The Nagel and Gergonne Points(by Po

The Nagel and Gergonne Points

(by Polymath) This page is part of the Advanced High School Math Project.

If you have learned anything about triangle centers from a basic high school geometry course, you have almost surely learned about the four classical centers. But in addition to those, there are two other triangle centers that are fairly easily established with basic high school math, especially once you've mastered the use of Ceva's theorem. Those are the Gergonne point and the Nagel point, and I will prove their existence in this post. It is worth noting that, basic as these proofs and ideas are, they were not discovered until early in the 19th century; not much before, say, Riemann posed his famous hypothesis, drawing on a much deeper set of mathematical principles.

But on to the proofs. The reason these two triangle centers belong together in one post is that they both involve cevians drawn from a vertex to the points of tangency of circles—and closely related circles, at that. The Gergonne point is the concurrence point for the cevians from each vertex to the point on the opposite side where the inscribed circle is tangent. The Nagel point is the concurrence point for the cevians from each vertex to the point on the opposite side where that side's escribed circle is tangent (the escribed circles, or excircles are lesser known than the inscribed circle, and I will go into more detail about them below). You can see just from the similar descriptions of the points that they must be closely related.

The cevians in red in the triangle below connect, as described above, each vertex of the triangle with the point of tangency of the inscribed circle. Note that since two tangent segments to the same circle from a single point are congruent, I've marked three pairs of congruent segments with $, *, and #.

Gergonne

Recall that Ceva's theorem says that the three segments concur if

Final equation

But now, this should be obvious: replacing each segment name with its equivalent $, #, or * puts one of each of those symbols in the numerator and one in the denominator, making the product equal 1, just as desired. Thus the segments concur. And we call that point the Gergonne point.

The Nagel point is a little trickier, but also a little more interesting. It requires some deeper understanding of excircles, so let's start with those. You already know (you don't? click here) that an inscribed circle is tangent to all three sides of a triangle because its center is equidistant from the three sides. Furthermore, that equidistance is generated by the fact that the center lies on all three angle bisectors, which are rays consisting of all the points that are equidistant from the sides. But more advanced views of triangle geometry require that we look not just inside a triangle, but outside it as well. If you allow the idea that a side of a triangle is not merely a segment, but the whole line containing the segment, then the center of the inscribed circle is not the only point equidistant from the sides of the triangle. Consider the angle bisector of an exterior angle, for instance. It consists of all the points equidistant from one side of a triangle and the extension of another side. Drawing the bisector of the nearby exterior angle (if you used the extension of AB the first time, then use the extension of AC for the nearby angle), then, creates an intersection point that is equidistant from all three sides just as surely as drawing two interior angle bisectors does. That intersection point outside the triangle (which, of course, must lie on the bisector of the hitherto unused third interior angle, A in our example) is the center of one of three excircles. Below is a picture of a triangle and all three of its excircles.

Nagel

Just as the incircle is tangent to all three sides, you'll note that each excircle is tangent to all three sides if, again, you relax your understanding of "sides" to include the lines and not just the segments that make up the sides.

But...the segments are, of course, still the primary components of the triangle. And each of the side segments of the original triangle does indeed contain one point of tangency for each excircle. The Nagel point, then, is the concurrence point of the three cevians connecting each vertex of the triangle to that point of tangency of the corresponding excircle on the opposite side.

The proof that those cevians concur requires that we first see those points of tangency in a different light. Below is an enlargement of the middle of the picture above, showing the point of tangency (X) of the excircle opposite point A, along with the other points of tangency of that excircle (P and Q) on the extensions of the sides.

Semiperimeter1

Again, we use the theorem saying that two tangent segments to a single circle from the same point are congruent: thus the two green segments form a congruent pair, as do the two blue and the two purple segments.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Nagel และจุด Gergonne(โดย Polymath) หน้านี้เป็นส่วนหนึ่งของโครงการคณิตศาสตร์มัธยมขั้นสูงถ้าคุณได้เรียนรู้อะไรเกี่ยวกับศูนย์สามเหลี่ยมจากรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานมัธยมหลักสูตร คุณได้เรียนรู้เกี่ยวกับศูนย์คลาสสิกสี่เกือบแน่นอน แต่นอกเหนือจาก มีสองอื่น ๆ ศูนย์สามเหลี่ยมที่ถูกสร้างกับคณิตศาสตร์พื้นฐานมัธยม ค่อนข้างง่ายโดยเฉพาะเมื่อคุณได้เข้าใจการใช้ทฤษฎีบทของเซวา ผู้มีจุด Gergonne และจุด Nagel และฉันจะพิสูจน์การดำรงอยู่ในโพสต์นี้ มันเป็นมูลค่า noting ว่า พื้นฐานเป็นหลักฐานและแนวคิดเหล่านี้ พวกเขาไม่พบจนกระทั่งในศตวรรษที่ 19 ไม่มากก่อน พูด Riemann ถูกวางสมมติฐานของเขามีชื่อเสียง การวาดภาพบนชุดที่ลึกของหลักการทางคณิตศาสตร์แต่ สู่หลักฐาน เหตุผลเหล่านี้สามเหลี่ยมสองศูนย์อยู่ร่วมกันในโพสต์เดียว ทั้งสองเกี่ยวข้องกับ cevians ที่ลากจากจุดยอดของ tangency วงกลมจุด — และแวด วงที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด ที่ที่ จุด Gergonne คือ จุดหน้าที่สำหรับ cevians จากจุดยอดแต่ละจุดที่วงกลมจารึกไว้คือ แทนเจนต์อยู่ฝั่งตรงข้าม จุด Nagel เป็นหน้าที่จุด cevians จากจุดยอดแต่ละจุดแทนเจนต์วงกลม escribed ของด้านที่อยู่ฝั่งตรงข้าม (วง escribed หรือวงกลมแนบนอกจะรู้จักน้อยกว่าวงกลมจารึกไว้ และฉันจะเข้าสู่รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับพวกเขาด้านล่าง) คุณสามารถดูจากคำอธิบายที่คล้ายกันของจุดที่จะต้องใกล้ชิดกับCevians สีแดงในรูปสามเหลี่ยมด้านล่างเชื่อมต่อ ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่ละจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมจุด tangency ของวงกลมจารึกไว้ หมายเหตุว่า ตั้งแต่สองส่วนสัมผัสวงกลมเดียวกันจากจุดเดียวจะสอดคล้องกัน ได้หมาย 3 คู่ส่วนเท่ากับ $, *, และอันดับGergonneเรียกว่า ทฤษฎีบทของ Ceva กล่าวว่า ว่า สามส่วนเห็นด้วยถ้าสมการสุดท้ายแต่ตอนนี้ นี้ควรจะชัดเจน: เปลี่ยนชื่อแต่ละเซ็กเมนต์เทียบเท่า อันดับ หรือ * ทำให้หนึ่งในแต่ละสัญลักษณ์เหล่านั้นในตัวเศษและเป็นหนึ่งในตัวหาร ทำผลิตภัณฑ์เท่ากับ 1 เป็นที่ต้องการ ดังนั้น ส่วนเห็นด้วย และเราเรียกจุดที่ Gergonne จุดจุด Nagel เป็นการยุ่งยากเล็กน้อย แต่ยังมีน้อยมากน่าสนใจ มันต้องมีบางความเข้าใจลึกของวงกลมแนบนอก เริ่มต้นกับ คุณรู้อยู่แล้ว (คุณไม่? คลิกที่นี่) ว่า วงการจารึกไว้เป็นเส้นที่สัมผัสด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเพราะศูนย์ตั้งสามด้าน นอกจากนี้ equidistance ที่สร้างขึ้น โดยข้อเท็จจริงที่ว่า ศูนย์กลางอยู่ในทั้งสามมุม bisectors ซึ่งเป็นรังสีที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่ตั้งด้านข้าง แต่มุมมองขั้นสูงของสามเหลี่ยมรูปทรงเรขาคณิตต้องว่า เรามองไม่ใช่แค่ภาย ในรูปสามเหลี่ยม แต่ภาย นอกมันเป็นอย่างดี ถ้าคุณอนุญาตให้ความคิดว่า ด้านของรูปสามเหลี่ยมไม่เพียงเซ็กเมนต์ แต่ทั้งบรรทัดที่ประกอบด้วยเซ็กเมนต์ จากนั้นศูนย์กลางของวงกลมจารึกไว้ไม่เฉพาะจุดตั้งด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม พิจารณาจุดแบ่งครึ่งมุมของมุมภายนอก เช่น ประกอบด้วยทุกจุดเท่าที่จากด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและส่วนขยายของอีกด้านหนึ่ง วาด bisector ของใกล้เคียงมุมภายนอก (ถ้าคุณใช้ส่วนขยายของ AB ครั้งแรก แล้วใช้นามสกุลของ AC สำหรับมุมใกล้เคียง), แล้ว สร้างจุดตัดที่ตั้งด้านทั้งสามเป็นเพียงเป็นย่อมเป็นการวาดสองมุมภายใน bisectors ไม่ จุดตัดที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยม (ซึ่ง แน่นอน ต้องนอน bisector ของไม่ได้ใช้มาจนบัดนี้สามภายในมุม A ในตัวอย่าง) เป็นศูนย์กลางของวงกลมแนบนอกสามอย่างใดอย่างหนึ่ง ด้านล่างเป็นรูปสามเหลี่ยมและวงกลมแนบนอกของทั้งสามNagelเหมือนวงกลมแนบในคือ เส้นที่สัมผัสด้านทั้งสาม คุณจะทราบว่า excircle แต่ละ เส้นที่สัมผัสด้านทั้งสามถ้า อีกครั้ง คุณสามารถผ่อนคลายความเข้าใจ "ด้าน" การรวมบรรทัดและเซ็กเมนต์ที่ทำขึ้นด้านข้างไม่เพียงแต่...ส่วนจะ แน่นอน ยังคงส่วนประกอบหลักของรูปสามเหลี่ยม และแต่ละส่วนด้านของสามเหลี่ยมเดิมแน่นอนประกอบด้วยจุดหนึ่งของ tangency สำหรับแต่ละ excircle จุด Nagel แล้ว เป็นหน้าที่ cevians สามที่เชื่อมต่อแต่ละจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่จุด tangency ของ excircle ตรงฝั่งตรงข้ามหลักฐานที่เห็น cevians เหล่านั้นต้องการที่เราเห็นจุดเหล่านั้นของ tangency ในแสงแตกต่างกัน ด้านล่างเป็นการเพิ่มขึ้นของกลางภาพข้างต้น แสดงจุดของ tangency (X) ของ excircle ตรงข้ามจุด A พร้อมกับจุดอื่น ๆ ของ tangency ของที่ excircle (P และ Q) ในส่วนขยายของด้านข้างSemiperimeter1อีกครั้ง เราสามารถใช้ทฤษฎีบทที่บอกว่า สัมผัสเซ็กเมนต์ที่สองเป็นรูปวงกลมเดียวจากจุดเดียวจะสอดคล้องกัน: ดังนั้น สองส่วนสีเขียวแบบคู่เท่า ทำสองสีน้ำเงินและสีม่วงส่วนสอง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แจคกี้และจุด Gergonne

(โดยพหูสูต) หน้านี้เป็นส่วนหนึ่งของโครงการโรงเรียนคณิตศาสตร์ขั้นสูง.

ถ้าคุณได้เรียนรู้อะไรเกี่ยวกับศูนย์สามเหลี่ยมจากโรงเรียนมัธยมหลักสูตรเรขาคณิตพื้นฐานคุณได้เรียนรู้เกือบแน่นอนเกี่ยวกับสี่ศูนย์คลาสสิก แต่นอกเหนือไปจากที่มีสองศูนย์สามเหลี่ยมอื่น ๆ ที่มีการจัดตั้งขึ้นอย่างเป็นธรรมได้อย่างง่ายดายด้วยคณิตศาสตร์โรงเรียนมัธยมพื้นฐานโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณได้เข้าใจการใช้งานของทฤษฎีบท Ceva ของ เหล่านี้คือจุด Gergonne และจุดที่แจคกี้และฉันจะพิสูจน์การดำรงอยู่ของพวกเขาในการโพสต์นี้ มันเป็นที่น่าสังเกตว่าพื้นฐานเป็นบทพิสูจน์เหล่านี้และความคิดที่พวกเขาไม่ได้ค้นพบจนกระทั่งในช่วงต้นศตวรรษที่ 19; ไม่มากก่อนที่จะพูด Riemann วางสมมติฐานที่มีชื่อเสียงของเขาวาดภาพบนชุดลึกมากของหลักการทางคณิตศาสตร์.

แต่ในการพิสูจน์ เหตุผลเหล่านี้สองศูนย์สามเหลี่ยมอยู่ด้วยกันในหนึ่งโพสต์ก็คือว่าพวกเขาทั้งสองเกี่ยวข้องกับ cevians วาดจากจุดสุดยอดไปยังจุดที่วงของวงกลมและวงกลมที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่ว่า จุด Gergonne เป็นจุดสามัคคีสำหรับ cevians จากแต่ละจุดสุดยอดที่จะจุดบนด้านตรงข้ามที่วงกลมไว้มีการสัมผัสกัน จุดแจคกี้เป็นจุดสามัคคีสำหรับ cevians จากแต่ละจุดสุดยอดไปยังจุดที่อยู่ฝั่งตรงข้ามที่วงกลม escribed ของข้างเคียงที่มีการสัมผัสกัน (วงกลม escribed หรือ excircles เป็นที่รู้จักน้อยกว่าวงกลมไว้และผมจะเข้าไปดูรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับ พวกเขาด้านล่าง) คุณสามารถเห็นเพียงจากรายละเอียดที่คล้ายกันของจุดที่พวกเขาจะต้องเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด.

cevians สีแดงในรูปสามเหลี่ยมด้านล่างเชื่อมต่อตามที่อธิบายไว้ข้างต้นจุดสุดยอดของสามเหลี่ยมแต่ละคนมีจุดวงของวงกลมจารึกไว้ที่ ทราบว่าตั้งแต่สองส่วนสัมผัสกันในวงกลมเดียวกันจากจุดเดียวจะสอดคล้องกันผมได้ทำเครื่องหมายสามคู่ของกลุ่มสอดคล้องกับ $ * และ #.

Gergonne

จำได้ว่าทฤษฎีบทของ CEVA กล่าวว่ากลุ่มที่สามเห็นพ้องถ้า

สมการสุดท้าย

แต่ตอนนี้ นี้ควรจะเห็นได้ชัด: เปลี่ยนชื่อกลุ่มแต่ละคนมีเทียบเท่าของ $, # หรือ * ทำให้หนึ่งของแต่ละสัญลักษณ์เหล่านั้นในเศษและเป็นหนึ่งในส่วนที่ทำให้สินค้าเท่ากับ 1 เช่นเดียวกับที่ต้องการ ดังนั้นกลุ่มเห็นพ้อง และเราเรียกจุดที่จุด Gergonne.

จุดแจคกี้เป็นเพียงเล็กน้อย trickier แต่ยังเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่น่าสนใจมากขึ้น มันต้องมีความเข้าใจที่ลึกซึ้งบางส่วนของ excircles จึงขอเริ่มต้นด้วยเหล่านั้น คุณรู้อยู่แล้วว่า (คุณทำไม่ได้? คลิกที่นี่) ที่วงกลมไว้สัมผัสกันไปทั้งสามด้านของสามเหลี่ยมเพราะศูนย์ของมันคือเท่ากันจากสามด้าน นอกจากนี้ equidistance ที่สร้างขึ้นโดยความจริงที่ว่าศูนย์อยู่ทั้งสามเส้นแบ่งครึ่งมุมซึ่งเป็นรังสีที่ประกอบด้วยทุกจุดที่มีระยะห่างเท่ากันจากด้านข้าง แต่มุมมองที่สูงขึ้นของรูปทรงเรขาคณิตสามเหลี่ยมต้องการให้เรามองไม่เพียง แต่ภายในรูปสามเหลี่ยม แต่นอกเป็นอย่างดี หากคุณให้ความคิดที่ว่าด้านของรูปสามเหลี่ยมไม่ได้เป็นเพียงส่วนหนึ่ง แต่สายทั้งที่มีส่วนแล้วจุดศูนย์กลางของวงกลมจารึกไว้ไม่ได้เป็นจุดเดียวที่เท่ากันจากด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม พิจารณาเส้นแบ่งครึ่งมุมของมุมภายนอกเช่น มันประกอบไปด้วยทุกจุดเท่ากันจากด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและการขยายด้านอื่น วาดเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกอยู่บริเวณใกล้เคียง (ถ้าคุณใช้ส่วนขยายของ AB ครั้งแรกแล้วใช้ส่วนขยายของ AC สำหรับมุมใกล้เคียง) แล้วสร้างจุดตัดที่เท่ากันคือจากทั้งสามด้านเช่นเดียวกับที่แน่นอนการวาดภาพ สองเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในไม่ จุดตัดที่นอกสามเหลี่ยม (ซึ่งแน่นอนต้องนอนอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของที่ไม่ได้ใช้มาจนบัดนี้มุมภายในที่สาม, A ในตัวอย่างของเรา) เป็นศูนย์กลางของหนึ่งในสามของ excircles ด้านล่างนี้คือภาพของรูปสามเหลี่ยมและทั้งสามของ excircles ของ.

แจคกี้

เช่นเดียวกับวงกลมแนบสัมผัสกันไปทั้งสามด้านที่คุณจะทราบว่าแต่ละ excircle สัมผัสกันไปทั้งสามด้านถ้าอีกครั้งคุณผ่อนคลายความเข้าใจของคุณ "ด้านข้าง "เพื่อรวมเส้นและไม่ได้เป็นเพียงกลุ่มที่ทำขึ้นด้านข้าง.

แต่ ... ส่วนที่มีของหลักสูตรยังคงเป็นองค์ประกอบหลักของรูปสามเหลี่ยม และแต่ละส่วนด้านข้างของสามเหลี่ยมเดิมไม่แน่นอนมีจุดหนึ่งของวงแต่ละ excircle จุด Nagel แล้วเป็นจุดความเห็นชอบของทั้งสาม cevians เชื่อมต่อจุดสุดยอดของสามเหลี่ยมแต่ละยังจุดวงของ excircle ที่สอดคล้องกันอยู่ฝั่งตรงข้ามว่า.

หลักฐานที่ cevians ผู้ที่เห็นพ้องต้องว่าเป็นครั้งแรกที่เราเห็นจุดเหล่านั้นของวงใน แสงที่แตกต่างกัน ด้านล่างนี้คือการขยายตัวของตรงกลางของภาพดังกล่าวข้างต้นแสดงให้เห็นจุดของวง (X) ของ excircle ตรงข้ามจุดพร้อมกับจุดอื่น ๆ ที่วงของ excircle ที่ (P และ Q) จากการขยายด้านข้าง.

Semiperimeter1

อีกครั้งที่เราใช้ทฤษฎีบทบอกว่าสองส่วนสัมผัสกับวงกลมเดียวจากจุดเดียวกันจะสอดคล้องกัน: ดังนั้นทั้งสองกลุ่มสีเขียวในรูปแบบที่สอดคล้องกันทั้งคู่เช่นเดียวกับสองสีฟ้าและทั้งสองกลุ่มสีม่วง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

และจุดที่ gergonne นาเกล( เพลง ) หน้านี้เป็นส่วนหนึ่งของขั้นสูงโรงเรียนมัธยมคณิตศาสตร์โครงการถ้าคุณได้เรียนรู้อะไรเกี่ยวกับสามเหลี่ยมศูนย์จากพื้นฐานโรงเรียนเรขาคณิตแน่นอนคุณจะต้องเรียนรู้เกี่ยวกับสี่ คลาสสิก ที่ศูนย์ แต่นอกเหนือจากนั้นมีสามเหลี่ยมอีก 2 ศูนย์ที่ค่อนข้างง่ายมีพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.ปลาย , โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณได้เข้าใจการใช้ทฤษฎีบทของเซวา . นั่นเป็นจุด gergonne และจุดเนเกิล และผมจะพิสูจน์การดำรงอยู่ของพวกเขาในการโพสต์นี้ เป็นมูลค่า noting ว่าขั้นพื้นฐาน เช่น หลักฐานเหล่านี้และความคิด พวกเขาไม่ได้ถูกค้นพบจนกว่าต้นศตวรรษที่ 19 ; ไม่มากก่อน ว่าสมมติฐานรีมันน์อันโด่งดังของเขา , การวาดภาพบนลึกมากชุดของหลักการทางคณิตศาสตร์แต่เพื่อปรู๊ฟ . เหตุผลสองศูนย์รูปสามเหลี่ยมอยู่ด้วยกันในหนึ่งโพสต์ที่พวกเขาทั้งสองเกี่ยวข้องกับ cevians วาดจากจุดยอดไปยังจุดของการสัมผัสของเส้นรอบวงของวงกลมและที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่ จุด gergonne เป็นจุดที่สบายสำหรับ cevians จากแต่ละจุดยอดถึงจุดบนด้านตรงข้ามที่วงกลมสลักมันเป็นเรื่องของฉัน จุด นาเกล เป็นจุดที่สบายสำหรับ cevians จากแต่ละจุดยอดถึงจุดบนด้านตรงข้าม ซึ่งฝ่ายนั้น escribed วง tangent ( escribed วงกลม หรือวงกลมแนบนอกจะรู้จักน้อยกว่ากว่าวงกลมสลัก และฉันจะไปลงในรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับพวกเขาด้านล่าง ) ที่คุณสามารถดูจากคำอธิบายที่คล้ายกันของจุดที่พวกเขาต้องมีความใกล้ชิดกันการ cevians สีแดงในสามเหลี่ยมด้านล่างเชื่อมต่อที่อธิบายไว้ข้างต้นแต่ละจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดของการสัมผัสของเส้นรอบวงของจารึกไว้ในวงกลม ทราบว่า ตั้งแต่ สองส่วนที่จะสัมผัสวงกลมเดียวกันจากจุดเดียวก็เท่ากัน ฉันทำเครื่องหมายไว้สามคู่เท่ากัน ส่วนกับ $ * และ # .gergonneจำได้ว่า ทฤษฎีบทของเซวากล่าวว่าสามส่วนเห็นด้วย ถ้าสมการสุดท้ายแต่ตอนนี้ มันควรจะชัดเจน : แทน ส่วนชื่อแต่ละกับเทียบเท่า $ # หรือ * ทำให้หนึ่งของแต่ละสัญลักษณ์นั้น ในเศษและเป็นหนึ่งในส่วนที่ทำให้ผลิตภัณฑ์เท่ากับ 1 , เช่นเดียวกับที่ต้องการ ดังนั้นส่วนที่เห็นด้วย และเราเรียกจุดนั้นจุด gergonne .จุด นาเกลเล็กน้อย trickier แต่ยังน่าสนใจมากขึ้น มันต้องมีความเข้าใจที่ลึกซึ้งของวงกลมแนบนอก ดังนั้นเรามาเริ่มที่ คุณก็รู้ว่าคุณไม่ ? คลิกที่นี่ ) ที่สัมผัสวงกลมสลักอยู่ทั้งสามด้านของสามเหลี่ยม เพราะศูนย์กลางคือเท่ากันทั้งสามด้าน นอกจากนี้ ที่ equidistance ถูกสร้างขึ้นโดยความจริงที่ว่าศูนย์ตั้งอยู่บนมุมทั้งสาม bisectors ซึ่งรังสีที่ประกอบด้วยทุกคะแนนที่เท่ากันจากด้าน แต่มุมมองขั้นสูงของเรขาคณิตสามเหลี่ยม ต้องการให้เราดูไม่ใช่แค่ภายในรูปสามเหลี่ยม แต่ข้างนอกมันเป็นอย่างดี ถ้าคุณให้ความคิดที่เป็นด้านของสามเหลี่ยม ไม่เพียงกลุ่ม แต่ทั้งบรรทัดที่มี ส่วน แล้วตรงกลางวงกลมสลักไม่ได้เป็นจุดเดียวเท่ากันจากด้านของสามเหลี่ยม พิจารณาเส้นแบ่งครึ่งมุมของมุม , ภายนอกเช่น ประกอบด้วยคะแนนเท่ากันทั้งหมดจากด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และการส่งเสริมด้านอื่นอีก วาดเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกใกล้เคียง ( ถ้าคุณใช้ส่วนขยายของ AB ครั้งแรก แล้วใช้นามสกุลของ AC สำหรับมุมใกล้เคียง ) แล้วสร้างเป็นจุดตัดที่เท่ากันทั้งสามด้านก็ย่อมเป็นรูปวาดสอง bisectors มุม ภายในมี ที่จุดตัดนอกสามเหลี่ยม ( ซึ่งแน่นอนว่าต้องนอนบนเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของแต่ก่อนไม่ได้ใช้ที่สาม , ในตัวอย่างของเรา ) เป็นศูนย์กลางของหนึ่งในสามของวงกลมแนบนอก . ด้านล่างนี้เป็นรูปของสามเหลี่ยม และทั้งสามของวงกลมแนบนอก .นาเกลเหมือนเป็นสัมผัสวงกลมแนบในทั้งสามด้าน , คุณจะทราบว่า แต่ละ excircle มีสัมผัสทั้งสามด้าน ถ้า อีกครั้ง คุณผ่อนคลาย ความเข้าใจของ " ด้าน " รวมสายและไม่เพียง แต่ส่วนที่ทำให้ทั้งสองฝ่ายแต่ . . . . . . . ส่วน แน่นอน ยังคงส่วนประกอบหลักของสามเหลี่ยม และแต่ละด้าน ส่วนของสามเหลี่ยมเดิมไม่แน่นอนมีหนึ่งจุดของการสัมผัสของเส้นรอบวงของแต่ละ excircle . ส่วน นาเกล จุดนั้นเป็นจุดที่เห็นพ้องต้องกันของทั้งสาม cevians เชื่อมแต่ละจุดยอดของสามเหลี่ยมที่จุดของการสัมผัสของเส้นรอบวงของ excircle ที่สอดคล้องกันในด้านตรงข้ามหลักฐานที่ผู้ cevians เห็นพ้องต้องการให้เราแรกดูที่จุดของการสัมผัสของเส้นรอบวงในแสงที่แตกต่างกัน ข้างล่างนี้คือการขยายตัวของตรงกลางของภาพด้านบน แสดงจุดของการสัมผัสของเส้นรอบวง ( X ) ของ excircle ตรงข้ามจุด พร้อมๆ กับการสัมผัสของเส้นรอบวงที่จุดอื่น ๆ excircle ( P และ Q ) ในส่วนขยายของทั้งสองฝ่ายsemiperimeter1อีกครั้งที่เราใช้ทฤษฎีบทว่าสองส่วนที่จะสัมผัสวงเดียวจากจุดเดียวกันสอดคล้อง : จึงเป็นสองส่วนสีเขียวรูปคู่ที่สอดคล้อง กับสองสีฟ้าและสีม่วง 2 กลุ่ม