5. Discussion and conclusionsApplic

5. Discussion and conclusions
Application of Newton
s law to the motion of the simple pendulum with nonlinear damping terms and incorporating
several drivings leads to the equations of motion of what we call a generalized perturbed pendulum. This model is a
paradigm for the study of many properties of continuous dynamical systems, with many applications to physical and
technological problems.
Fig. 9. Semilogarithmic plot of the Melnikov ratio versus the forcing frequency x for the values x0 ¼ 0:5 (––), x0 ¼ 1 (– – –) and
x0 ¼ 1:5 (- - -). This example represents a simplified version of the case when the three forcing terms are acting at the same time.
J.L. Trueba et al. /Chaos, Solitons and Fractals 15 (2003) 911–924 921
We apply Melnikov method, which has proved useful in many practical cases to ascertain the chaotic responses of
certain dynamical systems, to the generalized harmonically perturbed pendulum, resulting in general expressions that
comprise particular cases. Among all the examples analyzed, an interesting particular situation appears when the
supporting point of a linearly damped pendulum moves harmonically in the horizontal direction and the bob is subjected
to a harmonic forcing, because there is a set of forcing parameters that removes the effect of the driving from the
Melnikov function.
One of the strategies we have pursued here is analyzing the Melnikov ratio between the critical forcing amplitude
and the damping coefficient for some specific examples. Its dependence with the natural and forcing frequencies has
been determined for each case.
Finally, we would like to stress that even though most of the particular cases of this generalized perturbed pendulum
have been studied separately by different authors, here we have attempted to offer a general scheme comprising all them
and also showing general formulae that can be of further use, and that which might be extended to attack other
problems in nonlinear dynamics.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

5. อภิปรายและบทสรุปใช้กฎหมาย s นิวตันการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่ายด้วยเงื่อนไขตสากรรมการไม่เชิงเส้น และเพจdrivings หลายที่นำไปสู่สมการของการเคลื่อนไหวของสิ่งที่เราเรียกเป็นลูกตุ้ม perturbed เมจแบบทั่วไป รุ่นนี้เป็นแบบกระบวนทัศน์ในการศึกษาต่อเนื่องระบบ dynamical คุณสมบัติมากมายด้วยโปรแกรมประยุกต์หลายทางกายภาพ และปัญหาเทคโนโลยีFig. 9 แผน semilogarithmic ของ Melnikov อัตราส่วนเมื่อเทียบกับความถี่ forcing x สำหรับค่า x 0 ¼ 0:5 (– –), x 0 ¼ 1 (–– –) และx 0 ¼ 1:5 (- -) ตัวอย่างนี้แสดงถึงเวอร์ชันภาษากรณีเมื่อเงื่อนไข forcing สามจะทำหน้าที่ในเวลาเดียวกันJ.L. Trueba et al. /Chaos, Solitons และ Fractals 15 (2003) 911-924 921เราใช้วิธี Melnikov ซึ่งได้พิสูจน์แล้วว่ามีประโยชน์ในหลายกรณีปฏิบัติการตรวจการตอบสนองที่วุ่นวายของบาง dynamical ระบบ การเมจแบบทั่วไป harmonically perturbed ลูกตุ้ม เกิดนิพจน์ทั่วไปที่ประกอบเป็นกรณีเฉพาะ ประเทศทั้งหมดวิเคราะห์ สถานการณ์เฉพาะที่น่าสนใจปรากฏเมื่อการสนับสนุนของลูกตุ้ม damped เชิงเส้นย้าย harmonically ในทิศทางแนวนอน และต้องบ๊อบการมีค่าบังคับ เนื่องจากมีชุดบังคับให้พารามิเตอร์ที่เอาผลของการขับขี่จากการMelnikov ฟังก์ชันหนึ่งในกลยุทธ์ที่เราได้ติดตามได้วิเคราะห์อัตราส่วน Melnikov ระหว่างคลื่น forcing สำคัญและสัมประสิทธิ์ damping สำหรับตัวอย่างที่ระบุ มีการพึ่งพาธรรมชาติและการบังคับความถี่การกำหนดสำหรับแต่ละกรณีสุดท้าย เราต้องการความเครียดที่แม้ว่าลูกตุ้ม perturbed ตั้งค่าทั่วไปของกรณีเฉพาะนี้มีการศึกษาต่างหาก โดยเขียนแตกต่างกัน นี่เราพยายามนำเสนอแบบทั่วไปที่ประกอบด้วยพวกเขาทั้งหมดและยัง แสดงสูตรทั่วไปที่สามารถนำไปใช้ และที่ซึ่งอาจขยายการโจมตีอื่น ๆปัญหาใน dynamics ไม่เชิงเส้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

5.
คำอธิบายและบทสรุปของการประยุกต์ใช้นิวตันหรือไม่กฎหมายในการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มที่เรียบง่ายด้วยการไม่เชิงเส้นหมาดเงื่อนไขและการใช้มาตรการ
drivings หลายนำไปสู่สมการการเคลื่อนที่ของสิ่งที่เราเรียกลูกตุ้มทั่วไปตกอกตกใจ รุ่นนี้เป็นกระบวนทัศน์ในการศึกษาคุณสมบัติหลายอย่างของพลังอย่างต่อเนื่องโดยมีการใช้งานหลายทางกายภาพและปัญหาทางเทคโนโลยี. รูป 9. พล็อตของ Semilogarithmic อัตราส่วน Melnikov เมื่อเทียบกับการบังคับให้ความถี่ x สำหรับค่า x0 ¼ 0: 5 (-), x0 ¼ 1 (- - -) และx0 ¼ 1: 5 (- - -) ตัวอย่างนี้แสดงถึงรุ่นที่เรียบง่ายของกรณีที่เมื่อสามข้อตกลงบังคับจะทำหน้าที่ในเวลาเดียวกัน. JL Trueba et al, / ความโกลาหล solitons และ Fractals 15 (2003) 911-924 921 เราใช้วิธี Melnikov ซึ่งได้พิสูจน์แล้วว่าประโยชน์ในกรณีการปฏิบัติจำนวนมากเพื่อยืนยันการตอบสนองวุ่นวายของพลังบางอย่างที่จะตกอกตกใจทั่วไปลูกตุ้มharmonically ผลในการแสดงออกทั่วไปที่ประกอบด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณี ในทุกตัวอย่างการวิเคราะห์สถานการณ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่น่าสนใจปรากฏขึ้นเมื่อจุดการสนับสนุนของลูกตุ้มหดหู่เส้นตรงย้าย harmonically ในแนวนอนและบ๊อบอยู่ภายใต้ไปยังฮาร์โมนิบังคับเพราะมีชุดของพารามิเตอร์บังคับที่เอาผลของการที่ขับรถจากฟังก์ชั่น Melnikov. หนึ่งในกลยุทธ์ที่เราได้ดำเนินการที่นี่คือการวิเคราะห์อัตราส่วนระหว่าง Melnikov กว้างบังคับที่สำคัญและมีค่าสัมประสิทธิ์การทำให้หมาดๆ สำหรับตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงบางอย่าง การพึ่งพาอาศัยกันกับความถี่ธรรมชาติและบังคับให้ได้รับการพิจารณาในแต่ละกรณี. สุดท้ายเราอยากจะเน้นว่าแม้ส่วนของกรณีเฉพาะของลูกตุ้มตกอกตกใจทั่วไปนี้ได้รับการศึกษาที่แยกจากกันโดยผู้เขียนที่แตกต่างกันที่นี่เรามีความพยายามที่จะนำเสนอโครงการทั่วไปประกอบไปด้วยทุกคนและยังมีการแสดงสูตรทั่วไปที่สามารถในการใช้งานต่อไปและสิ่งที่อาจจะมีการขยายการโจมตีอื่น ๆ ปัญหาในการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

5 . การอภิปรายและสรุป
ใบสมัครของนิวตัน
s กฎหมายกับการเคลื่อนไหวของลูกตุ้มอย่างง่ายด้วยไม่เชิงเส้นเงื่อนไขและผสมผสานหลายแบบ
drivings นำไปสู่สมการของการเคลื่อนไหวของสิ่งที่เราเรียกทั่วไป วนเวียน ลูกตุ้ม รุ่นนี้เป็น
กระบวนทัศน์เพื่อการศึกษาคุณสมบัติหลายอย่างของระบบพลวัตต่อเนื่องกับการใช้งานหลายทาง

ปัญหาทางเทคโนโลยีรูปที่ 9 พล็อต semilogarithmic ของ melnikov อัตราส่วนเมื่อเทียบกับการบังคับความถี่ x ค่า x0 ¼ 0:5 ( –– ) x0 ¼ 1 ( ––– ) และ
x0 ¼ 1 : 5 ( - - ) ตัวอย่างนี้เป็นรุ่นที่เรียบง่ายของกรณีเมื่อสามบังคับเงื่อนไขการแสดงในเวลาเดียวกัน
J.L . trueba et al . / ความวุ่นวาย โซลิตอนเอฟเอคัพและ 15 ( 2003 ) 911 – 924 921
เราใช้ melnikov วิธีซึ่งได้พิสูจน์แล้วว่าเป็นประโยชน์ในการปฏิบัติมาก เพื่อให้กรณีการวุ่นวายของ
ระบบพลังบางอย่างในตัวประสานกัน วนเวียน ลูกตุ้ม เป็นผลในนิพจน์ทั่วไปที่
ประกอบด้วยกรณีเฉพาะ ในบรรดาตัวอย่างวิเคราะห์สถานการณ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งน่าสนใจปรากฏเมื่อ
สนับสนุนความเห็นของเส้นตรงหดหู่ลูกตุ้มย้ายประสานกันในทิศทางแนวนอนและบ๊อบภายใต้
กับฮาร์บังคับ เพราะมีชุดของพารามิเตอร์ที่บังคับให้ลบผลของการขับรถจากฟังก์ชัน melnikov
.
หนึ่งในกลยุทธ์ที่เราได้ติดตามมาวิเคราะห์อัตราส่วนระหว่างการบังคับของ melnikov
และค่าสัมประสิทธิ์ความหน่วงสำหรับตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงบางอย่าง การพึ่งพากับธรรมชาติและบังคับความถี่ได้

ถูกกำหนดไว้ในแต่ละกรณี สุดท้ายที่เราต้องการจะเน้นว่าแม้ว่าส่วนใหญ่ของกรณีเฉพาะของตัวนี้ วนเวียน ลูกตุ้ม
ได้รับการศึกษาต่างหาก โดยผู้เขียนที่แตกต่างกัน ที่นี่ เราพยายามที่จะเสนอโครงการทั้งหมดพวกเขา
ทั่วไปประกอบด้วยและยังแสดงทั่วไปสูตรที่สามารถใช้ต่อไป และซึ่งอาจจะขยายไปโจมตีปัญหาอื่นๆ
ทางพลศาสตร์แบบไม่เชิงเส้น