IntroductionA unit disk graph is th

Introduction
A unit disk graph is the intersection graph of closed disks of diameter 1 in the plane. It has been widely studied from both
practical and theoretical points of view. Unit disk graphs representable in a limited area are also considered in the literature.
Ito and Kadoshita [5] showed that the maximum independent set problem and the minimum dominating set problem are
both W[1]-complete for unit disk graphs with all centers lying in a square of side length
√
t, when parameterized by the
area t. Breu [2] studied the unit disk graphs whose centers are in the area {(x, y) : −∞ < x < ∞, 0 ≤ y ≤ c}. Such unit
disk graphs are called c-strip graphs. Breu showed that every
√
3/2-strip graph is a co-comparability graph [2, Section 3.1.2].
We denote the class of unit disk graphs by UDG, and the class of c-strip graphs by SG(c). A unit interval graph is the intersection
graph of closed intervals of length 1 in the real line. We denote the class of unit interval graphs by UIG. From the
definitions, it follows that UIG = SG(0) ⊆ UDG. It is easy to show that indeed the inclusion is proper. For convenience sake,
let SG(∞) = UDG.
In this paper, we consider  the graphs that are c-strip graphs for every c > 0, which can be expressed in our notation as
0

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แนะนำหน่วยบนกราฟเป็นกราฟแยกดิสก์ปิดของเส้นผ่าศูนย์กลาง 1 ในระนาบ มันได้รับกันอย่างแพร่หลายศึกษาจากทั้งสองปฏิบัติ และทฤษฎีจุดของมุมมอง ได้มีพิจารณาหน่วยดิสก์กราฟ representable ในพื้นที่ที่จำกัดในวรรณคดีอิโตะและ Kadoshita [5] พบปัญหาตั้งอิสระสูงสุดและปัญหาพลังอำนาจเหนือการตั้งค่าขั้นต่ำทั้ง W [1] -สมบูรณ์สำหรับหน่วยดิสก์กราฟกับศูนย์ทั้งหมดที่อยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านยาว√t เมื่อค่าพารามิเตอร์โดยการที่ตั้งต. Breu [2] ศึกษากราฟดิสก์หน่วยศูนย์อยู่ในบริเวณ {(x, y): −∞ < x < ∞ 0 ≤ y ≤ c } หน่วยดังกล่าวกราฟดิสก์เรียกว่าแถบ c กราฟ พบว่าทุก Breu√3/2-แถบกราฟเป็นกราฟ co-comparability [2 ส่วน 3.1.2]เราแสดงชั้นของหน่วยบนกราฟโดย UDG และระดับของแถบ c กราฟโดย SG(c) กราฟช่วงหน่วยเป็นสี่แยกกราฟของช่วงปิดยาว 1 ในบรรทัดจริง เราแสดงชั้นกราฟช่วงหน่วยโดย UIG จากการข้อกำหนด เป็นไปตามที่ UIG = SG(0) ⊆ UDG ซึ่งง่ายต่อการแสดงจริงรวมเหมาะสม สำหรับความสะดวกสาเกให้ SG(∞) = UDGในเอกสารนี้ เราพิจารณากราฟที่แถบ c กราฟสำหรับทุก c > 0 ซึ่งสามารถแสดงในบันทึกของเราเป็น0ปรากฏว่า TSG = SG(0) อย่างไรก็ตาม จะเห็นได้ว่า SG(0) = UIG (TSG จากข้อสังเกตดังต่อไปนี้ได้ จากการคำนิยาม เก็บ SG(0) ⊆ TSG เป็นที่รู้จักกันว่า K1 ̸∈ 3 UIG [10] ในทางกลับกัน K1, 3 ∈ TSG เนื่องจากศูนย์(−1, 0), (0, 0), (1, 0), (0 ε) และดิสก์หน่วยแทน K1, 3 สำหรับทุก 0 < ε≤ 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทนำ
กราฟดิสก์หน่วยแยกกราฟของดิสก์ปิดของขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง 1 ในเครื่องบิน จะได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางทั้งจาก
จุดปฏิบัติและทฤษฎีของมุมมอง กราฟดิสก์หน่วย representable ในพื้นที่ที่ จำกัด จะถือว่ายังอยู่ในวรรณคดี.
อิโตะและ Kadoshita [5] แสดงให้เห็นว่าปัญหาชุดอิสระสูงสุดและมีอำนาจเหนือปัญหาชุดขั้นต่ำ
ทั้ง W [1] ที่สมบูรณ์สำหรับกราฟดิสก์หน่วยที่มีศูนย์ทั้งหมดโกหก ในตารางของความยาวด้าน
√
ทีเมื่อแปรตาม
ทีพื้นที่ Breu [2] การศึกษากราฟดิสก์หน่วยลงทุนที่มีศูนย์อยู่ในพื้นที่ {(x, y): -∞ <x <∞, 0 ≤≤ y ที่ C} หน่วยดังกล่าว
กราฟดิสก์จะเรียกว่ากราฟคแถบ Breu แสดงให้เห็นว่าทุก
√
02/03 แถบกราฟเป็นกราฟเปรียบเทียบร่วม [2 มาตรา 3.1.2].
เราหมายถึงระดับของกราฟดิสก์หน่วยโดย UDG และระดับชั้นของกราฟคแถบโดยที่ SG (ค) . กราฟช่วงเวลาหน่วยเป็นจุดตัด
กราฟของช่วงเวลาปิดของความยาว 1 ในสายจริง เราแสดงให้เห็นถึงระดับของกราฟช่วงเวลาหน่วยโดย Uig จาก
คำจำกัดความของมันตามที่ Uig = SG (0) ⊆ UDG มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าจริง ๆ แล้วรวมเป็นที่เหมาะสม เพื่อเห็นแก่ความสะดวกสบาย
ให้ SG (∞) = UDG.
ในบทความนี้เราจะพิจารณากราฟที่มีกราฟคแถบทุกค> 0 ซึ่งสามารถแสดงออกในสัญกรณ์ของเราเป็น
0ปรากฏว่าทีเอสจี = SG (0) แต่ก็จะเห็นได้ว่าสิงคโปร์ (0) = Uig (TSG จากการสังเกตดังต่อไปนี้. จาก
คำจำกัดความ, SG (0) ⊆ TSG ถือ. เป็นที่รู้จักกันว่า K1,3 ̸∈ Uig [10]. ในทางกลับกัน , K1,3 ∈ TSG เพราะศูนย์
(-1, 0), (0, 0), (1, 0) และ (0, ε) ของดิสก์หน่วยเป็นตัวแทนของทุก K1,3 0 <ε≤ 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทนำ
หน่วยดิสก์กราฟเป็นกราฟแยกปิดดิสก์เส้นผ่านศูนย์กลาง 1 ในเครื่องบิน ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางทั้งจาก
ปฏิบัติ และทฤษฎีจุดของมุมมอง หน่วยดิสก์กราฟ representable ในพื้นที่จำกัดยังถือว่าในวรรณคดี .
ITO และ kadoshita [ 5 ] พบว่าสูงสุดอิสระตั้งปัญหาและการตั้งปัญหา
ต่ำสุดทั้ง W [ 1 ] - สมบูรณ์สำหรับหน่วยดิสก์กราฟกับทุกศูนย์โกหกในสี่เหลี่ยมของด้านยาว
√
t เมื่อพารามิเตอร์โดย
พื้นที่ ต. breu [ 2 ] เรียนดิสก์หน่วยกราฟที่มีศูนย์อยู่ในพื้นที่ { ( x , y ) : −∞ < x < ∞ , 0 ≤ Y ≤ C } เช่นหน่วย
ดิสก์กราฟเรียกว่า c-strip กราฟ breu พบว่า ทุก√
3
/ 2-strip กราฟเป็น Co ไม่สามารถเปรียบเทียบกราฟ [ 2
ส่วนการศึกษา ]เราแสดงถึงชั้นของหน่วยดิสก์กราฟโดย udg และชั้นเรียนของ c-strip กราฟโดย SG ( C ) หน่วยช่วงกราฟเป็นกราฟแยก
ปิดช่วงความยาวของ 1 ในบรรทัดที่แท้จริง เราแสดงถึงชั้นของหน่วยช่วงกราฟโดย uig . จาก
ความหมาย มันเป็นไปตามที่ uig = SG ( 0 ) ⊆ udg . มันง่ายที่จะแสดงที่แน่นอนรวมที่เหมาะสม เพื่อความสะดวกให้ SG ( ∞ ) =

udg .ในบทความนี้เราจะพิจารณากราฟที่มี c-strip กราฟทุก C > 0 ซึ่งสามารถแสดงออกในโน้ตของเรา
0 < C SG ( C ) เราเรียกแถบบางเช่นกราฟกราฟและแสดงถึงชั้นของแถบบางกราฟโดย TSG . มองเผินๆ ก็อาจ
ปรากฏว่า TSG = SG ( 0 ) อย่างไรก็ตาม จะเห็นได้ว่า SG ( 0 ) = uig ( TSG จากตัวอย่างต่อไปนี้ จาก
นิยาม , SG ( 0 ) ⊆ TSG ถือมันเป็นที่รู้จักกันว่า k1,3 ̸∈ uig [ 10 ] บนมืออื่น ๆ , k1,3 ∈ TSG เพราะศูนย์
( − 1 , 0 ) ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 0 ε ) ของดิสก์หน่วยแสดง k1,3 ทุก 0 < ε≤ 1