WOODone can define the Fourier tran

WOOD
one can define the Fourier transform F of T by p(x) = s-“m eiZt dK(t), where
K(t) is the function of bounded variation associated with T. This definition
generalizes the Fourier transform of an L1 function, for if f E L1, the function
w = sLof(4 d u is of bounded variation and f(x) = l-“m eiat dF(t).
In the paper, we investigate some generalizations of these ideas. We show,
for instance, that any closed operator defined on a dense subspace of L1 and
commuting with convolution (in a sense to be made precise later) is necessarily
linear and has a Fourier transform (which includes the Fourier transforms
mentioned above). With the aid of a theorem of Bochner, new necessary and
sufficient conditions are derived in order that a continuous function on the
real line be the Fourier transform of a function of bounded variation. The
ideas considered here are also closely related to “factor theory” for Fourier
transforms. This connection, as well as the above mentioned results, are
contained in Section 2. The brief second section contains an application to
semigroup theory.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ไม้หนึ่งสามารถกำหนดการแปลงฟูริเยร์ F T โดย p(x) = s- " m eiZt dK(t) ที่K(t) คือ การทำงานของรูปแบบ bounded ที่เกี่ยวข้องกับต. คำนิยามนี้การแปลงฟูริเยร์ฟังก์ชัน L1 ถ้า generalizes f E L1 ฟังก์ชันw = sLof (4 d u เป็นรูปแบบ bounded และ f (x) = l-"m eiat dF(t)ในกระดาษ เราตรวจสอบบางเดิม ๆ แนวคิดเหล่านี้ เราแสดงเช่น ใด ๆ ที่ปิดดำเนินกำหนดบน subspace ที่หนาแน่นของ L1 และเดินทางกับการพัฒนา (ในความรู้สึกที่จะทำได้อย่างแม่นยำในภายหลัง) คือจำเป็นต้องเชิงเส้น และมีการแปลงฟูริเยร์ (ซึ่งรวมถึงการแปลงฟูริเยร์กล่าวข้างต้น) ด้วยทฤษฎีบทของ Bochner จำเป็นใหม่ และเงื่อนไขเพียงพอที่จะได้มาในสั่งที่ฟังก์ชันต่อเนื่องบนตัวการแปลงฟูริเยร์ฟังก์ชันของรูปแบบ bounded บรรทัดจริงได้ การแนวคิดที่ถือว่าที่นี่ยังใกล้ชิดเกี่ยวข้องกับ "ทฤษฎีปัจจัย" สำหรับฟูริเยร์เปลี่ยน การเชื่อมต่อนี้ เป็นผลดังกล่าวข้างต้น จะอยู่ในส่วนที่ 2 ส่วนที่สองโดยสังเขปประกอบด้วยโปรแกรมประยุกต์ทฤษฎี semigroup

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ไม้
หนึ่งสามารถกำหนดแปลงฟูริเยเรนไฮน์ของ T โดย P (x) = s- m "eiZt DK (T) ที่
K (T) เป็นฟังก์ชั่นของการเปลี่ยนแปลงขอบเขตที่เกี่ยวข้องกับตันคำนิยามนี้
generalizes แปลงฟูริเยร์ของ L1 ฟังก์ชั่นถ้า F E L1, ฟังก์ชั่น
W = sLof (4 ดู่เป็นของการเปลี่ยนแปลงขอบเขตและ f (x) = L- "m eiat dF (T).
ในกระดาษเราจะตรวจสอบภาพรวมของความคิดเหล่านี้บางส่วน. เราแสดง ,
เช่นว่ามีผู้ประกอบการปิดกำหนดไว้ในสเปซที่มีความหนาแน่นของ L1 และ
การเดินทางกับบิด (ในความหมายที่จะทำอย่างแม่นยำในภายหลัง) จำเป็นต้อง
เชิงเส้นและมีฟูเรียร์ (ซึ่งรวมถึงแปลงฟูริเย
กล่าวข้างต้น). ด้วยความช่วยเหลือ ทฤษฎีบทของ Bochner ที่จำเป็นและใหม่
เงื่อนไขที่เพียงพอจะได้มาอยู่ในลำดับที่ฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องใน
บรรทัดที่แท้จริงเป็นฟูเรียร์ของฟังก์ชั่นของการเปลี่ยนแปลงขอบเขต a. ผู้
คิดพิจารณาที่นี่ยังมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับ "ทฤษฎีปัจจัย" สำหรับฟูริเยร์
แปลง . การเชื่อมต่อนี้เช่นเดียวกับผลการดังกล่าวข้างต้นจะ
มีอยู่ในมาตรา 2 ส่วนที่สองสั้น ๆ มีโปรแกรมที่จะ
semigroup ทฤษฎี