WHAT IS MATHEMATICAL THINKING AND W

WHAT IS MATHEMATICAL THINKING AND WHY IS IT IMPORTANT? Kaye Stacey University of Melbourne, Australia
INTRODUCTION This paper and the accompanying presentation has a simple message, that mathematical thinking is important in three ways. • Mathematical thinking is an important goal of schooling. • Mathematical thinking is important as a way of learning mathematics. • Mathematical thinking is important for teaching mathematics. Mathematical thinking is a highly complex activity, and a great deal has been written and studied about it. Within this paper, I will give several examples of mathematical thinking, and to demonstrate two pairs of processes through which mathematical thinking very often proceeds: • Specialising and Generalising • Conjecturing and Convincing. Being able to use mathematical thinking in solving problems is one of the most the fundamental goals of teaching mathematics, but it is also one of its most elusive goals. It is an ultimate goal of teaching that students will be able to conduct mathematical investigations by themselves, and that they will be able to identify where the mathematics they have learned is applicable in real world situations. In the phrase of the mathematician Paul Halmos (1980), problem solving is “the heart of mathematics”. However, whilst teachers around the world have considerable successes with achieving this goal, especially with more able students, there is always a great need for improvement, so that more students get a deeper appreciation of what it means to think mathematically and to use mathematics to help in their daily and working lives. MATHEMATICAL THINKING IS AN IMPORTANT GOAL OF SCHOOLING The ability to think mathematically and to use mathematical thinking to solve problems is an important goal of schooling. In this respect, mathematical thinking will support science, technology, economic life and development in an economy. Increasingly, governments are recognising that economic well-being in a country is underpinned by strong levels of what has come to be called ‘mathematical literacy’ (PISA, 2006) in the population. Mathematical literacy is a term popularised especially by the OECD’s PISA program of international assessments of 15 year old students. Mathematical literacy is the
39
ability to use mathematics for everyday living, and for work, and for further study, and so the PISA assessments present students with problems set in realistic contexts. The framework used by PISA shows that mathematical literacy involves many components of mathematical thinking, including reasoning, modelling and making connections between ideas. It is clear then, that mathematical thinking is important in large measure because it equips students with the ability to use mathematics, and as such is an important outcome of schooling. At the same time as emphasising mathematics because it is useful, schooling needs to give students a taste of the intellectual adventure that mathematics can be. Whilst the highest levels of mathematical endeavour will always be reserved for just a tiny minority, it would be wonderful if many students could have just a small taste of the spirit of discovery of mathematics as described in the quote below from Andrew Wiles, the mathematician who proved Fermat’s Last Theorem in 1994. This problem had been unsolved for 357 years. One enters the first room of the mansion and it’s dark. One stumbles around bumping into furniture, but gradually you learn where each piece of furniture is. Finally, after six months of so, you find the light switch, you turn it on, and suddenly it’s all illuminated. You can see exactly where you were. Then you move into the next room and spend another six months in the dark. So each of these breakthroughs, while sometimes they’re momentary, sometimes over a period of a day or two, they are the culmination of, and couldn’t exist without, the many months of stumbling around in the dark that precede them. (Andrew Wiles, quoted by Singh, 1997, p236, 237) At the APEC meeting in Tokyo in January 2006, Jan de Lange spoke in detail about the use of mathematics to equip young people for life, so I will instead focus this paper on two other ways in which mathematical thinking is important. WHAT IS MATHEMATICAL THINKING? Since mathematical thinking is a process, it is probably best discussed through examples, but before looking at examples, I briefly examine some frameworks provided to illuminate mathematical thinking, going beyond the ideas of mathematical literacy. There are many different ‘windows’ through which the mathematical thinking can be viewed. The organising committee for this conference (APEC, 2006) has provided a substantial discussion on this point. Stacey (2005) gives a review of how mathematical thinking is treated in curriculum documents in Australia, Britain and USA. One well researched framework was provided by Schoenfeld (1985), who organised his work on mathematical problem solving under four headings: the resources of mathematical knowledge and skills that the student brings to the task, the heuristic strategies that that the student can use in solving problems, the monitoring and control that the student exerts on the problem solving process to guide it in productive directions, and the beliefs that the student holds about mathematics, which
40
enable or disable problem solving attempts. McLeod (1992) has supplemented this view by expounding on the important of affect in mathematical problem solving. In my own work, I have found it helpful for teachers to consider that solving problems with mathematics requires a wide range of skills and abilities, including: • Deep mathematical knowledge • General reasoning abilities • Knowledge of heuristic strategies • Helpful beliefs and attitudes (e.g. an expectation that maths will be useful) • Personal attributes such as confidence, persistence and organisation • Skills for communicating a solution. Of these, the first three are most closely part of mathematical thinking. In my book with John Mason and Leone Burton (Mason, Burton and Stacey, 1982), we provided a guide to the stages through which solving a mathematical problem is likely to pass (Entry, Attack, Review) and advice on improving problem solving performance by giving experience of heuristic strategies and on monitoring and controlling the problem solving process in a meta-cognitive way. We also identified four fundamental processes, in two pairs, and showed how thinking mathematically very often proceeds by alternating between them: • specialising – trying special cases, looking at examples • generalising - looking for patterns and relationships • conjecturing – predicting relationships and results • convincing – finding and communicating reasons why something is true. I will illustrate these ideas in the two examples below. The first example examines the mathematical thinking of the problem solver, whilst the second examines the mathematical thinking of the teacher. The two problems are rather different – the second is within the mainstream curriculum, and the mathematical thinking is guided by the teacher in the classroom episode shown. The first problem is an open problem, selected because it is similar to open investigations that a teacher might choose to use, but I hope that its unusual presentation will let the audience feel some of the mystery and magic of investigation afresh. MATHEMATICAL THINKING IS IMPORTANT AS A WAY OF LEARNING MATHEMATICS In this section, I will illustrate these four processes of mathematical thinking in the context of a problem that may be used to stimulate mathematical thinking about numbers or as an introduction to algebra. If students’ ability to think mathematically is an important outcome of schooling, then it is clear that mathematical thinking must feature prominently in lessons. Number puzzles and tricks are excellent for these purposes, and in the presentation I will use a number puzzle in a format of the Flash Mind Reader, created by Andy
41
Naughton and published on the internet (HREF1). The Flash Mind Reader does not look like a number puzzle. Indeed its creator writes: We have been asked many times how the Mind Reader works, but will not publish that information on this website. All magicians […] do not give away how their effects work. The reason for this is that it spoils the fun for those who like to remain mystified and when you do find out how something works it's always a bit of a let-down. If you are really keen to find out how it works we suggest that you apply your brain and try to work it out on paper or search further afield. (HREF1) As with many other number tricks, an audience member secretly chooses a number (and a symbol), a mathematical process is carried out, and the computer reveals the audience member’s choice. In this case, a number is chosen, the sum of the digits is subtracted from the number and a symbol corresponding to this number is found from a table. The computer then magically shows the right symbol. The Flash Mind Reader is too difficult to use in most elementary school classes, the target of this conference, but I have selected it so that my audience of mathematics education experts can experience afresh some of the magic and mystery of numbers. As the group works towards a solution, we have many opportunities to observe mathematical thinking in action. Through this process of shared problem solving as we investigate the Flash Mind Reader, I hope to make the following points about mathematical thinking. Firstly, when people first see the Flash Mind Reader, mathematical explanations are far from their minds. Some people propose that it really does read minds, and they may try to test their theory by not concentrating hard on the number that they choose. Others hypothesise that the program exerts some psychological power over the person’s choice of number. Others sugg

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความคิดทางคณิตศาสตร์และเหตุใดจึงสำคัญคืออะไร Kaye โชแชมหาวิทยาลัยเมลเบิร์น ออสเตรเลีย แนะนำกระดาษนี้และงานนำเสนอมามีข้อความอย่างง่าย ว่า ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งสำคัญในสามวิธี •คิดคณิตศาสตร์เป็นเป้าหมายสำคัญของการศึกษา •ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นสำคัญเป็นวิธีการเรียนรู้คณิตศาสตร์ •ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการสอนคณิตศาสตร์ ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นกิจกรรมที่ซับซ้อนสูง โปรโมชั่นมีการเขียน และศึกษาเกี่ยวกับมัน ภายในเอกสารนี้ จะให้ตัวอย่างหลาย ๆ ความคิดคณิตศาสตร์ และแสดงให้เห็นถึงกระบวนการที่คณิตศาสตร์คิดบ่อยสองคู่ดำเนินการ: •• Specialising และ Generalising Conjecturing และหลอกลวง ความสามารถในการใช้ความคิดทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาเป็นหนึ่งในสุดพื้นฐานเป้าหมายของการสอนคณิตศาสตร์ แต่ก็เป็นหนึ่งในเป้าหมายของเปรียวมากที่สุด มีเป้าหมายสูงสุดของการ สอนที่ นักเรียนจะได้ดำเนินการสอบสวนทางคณิตศาสตร์ ด้วยตัวเอง ว่า พวกเขาจะสามารถระบุที่เกี่ยวข้องในสถานการณ์โลกคณิตศาสตร์ที่ได้เรียนรู้ได้ ในวลีของ Paul Halmos (1980) นักคณิตศาสตร์ การแก้ปัญหาเป็น "หัวใจของคณิตศาสตร์" อย่างไรก็ตาม ในขณะที่ครูทั่วโลกมีความสำเร็จพอสมควรกับการบรรลุเป้าหมายนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับนักเรียนมากขึ้นสามารถ ได้เสมอดีต้องปรับปรุง เพื่อให้นักเรียนเติมชื่นชมลึกความหมาย คิด mathematically และใช้คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน และทำงาน คณิตศาสตร์คิดเป็นอันสำคัญเป้าหมายของอกความคิด mathematically และใช้ความคิดทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาเป็นเป้าหมายสำคัญของการศึกษา ประการนี้ ความคิดทางคณิตศาสตร์จะสนับสนุนวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี ชีวิตทางเศรษฐกิจ และพัฒนาเศรษฐกิจ รัฐบาลได้ตระหนักถึงที่เศรษฐกิจเป็นอยู่ในประเทศมากขึ้น ได้รับการค้ำจุน โดยระดับแรงอะไรมาเรียก 'วัดทางคณิตศาสตร์' (PISA, 2006) ในประชากร ทางคณิตศาสตร์สามารถเป็นคำ popularised โดยเฉพาะอย่างยิ่งโปรแกรม PISA ของ OECD ประเมินนานาชาติของนักเรียนอายุ 15 ปี สามารถทางคณิตศาสตร์เป็นการ 39ศึกษาเพิ่มเติมความสามารถในการ ใช้คณิตศาสตร์ ใน ชีวิตประจำวัน และทำงาน สำหรับ และดังนั้น การประเมินของ PISA แสดงนักเรียน มีปัญหาในบริบทจริง กรอบที่ใช้ โดย PISA แสดงว่า คณิตศาสตร์สามารถเกี่ยวข้องกับส่วนประกอบหลายความคิดคณิตศาสตร์ ด้าน แบบจำลอง และทำการเชื่อมต่อระหว่างความคิด เป็นที่ชัดเจนแล้ว ว่า ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งสำคัญในวัดใหญ่ เพราะมันสวมใส่นักเรียน มีความสามารถในการใช้คณิตศาสตร์ และเป็น ชนวนสำคัญของการศึกษา ในเวลาเดียวกันเป็นคณิตศาสตร์เน้น ได้ประโยชน์ อกต้องให้รสชาติของการผจญภัยทางปัญญาที่คณิตศาสตร์สามารถเรียน ขณะ endeavour คณิตศาสตร์ในระดับสูงสุดจะถูกจองสำหรับส่วนน้อยเล็ก ๆ เพียงเสมอ มันจะดีถ้านักเรียนหลายคนอาจมีเพียงรสชาติขนาดเล็กของจิตวิญญาณของการค้นพบคณิตศาสตร์ตามที่อธิบายไว้ในใบเสนอราคาด้านล่างจากแอนดรูว์จึงย่อมไขว้เขว นักคณิตศาสตร์ที่พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาในปี 1994 ปัญหานี้ได้ยังไม่ได้แก้ไขสำหรับปี 357 หนึ่งเข้าสู่ห้องของคฤหาสน์ และเป็นสีเข้ม หนึ่ง stumbles รอบโน่นชนเฟอร์นิเจอร์ แต่ค่อย ๆ คุณเรียนรู้ที่แต่ละชิ้นของเฟอร์นิเจอร์เป็น สุดท้าย หลังจากหกเดือนดังนั้น หาสวิตช์ไฟ เปิดเครื่อง และ และทันใดนั้นมันอยู่ทั้งหมด คุณสามารถดูว่าที่อยู่ แล้วคุณย้ายไปยังห้องถัดไป และใช้เวลาอีก 6 เดือนในมืด ดังนั้นนวัตกรรมใหม่เหล่านี้ ในขณะที่บางครั้งพวกเขากำลังอับ บางครั้งในช่วงวันหรือสอง พวกเขาเป็นสุดยอดของ และไม่สามารถอยู่ได้โดยปราศจาก หลายเดือนมะงุมมะงาหราไปในความมืดที่หน้า (แอนดรูจึงย่อมไขว้เขว เสนอราคา โดยสิงห์ ปี 1997, p236, 237) ในการประชุมเอเปคในโตเกียวในเดือน 2006 มกราคม Jan de แลนจ์พูดในรายละเอียดเกี่ยวกับการใช้คณิตศาสตร์เพื่อให้คนหนุ่มสาวชีวิต ดังนั้นฉันจะแทนเน้นกระดาษนี้สองวิธีอื่น ๆ ในการคิดทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งสำคัญ ความคิดทางคณิตศาสตร์คืออะไร ตั้งแต่กระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์ ส่วนอาจมีการพูดถึงผ่านตัวอย่าง แต่ก่อนดูตัวอย่าง ฉันสั้น ๆ ตรวจสอบกรอบบางอย่างให้เห็นถึงความคิดทางคณิตศาสตร์ ไปนอกเหนือจากความคิดของคณิตศาสตร์สามารถ มีแตกต่างกันมาก 'windows' ผ่านการคิดทางคณิตศาสตร์สามารถดูได้ คณะกรรมการจัดระเบียบสำหรับการประชุมนี้ (เอเปค 2006) ได้ให้การสนทนาที่พบในจุดนี้ ให้โชแช (2005) ที่ถือว่าความเห็นความคิดทางคณิตศาสตร์อย่างไรในเอกสารหลักสูตรในประเทศออสเตรเลีย อังกฤษ และสหรัฐอเมริกา กรอบงานวิจัยดีที่หนึ่งให้ โดย Schoenfeld (1985), ผู้จัดงานของเขาบนหัวสี่ภายใต้การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์: ทรัพยากรความรู้ทางคณิตศาสตร์และทักษะที่นักเรียนนำงาน กลยุทธ์แล้วที่ว่า นักเรียนสามารถใช้ในการแก้ปัญหา การตรวจสอบ และควบคุมที่ exerts นักเรียนแก้ปัญหา กระบวนการให้คำแนะนำในทิศทางที่มีประสิทธิผลและความเชื่อที่มีนักเรียนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ที่ 40enable or disable problem solving attempts. McLeod (1992) has supplemented this view by expounding on the important of affect in mathematical problem solving. In my own work, I have found it helpful for teachers to consider that solving problems with mathematics requires a wide range of skills and abilities, including: • Deep mathematical knowledge • General reasoning abilities • Knowledge of heuristic strategies • Helpful beliefs and attitudes (e.g. an expectation that maths will be useful) • Personal attributes such as confidence, persistence and organisation • Skills for communicating a solution. Of these, the first three are most closely part of mathematical thinking. In my book with John Mason and Leone Burton (Mason, Burton and Stacey, 1982), we provided a guide to the stages through which solving a mathematical problem is likely to pass (Entry, Attack, Review) and advice on improving problem solving performance by giving experience of heuristic strategies and on monitoring and controlling the problem solving process in a meta-cognitive way. We also identified four fundamental processes, in two pairs, and showed how thinking mathematically very often proceeds by alternating between them: • specialising – trying special cases, looking at examples • generalising - looking for patterns and relationships • conjecturing – predicting relationships and results • convincing – finding and communicating reasons why something is true. I will illustrate these ideas in the two examples below. The first example examines the mathematical thinking of the problem solver, whilst the second examines the mathematical thinking of the teacher. The two problems are rather different – the second is within the mainstream curriculum, and the mathematical thinking is guided by the teacher in the classroom episode shown. The first problem is an open problem, selected because it is similar to open investigations that a teacher might choose to use, but I hope that its unusual presentation will let the audience feel some of the mystery and magic of investigation afresh. MATHEMATICAL THINKING IS IMPORTANT AS A WAY OF LEARNING MATHEMATICS In this section, I will illustrate these four processes of mathematical thinking in the context of a problem that may be used to stimulate mathematical thinking about numbers or as an introduction to algebra. If students’ ability to think mathematically is an important outcome of schooling, then it is clear that mathematical thinking must feature prominently in lessons. Number puzzles and tricks are excellent for these purposes, and in the presentation I will use a number puzzle in a format of the Flash Mind Reader, created by Andy 41Naughton and published on the internet (HREF1). The Flash Mind Reader does not look like a number puzzle. Indeed its creator writes: We have been asked many times how the Mind Reader works, but will not publish that information on this website. All magicians […] do not give away how their effects work. The reason for this is that it spoils the fun for those who like to remain mystified and when you do find out how something works it's always a bit of a let-down. If you are really keen to find out how it works we suggest that you apply your brain and try to work it out on paper or search further afield. (HREF1) As with many other number tricks, an audience member secretly chooses a number (and a symbol), a mathematical process is carried out, and the computer reveals the audience member’s choice. In this case, a number is chosen, the sum of the digits is subtracted from the number and a symbol corresponding to this number is found from a table. The computer then magically shows the right symbol. The Flash Mind Reader is too difficult to use in most elementary school classes, the target of this conference, but I have selected it so that my audience of mathematics education experts can experience afresh some of the magic and mystery of numbers. As the group works towards a solution, we have many opportunities to observe mathematical thinking in action. Through this process of shared problem solving as we investigate the Flash Mind Reader, I hope to make the following points about mathematical thinking. Firstly, when people first see the Flash Mind Reader, mathematical explanations are far from their minds. Some people propose that it really does read minds, and they may try to test their theory by not concentrating hard on the number that they choose. Others hypothesise that the program exerts some psychological power over the person’s choice of number. Others sugg

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คิดอะไรทางคณิตศาสตร์และทำไมมันสำคัญ? เคย์ Stacey มหาวิทยาลัยเมลเบิร์น, ออสเตรเลีย
บทนำบทความนี้และนำเสนอที่มาพร้อมกับมีข้อความง่ายๆว่าความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งสำคัญในสามวิธี •ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นเป้าหมายที่สำคัญของการศึกษา •ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งที่สำคัญเป็นวิธีการเรียนรู้คณิตศาสตร์ •ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นกิจกรรมที่มีความซับซ้อนสูงและการจัดการที่ดีได้รับการเขียนและการศึกษาเกี่ยวกับเรื่องนี้ ภายในบทความนี้ผมจะให้หลายตัวอย่างของความคิดทางคณิตศาสตร์และเพื่อแสดงให้เห็นถึงสองคู่ของกระบวนการที่ผ่านการคิดทางคณิตศาสตร์มากมักจะดำเนินการ: • Specialising และ generalising • conjecturing และน่าเชื่อถือ ความสามารถในการใช้ความคิดทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาเป็นหนึ่งในที่สุดเป้าหมายพื้นฐานของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ แต่ก็ยังเป็นหนึ่งในเป้าหมายที่เข้าใจยากที่สุด มันเป็นเป้าหมายสูงสุดของการเรียนการสอนที่นักเรียนจะสามารถที่จะดำเนินการตรวจสอบทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเองและพวกเขาจะสามารถที่จะระบุได้ว่าคณิตศาสตร์ที่พวกเขาได้เรียนรู้ที่มีผลบังคับใช้ในสถานการณ์ที่โลกแห่งความจริง ในวลีของนักคณิตศาสตร์พอล Halmos (1980), การแก้ปัญหาคือ "หัวใจของคณิตศาสตร์" อย่างไรก็ตามในขณะที่ครูทั่วโลกมีความสำเร็จเป็นอย่างมากกับการบรรลุเป้าหมายนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับนักเรียนสามารถที่มากขึ้นมีอยู่เสมอเป็นความจำเป็นอย่างยิ่งสำหรับการปรับปรุงเพื่อให้นักเรียนมากขึ้นได้รับความชื่นชมลึกของสิ่งที่มันหมายถึงการคิดทางคณิตศาสตร์และการใช้คณิตศาสตร์เพื่อ ช่วยในชีวิตประจำวันและการทำงานของพวกเขา คณิตศาสตร์คิดเป็นเป้าหมายที่สำคัญของการศึกษาความสามารถในการคิดทางคณิตศาสตร์และการใช้ความคิดทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาเป็นเป้าหมายที่สำคัญของการศึกษา ในแง่นี้ความคิดที่จะให้การสนับสนุนทางคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์เทคโนโลยีชีวิตทางเศรษฐกิจและการพัฒนาในระบบเศรษฐกิจ เพิ่มมากขึ้นรัฐบาลจะตระหนักว่าเศรษฐกิจเป็นอยู่ที่ดีในประเทศได้รับการสนับสนุนโดยระดับที่แข็งแกร่งของสิ่งที่ได้มาจะเรียกว่า 'ความรู้ทางคณิตศาสตร์ (PISA 2006) ในประชากร ความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็นคำที่นิยมโดยเฉพาะอย่างยิ่งโครงการ PISA ของ OECD ของการประเมินระหว่างประเทศของ 15 ปีนักเรียนเก่า ความรู้ทางคณิตศาสตร์เป็น
39
ความสามารถในการใช้คณิตศาสตร์สำหรับชีวิตประจำวันและการทำงานและการศึกษาต่อและเพื่อให้การประเมิน PISA นักเรียนปัจจุบันที่มีปัญหาการตั้งค่าในบริบทจริง กรอบการใช้โดย PISA แสดงให้เห็นว่าความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบหลายอย่างของความคิดทางคณิตศาสตร์รวมทั้งเหตุผลการสร้างแบบจำลองและการเชื่อมต่อระหว่างความคิด เป็นที่ชัดเจนแล้วว่าความคิดทางคณิตศาสตร์ที่มีความสำคัญในการวัดขนาดใหญ่เพราะมัน equips นักเรียนที่มีความสามารถในการใช้คณิตศาสตร์และเป็นผลที่สำคัญของการศึกษา ในเวลาเดียวกับที่เน้นคณิตศาสตร์เพราะมันเป็นเรื่องที่มีประโยชน์การศึกษาความต้องการที่จะให้นักเรียนรสชาติของการผจญภัยทางปัญญาว่าคณิตศาสตร์สามารถ ขณะที่ผู้บริหารระดับสูงของความพยายามทางคณิตศาสตร์จะถูกสงวนไว้สำหรับเพียงชนกลุ่มน้อยเล็ก ๆ ก็จะเป็นที่ยอดเยี่ยมถ้านักเรียนหลายคนอาจจะมีเพียงแค่รสชาติเล็ก ๆ ของจิตวิญญาณของการค้นพบของคณิตศาสตร์ตามที่อธิบายไว้ในใบเสนอราคาดังต่อไปนี้จากแอนดรูไวล์นักคณิตศาสตร์ที่ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้รับการพิสูจน์ในปี 1994 ปัญหานี้ได้รับยังไม่แก้สำหรับ 357 ปี หนึ่งเข้ามาในห้องแรกของคฤหาสน์และมันมืด หนึ่งสะดุดรอบชนโน่นชนเฟอร์นิเจอร์ แต่ค่อยๆคุณเรียนรู้ที่ชิ้นส่วนของเฟอร์นิเจอร์แต่ละ สุดท้ายหลังจากหกเดือนของการดังนั้นคุณจะพบสวิตช์ไฟที่คุณเปิดใช้งานและก็มันทุกเรืองแสง คุณสามารถเห็นว่าที่คุณเป็น แล้วคุณจะย้ายเข้าไปอยู่ในห้องถัดไปและการใช้จ่ายอีกหกเดือนในที่มืด ดังนั้นแต่ละนวัตกรรมเหล่านี้ในขณะที่บางครั้งพวกเขากำลังชั่วขณะบางครั้งในช่วงวันหรือสองวันพวกเขาเป็นสุดยอดของและไม่สามารถอยู่ได้โดยไม่ต้องหลายเดือนของการสะดุดรอบในที่มืดที่นำหน้าพวกเขา (แอนดรูไวล์สที่ยกมาโดยซิงห์, 1997, p236, 237) ในการประชุมเอเปคในกรุงโตเกียวในเดือนมกราคมปี 2006 แจนเดอมีเหตุมีผลได้พูดคุยในรายละเอียดเกี่ยวกับการใช้คณิตศาสตร์เพื่อให้คนหนุ่มสาวเพื่อชีวิตดังนั้นฉันแทนกระดาษจะเน้นเกี่ยวกับเรื่องนี้ สองวิธีอื่น ๆ ที่ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งที่สำคัญ คิดอะไรทางคณิตศาสตร์? ตั้งแต่ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นกระบวนการก็น่าจะกล่าวถึงที่ดีที่สุดผ่านตัวอย่าง แต่ก่อนที่จะมองตัวอย่างผมสั้นตรวจสอบกรอบบางอย่างให้กับความคิดทางคณิตศาสตร์สว่างจะเกินความคิดความรู้ทางคณิตศาสตร์ มีหลายที่แตกต่างกัน 'หน้าต่าง' ที่ผ่านการคิดทางคณิตศาสตร์สามารถดูเป็น คณะกรรมการจัดงานสำหรับการประชุมครั้งนี้ (เอเปค 2006) ได้จัดให้มีการอภิปรายอย่างมีนัยสำคัญในประเด็นนี้ Stacey (2005) จะช่วยให้การตรวจสอบของวิธีการคิดทางคณิตศาสตร์ได้รับการปฏิบัติในเอกสารหลักสูตรในออสเตรเลีย, สหราชอาณาจักรและสหรัฐอเมริกา กรอบหนึ่งวิจัยดีที่จัดเตรียมโดย Schoenfeld (1985) ผู้จัดงานของเขาในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ภายใต้สี่หัวทรัพยากรของความรู้ทางคณิตศาสตร์และทักษะที่นักเรียนนำมาสู่งานกลยุทธ์การแก้ปัญหาที่ว่านักเรียนสามารถใช้ในการแก้ ปัญหาการตรวจสอบและการควบคุมว่านักเรียนออกแรงในกระบวนการแก้ปัญหาเพื่อให้คำแนะนำในทิศทางการผลิตและความเชื่อว่านักเรียนถือเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่
40
เปิดหรือปิดการใช้งานการแก้ปัญหาความพยายาม McLeod (1992) มาช่วยเสริมมุมมองนี้โดยชี้แจงเกี่ยวกับความสำคัญของผลกระทบต่อในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ในการทำงานของตัวเองฉันได้พบมันเป็นประโยชน์สำหรับครูผู้สอนจะต้องพิจารณาว่าการแก้ปัญหาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ต้องใช้ความหลากหลายของทักษะและความสามารถรวมไปถึง: ความรู้ทางคณิตศาสตร์ลึก••ความสามารถในการให้เหตุผลทั่วไป•ความรู้เกี่ยวกับกลยุทธ์การแก้ปัญหา•ความเชื่อและทัศนคติที่เป็นประโยชน์ (เช่น ความคาดหวังว่าคณิตศาสตร์จะเป็นประโยชน์) •คุณลักษณะส่วนบุคคลเช่นความเชื่อมั่นในการติดตาและองค์กร•ทักษะในการสื่อสารการแก้ปัญหา เหล่านี้เป็นครั้งแรกที่สามเป็นส่วนใหญ่อย่างใกล้ชิดส่วนหนึ่งของความคิดทางคณิตศาสตร์ ในหนังสือของฉันกับจอห์นเมสันและราลีโอนเบอร์ตัน (เมสันเบอร์ตันและ Stacey, 1982) เราให้คำแนะนำเกี่ยวกับขั้นตอนที่ผ่านการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มีโอกาสที่จะผ่าน (เข้าโจมตีการสอบทาน) และให้คำแนะนำเกี่ยวกับการปรับปรุงประสิทธิภาพในการแก้ปัญหา จากประสบการณ์การให้กลยุทธ์การแก้ปัญหาและการตรวจสอบและการควบคุมกระบวนการแก้ปัญหาในทางเมตาองค์ความรู้ นอกจากนี้เรายังระบุสี่กระบวนการพื้นฐานในสองคู่และแสดงให้เห็นว่าการคิดทางคณิตศาสตร์มากมักจะดำเนินการโดยการสลับระหว่างพวกเขา•เชี่ยวชาญ - พยายามกรณีพิเศษมองตัวอย่าง• generalising - มองหารูปแบบและความสัมพันธ์• conjecturing - ทำนายความสัมพันธ์และผล• เชื่อ - การค้นหาและการสื่อสารเหตุผลว่าทำไมสิ่งที่เป็นความจริง ผมจะแสดงให้เห็นถึงความคิดเหล่านี้ในสองตัวอย่างด้านล่าง ตัวอย่างแรกจะตรวจสอบความคิดทางคณิตศาสตร์ของการแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นในขณะที่สองตรวจสอบความคิดทางคณิตศาสตร์ของครู สองปัญหาที่ค่อนข้างแตกต่างกัน - สองคือภายในหลักสูตรหลักและความคิดทางคณิตศาสตร์ที่ถูกนำโดยครูในห้องเรียนตอนที่แสดง ปัญหาแรกคือปัญหาเปิดเลือกเพราะมันคล้ายกับการสอบสวนคดีที่ครูอาจเลือกที่จะใช้ แต่ผมหวังว่าการนำเสนอที่ผิดปกติของมันจะให้ผู้ชมรู้สึกว่าบางส่วนของความลึกลับและความมหัศจรรย์ของการตรวจสอบอีกครั้ง คณิตศาสตร์การคิดเป็นสิ่งสำคัญที่ทางของการเรียนรู้คณิตศาสตร์ในส่วนนี้ผมจะแสดงให้เห็นถึงสี่เหล่านี้กระบวนการของความคิดทางคณิตศาสตร์ในบริบทของปัญหาที่อาจจะนำมาใช้เพื่อกระตุ้นความคิดทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับตัวเลขหรือเป็นเบื้องต้นเกี่ยวกับพีชคณิต ถ้าความสามารถของนักเรียนในการคิดทางคณิตศาสตร์เป็นผลที่สำคัญของการศึกษาแล้วมันเป็นที่ชัดเจนว่าการคิดทางคณิตศาสตร์จะต้องมีอย่างเด่นชัดในบทเรียน ปริศนาจำนวนและเทคนิคที่ยอดเยี่ยมสำหรับวัตถุประสงค์เหล่านี้และในงานนำเสนอผมจะใช้หมายเลขปริศนาในรูปแบบของการอ่านแฟลชมายด์สร้างขึ้นโดยแอนดี้
41
Naughton และตีพิมพ์บนอินเทอร์เน็ต (HREF1) อ่านแฟลชมายด์ดูไม่เหมือนปริศนาตัวเลข อันที่จริงผู้สร้างเขียน: เราได้รับการถามหลายครั้งวิธีอ่านใจทำงาน แต่จะไม่เผยแพร่ข้อมูลที่อยู่ในเว็บไซต์นี้ ผู้วิเศษทั้งหมด [... ] ไม่ให้ออกไปว่าผลกระทบของพวกเขาทำงาน เหตุผลของเรื่องนี้ก็คือว่ามัน spoils สนุกสำหรับผู้ที่ต้องการที่จะยังคงประหลาดใจและเมื่อคุณทำหาวิธีสิ่งที่ทำงานก็มักจะเป็นบิตของการปล่อยให้ลง ถ้าคุณมีความกระตือรือร้นมากที่จะหาวิธีการทำงานเราขอแนะนำให้คุณใช้สมองของคุณและพยายามที่จะทำงานออกมาบนกระดาษหรือค้นหาไกล (HREF1) เช่นเดียวกับเทคนิคจำนวนอื่น ๆ อีกมากมายสมาชิกผู้ชมแอบเลือกหมายเลข (และสัญลักษณ์) เป็นกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่จะดำเนินการและคอมพิวเตอร์เผยให้เห็นทางเ