Kuratowski's TheoremA necessary and

Kuratowski's Theorem


A necessary and sufficient condition for planarity of a graph.



Our presentation is adapted from Section 7.2 of Douglas B. West's 1996 textbook, Introduction to Graph Theory.

A planar graph is one which has a drawing in the plane without edge crossings. (Of course, we also require that the only vertices that lie on any given edge are its endpoints.) Any drawing of a planar graph that satisfies this condition is called a plane drawing of the graph.

A plane drawing divides the plane into disjoint connected regions, also called faces of the graph, so that every point in the plane that is not an element of the graph lies in just one of these regions. Exactly one region is unbounded, also called the outer face, and the others are bounded by cycles in the graph. In particular, every edge in a plane drawing of a planar graph either bounds the outer face, or bounds exactly two inner faces. It turns out that in this latter case, we can always redraw the graph so that a given edge bounds the outer face.


Lemma 1. If G is a planar graph and e is an edge in G, then there is a plane drawing of G in which e bounds the outer face.

Proof. Consider any plane drawing of G. Stereographically project the drawing onto a sphere tangent to the plane that contains this drawing (see this page to find out what stereographic projection is). This drawing on the sphere also has no edge crossings and divides the surface of the sphere into disjoint connected regions (all of which are bounded!). Pick a point p in some region of the sphere whose boundary contains the image of e and consider the plane tangent to the sphere at the point opposite to p. Now stereographically project the drawing of G on the sphere onto this new plane. Since p is the pole of this projection, the region on the sphere containing p is projected onto the unbounded region in the plane, so this new plane drawing of G has e on the outer face. //


To begin the analysis of planarity of graphs, we note first that the two special graphs K5 and K3,3 are nonplanar. Surprisingly, they are fundamental in determining the planarity of any graph.


Lemma 2. K5 and K3,3 are nonplanar graphs.

Proof. (This is the argument given as Theorem 12.1 in Wilson's Introduction to Graph Theory, 4th ed.) For K5: Label the vertices v, w, x, y, z. The graph contains the cycle vwxyzv and any plane drawing of K5 must display the cycle in the form of a pentagon. The edge zw either lies inside or outside the pentagon. If zw lies inside the pentagon, then the edges vx and vy must lie outside the pentagon else they would cross zw. Consequently, xz must lie inside the pentagon else it would cross vy. But now there is no way to draw edge wy without forcing a crossing. If zw lies outside the pentagon, then the edges vx and vy must lie inside, and so xz must lie outside, forcing the edge wy into a crossing. Thus, K5 is nonplanar.







For K3,3: label the vertices of one side of the bipartition u, w, y, and those of the other side v, x, z. Then the graph contains the cycle uvwxyzu. So any plane drawing of K3,3 must display the cycle in the form of a hexagon. The edge zw either lies inside or outside the hexagon. If zw lies inside the hexagon, then the edge ux must lie outside to avoid a crossing with zw. But then there is no way to draw vy without forcing a crossing. If zw lies outside the hexagon, then the edge ux must lie inside to avoid a crossing with zw and there is again no way to draw vy without forcing a crossing. Thus, K3,3 is nonplanar. //


It is now clear that if G is a planar graph, it cannot contain a subgraph isomorphic to either K5 or K3,3, else a plane drawing of G would contain inside it a plane drawing of either K5 or K3,3. But there are many graphs that do not contain either of these graphs and still are nonplanar. Consider for instance the graph pictured below.



These can be handled by means of a particularly useful process: if H is a graph and e is an edge in H, the contraction of H by e is the graph we denote H e, obtained by removing e from H and fusing its endpoints together (maintaining all the edges incident with these vertices). (See pp. 13-14 of Wilson.) As a result, H e has order one less and size one less than H. Note that if e lies in a triangle in H, then the other two edges of the triangle become repeated edges in H e. That is, H e is not a simple graph. However, if e does not lie in a triangle, H e is simple. Most importantly, however, is the following simple result:


Lemma 3. If H is a planar graph, then so is any graph (simple or not) obtained from H by contracting an edge. //


So any graph that is contractible to either K5 or K3,3--that is, can be reduced to one of these two graphs by a sequence of edge contractions--is also nonplanar. (The graph pictured here above is easily seen to be contractible to K5.) We call such a graph a Kuratowski graph.

We may now state


Kuratowski's Theorem. The graph G is planar if and only if it does not contain a Kuratowski subgraph.
Of course, we have just proved that possession of a Kuratowski subgraph is a necessary condition that a graph be planar. Unfortunately, this is the easy half of the proof of the theorem! The proof of sufficiency is much more involved.

We will proceed by contradiction: suppose there is some graph that contains no Kuratowski subgraph, yet is nonplanar. Then, of all such graphs, there must be one of minimal size; call it G. We continue by considering the connectivity k(G) of the graph (the smallest number of vertices whose removal from G disconnects G).

If k(G) = 0, then G is disconnected, and since G is nonplanar, at least one of its components must be nonplanar. But then any of its nonplanar components contains no subgraph isomorphic to either K5 or K3,3 and is of smaller size than G, violating the minimality condition. Thus, k(G) > 0 and G must be connected.

If k(G) = 1, then G has a cut-vertex v; that is, G - v breaks up into k components. Let G1, G2, ... , Gk be the corresponding subgraphs of G formed from these components by adding v and all the edges of G incident with v whose other endpoint lies within that component. Since each Gi is of smaller size than G, they are planar graphs. So there are plane drawings of each Gi, and by applying Lemma 1 to each Gi with respect to some edge in Gi incident with v, we can arrange that these plane drawings all have v on the outer face. In fact, we can easily force each plane drawing to lie entirely within an angle of measure 360/k degrees with v at the vertex of the angle. These plane drawings can now be arranged around v in consecutive sectors of measure 360/k degrees each to obtain a plane drawing of G, contradiction. Thus, k(G) > 1.

If k(G) = 2, then it contains a vertex cutset consisting of 2 vertices: S = {u, v}. Thus, G - S breaks up into components. Let G1 be the graph formed from one of these components by adding to it the vertices uand v, all the edges of G incident with either u or v whose other endpoint lies within that component, and the edge uv (even if uv is not an edge in G). Let G2 be the graph formed from the other components of G - S by adding the vertices uand v, all the edges of G incident with either u or v whose other endpoint lies within any of the these components, and the edge uv. Since G1 and G2 are of smaller size than G, they are planar graphs. So there are plane drawings of each, and by applying Lemma 1, we can arrange that both of these plane drawings have uv on the outer face. We can now "glue" the two drawings together along the edge uv to obtain a plane drawing of G (by deleting uv if it does not belong to G), a contradiction. Thus, k(G) > 2. That is, G is 3-connected.

Since G is 3-connected, it must contain more than 3 vertices. But the only 3-connected graph of order 4 is K4, which is planar. So G must have order at least 5. Also, since G is 3-connected, the minimum degree in G is at least 3 (the neighbors of any vertex of degree less than 2 would form a separating set with fewer than 3 vertices).


Lemma 4. A 3-connected graph must contain an edge whose contraction produces a 3-connected graph.

Proof. Suppose not. Then there is some 3-connected graph H so that no contraction of it is also 3-connected. Let e be some edge in H. To say that H e is not 3-connected means that it contains a separating set with fewer than 3 vertices. This separating set must contain the vertex a obtained by fusing the endpoints x and y of e; otherwise it would contain no vertex incident with e in H and this same set of vertices would be a separating set in H, contradicting that H is 3-connected. In fact, any separating set in H e must contain a and some other vertex z, else {x, y} would be a separating set in H, contradicting again that H is 3-connected. Therefore, {x, y, z} is a separating set in H. Since z need not be the only vertex in H e which forms a separating set with a, let us settle on a choice of e and z so that the resulting separating set {x, y, z} in H is one whose removal from H leaves a component K of maximal order, and let L denote some component different from K in this graph.

If z had no neighbor in L, then L could be separated from the rest of H simply by removing x and y, violating once again the 3-connectedness of H. So z must have a neighbor in L which we will call u; similarly, it has a neighbor in K. The same argument shows that both x and y must have neighbors in K and neighbors in L.



H












Applying the same argument to the edge zu that we used on e above, we must be able to find another vertex v in H so that {z, u, v} forms a separating set in H.

If K´ is the connected subgraph of H obtained by adding to K the vertices x and y together with any edges connecting these two vertices to each other or any vertex in K, then consider the question of whethe

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทของ Kuratowskiจำเป็น และเพียงพอเงื่อนไขสำหรับ planarity ของกราฟ งานนำเสนอของเราเป็นการดัดแปลงจาก 7.2 ส่วนของ West ดักลาส B. 1996 หนังสือ ทฤษฎีกราฟเบื้องต้นกราฟเชิงระนาบเป็นหนึ่งที่มีรูปวาดเครื่องบินโดยไม่ข้ามขอบ (แน่นอน เรายังต้องจุดยอดเท่านั้นที่อยู่บนขอบใด ๆ กำหนดปลายทางของ) รูปวาดใด ๆ ของกราฟเชิงระนาบที่ตรงตามเงื่อนไขนี้จะเรียกว่าเครื่องบินเป็นรูปวาดของกราฟรูปวาดเครื่องบินแบ่งเครื่องบินออกเป็นภูมิภาคเชื่อมต่อตัว เรียกว่าใบหน้าของกราฟ เพื่อให้ทุกจุดในระนาบที่ไม่ใช่องค์ประกอบของกราฟอยู่ในหนึ่งภูมิภาคเหล่านี้ เป็นภูมิภาคหนึ่งงที่ เรียกว่าหน้าด้านนอก และคนอื่น ๆ ล้อมรอบ ด้วยวงจรในกราฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ขอบทุกในรูปวาดของกราฟเชิงระนาบทั้งเครื่องบิน bounds หน้านอก หรือใบหน้าภายในขอบเขตสอง มันจะออกให้ในกรณีหลังนี้ เราสามารถเสมอออกใหม่กราฟเพื่อให้ขอบกำหนด bounds หน้านอก จับมือ 1 ถ้า G เป็นกราฟเชิงระนาบ และเป็นการขอบใน G แล้วมีรูปวาดของ G ในขอบเขตใดอีหน้าด้านนอกเครื่องบินหลักฐานการ พิจารณาระนาบใด ๆ รูปวาดของ G. Stereographically โครงการวาดบนแทนเจนต์ทรงกลมไปยังเครื่องบินที่ประกอบด้วยนี้วาดรูป (เห็นหน้านี้ไปหาฉายอะไรน้ำ) รูปนี้วาดในเรื่องยังมีหละหลวมไม่ขอบ และแบ่งพื้นผิวของทรงกลมพื้นที่เชื่อมต่อตัว (ที่อยู่ล้อมรอบ) เลือกจุด p ในบางภูมิภาคของทรงกลมที่มีขอบเขตประกอบด้วยรูปอี และพิจารณาแทนเจนต์บินเพื่อทรงกลมจุดตรงข้ามกับ p ตอนนี้ stereographically โครงการวาดของ G บนทรงกลมบนเครื่องบินใหม่นี้ เนื่องจาก p เป็นขั้วนี้ฉาย บริเวณทรงกลมที่ประกอบด้วย p เป็นคาดการณ์บนภูมิภาคงที่ในระนาบ เพื่อให้เครื่องบินใหม่นี้ที่รูปวาดของ G มีอีหน้าด้านนอก // การเริ่มต้นวิเคราะห์ planarity กราฟ เราทราบก่อนว่า กราฟพิเศษสอง K5 และ K3, 3 nonplanar น่าแปลกใจ พวกเขามีพื้นฐานในการกำหนด planarity ของกราฟใด ๆ จับมือ 2 K5 และ K3, 3 เป็นกราฟ nonplanarหลักฐานการ (นี่คืออาร์กิวเมนต์ที่กำหนดให้เป็นทฤษฎีบท 12.1 ในบทนำของ Wilson ทฤษฎีกราฟ ed 4) สำหรับ K5: ป้ายชื่อจุดยอด v, w, x, y, z.กราฟประกอบด้วย vwxyzv รอบ และเครื่องบินมีรูปวาดของ K5 ต้องแสดงรอบในรูปแบบของเพนตากอน Zw ขอบอาจอยู่ภายใน หรือภาย นอกเพนตากอ ถ้า zw อยู่ภายในเพนตากอน แล้วขอบ vx และ vy ต้องอยู่นอกเพนตากออื่น พวกเขาจะข้าม zw ดังนั้น xz ต้องอยู่ภายในเพนตากออื่น มันจะข้ามวี แต่ตอนนี้ มีวิธีวาดขอบตัน wy โดยบังคับให้ข้ามตัว ถ้า zw อยู่นอกเพนตากอ แล้ว ขอบ vx และ vy ต้องอยู่ภายใน และดังนั้น xz ต้องอยู่นอก บังคับตัน wy ขอบเป็นการข้าม ดังนั้น K5 เป็น nonplanar สำหรับ K3, 3: ป้ายชื่อจุดยอดของด้านหนึ่งของ bipartition u, w, y และที่อื่น ๆ ด้าน v, x, z แล้ว กราฟประกอบด้วย uvwxyzu รอบ เครื่องบินดังนั้นการวาดของ K3, 3 ต้องแสดงรอบในรูปแบบของหกเหลี่ยม Zw ขอบอาจอยู่ภายใน หรือภาย นอกแบบหกเหลี่ยม ถ้า zw อยู่ภายในหกเหลี่ยม ฟังก์ชันต้องนอน ux ขอบภายนอกเพื่อหลีกเลี่ยงการข้าม ด้วย zw แต่แล้ว มีวิธีวาดวี โดยบังคับให้ข้ามตัว ถ้า zw อยู่นอกแบบหกเหลี่ยม แล้ว ux ขอบต้องอยู่ภายในเพื่อหลีกเลี่ยงการข้าม ด้วย zw และอีกมีวิธีวาดวี โดยบังคับให้ข้ามตัว ดังนั้น K3, 3 ได้ nonplanar // ก็ตอนนี้ชัดเจนว่า ถ้า G เป็นกราฟเชิงระนาบ มันไม่ประกอบด้วยแบบ subgraph isomorphic K5 หรือ K3, 3 อื่นวาดภาพของเครื่องบินจะประกอบด้วยไว้ภายในเครื่องบินที่รูปวาดของ K5 หรือ K3, 3 แต่มีกราฟหลายที่ไม่ประกอบด้วยกราฟเหล่านี้อย่างใดอย่างหนึ่ง และยัง มี nonplanar พิจารณาตัวอย่างกราฟที่ภาพด้านล่างเหล่านี้สามารถจัดการได้โดยใช้กระบวนการประโยชน์: H กราฟ และอีขอบใน H การหดตัวของ H โดยอีว่ากราฟที่เราแสดง H e รับเอาอีจาก H และด้วยปลายของกัน (รักษาขอบทั้งหมดปัญหากับจุดยอดเหล่านี้) (ดูนำ 13-14 ของ Wilson) เป็นผล H อีได้สั่งน้อยและขนาดหนึ่งน้อยกว่า H. บันทึกว่า ถ้าอีอยู่ในสามเหลี่ยมใน H แล้วอื่น ๆ สองขอบของสามเหลี่ยมเป็น ขอบซ้ำใน H อี นั่นคือ H e ไม่เป็นกราฟอย่างง่าย อย่างไรก็ตาม ถ้าอีไม่ได้อยู่ในรูปสามเหลี่ยม H เป็นอย่างนั้น สำคัญที่สุด แต่ เป็นผลอย่างต่อไปนี้: จับมือ 3 ถ้า H เป็นกราฟเชิงระนาบ แล้วจึงเป็นกราฟใด ๆ (เชื่อ หรือไม่) ได้จาก H โดยหด // ดังนั้นกราฟใด ๆ คือ contractible K5 หรือ K3, 3- สามารถลดลงกราฟสองเหล่านี้อย่างใดอย่างหนึ่งตามลำดับขอบปฏิเสธ - ก็ nonplanar (กราฟภาพข้างบนนี่เป็นจะจะจะ contractible กับ K5) เราเรียกกราฟเช่นกราฟ Kuratowskiเราอาจระบุ ทฤษฎีบทของ Kuratowski กราฟ G มีระนาบถ้าและเดียวถ้ามันไม่ประกอบด้วย Kuratowski subgraphแน่นอน เรามีเพียงพิสูจน์ว่าครอบครอง Kuratowski subgraph เงื่อนไขจำเป็นที่ว่า กราฟเป็นระนาบ อับ นี้เป็นครึ่งง่ายบทพิสูจน์ของทฤษฎีบท หลักฐานพอเพียงมีส่วนร่วมมากขึ้นเราจะดำเนินการ โดยความขัดแย้ง: สมมติว่ามีกราฟบางที่ประกอบด้วย subgraph Kuratowski ไม่ ยังเป็น nonplanar แล้ว ของกราฟดังกล่าวทั้งหมด ต้องมีขนาดน้อยที่สุด หนึ่ง เรียกว่ากรัม เราทำต่อไป โดยการพิจารณา k(G) เชื่อมต่อของกราฟ (จำนวนที่น้อยที่สุดของจุดยอดที่เอาออกจาก G ยกเลิกติดต่อ G)ถ้า k(G) = 0, G เชื่อมต่อ และเนื่องจาก G nonplanar น้อยหนึ่งคอมโพเนนต์ต้อง nonplanar แต่มีส่วนประกอบของ nonplanar ประกอบด้วยไม่ subgraph isomorphic K5 หรือ K3, 3 แล้วมีขนาดเล็กกว่า G ละเมิดเงื่อนไข minimality ดังนั้น k(G) > 0 และ G ต้องเชื่อมต่อกันถ้า k(G) = 1 แล้ว G มีการตัดจุดยอด v นั่นคือ G - v แบ่งค่าเป็นส่วนประกอบของ k ให้ G1, G2,..., Gk สามารถ subgraphs ที่สอดคล้องกันของรูปแบบจากส่วนประกอบเหล่านี้ โดยการเพิ่ม v และขอบทั้งหมดของเหตุการณ์ G กับ v ที่มีปลายทางอยู่ภายใน เนื่องจากแต่ละจิมีขนาดเล็กกว่า G พวกเขามีระนาบกราฟ มีภาพวาดเครื่องบินแต่ละจิ และ โดยใช้การจับมือ 1 แต่ละจิกับบางขอบในเหตุการณ์ Gi กับ v เราสามารถจัดได้ว่า ภาพวาดเครื่องบินเหล่านี้ทั้งหมดมี v หน้านอก ในความเป็นจริง เราสามารถได้บังคับให้วาดเครื่องบินแต่ละนอนกับ v ที่จุดยอดของมุมภายในมุมขององศาที่ 360/k วัดทั้งหมด ขณะนี้สามารถจัดภาพวาดเหล่านี้บินรอบวีภาคต่อเนื่องของวัด 360/k องศาแต่ละที่จะได้รับเครื่องบินที่รูปวาดของ G ความขัดแย้ง ดังนั้น k(G) > 1ถ้า k(G) = 2 แล้วประกอบด้วย cutset จุดที่ประกอบด้วยจุดยอด 2: S = {u, v } ดังนั้น G - S แบ่งเป็นส่วนประกอบ ให้ G1 เป็นกราฟที่เกิดจากส่วนประกอบเหล่านี้อย่างใดอย่างหนึ่ง โดยเพิ่ม v uand จุดยอด ขอบทั้งหมดของเหตุการณ์ G u หรือ v ที่มีปลายทางอยู่ภายใน และขอบ (แม้รังสียูวีไม่มีขอบใน G) รังสียูวี ให้ G2 เป็นกราฟที่เกิดจากส่วนประกอบอื่น ๆ ของ G - S โดยการเพิ่มจุดยอด uand v ขอบทั้งหมดของเหตุการณ์ G u หรือ v ที่มีปลายทางอยู่ภายในใด ๆ เหล่านี้ส่วนประกอบ และขอบรังสียูวี ตั้งแต่ G1 และ G2 มีขนาดเล็กกว่า G พวกเขามีระนาบกราฟ ดังนั้นจึง มีภาพวาดเครื่องบินแต่ละ และ โดยใช้การจับมือ 1 เราสามารถจัดได้ทั้งภาพวาดเครื่องบินเหล่านี้มี uv หน้านอก เราสามารถตอนนี้ "กาว" ภาพวาดสองกันริม uv รับเครื่องบินที่รูปวาดของ G (โดยการลบ uv ถ้ามันไม่ได้เป็นของ G), ความขัดแย้งได้ ดังนั้น k(G) > 2 นั่นคือ G คือเชื่อมต่อ 3เนื่องจาก G เป็นเชื่อมต่อ 3 มันต้องประกอบด้วยมากกว่า 3 จุดยอด แต่กราฟ 3 เชื่อมต่อที่เฉพาะสั่ง 4 K4 ซึ่งเป็นระนาบ ดังนั้น G ต้องมีใบสั่งอย่างน้อย 5 ยัง G เป็นเชื่อมต่อ 3 ระดับต่ำสุดใน G ได้น้อย 3 (บ้านของจุดยอดใด ๆ ของปริญญาน้อยกว่า 2 จะเป็นชุดแยก ด้วยจุดยอด 3 น้อยกว่า) จับมือ 4 กราฟที่ 3 เชื่อมต่อต้องประกอบด้วยขอบหดตัวซึ่งทำให้เกิดกราฟที่เชื่อมต่อ 3หลักฐานการ สมมติว่า ไม่ แล้วมีบางอย่างเชื่อมต่อ 3 กราฟ H ที่ไม่หดตัวมันยังเชื่อมต่อ 3 ให้ e เป็นขอบบางใน H. พูดว่า H อีไม่เชื่อมต่อ 3 วิธีที่ประกอบด้วยการคั่นด้วยจุดยอด 3 น้อยกว่า ชุดนี้แยกต้องประกอบด้วยจุดยอดที่ได้รับโดยปลายทาง x และ y e มิฉะนั้นมันจะประกอบด้วยปัญหาไม่มีจุด ด้วยอีใน H และชุดเดียวของจุดยอดจะตั้งแยกใน H, contradicting H ว่าเชื่อมต่อ 3 ในความเป็นจริง การแยกตั้งใน H อีต้องประกอบด้วยการ และการแยกใน H, contradicting อีก H ว่าเชื่อมต่อ 3 บางอื่น ๆ จุด z อื่น {x, y } จะ ดังนั้น, {x, y, z } เป็นการแบ่งใน H. เนื่องจาก z ไม่ต้องจุดเฉพาะใน H e ซึ่งใช้การแยกตั้งกับตัว เราชำระใน e และ z เพื่อให้เป็นผลที่แยกชุด {x, y, z } ใน H เป็นหนึ่งซึ่งเอาออกจาก H ออกจากคอมโพเนนต์ K สั่งสูงสุด และให้ L แสดงคอมโพเนนต์บางอย่างแตกต่างจาก K ในกราฟนี้ถ้า z มีเพื่อนบ้านไม่ L แล้ว L สามารถแยกออกจากส่วนเหลือของ H ก็ โดยการเอา x และ y ละเมิด connectedness 3 ของ H. ครั้ง ดังนั้น z ต้องมีเพื่อนบ้านใน L ซึ่งเราจะเรียก u ในทำนองเดียวกัน มันมีเพื่อนบ้านคุณ อาร์กิวเมนต์เดียวแสดงว่า x และ y ต้องมีเพื่อนบ้านใน K และเพื่อนบ้านใน L. H ใช้อาร์กิวเมนต์เดียวกับ zu ขอบที่เราใช้ในอีข้าง เราต้องค้นหาอีกจุดยอด v ใน H นั้นที่ {z, u, v } รูปแบบแยกใน H.ถ้า K´ subgraph เชื่อมต่อของ H ได้ โดยการเพิ่ม K จุดยอด x และ y กับขอบใด ๆ เชื่อมต่อจุดยอดเหล่านี้สองกันหรือจุดใด ๆ ใน K แล้วพิจารณาคำถามที่ whethe

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Kuratowski ทฤษฎีบทของเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับplanarity ของกราฟ. การนำเสนอของเราคือการดัดแปลงมาจากมาตรา 7.2 ของดักลาสบีเวสต์ 1996 ตำรารู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีกราฟ. กราฟระนาบเป็นหนึ่งที่มีการวาดภาพในเครื่องบินโดยไม่ต้องข้ามขอบ (แน่นอนเรายังจำเป็นต้องให้จุดเดียวที่อยู่บนขอบใดก็ตามที่มีปลายทางของ.) การวาดภาพใด ๆ ของภาพถ่ายกราฟที่ตอบสนองเงื่อนไขนี้จะเรียกว่าการวาดภาพเครื่องบินของกราฟ. การวาดภาพเครื่องบินแบ่งเครื่องบินออกเป็นเคล็ดที่เชื่อมต่อ ภูมิภาคที่เรียกว่าใบหน้าของกราฟเพื่อให้จุดในเครื่องบินที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของกราฟทุกอยู่ในเพียงหนึ่งในภูมิภาคนี้ ว่าเป็นหนึ่งในภูมิภาคมากมายที่เรียกว่าใบหน้าด้านนอกและคนอื่น ๆ ที่มีการ จำกัด โดยรอบในกราฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่งขอบทุกคนในการวาดภาพเครื่องบินของกราฟระนาบทั้งขอบเขตใบหน้าด้านนอกหรือขอบเขตว่าภายในสองใบหน้า ปรากฎว่าในกรณีหลังนี้เราสามารถวาดกราฟเพื่อให้ขอบที่กำหนดขอบเขตใบหน้าด้านนอก. บทแทรก 1. หาก G เป็นกราฟระนาบและ e เป็นขอบใน G แล้วมีการวาดภาพเครื่องบินของจี ซึ่งอีขอบเขตใบหน้าด้านนอก. หลักฐาน พิจารณาการวาดภาพเครื่องบินใด ๆ ของโครงการจี Stereographically วาดภาพลงบนทรงกลมสัมผัสกับระนาบที่มีการวาดภาพนี้ (ดูหน้านี้จะหาสิ่งที่เป็น stereographic ฉาย) ภาพวาดนี้บนทรงกลมยังมีข้ามขอบและไม่มีการแบ่งพื้นผิวของทรงกลมลงในพื้นที่เชื่อมต่อเคล็ด (การทั้งหมดที่มีการล้อมรอบ!) เลือกจุด P ในภูมิภาคบางส่วนของรูปทรงกลมที่มีขอบเขตมีภาพของ e และพิจารณาสัมผัสเครื่องบินทรงกลมที่ตรงข้ามชี้ไปที่หน้า ตอนนี้โครงการ stereographically การวาดภาพของ G บนทรงกลมบนเครื่องบินใหม่นี้ ตั้งแต่พีเป็นเสาของประมาณการนี้, ภูมิภาคบนทรงกลมที่มีพีฉายบนภูมิภาคมากมายในเครื่องบินดังนั้นนี้วาดภาพเครื่องบินใหม่ของจีอีมีบนใบหน้าด้านนอก // การเริ่มต้นการวิเคราะห์ planarity ของกราฟที่เราทราบว่าเป็นครั้งแรกที่ทั้งสองกราฟพิเศษ K5 และ K3,3 มี nonplanar น่าแปลกที่พวกเขาจะมีพื้นฐานในการกำหนด planarity ของกราฟใด ๆ . บทแทรก 2. K5 และ K3,3 เป็นกราฟ nonplanar. หลักฐาน (นี่คือการโต้แย้งให้เป็นทฤษฎีบท 12.1 ในวิลสันรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีกราฟ 4 เอ็ด.) สำหรับ K5: ฉลากจุด V, W, x, y, z กราฟมี vwxyzv วงจรและการวาดภาพเครื่องบินใด ๆ ของ K5 ต้องแสดงวงจรในรูปแบบของเพนตากอน ขอบ ZW อย่างใดอย่างหนึ่งอยู่ภายในหรือภายนอกเพนตากอน หาก ZW อยู่ภายในห้าเหลี่ยมแล้วขอบ vx และ Vy ต้องนอนนอกเพนตากอนอื่นที่พวกเขาจะข้าม ZW ดังนั้น xz ต้องอยู่ภายในห้าเหลี่ยมอื่นมันจะข้าม Vy แต่ตอนนี้มีวิธีการวาดขอบ WY โดยไม่บังคับให้ข้ามไม่ หากอยู่นอก ZW เพนตากอนแล้วขอบ vx Vy และต้องอยู่ภายในและอื่น ๆ xz ต้องนอนนอกบังคับ WY ขอบเข้าไปข้าม ดังนั้น K5 เป็น nonplanar. สำหรับ K3,3: ป้ายจุดของด้านหนึ่งของ bipartition ยูที่ w, y, พวกโวลต์ด้านอื่น ๆ , X, Z จากนั้นกราฟมีวงจร uvwxyzu ดังนั้นการวาดภาพเครื่องบินของ K3,3 ใด ๆ ที่จะต้องแสดงวงจรในรูปแบบของรูปหกเหลี่ยมที่ ขอบ ZW อย่างใดอย่างหนึ่งอยู่ภายในหรือภายนอกหกเหลี่ยม หาก ZW อยู่ภายในหกเหลี่ยมแล้ว UX ขอบต้องอยู่ข้างนอกเพื่อหลีกเลี่ยงการข้ามกับ ZW แต่แล้วมีวิธีการวาด Vy โดยไม่บังคับให้ข้ามไม่ หากอยู่นอก ZW หกเหลี่ยมแล้ว UX ขอบต้องอยู่ภายในเพื่อหลีกเลี่ยงการผสมข้ามพันธุ์กับ ZW และมีอีกวิธีการวาด Vy โดยไม่บังคับให้ข้ามไม่ ดังนั้น K3,3 เป็น nonplanar // ตอนนี้มันเป็นที่ชัดเจนว่าถ้า G เป็นกราฟระนาบก็ไม่สามารถมี subgraph isomorphic อย่างใดอย่างหนึ่งหรือ K5 K3,3 อื่นวาดภาพเครื่องบินของ บริษัท จีจะมีการวาดภาพภายในเครื่องบินอย่างใดอย่างหนึ่งหรือ K5 K3,3 แต่มีกราฟหลายอย่างที่ไม่ได้มีอย่างใดอย่างหนึ่งของกราฟเหล่านี้และยังคงเป็น nonplanar พิจารณาเช่นกราฟภาพด้านล่าง. เหล่านี้สามารถจัดการได้โดยวิธีการของกระบวนการที่มีประโยชน์โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้า H เป็นกราฟและ e เป็นขอบใน H การหดตัวของเอชโดย e เป็นกราฟที่เราแสดง H อีที่ได้รับจาก การลบอีเมลจาก H และหลอมรวมเข้าด้วยกันของอุปกรณ์ปลายทาง (การรักษาทุกเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นมีจุดขอบเหล่านี้) (ดูได้ pp. 13-14 ของวิลสัน.) เป็นผลให้ H อีมีคำสั่งอย่างใดอย่างหนึ่งที่น้อยลงและมีขนาดน้อยกว่าเอชโปรดทราบว่าถ้าอีอยู่ในรูปสามเหลี่ยมใน H จากนั้นอีกสองขอบของรูปสามเหลี่ยมเป็นซ้ำแล้วซ้ำอีก ขอบใน H จ นั่นคือ H จไม่ได้เป็นกราฟที่เรียบง่าย แต่ถ้าอีไม่ได้อยู่ในรูปสามเหลี่ยม H อีเป็นเรื่องง่าย ที่สำคัญที่สุดก็คือผลที่เรียบง่ายต่อไปนี้: บทแทรก 3. หาก H เป็นกราฟระนาบแล้วเพื่อให้เป็นกราฟใด ๆ (ง่ายหรือไม่) ที่ได้รับจากการทำสัญญาโดย H ขอบ // ดังนั้นกราฟที่ใด contractible อย่างใดอย่างหนึ่งหรือ K5 K3,3 - ที่สามารถจะลดลงไปหนึ่งในสองกราฟโดยลำดับของการหดขอบ - ยังเป็น nonplanar (กราฟภาพที่นี่ข้างต้นจะเห็นได้ง่ายที่จะเป็นไป contractible K5.) เราเรียกกราฟเช่นกราฟ Kuratowski. ตอนนี้เราอาจระบุทฤษฎีบท Kuratowski ของ กราฟ G เป็นระนาบและถ้าหากมันไม่ได้มี subgraph Kuratowski. แน่นอนเราได้พิสูจน์ให้เห็นว่าเพียงแค่ความครอบครองของ subgraph Kuratowski เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นที่กราฟเป็นระนาบ แต่น่าเสียดายที่นี้เป็นครึ่งหนึ่งที่ง่ายของการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่! หลักฐานของความพอเพียงคือการมีส่วนร่วมมากขึ้น. เราจะดำเนินการโดยความขัดแย้ง: สมมติว่ามีกราฟบางอย่างที่ไม่มี Kuratowski subgraph ยังเป็น nonplanar จากนั้นกราฟดังกล่าวทั้งหมดจะต้องมีหนึ่งในขนาดที่น้อยที่สุด; เรียกว่าเรายังคงกรัมโดยพิจารณาจากการเชื่อมต่อ k (G) ของกราฟ (จำนวนที่น้อยที่สุดของจุดที่มีการกำจัดออกจาก G ยกเลิกการเชื่อมต่อ G). ถ้า k (G) = 0 แล้ว G ตัดการเชื่อมต่อและตั้งแต่ G เป็น nonplanar, อย่างน้อยหนึ่งในองค์ประกอบที่จะต้อง nonplanar แต่แล้วใด ๆ ของส่วนประกอบของ nonplanar มี subgraph ไม่มี isomorphic อย่างใดอย่างหนึ่งหรือ K5 K3,3 และมีขนาดเล็กกว่า G, ละเมิดเงื่อนไข minimality . ดังนั้น k (G)> 0 และ G จะต้องเชื่อมต่อถ้าk (G) = 1 แล้ว G มีการตัดยอดโวลต์; นั่นคือ G v - แบ่งออกเป็นส่วนประกอบ k ให้ G1, G2, ... , Gk เป็น subgraphs ที่สอดคล้องกันของจีเกิดขึ้นจากองค์ประกอบเหล่านี้โดยการเพิ่มโวลต์และขอบทั้งหมดของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นด้วย v G ที่มีปลายทางอื่น ๆ ที่อยู่ในองค์ประกอบที่ เนื่องจากแต่ละ Gi มีขนาดเล็กกว่า G, พวกเขาเป็นกราฟระนาบ จึงมีภาพวาดเครื่องบินของแต่ละ Gi และโดยการใช้บทแทรก 1 ถึงแต่ละ Gi ที่เกี่ยวกับขอบบางอย่างในเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น Gi ด้วย v เราสามารถจัดว่าสิ่งเหล่านี้ภาพวาดเครื่องบินทุกคนมี v บนใบหน้าด้านนอก ในความเป็นจริงเราสามารถบังคับให้วาดภาพเครื่องบินแต่ละลำจะอยู่ทั้งหมดภายในมุมของวัด 360 / k องศาด้วย v ที่จุดสุดยอดของมุม ภาพวาดเครื่องบินเหล่านี้สามารถจัดรอบวีในภาคติดต่อกันของการวัด 360 / k องศาแต่ละที่จะได้รับการวาดภาพของเครื่องบิน G, ความขัดแย้ง ดังนั้น k (G)> 1. ถ้า k (G) = 2 แล้วมันมีจุดสุดยอด cutset ประกอบด้วย 2 จุด: S = {u, วี} ดังนั้น G - S แบ่งออกเป็นส่วนประกอบ ให้ G1 เป็นกราฟที่เกิดขึ้นจากหนึ่งในองค์ประกอบเหล่านี้ได้ด้วยการเพิ่มมันจุด uand วีทั้งหมดขอบของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจีกับทั้งยูหรือ v มีปลายทางอื่น ๆ ที่อยู่ในองค์ประกอบนั้นและยูวีขอบ (แม้ว่ายูวีไม่ได้เป็น ขอบใน G) ให้ G2 เป็นกราฟที่เกิดขึ้นจากส่วนประกอบอื่น ๆ ของ G - S โดยการเพิ่มจุด uand โวขอบทั้งหมดของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับทั้ง G ยูวีที่มีหรือปลายทางอื่น ๆ ที่อยู่ในใด ๆ ของส่วนประกอบเหล่านี้และยูวีขอบ ตั้งแต่ G1 และ G2 มีขนาดเล็กกว่า G, พวกเขาเป็นกราฟระนาบ จึงมีภาพวาดของเครื่องบินในแต่ละครั้งและโดยการใช้บทแทรก 1, เราสามารถจัดว่าทั้งสองของภาพวาดเครื่องบินเหล่านี้มียูวีบนใบหน้าด้านนอก ตอนนี้เราสามารถ "กาว" ทั้งสองเข้าด้วยกันพร้อมภาพวาดยูวีขอบที่จะได้รับการวาดภาพเครื่องบินของ G (โดยการลบยูวีถ้ามันไม่ได้อยู่ใน G), ความขัดแย้ง ดังนั้น k (G)> 2. นั่นคือ G เป็น 3 เชื่อมต่อ. ตั้งแต่ 3 G เป็นที่เชื่อมต่อนั้นจะต้องมีมากกว่า 3 จุด แต่เพียงกราฟ 3 เชื่อมต่อของการสั่งซื้อ 4 K4 ซึ่งเป็นภาพถ่าย ดังนั้นจีจะต้องมีคำสั่งอย่างน้อย 5 นอกจากนี้ตั้งแต่ 3 G เป็นที่เชื่อมต่อการศึกษาระดับปริญญาขั้นต่ำใน G เป็นเวลาอย่างน้อย 3 (เพื่อนบ้านของยอดการศึกษาระดับปริญญาใด ๆ น้อยกว่า 2 รูปแบบจะแยกการตั้งค่าที่มีน้อยกว่า 3 จุด) แทรก 4. กราฟ 3 เชื่อมต่อจะต้องมีขอบที่มีการหดตัวของการผลิตกราฟ 3 เชื่อมต่อ. หลักฐาน สมมติว่าไม่ จากนั้นก็มีบาง H กราฟ 3 เชื่อมต่อเพื่อให้ไม่มีการหดตัวของมันก็ยังเป็น 3 เชื่อมต่อ ให้เป็นอีเอชขอบในบางส่วนที่จะบอกว่า H อีไม่ได้เชื่อมต่อ 3 ซึ่งหมายความว่าจะมีการแยกการตั้งค่าที่มีน้อยกว่า 3 จุด ชุดนี้จะต้องมีการแยกจุดสุดยอดได้โดยการหลอมรวมปลายทาง x และ y ของ e; มิฉะนั้นก็จะมีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่มีจุดสุดยอดกับ e H ในและชุดเดียวกันของจุดจะเป็นแยกที่ตั้งอยู่ใน H, H ขัดแย้งที่มีการเชื่อมต่อ 3 ในความเป็นจริงแยกใด ๆ ที่ตั้งอยู่ใน H จต้องมีและบางจุดสุดยอดซีอื่น ๆ อื่น {x, y} จะเป็นแยกที่ตั้งอยู่ในเอชขัดแย้งอีกครั้งว่าเอช 3 ที่เชื่อมต่อ ดังนั้น {x, y, z} เป็นแยกที่ตั้งอยู่ในเอชซีเนื่องจากไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสุดยอดเพียง แต่ใน H อีซึ่งเป็นแยกที่มีการตั้งค่าที่ให้เราตั้งอยู่บนทางเลือกของ e z และเพื่อให้ผล แยกชุด {x, y, z} ใน H คือผู้ที่มีการกำจัดออกจาก H ใบเป็นส่วนประกอบ K ของการสั่งซื้อสูงสุดและให้ L หมายถึงบางองค์ประกอบที่แตกต่างจาก K ในกราฟนี้. ถ้า b มีเพื่อนบ้านใน L ไม่มีแล้ว L อาจจะ แยกออกจากส่วนที่เหลือของ H เพียงโดยการลบ x และ y ละเมิดอีกครั้ง 3 การเชื่อมโยงของเอชซีดังนั้นจะต้องมีเพื่อนบ้านใน L ซึ่งเราจะเรียกท่านนั้น ในทำนองเดียวกันก็มีเพื่อนบ้านในเคอาร์กิวเมนต์เดียวกันแสดงให้เห็นว่าทั้ง x และ y ต้องมีเพื่อนบ้านใน K และเพื่อนบ้านในแอลH การใช้เหตุผลเดียวกันกับ zu ขอบที่เราใช้ใน e ข้างต้นเราจะต้องสามารถที่จะหา โวลต์จุดสุดยอดอีก H เพื่อให้ {Z มึงวี} รูปแบบแยกตั้งอยู่ในเอชถ้าk'เป็น subgraph ที่เกี่ยวโยงกันของ H ได้โดยการเพิ่มกับ K จุด x Y และร่วมกับขอบใด ๆ ที่เชื่อมต่อกันทั้งสองจุดในแต่ละ อื่น ๆ หรือจุดสุดยอดใน K แล้วพิจารณาคำถามของ whethe

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบทของ kuratowski


เป็นเงื่อนไขจำเป็นและเพียงพอ planarity ของกราฟ



ของเรานำเสนอ มันดัดแปลงมาจากส่วนของ ดักลาส ข. ตะวันตกของ 1996 7.2 หนังสือเรียนทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

เป็นกราฟเชิงระนาบเป็นหนึ่งซึ่งมีภาพวาดบนเครื่องบินโดยไม่ต้องขอบวก . ( แน่นอน เรายังต้องการที่เฉพาะจุดที่วางอยู่บนขอบของใด ๆเป็นฐาน) วาดเป็นกราฟเชิงระนาบที่ satisfies เงื่อนไขนี้จะเรียกว่าเป็นเครื่องบินแบบของกราฟ

เครื่องบินแบบแบ่งเครื่องบินเป็นเชื่อมต่อยู่ภูมิภาคที่เรียกว่าใบหน้าของกราฟ เพื่อให้ทุกจุดในระนาบที่เป็นองค์ประกอบของกราฟอยู่ในหนึ่งในพื้นที่เหล่านี้ ตรงพื้นที่หนึ่งคือความที่เรียกว่าใบหน้าภายนอกและคนอื่นๆที่ถูกล้อมรอบด้วยวัฏจักรกราฟ โดยเฉพาะอย่างยิ่งทุกภพในเครื่องบินแบบของกราฟเชิงระนาบให้ขอบเขตหน้านอก หรือขอบเขตว่าสองภายในหน้า ปรากฎว่าในคดีหลังนี้ เราสามารถวาดกราฟเพื่อให้ขอบขอบเขตหน้านอก


ฟาง 1 ถ้า G เป็นกราฟเชิงระนาบและ E เป็นขอบในกรัมแล้วมีเครื่องบินแบบ G ซึ่งใน E ขอบเขตหน้านอก

หลักฐาน พิจารณาแบบของเครื่องบินใด ๆ . stereographically โครงการวาดภาพลงบนทรงกลมสัมผัสเครื่องบินที่ประกอบด้วยรูปนี้ ( ดูที่หน้านี้เพื่อหาสิ่งที่สเตริโอกราฟิกฉาย )รูปวาดบนทรงกลมยังไม่มีการข้ามขอบและแบ่งพื้นผิวของทรงกลมเป็นไม่ต่อเนื่องที่เชื่อมต่อภูมิภาค ( ซึ่งทั้งหมดมีจำกัด ) เลือกจุด P ในบางภูมิภาคของทรงกลมที่มีขอบเขต มีภาพลักษณ์ของ E และพิจารณาแทนเจนต์ระนาบเพื่อทรงกลมที่จุดตรงข้ามกับหน้าตอนนี้ stereographically โครงการวาดภาพของ G บนทรงกลมบนเครื่องบินใหม่เมื่อ P คือขั้วของการฉายนี้ภูมิภาคบนทรงกลมที่มี P เป็นฉายบนพื้นที่ไม่จำกัดในเครื่องบิน ดังนั้นเครื่องบินใหม่แบบ G E บนใบหน้านอก / /


เพื่อเริ่มต้นการวิเคราะห์ planarity ของกราฟที่เราทราบก่อนว่าสองกราฟพิเศษและจะเสียใจ k3,3 nonplanar . จู่ ๆ พวกเขามีพื้นฐานในการกำหนด planarity ของกราฟ


พ 2 และเสียใจ k3,3 เป็นกราฟ nonplanar

หลักฐาน ( นี่คืออาร์กิวเมนต์ที่ระบุเป็นทฤษฎีบท 12.1 ในวิลสันทฤษฎีเบื้องต้น กราฟ 4 เอ็ด ) เสียใจ : ป้ายจุด V , W , X , Y , Z . กราฟที่มีวงจรและแบบของเครื่องบินใด ๆ vwxyzv เสียใจต้องแสดงวงจรในรูปแบบของเพนตาก้อน ขอบ ZW ไม่ว่าจะอยู่ภายในหรือภายนอกเพนตากอน ถ้า ZW อยู่ภายในเพนตากอนแล้วขอบ VX วีต้องนอนข้างนอก และเพนตากอน อื่นที่พวกเขาจะข้าม ZW . ดังนั้น ระนาบ ต้องนอนในเพนตาก้อน มิฉะนั้นก็จะข้าม U . แต่ตอนนี้ไม่มีวิธีการวาดขอบ WY โดยไม่บังคับให้ข้าม ถ้า ZW ตั้งอยู่นอกกระทรวงกลาโหม ก็ขอบคุณต้องโกหกและ VX ภายในและนอกระนาบ ต้องโกหก ให้ขอบ WY เป็นทางม้าลาย ดังนั้น เสียใจเป็น nonplanar .







สำหรับ k3,3 : ป้ายจุดจากด้านหนึ่งของ bipartition U , w , y , และในด้านอื่น ๆ V , X , Z แล้วกราฟที่มีวงจร uvwxyzu . ดังนั้นใด ๆของเครื่องบินแบบ k3,3 ต้องแสดงวงจรในรูปแบบของหกเหลี่ยม ขอบ ZW ไม่ว่าจะอยู่ภายในหรือภายนอกหกเหลี่ยม ถ้า ZW อยู่ในรูปหกเหลี่ยมแล้วขอบ ux ต้องนอนข้างนอกเพื่อหลีกเลี่ยงการข้ามกับ ZW .แต่ก็ไม่มีทางที่จะวาดวีโดยไม่บังคับให้ข้าม ถ้า ZW ตั้งอยู่นอกหกเหลี่ยมแล้วขอบ ux ต้องโกหกภายในเพื่อหลีกเลี่ยงการข้ามกับ ZW และมีอีกวิธีการวาดวีโดยไม่บังคับให้ข้าม ดังนั้น k3,3 เป็น nonplanar . / /


มันคือตอนนี้ชัดเจนว่าถ้า G เป็นกราฟเชิงระนาบ ไม่สามารถมี subgraph พวกเราหรอกหรือ k3,3 เสียใจ ,อีกเครื่องแบบของ G จะประกอบด้วยภายในเครื่องบิน วาดให้เสียใจหรือ k3,3 . แต่ก็มีหลายกราฟที่ไม่ได้มีอย่างใดอย่างหนึ่งของกราฟเหล่านี้ และยังเป็น nonplanar . พิจารณาตัวอย่างกราฟภาพด้านล่าง .



เหล่านี้สามารถจัดการได้โดยวิธีการของโดยเฉพาะอย่างยิ่งประโยชน์กระบวนการ : ถ้า H เป็นกราฟและ E เป็นขอบใน H , การหดตัวของ H E เป็นกราฟที่เราแสดง H Eโดยนำเอา E จาก H และฟิวส์ของเหล่านี้เข้าด้วยกัน ( รักษาขอบทั้งหมดที่เกิดขึ้น จุดนี้ ) ( เห็น . 13-14 ของวิลสัน ) เป็นผลให้ H E มีสั่งน้อยและขนาดหนึ่งน้อยกว่าชั่วโมง หมายเหตุว่า ถ้า E อยู่ในสามเหลี่ยมใน H แล้วอีกสองขอบของสามเหลี่ยมเป็นซ้ำขอบใน H E นั่นคือ H / E ไม่ใช่กราฟอย่างง่าย อย่างไรก็ตามถ้าอีไม่ได้อยู่ในสามเหลี่ยม , H / e ได้ง่าย ๆ ที่สำคัญที่สุด อย่างไรก็ตาม ผลง่ายๆดังต่อไปนี้ :


ฟาง 3 . ถ้า H เป็นกราฟเชิงระนาบ แล้วมีกราฟง่าย ( หรือเปล่า ) ที่ได้จาก H โดยสัญญาที่ขอบ / /


ดังนั้นกราฟที่หดตัวเพื่อให้เสียใจ หรือ k3,3 -- นั่นคือสามารถลดหนึ่งของกราฟพวกนี้ด้วยลำดับของขอบการหด -- ยัง nonplanar .( กราฟภาพที่นี่ข้างต้นจะเห็นได้ง่ายจะหดตัวจะเสียใจ ) เราเรียกเช่นกราฟเป็นกราฟ kuratowski .




สภาพเราตอนนี้อาจ kuratowski ของทฤษฎีบท กราฟ G เป็นระนาบถ้าและเพียงถ้ามันไม่ได้มี kuratowski subgraph .
แน่นอน เราได้พิสูจน์แล้วว่า ความครอบครองของ kuratowski subgraph เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นที่กราฟเป็นระนาบ . ขออภัยนี้เป็นครึ่งง่ายของการพิสูจน์ทฤษฎีบท ! หลักฐานของเศรษฐกิจพอเพียงมีส่วนร่วมมากขึ้น

เราจะดำเนินการโดยความขัดแย้ง : สมมติว่ามีกราฟที่ไม่มี kuratowski subgraph ยัง nonplanar . แล้วกราฟดังกล่าวทั้งหมด ต้องมีหนึ่งในขนาดน้อย โทร .