรูปไข่ Jacobi เกิดขึ้นเป็นแนวทางในการแก้สมความแตกต่างของรูปแบบ(ง ^ 2x) / (dt ^ 2) = A + Bx + Cx ^ 2 + Dx ^ 3, (2) และการทำงานรูปไข่ Weierstrass เกิดขึ้นเป็นแนวทางในการแก้สมความแตกต่างของ แบบฟอร์ม(ง ^ 2x) / (dt ^ 2) = A + Bx + Cx ^ 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เป็นทวีคูณเป็นระยะด้วยฟังก์ชั่น และระยะเวลา 2omega_1 2omega_2 เช่น

F ( Z 2omega_1 ) = f ( Z 2omega_2 ) = f ( Z )

( 1 ) ซึ่งเป็นแบบไม่มีเสาเอก ยกเว้นในส่วนที่จำกัดของระนาบเชิงซ้อน ครึ่งเวลาอัตราส่วนเทา = omega_2 / omega_1 ต้องไม่หมดจดจริงๆ เพราะถ้าเป็น ฟังก์ชันลดเป็นฟังก์ชันเป็นคาบเดี่ยวถ้าตาวจะเชือดและคงที่ถ้าตาวเป็นจำนวนอตรรกยะ ( โคบี้ 1829 ) และ omega_1 omega_2 จะติดป้ายว่าเป็นอย่างนั้นฉัน [ เทา ] = ผม [ omega_2 / omega_1 ] > 0 ที่ผม [ Z ] เป็นส่วนหนึ่งในจินตนาการ

" เซลล์ " ของฟังก์ชันเชิงวงรีนิยามเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานภูมิภาคในระนาบเชิงซ้อนที่ฟังก์ชันจะไม่หลายมูลค่า คุณสมบัติเชื่อฟังโดยฟังก์ชันเชิงวงรีรวม

1 จำนวนของเสาในเซลล์จำกัด

2จำนวนรากในเซลล์จำกัด

3 รวมของที่ตกค้างในเซลล์ใด ๆเป็น 0 .

4 . ทฤษฎีบทของ liouville ปิดฟังก์ชัน : ฟังก์ชันเชิงวงรีไม่มีเสาในเซลล์เป็นค่าคงที่ .

5 จำนวนเลขศูนย์ใน F ( Z ) - C ( " คำสั่ง " ) เท่ากับจำนวนขั้วของ F ( Z )

6 ฟังก์ชันอิลลิปติกที่ได้สั่งไปสอง เนื่องจากการทำงานของคำสั่งหนึ่ง จะเป็นเสาลดง่ายซึ่งจะต้องมีกาก 0 . โดยคุณสมบัติ ( 3 ) , มันเป็นไปไม่ได้

7 ฟังก์ชันเชิงวงรีด้วยคำสั่งเดียวเสา 2 ศูนย์กาก 0 จะเรียกว่า ไวแยร์สตราสส์ปิดฟังก์ชั่น ฟังก์ชันเชิงวงรีกับเสาธรรมดาสองมีสารตกค้างและ a_0 - a_0 เรียกว่าฟังก์ชันเชิงวงรี จาโคบี้

8มีรูปงาน expressible ในแง่ของไวแยร์สตราสส์รูปโคบี้ฟังก์ชันหรือฟังก์ชันเชิงวงรี

9 ผลรวมของต้มยำของรากเท่ากับผลรวมของต้มยำของเสา

10 ความสัมพันธ์พีชคณิตมีอยู่ระหว่างสองฟังก์ชันเชิงวงรีกับช่วงเวลาเดียวกัน

ฟังก์ชันเชิงวงรีที่มี inversions ของ integrals รูป .สองรูปแบบมาตรฐานของฟังก์ชันเหล่านี้จะเรียกว่าโคบี้ปิดไวแยร์สตราสส์ปิดฟังก์ชันและฟังก์ชัน โคบี้ปิดฟังก์ชันเกิดขึ้นแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของฟอร์ม

( d
2 ) / ( DT
2 )
2 = bx CX DX
3

( 2 ) และปิดฟังก์ชั่น ไวแยร์สตราสส์เกิดขึ้นแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของฟอร์ม

( d
2 ) / ( DT
2 ) = bx CX
2