We are living in a society that nee

We are living in a society that needs to manage risks of various types and with a significant economic impact. In the context of a risk based civilization, the need of protection has become more pronounced, having as a consequence the request of financial security against possible losses. Therefore, the emergence and development of the insurance business are related to the urgent need to protect the individuals and their assets against a possible loss caused by a particular event. The entire process of insurance consists in offering an equitable method of transferring the risk of a contingent or uncertain loss in exchange for payment.
Non-life insurance business, especially auto insurance branch, holds an increased interest because it is required to manage a large number of situations (both the number of insured vehicles and of accidents) with a wide variety of risks. A fundamental goal of insurance companies is to calculate an appropriate insurance price or premium corresponding to an insured in order to cover a certain risk. A well-known method to calculate the premium is to multiply the conditional expectation of the claim frequency with the expected cost of claims. Therefore, modelling frequency of claims, also known in theory as count data, represents an essential step of non-life insurance pricing. As sustained in Boucher and Guillen (2009), count regression analysis permits the identification of the risk factors and the prediction of the expected frequency of claims given the risk characteristics. In the past years there has been considerable interest in count data models, particularly in the actuarial literature. As mentioned in Cameron and Trivedi (1998), an important milestone in the development of models for count data is reached by the emergence of Generalized Linear Models (GLMs). The Poisson regression is a special case of GLMs that was first developed by Nelder and Wedderburn (1972) and detailed later in the papers of Gourieroux et al. (1984a, 1984b) and in the work on longitudinal or panel count data models of Hausman et al. (1984). Within non-life insurance context, McCullagh and Nelder (1989) demonstrate that the usage of the GLMs techniques, in order to estimate the frequency of claims, has an a priori Poisson structure. Antonio et al. (2012) present the Poisson distribution as the modelling archetype of claim frequency. Although it offers a favourable statistical support, Gourieroux and Jasiak (2001) emphasizes that the Poisson distribution presents significant constraints that limit its use. The Poisson distribution implies equality of variance and mean, a property called equidispersion that, as sustained in Cameron and Trivedi (1999), is a particular form of unobserved heterogeneity. One of the well-known consequences of unobserved heterogeneity in count data analysis is overdispersion which means that the variance exceeds the mean. Other explanation is provided by Jong and Heller (2013) who termed the overdispersion as extra-Poisson variation because this type of data displays far greater variance than that predicted by the Poisson model. Vasechko et al. (2009) state that the problem of overdispersion, inherent to the Poisson model, implies the underestimation of standard errors of the estimated parameters, which leads to the rejection of the null hypothesis, according to which the regression coefficients are not statistically relevant. Consequently, the restrictive nature of Poisson model has sustained the development of numerous techniques proposed for both testing and handling overdispersed data. An exhaustive analysis of these tests is provided in Hausman et al. (1984), Cameron and Trivedi (1990), 1998), Gurmu (1991), Jorgensen (1997) or in more recent studies such as Charpentier and Denuit (2005), Jong and Heller (2013), Hilbe (2014). The alternative distributions used most frequently in order to correct the overdispersion are known as compound or mixed distributions. According to the literature, a particular example of this class is the negative binomial distribution which consists of simple and efficient techniques that oversee the limits of the Poisson distribution and offer results qualitatively similar. In the statistical literature there are presented many ways to construct the negative binomial distribution, however the most used are the NB1 and NB2 forms, introduced by Cameron and Trivedi (1998). Among the recent studies, Denuit et al. (2007) give a comprehensive image concerning the mixed Poisson models and they highlight that negative binomial distribution is a satisfactory alternative to Poisson distribution in order toestimate the claim frequency for an auto insurance portfolio. Working with cross-sectional insurance data, Boucher et al. (2007) sustain that the comparison of the log-likelihoods for the two distributions reveals that the extra parameter of the negative binomial distribution improves the fit of data in comparison with the Poisson distribution. For long

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เรามีชีวิตอยู่ในสังคมที่ต้องจัดการความเสี่ยงประเภทต่าง ๆ และผลกระทบทางเศรษฐกิจที่สำคัญ ในบริบทของความเสี่ยงจากอารยธรรมที่ จำเป็นต้องป้องกันได้ชัดขึ้น มีการร้องขอการรักษาความปลอดภัยทางการเงินจากขาดทุนไปเป็นผล ดังนั้น เกิดและพัฒนาของธุรกิจประกันเกี่ยวข้องกับความต้องการเร่งด่วนเพื่อปกป้องบุคคล และทรัพย์สินสูญหายไปเกิดจากเหตุการณ์เฉพาะ กระบวนการทั้งหมดประกันภัยประกอบด้วยการเสนอวิธีการความเท่าเทียมกันของการถ่ายโอนความเสี่ยงอาจเกิดขึ้นหรือความไม่แน่นอนขาดทุนแลกเปลี่ยนสำหรับการชำระเงินธุรกิจประกันภัย โดยเฉพาะอย่างยิ่งรถยนต์ประกันภัยสาขา ถือสนใจเพิ่มขึ้นเนื่องจากจำเป็นต้องจัดการจำนวนมากของสถานการณ์ (ทั้งจำนวนรถยนต์ที่เอาประกันภัย และอุบัติเหตุ) กับความเสี่ยงที่หลากหลาย เป้าหมายพื้นฐานของบริษัทประกันภัยจะคำนวณเป็นราคาประกันที่เหมาะสมหรือพรีเมี่ยมที่สอดคล้องกับการเอาประกันภัยเพื่อครอบคลุมความเสี่ยงบางอย่าง รู้จักวิธีการคำนวณค่าประกันคือการ คูณความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของความถี่ในการเรียกร้อง ด้วยต้นทุนของการเรียกร้อง ดังนั้น ความถี่ในการเรียกร้อง ที่รู้จักกันในทางทฤษฎีเป็นจำนวนข้อมูล การสร้างแบบจำลองแสดงถึงขั้นตอนสำคัญของการกำหนดราคาประกันชีวิต วิเคราะห์การถดถอยนับอนุญาตเป็นยั่งยืนวิจารณ์บูเชและเร้า (2009), การระบุปัจจัยเสี่ยงและการคาดการณ์ของความถี่ที่คาดไว้ของการเรียกร้องที่กำหนดลักษณะความเสี่ยง ในปีผ่านมา ได้มากสนใจในรูปแบบข้อมูลจำนวน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวรรณคดีคณิตศาสตร์ประกันภัย ดังกล่าวในคาเมรอนและ Trivedi (1998), มีความสำคัญในการพัฒนาแบบจำลองสำหรับข้อมูลจำนวนถึง ด้วยการเกิดขึ้นทั่วไปรูปแบบเชิงเส้น (GLMs) Poisson ถดถอยเป็นกรณีพิเศษของ GLMs ที่แรกพัฒนา โดย Nelder และ Wedderburn (1972) และรายละเอียด ในเอกสารของ Gourieroux et al. (1984a, 1984b) และ ในการทำงานในระยะยาว หรือแผงนับรูปแบบข้อมูลของ Hausman et al. (1984) ภายในบริบทการประกันภัย McCullagh และ Nelder (1989) แสดงให้เห็นว่าการใช้เทคนิค GLMs เพื่อประเมินความถี่ของการเรียกร้อง การเป็น priori Poisson โครงสร้าง อันโตนิโอ et al. (2012) ปัจจุบันกระจาย Poisson เป็นแม่สร้างแบบจำลองของความถี่ในการเรียกร้อง ถึงแม้จะมีการสนับสนุนทางสถิติดี Gourieroux และ Jasiak (2001) เน้นว่า การแจกแจงปัวซองแสดงข้อจำกัดสำคัญที่จำกัดการใช้ การแจกแจงปัวซองหมายถึงความเท่าเทียมกันของผลต่าง และหมายถึงอะไร เรียกว่า equidispersion นั้น เป็นอย่างยั่งยืนในคาเมรอนและ Trivedi (1999) เป็นรูปแบบเฉพาะของ unobserved heterogeneity รู้จักผลของ heterogeneity unobserved ในการวิเคราะห์ข้อมูลจำนวนอย่างใดอย่างหนึ่งคือ overdispersion ซึ่งหมายความ ว่า ผลต่างเกินกว่าค่า คำอธิบายอื่น ๆ มีให้ โดย Jong และเฮลเลอร์ (2013) ที่เรียกว่า overdispersion ที่เป็นรูปแบบ Poisson เสริมเนื่องจากชนิดของข้อมูลนี้แสดงผลต่างที่ไกลมากขึ้นกว่าที่คาดการณ์ โดยแบบ Poisson รัฐ Vasechko et al. (2009) ที่ปัญหาของ overdispersion ถึงแบบ Poisson, underestimation ข้อผิดพลาดมาตรฐานของพารามิเตอร์การประเมิน ซึ่งนำไปสู่การปฏิเสธสมมุติฐาน null ตามที่ ค่าสัมประสิทธิ์ถดถอยที่ไม่เกี่ยวข้องทางสถิติ จึง ธรรมชาติจำกัดของรูปแบบ Poisson ได้ยั่งยืนการพัฒนาเทคนิคมากมายที่นำเสนอทั้งการทดสอบ และการจัดการข้อมูล overdispersed การวิเคราะห์ข้อมูลการทดสอบเหล่านี้มีใน Hausman et al. (1984), คาเมรอน และ Trivedi (1990), 1998), Gurmu (1991) แรมจอร์เจนเซน (1997) หรือ ในการศึกษาล่าสุด เช่นชาร์ป็องตีเย และ Denuit (2005), จงเขียน (2013), Hilbe (2014) การกระจายทางเลือกที่ใช้บ่อยที่สุดเพื่อแก้ไขการ overdispersion จะเป็นการกระจายการผสม หรือผสม ตามวรรณคดี ตัวอย่างเฉพาะของชั้นนี้เป็นการแจกแจงทวินามลบซึ่งประกอบด้วยเทคนิคที่ง่าย และมีประสิทธิภาพที่ดูแลข้อจำกัดของการแจกแจงปัวซอง และให้ผลลัพธ์ที่คล้ายกับคุณภาพ ในวรรณคดีทางสถิติจะมีหลายวิธีที่จะสร้างการแจกแจงแบบทวินามลบ แต่ฟอร์ม NB1 และ NB2 คาเมรอนและ Trivedi (1998) มีใช้มากที่สุด ระหว่างศึกษาล่า Denuit et al. (2007) ให้ภาพครอบคลุมเกี่ยวกับแบบ Poisson ผสม และพวกเขาเน้นการกระจายทวินามลบกระจาย Poisson ในใบสั่ง toestimate ความถี่เรียกร้องสำหรับผลงานการประกันรถยนต์ทางเลือกน่าพอใจ ทำงานกับข้อมูลประกันภัยที่โรงพยาบาล วิจารณ์บูเช et al. (2007) สนับสนุนว่า การเปรียบเทียบ likelihoods ล็อกสำหรับการกระจายสองเผยว่า พารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบทวินามลบเสริมช่วยปรับความกระชับของข้อมูลเปรียบเทียบกับการแจกแจงปัวซอง นาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราอยู่ในสังคมที่ต้องมีการบริหารความเสี่ยงของประเภทต่างๆและมีผลกระทบทางเศรษฐกิจที่สำคัญ ในบริบทของอารยธรรมความเสี่ยงตามความจำเป็นของการป้องกันได้กลายเป็นที่เด่นชัดมากขึ้นมีเป็นผลให้ตามคำขอของความมั่นคงทางการเงินต่อความสูญเสียที่เป็นไปได้ ดังนั้นการเกิดและการพัฒนาของธุรกิจประกันภัยที่เกี่ยวข้องกับความจำเป็นเร่งด่วนเพื่อปกป้องบุคคลและทรัพย์สินของพวกเขากับผลขาดทุนที่อาจเกิดจากเหตุการณ์ใด กระบวนการทั้งหมดของการประกันประกอบด้วยในการเสนอวิธีการที่เป็นธรรมของการถ่ายโอนความเสี่ยงของการสูญเสียที่อาจเกิดขึ้นหรือไม่แน่ใจในการแลกเปลี่ยนสำหรับการชำระเงิน.
ธุรกิจประกันภัยโดยเฉพาะอย่างยิ่งสาขาประกันภัยรถยนต์ถือดอกเบี้ยที่เพิ่มขึ้นเพราะมันเป็นสิ่งจำเป็นในการจัดการเป็นจำนวนมาก สถานการณ์ (ทั้งจำนวนของยานพาหนะของผู้ประกันตนและของการเกิดอุบัติเหตุ) มีความหลากหลายของความเสี่ยง เป้าหมายพื้นฐานของ บริษัท ประกันภัยคือการคำนวณราคาประกันที่เหมาะสมหรือพรีเมี่ยมสอดคล้องกับผู้ประกันตนในการสั่งซื้อเพื่อให้ครอบคลุมความเสี่ยงบางอย่าง วิธีการที่รู้จักกันดีในการคำนวณพรีเมี่ยมคือการคูณความคาดหวังที่มีเงื่อนไขของความถี่ในการเรียกร้องที่มีค่าใช้จ่ายที่คาดหวังของการเรียกร้อง ดังนั้นความถี่การสร้างแบบจำลองของการเรียกร้องยังเป็นที่รู้จักในทฤษฎีนับเป็นข้อมูลแสดงให้เห็นถึงขั้นตอนสำคัญของการกำหนดราคาประกันวินาศภัย ในฐานะที่ยั่งยืนใน Boucher และ Guillen (2009) นับการวิเคราะห์การถดถอยอนุญาตให้บัตรประจำตัวของปัจจัยเสี่ยงและการทำนายของความถี่ที่คาดหวังของการเรียกร้องที่กำหนดลักษณะความเสี่ยง ในปีที่ผ่านมามีความสนใจเป็นอย่างมากในรูปแบบข้อมูลนับโดยเฉพาะอย่างยิ่งในวรรณคดีคณิตศาสตร์ประกันภัย ดังกล่าวในคาเมรอนและ Trivedi (1998) ซึ่งเป็นก้าวสำคัญในการพัฒนารูปแบบข้อมูลนับถึงโดยการเกิดขึ้นของเชิงเส้นทั่วไปรุ่น (GLMs) ถดถอยปัวซองเป็นกรณีพิเศษของ GLMs ที่ถูกพัฒนาขึ้นครั้งแรกโดย Nelder และ Wedderburn (1972) และมีรายละเอียดต่อไปในเอกสารของ Gourieroux et al, (1984a, 1984b) และในการทำงานในรูปแบบข้อมูลระยะยาวหรือนับแผงของ Hausman et al, (1984) ในบริบทประกันวินาศภัย, McCullagh และ Nelder (1989) แสดงให้เห็นว่าการใช้เทคนิค GLMs เพื่อที่จะประเมินความถี่ของการเรียกร้องที่มีโครงสร้างเบื้องต้น Poisson อันโตนิโอ, et al (2012) นำเสนอการกระจาย Poisson เป็นแม่แบบการสร้างแบบจำลองของความถี่ในการเรียกร้อง แม้ว่าจะมีการสนับสนุนทางสถิติที่ดี Gourieroux และ Jasiak (2001) เน้นว่าการกระจาย Poisson นำเสนอข้อ จำกัด ที่สำคัญที่ จำกัด การใช้งานของมัน การกระจาย Poisson หมายถึงความเท่าเทียมกันของความแปรปรวนและหมายถึงคุณสมบัติที่เรียกว่า equidispersion ว่าเป็นอย่างยั่งยืนในคาเมรอนและ Trivedi (1999) เป็นรูปแบบเฉพาะของต่าง ๆ ไม่มีใครสังเกต หนึ่งในผลกระทบที่รู้จักกันดีของเซลล์สืบพันธุ์สังเกตในการวิเคราะห์ข้อมูลนับเป็น overdispersion ซึ่งหมายความว่าความแปรปรวนสูงกว่าค่าเฉลี่ย คำอธิบายอื่น ๆ ที่ให้บริการโดย Jong และเฮลเลอร์ (2013) ที่เรียกว่า overdispersion เป็นรูปแบบพิเศษ Poisson เพราะความแปรปรวนชนิดของการแสดงข้อมูลนี้ไกลเกินกว่าที่คาดการณ์โดยรูปแบบปัวซอง Vasechko et al, (2009) กล่าวว่าปัญหาของการ overdispersion โดยธรรมชาติกับรูปแบบ Poisson ที่หมายถึงการดูเบาของความผิดพลาดมาตรฐานของการประมาณค่าพารามิเตอร์ซึ่งนำไปสู่การปฏิเสธสมมติฐานตามที่ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยไม่เกี่ยวข้องทางสถิติ ดังนั้นลักษณะข้อ จำกัด ของรูปแบบ Poisson ได้อย่างยั่งยืนการพัฒนาเทคนิคมากมายที่นำเสนอสำหรับทั้งการทดสอบและการจัดการข้อมูล overdispersed การวิเคราะห์ครบถ้วนสมบูรณ์ของการทดสอบเหล่านี้มีอยู่ใน Hausman et al, (1984), คาเมรอนและ Trivedi (1990), 1998) Gurmu (1991), เกนเซ่น (1997) หรือในการศึกษาล่าสุดเช่น Charpentier และ Denuit (2005), Jong และเฮลเลอร์ (2013), Hilbe (2014) การกระจายทางเลือกที่ใช้บ่อยที่สุดในการที่จะแก้ไข overdispersion ที่รู้จักกันเป็นสารประกอบหรือกระจายผสม ตามที่วรรณกรรมเป็นตัวอย่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งของชั้นนี้คือการกระจายทวินามเชิงลบซึ่งประกอบด้วยเทคนิคที่ง่ายและมีประสิทธิภาพที่ดูแลข้อ จำกัด ของการกระจาย Poisson และนำเสนอผลที่คล้ายกันในเชิงคุณภาพ ในวรรณคดีสถิติมีนำเสนอหลายวิธีที่จะสร้างการกระจายทวินามเชิงลบ แต่ที่ใช้มากที่สุดคือ NB1 และ NB2 รูปแบบนำโดยคาเมรอนและ Trivedi (1998) ในระหว่างที่ศึกษาที่ผ่านมา Denuit et al, (2007) ให้ภาพที่ครอบคลุมเกี่ยวกับรูปแบบปัวซองผสมและพวกเขาเน้นว่าการกระจายทวินามเชิงลบเป็นทางเลือกที่น่าพอใจกับการกระจาย Poisson ในการสั่งซื้อ toestimate ความถี่เรียกร้องสำหรับการมีผลงานการประกันภัยรถยนต์ การทำงานกับข้อมูลการประกันภัยภาคตัดขวาง, Boucher et al, (2007) รักษาที่เปรียบเทียบของการเข้าสู่ระบบควรจะเป็นสำหรับสองกระจายเผยให้เห็นว่าพารามิเตอร์พิเศษของการกระจายทวินามเชิงลบช่วยเพิ่มความเหมาะสมของข้อมูลในการเปรียบเทียบกับการกระจาย Poisson เป็นเวลานาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราอยู่ในสังคมที่ต้องจัดการกับความเสี่ยงประเภทต่างๆ และผลกระทบทางเศรษฐกิจเป็นสำคัญ ในบริบทของความเสี่ยงอารยธรรมตามความต้องการของการป้องกันได้กลายเป็นเด่นชัดมากขึ้น , มีเป็นผลมาจากการร้องขอของความมั่นคงทางการเงิน กับความสูญเสียที่เป็นไปได้ ดังนั้น การเกิดและการพัฒนาของธุรกิจประกันภัยที่เกี่ยวข้องกับความต้องการที่จะปกป้องบุคคลและทรัพย์สินของพวกเขากับเป็นไปได้ที่สูญเสียจากเหตุการณ์ที่เฉพาะเจาะจง กระบวนการทั้งหมดของการ ประกันภัยประกอบด้วยการเสนอเป็นวิธีที่ยุติธรรมของการถ่ายโอนความเสี่ยงของข้อมูลหรือการสูญเสียความไม่แน่นอนในการแลกเปลี่ยนสำหรับการชำระเงินธุรกิจประกันชีวิตไม่ใช่ สาขาประกันภัยโดยอัตโนมัติ ถือว่าเป็นดอกเบี้ยที่เพิ่มขึ้น เพราะต้องจัดการกับตัวเลขขนาดใหญ่ของสถานการณ์ ( ทั้งจำนวนรถและประกันอุบัติเหตุ ) กับความหลากหลายของความเสี่ยง เป้าหมายพื้นฐานของ บริษัท ประกันภัยจะคำนวณราคาที่เหมาะสมประกันภัยหรือพรีเมี่ยม ที่ต้องมีประกันเพื่อให้ครอบคลุมความเสี่ยงบางอย่าง วิธีที่รู้จักกันดีในการคำนวณค่าจ้างพิเศษเพื่อเพิ่มความคาดหวังตามเงื่อนไขของความถี่ที่คาดหวังเรียกร้องค่าใช้จ่ายของการเรียกร้อง ดังนั้น การสร้างความถี่ของการเรียกร้อง หรือที่รู้จักกันในทางทฤษฎีเป็นข้อมูลนับ เป็นก้าวสำคัญของราคาประกันชีวิตไม่ อย่างยั่งยืน และยัง ใน บูเช ( 2009 ) , นับถดถอยให้ระบุปัจจัยความเสี่ยงและการคาดการณ์ที่คิดเป็นร้อยละของการเรียกร้องให้มีความเสี่ยงสูง ในปีที่ผ่านมาได้มีความสนใจเป็นอย่างมากในข้อมูลนับรุ่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวรรณคดีคณิตศาสตร์ . ตามที่กล่าวถึงใน คาเมรอน และ ตริเวดี ( 1998 ) , ก้าวสำคัญในการพัฒนาแบบจำลองสำหรับข้อมูลนับถึงโดยการเกิดขึ้นของตัวแบบเชิงเส้นทั่วไป ( glms ) โดยการถดถอยปัวชงเป็นกรณีพิเศษของ glms ที่ถูกพัฒนาครั้งแรกโดย nelder และ เวดเดอร์เบิร์น ( 1972 ) และรายละเอียดในภายหลัง ในเอกสารของ gourieroux et al . ( 1984a 1984b , ) และในงานตามยาวหรือแผงข้อมูลนับรุ่น เ แมน et al . ( 1984 ) ที่ไม่ใช่ประกันชีวิตภายในบริบท และเมิ่กคัลเลิก nelder ( 1989 ) แสดงให้เห็นว่า การใช้งานของ glms เทคนิค เพื่อใช้ในการประมาณความถี่ของการเรียกร้องมี priori ปัวซงและโครงสร้าง อันโตนิโอ et al . ( 2012 ) แสดงการแจกแจงปัวซงเป็นโมเดลต้นแบบของความถี่ในการเรียกร้อง แม้จะมีสถิติที่ดีและสนับสนุน gourieroux jasiak ( 2001 ) เน้นว่า การแจกแจงปัวซงของขวัญสำคัญข้อจำกัดที่จำกัดการใช้ และการแจกแจงปัวซงแสดงถึงความเท่าเทียมกันของความแปรปรวน และหมายถึง คุณสมบัติที่เรียกว่า equidispersion ที่ยั่งยืนใน คาเมรอน และ ตริเวดี ( 1999 ) , เป็นรูปแบบเฉพาะของ unobserved สามารถ . หนึ่งในผลกระทบที่รู้จักกันดีของ unobserved สามารถในการวิเคราะห์ข้อมูล คือ overdispersion นับซึ่งหมายความว่าความแปรปรวนเกินหมายถึง คำอธิบายอื่น ๆที่ให้บริการโดยจอง กับ เฮลเลอร์ ( 2013 ) ที่เป็น termed overdispersion เป็นรูปแบบปัวซอพิเศษเพราะชนิดข้อมูลนี้จะแสดงความไกลมากขึ้นกว่าที่คาดไว้ โดยพารามิเตอร์รูปแบบ vasechko et al . ( 2009 ) ระบุว่า ปัญหาของ overdispersion โดยธรรมชาติ , กับพารามิเตอร์โมเดล หมายถึงการการประเมินค่าต่ำไปของความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของการประมาณค่าพารามิเตอร์ ซึ่งนำไปสู่การปฏิเสธสมมติฐานว่าง ตามซึ่งสัมประสิทธิ์ถดถอยไม่ใช่สถิติที่เกี่ยวข้อง ดังนั้นธรรมชาติจำกัดรูปแบบปัวซอได้รับการพัฒนาเทคนิคการนำเสนอมากมายทั้ง overdispersed การทดสอบและการจัดการข้อมูล การวิเคราะห์อย่างละเอียดของการทดสอบเหล่านี้มีให้บริการใน เ แมน et al . ( 1984 ) , คาเมรอน และ ตริเวดี ( 1990 ) , 1998 ) , gurmu ( 1991 ) , จอร์เกนเซ่น ( 1997 ) หรือในการศึกษามากขึ้น เช่น charpentier และ denuit ( 2005 ) , จอง และ เฮลเลอร์ ( 2013 ) , hilbe ( 2014 ) กระจายทางเลือกที่ใช้บ่อยที่สุดในการแก้ไข overdispersion เป็นที่รู้จักกันเป็นสารประกอบหรือผสมการแจกแจง . ตามวรรณคดี ตัวอย่างเฉพาะของคลาสนี้คือการแจกแจงทวินามลบซึ่งประกอบด้วยง่ายและมีประสิทธิภาพเทคนิคดูแลขีดจำกัดของการแจกแจงปัวซงและเสนอผลที่คล้ายกันคุณภาพ ในวรรณกรรมทางสถิติมีที่นำเสนอหลายวิธีที่จะสร้างการแจกแจงทวินามลบ แต่ที่ใช้มากที่สุดเป็นรูปแบบ nb1 NB2 และแนะนำโดยคาเมรอน และ ตริเวดี ( 1998 ) ในการศึกษาล่าสุด denuit et al . ( 2007 ) ให้ภาพที่ครอบคลุมเกี่ยวกับรูปแบบปัวซอผสมและพวกเขาเน้นการแจกแจงทวินามลบเป็นทางเลือกที่น่าพอใจสำหรับการแจกแจงปัวส์ซอง เพื่อหาค่าความถี่สำหรับการเรียกร้องประกันภัยรถยนต์ ) การทำงานกับข้อมูลประกันภัยแบบตัดขวาง บูแชร์ et al . ( 2007 ) รักษาที่การล็อก likelihoods สำหรับสองแบบ พบว่า ตัวแปรเสริมของการแจกแจงทวินามลบปรับปรุงพอดีข้อมูลในการเปรียบเทียบกับการแจกแจงปัวซง . นาน