What makes hyperbolic geometry part

What makes hyperbolic geometry particularly hard?

As I have already commented in the page on general difficulties with the course , the lack of a natural coordinate system for the hyperbolic plane forces one to think geometrically about it. There is another difficulty which makes hyperbolic geometry seem confusing when it is first introduced, which is that the question "what exactly is the hyperbolic plane?" doesn't seem to have a very clear answer. In the course you meet so-called models of the hyperbolic plane, all in their different ways somewhat complicated, but in what sense are they models? What are they models of?

To understand the answer to this question, one is forced to think not just geometrically, but abstractly , in a way that one is not with the sphere. (In fact, the set of points of norm one in R^3 is just a model of the sphere, but it such a natural model that there is not much harm in saying that it actually is the sphere.) In the abstract, hyperbolic geometry is what you get when you replace the parallel postulate with a different axiom, which I shall state informally. Given a line L and a point x not on L, then let M be the line through x perpendicular to L. (You can do this with axioms 1 to 4: take a circle about x that is large enough to meet L in two points, then construct the bisector of those two points.) The parallel postulate states that the only line through x that fails to meet L makes an angle of 90 degrees with M. The new axiom states that there is some positive theta such that a line through x fails to meet L if and only if it makes an angle with M of between 90-theta and 90+theta.

When Gauss, Bolyai and Lobatchevsky "discovered" hyperbolic geometry, what they did was to explore the consequences of this axiom. They found that, far from leading to a quick contradiction, it led to a beautiful body of theorems, different from those of Euclidean geometry and somewhat counterintuitive, but consistent with each other.

They did not, in a formal sense, prove that the parallel postulate was independent of the other Euclidean axioms, because they did not prove that their new geometry was consistent. They simply observed that they could do calculations and prove theorems, and that, however long they went on doing this, everything hung together.

One should not sneer at this: it is exactly what we do with the Zermelo-Frankel axiom system which is supposed to underlie all of everyday mathematics. Moreover, we do it of necessity, because Gödel proved that it is impossible to prove the consistency of ZF.

This does not mean that one should abandon all attempts to prove that one's axioms are consistent. Instead, one proves relative results: such and such a system is just as consistent as such and such another system that everybody trusts. In the case of hyperbolic geometry, there is an obvious other system with which to compare it, namely Euclidean geometry. Thus, the way to prove rigorously that the parallel postulate is independent of the other axioms of Euclidean geometry is to show that one can develop a new geometry which is consistent, assuming that Euclidean geometry is consistent.

How does one do this? The answer is use Euclidean geometry to construct a model of non-Euclidean geometry. If you want to know precisely what a model is, then you should go to the Part II course on Logic, Set Theory and Computation, (or read it in advance in P. T. Johnstone's book, Notes on Logic and Set Theory ). Here is an informal definition. If you are given a set of axioms (such as those for a non-Euclidean geometry) then a model for those axioms is a mathematical construction within which the axioms are true. Implicit in this idea is that you interpret the axioms within the model - that is, define what you mean by the words in the axioms solely in terms of the mathematical construction you are calling your model.

The concept of a model is not all that easy to take in in the abstract, but becomes so as soon as one sees a few examples. One of the most useful models for hyperbolic geometry is the disc model. This model consists of the open unit disc, together with a metric which is very different from the Euclidean metric. In particular, as you approach the edge of the disc, distances in the new metric become very large relative to Euclidean distances. In order to interpret axioms, one must give meanings to terms such as straight line, circle of radius r, congruent, rightangle. This can all be done and is done in the course.

In particular, a straight line, in this model, is either a Euclidean straight line segment joining two opposite points of the circle (but not including them) and hence passing through the centre of the disc, or the intersection with the disc of a Euclidean circle that meets the boundary of the disc at rightangles to it. This illustrates a very important point: when interpreting words in a model, it does not matter how you do it as long as the axioms are satisfied. Thus, it does not matter that straight lines in the disc model do not appear to be straight. Within the disc model, this is the definition of straight.

If you still find it unsettling that one should call the arc of a circle a straight line, then click here for further justification of this peculiar practice.

Returning now to the question "what is the hyperbolic plane?" the answer is that it is an abstract object, a metric space with certain symmetries and satisfying certain axioms, which can be realized in various ways (that is, has various models), none of which can be said to be the best way. This is a situation you have already met. For example, a group, in the abstract sense, is a set together with a binary operation satisfying certain axioms, but very often one is presented with a model of those axioms in a more concrete form, such as a collection of symmetries or permutations or matrices or what have you. Another example, which is not part of the Tripos, is the construction of the real numbers. The reals are defined abstractly as the unique complete ordered field. To show that this idea makes sense, one has to "construct" the reals, which means find a model for the axioms of a complete ordered field. This can be done in all sorts of ways: Dedekind cuts, equivalence classes of Cauchy sequences of rationals and so on.

With luck, if you bear these logical considerations in mind, you will feel more comfortable with the idea of hyperbolic geometry. However, be warned that all I have tried to do on this page is remove a psychological block to understanding the subject. That does not mean that it can be mastered with no work. In order to become familiar with the various models, there is no substitute for learning your lecture notes and trying problems on examples sheets.

Click here to return to the main geometry page.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สิ่งที่ทำให้ไฮเพอร์โบลิเรขาคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่งยากกับฉันแล้วมีความเห็นในหน้าในปัญหาทั่วไปกับหลักสูตร การขาดธรรมชาติระบบพิกัดสำหรับเครื่องบินไฮเพอร์โบลิกองกำลังหนึ่งมาท geometrically มีปัญหาอื่นที่เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิดูเหมือนสับสนเมื่อมันเป็นครั้งแรกที่รู้จัก ซึ่งเป็นที่ คำถาม "ว่าคืออะไรเครื่องบินไฮเพอร์โบลิดูเหมือนจะไม่ มีคำตอบที่ชัดเจนมากขึ้น ในหลักสูตรคุณพบแบบที่เรียกว่าเครื่องบินไฮเพอร์โบลิ ทั้งหมดของพวกเขาวิธีที่ค่อนข้างซับซ้อน แต่ในสิ่งพวกเขารุ่น บ้างพวกเขารูปแบบของเข้าใจคำตอบของคำถามนี้ หนึ่งถูกบังคับให้คิดว่า ไม่เพียง geometrically แต่ abstractly ในแบบ ไม่อยู่ (ในความเป็นจริง ชุดของคะแนนปกติหนึ่งใน R ^ 3 เป็นเพียงรูปแบบของทรงกลม แต่เช่นธรรมชาติแบบว่าไม่มีอันตรายมากในการบอกว่า มันจะเป็นทรงกลม) ในบทคัดย่อ ไฮเพอร์โบลิเรขาคณิตคือ สิ่งที่คุณได้เมื่อคุณแทน postulate ขนานกับเป็นสัจพจน์อื่น ซึ่งฉันจะระบุอย่าง กำหนดให้ M เป็น เส้นทางตั้งฉากกับ L. x เส้น L และจุด x, L ไม่ได้อยู่ใน (คุณสามารถทำเช่นนี้กับสัจพจน์ที่ 1-4: จะกลมเกี่ยวกับ x ที่มีขนาดใหญ่พอกับ L ในสองจุด แล้วสร้าง bisector คะแนนที่สองได้) Postulate ขนานระบุว่า บรรทัดเดียวผ่าน x ที่ไม่ตรงตาม L ทำมุม 90 องศากับ M สัจพจน์ใหม่ระบุว่า มีบางทีตาบวกให้บรรทัดผ่าน x ไม่ตรง L ถ้าและเดียวถ้าทำมุมกับ M ของระหว่างทีที ตา 90 และ 90 + ตาเมื่อเกาส์ Bolyai และ Lobatchevsky "ค้นพบ" ไฮเพอร์โบลิเรขาคณิต สิ่งที่พวกเขาได้มีการ สำรวจผลกระทบของสัจพจน์นี้ พวกเขาพบว่า จากเมล์ลงอย่างรวดเร็ว จะนำไปสู่ทฤษฎี เนื้อหาสวยงามแตกต่างจากของ Euclidean เรขาคณิต และค่อนข้าง counterintuitive แต่สอดคล้องกันพวกเขาไม่ได้ ในความรู้สึกทาง พิสูจน์ว่า postulate ขนานเป็นอิสระของอื่น ๆ Euclidean สัจพจน์ เนื่องจากพวกเขาไม่ได้พิสูจน์ว่า เรขาคณิตของใหม่สอดคล้องกัน พวกเขาก็พบว่า พวกเขาสามารถทำการคำนวณ และพิสูจน์ทฤษฎีบท และว่า แต่นานไปในทำนี้ จึงแขวนด้วยกันหนึ่งควร sneer ที่นี้: มันคือสิ่งที่เราทำกับระบบสัจพจน์ Zermelo Frankel ซึ่งควรจะอยู่ภายใต้ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ชีวิตประจำวัน นอกจากนี้ เราทำจำเป็น Gödel พิสูจน์ว่า มันเป็นไปไม่ได้พิสูจน์ความสอดคล้องของ ZFนี้ไม่ได้หมายความ ว่า หนึ่งควรละทิ้งความพยายามทั้งหมดเพื่อพิสูจน์สัจพจน์ที่หนึ่งของใจ แทน หนึ่งพิสูจน์ผลลัพธ์ที่สัมพันธ์กัน: ดังกล่าวและดังกล่าวระบบจะเพียงได้สอดคล้องกันเช่น และระบบอื่นเช่นที่บรรดาของฝาก ในกรณีของไฮเพอร์โบลิเรขาคณิต มีความชัดเจนระบบอื่น ๆ การเปรียบเทียบ Euclidean ได้แก่เรขาคณิต วิธีการพิสูจน์ทดสอบว่า postulate ขนานขึ้นอยู่กับสัจพจน์ของเรขาคณิต Euclidean จึงแสดงว่า หนึ่งสามารถพัฒนาเรขาคณิตใหม่ที่สอดคล้อง สมมติว่า Euclidean เรขาคณิตมีความสอดคล้อง กันไม่หนึ่งอย่างไรนี้ คำตอบคือ ใช้ Euclidean เรขาคณิตเพื่อสร้างรูปแบบของเรขาคณิต Euclidean ไม่ใช่ ถ้าคุณต้องการรู้ อย่างแม่นยำอะไรแบบนั้น แล้วคุณควรไปในตรรกะ ทฤษฎีเซต และคำนวณหลักสูตร Part II, (หรืออ่านล่วงหน้าในสมุด P. ต. Johnstone บันทึกตรรกะและทฤษฎีเซต) ข้อกำหนดไม่ได้ ถ้าคุณจะได้รับชุดของสัจพจน์ (เช่นเรขาคณิตไม่ใช่ Euclidean) แล้วแบบจำลองสำหรับสัจพจน์ที่ได้สร้างทางคณิตศาสตร์ซึ่งสัจพจน์เป็นจริง นัยในความคิดนี้คือ ว่า คุณแปลสัจพจน์ในรุ่น - นั่นคือ กำหนดอะไรคุณหมายถึง โดยคำในสัจพจน์แต่เพียงผู้เดียวในการก่อสร้างทางคณิตศาสตร์คุณจะเรียกรุ่นของคุณแนวคิดของแบบจำลองไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะใช้ในการย่อใน แต่จะให้เป็นหนึ่งเห็นตัวอย่าง หนึ่งแบบจำลองที่มีประโยชน์มากที่สุดสำหรับเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิเป็นแบบดิสก์ รุ่นนี้ประกอบด้วยหน่วยเปิดดิสก์ พร้อมกับการวัดที่แตกต่างอย่างมากจากการวัด Euclidean โดยเฉพาะ เป็นวิธีการขอบของแผ่นดิสก์ ระยะทางในการวัดใหม่กลายเป็นขนาดใหญ่มากเมื่อเทียบกับระยะทาง Euclidean การแปลสัจพจน์ หนึ่งต้องให้ความหมายเงื่อนไขเช่นเส้นตรง วงรัศมี r แผง rightangle ซึ่งทั้งหมดสามารถทำได้ และทำในหลักสูตรโดยเฉพาะ เส้นตรง ในรูปแบบนี้ ทั้ง Euclidean เส้นเซ็กเมนต์รวมตรงกันข้ามสองจุดของวงกลม (แต่ไม่รวมพวกเขา) และจึงส่งผ่านผ่านศูนย์กลางของแผ่นดิสก์ หรือสี่แยกกับดิสก์วง Euclidean ที่ตรงกับขอบของแผ่นดิสก์ที่ rightangles จะ แสดงจุดสำคัญมาก: เมื่อการตีความคำในรูปแบบ ไม่ใช่เรื่องวิธีที่คุณทำ ตามสัจพจน์ที่พอใจ ดังนั้น ไม่ใช่เรื่องที่เส้นตรงในรูปแบบดิสก์ไม่ปรากฏให้ตรง ภายในรูปแผ่นดิสก์ นี่คือนิยามของตรงถ้าคุณยังพบว่าก่อกวนนั้นควรเรียกส่วนโค้งของวงกลมเส้นตรง แล้วคลิกที่นี่สำหรับเพิ่มเติมเหตุผลของแบบฝึกหัดนี้แปลกประหลาดความตอนนี้คำถามคืออะไรเครื่องบินไฮเพอร์โบลิ "คำตอบคือ ว่า มันเป็นนามธรรมวัตถุ พื้นที่วัดกับ symmetries บาง และภิรมย์สัจพจน์บาง ที่สามารถรับรู้ในรูปแบบต่าง ๆ (นั่นคือ มีรุ่นต่าง ๆ), ไม่มีผู้ใดสามารถจะถือว่า เป็นวิธีดีที่สุด นี่คือสถานการณ์ที่คุณพบแล้ว ตัวอย่าง กลุ่ม ในแง่นามธรรม เป็นชุดร่วมกับการดำเนินการทวิภาคที่ภิรมย์สัจพจน์บางอย่าง แต่บ่อยหนึ่งนำเสนอ ด้วยแบบจำลองเหล่านั้นสัจพจน์ในคอนกรีตมากขึ้น เช่นชุดของ symmetries สับ หรือเมทริกซ์ หรือสิ่งที่มีคุณ อีกตัวอย่างหนึ่ง ซึ่งไม่ใช่ส่วนหนึ่งของการ Tripos การก่อสร้างของจำนวนจริงได้ มีกำหนดตัวเลขจริง abstractly เป็นฟิลด์ที่สั่งทำเฉพาะ แสดงว่า ความคิดนี้ทำให้รู้สึก มีการ "สร้าง" ตัวเลขจริง ซึ่งหมายความว่าค้นหาแบบจำลองสำหรับสัจพจน์ของเขตสั่งเสร็จสมบูรณ์ นี้สามารถทำได้ในทุกวิธี: Dedekind ตัด เทียบเท่าเรียนอสมการโคชีลำดับของ rationals และการมีโชค ถ้าคุณจำพิจารณาตรรกะเหล่านี้ไว้ในใจ คุณจะรู้สึกสะดวกสบายมากขึ้นกับความคิดของไฮเพอร์โบลิเรขาคณิต อย่างไรก็ตาม ได้รับคำเตือนทั้งหมดได้พยายามที่จะทำในหน้านี้จะเอาบล็อกจิตวิทยาเพื่อความเข้าใจเรื่องการ ที่ไม่ได้หมายความ ว่า มันสามารถเข้าใจกับการทำงานไม่ เพื่อให้คุ้นเคยกับรูปแบบต่าง ๆ มีไม่ทดแทน การเรียนการสอนของคุณพยายามปัญหาบนแผ่นงานตัวอย่างคลิกที่นี่เพื่อกลับไปหน้าหลักเรขาคณิต

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สิ่งที่ทำให้รูปทรงเรขาคณิตที่ยากเกินความจริงโดยเฉพาะอย่างยิ่ง? ขณะที่ผมมีความเห็นอยู่แล้วในหน้าบนความยากลำบากทั่วไปที่มีการเรียนการสอนการขาดระบบพิกัดธรรมชาติสำหรับกองกำลังเครื่องบินผ่อนชำระหนึ่งที่จะคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้ทางเรขาคณิต มีความยากลำบากอีกซึ่งจะทำให้การผ่อนชำระเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ดูสับสนเมื่อมีการเปิดตัวครั้งแรกซึ่งก็คือคำถามที่ว่า "สิ่งที่แน่นอนคือเครื่องบินซึ่งเกินความจริง?" ไม่ได้ดูเหมือนจะมีคำตอบที่ชัดเจนมาก ในหลักสูตรที่คุณพบสิ่งที่เรียกว่ารูปแบบของเครื่องบินซึ่งเกินความจริงทั้งหมดในรูปแบบที่แตกต่างกันของพวกเขาค่อนข้างซับซ้อน แต่ในสิ่งที่พวกเขารู้สึกแบบ? สิ่งที่พวกเขามีรูปแบบหรือไม่เพื่อที่จะเข้าใจคำตอบของคำถามนี้หนึ่งถูกบังคับให้ต้องคิดว่าไม่เพียง แต่ทางเรขาคณิต แต่เป็นนามธรรมในทางที่หนึ่งไม่ได้อยู่กับรูปทรงกลมที่ (ในความเป็นจริงชุดของจุดจากบรรทัดฐานหนึ่งใน R ^ 3 เป็นเพียงรูปแบบของทรงกลม แต่มันเช่นแบบธรรมชาติที่มีอยู่ไม่อันตรายมากในการบอกว่าจริง ๆ แล้วมันเป็นทรงกลม.) ในนามธรรมผ่อนชำระ เรขาคณิตคือสิ่งที่คุณได้รับเมื่อคุณเปลี่ยนสมมุติขนานกับความจริงที่แตกต่างกันซึ่งผมต้องระบุอย่างไม่เป็นทางการ ได้รับ L บรรทัดและจุดที่ไม่ได้อยู่ใน x L แล้วให้เอ็มเป็นสายผ่าน x ตั้งฉากกับแอล (คุณสามารถทำเช่นนี้กับหลักการ 1-4: ใช้วงกลมเกี่ยวกับ x ที่มีขนาดใหญ่พอที่จะตอบสนองลิตรในสองจุด แล้วสร้างเส้นแบ่งครึ่งของทั้งสองจุด.) สมมุติขนานกล่าวว่าสายเพียงผ่าน x ที่ไม่เป็นไปตาม L ทำให้มุม 90 องศากับเอ็มรัฐความจริงใหม่ที่มีบางทีบวกดังกล่าวว่าเส้นผ่าน x ล้มเหลวในการตอบสนอง L ถ้าหากมันทำให้มุมกับ M ระหว่าง 90 และที 90 + ที. เมื่อเกาส์ Bolyai และ Lobatchevsky "พบ" รูปทรงเรขาคณิตที่เกินความจริงสิ่งที่พวกเขาทำก็คือการสำรวจผลกระทบของความจริงนี้ พวกเขาพบว่าห่างไกลจากการที่นำไปสู่ความขัดแย้งได้อย่างรวดเร็วก็จะนำไปสู่ร่างกายที่สวยงามของทฤษฎีบทแตกต่างจากรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดและ counterintuitive บ้าง แต่สอดคล้องกับแต่ละอื่น ๆ . พวกเขาไม่ได้ในความรู้สึกอย่างเป็นทางการพิสูจน์ว่าขนาน สมมุติเป็นอิสระจากหลักการยุคลิดอื่น ๆ เพราะพวกเขาไม่ได้พิสูจน์ให้เห็นว่ารูปทรงเรขาคณิตใหม่ของพวกเขามีความสอดคล้อง พวกเขาก็พบว่าพวกเขาสามารถทำคำนวณและพิสูจน์ทฤษฎีบทและที่ แต่นานพวกเขาไปในการทำเช่นนี้ทุกสิ่งที่แขวนอยู่ด้วยกัน. หนึ่งไม่ควรเยาะเย้ยที่นี้มันเป็นสิ่งที่เราจะทำอย่างไรกับระบบความจริง Zermelo-แฟรงเคิลที่ควร เพื่อรองรับทั้งหมดของคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน นอกจากนี้เราทำมันมีความจำเป็นเพราะGödelพิสูจน์ให้เห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ความสอดคล้องของ ZF ได้. นี้ไม่ได้หมายความว่าควรละทิ้งความพยายามทั้งหมดที่จะพิสูจน์ว่าสัจพจน์ของคนมีความสอดคล้องกัน แต่หนึ่งในผลการพิสูจน์ญาติ: ดังกล่าวและระบบดังกล่าวเป็นเพียงที่สอดคล้องกันเช่นนี้และระบบดังกล่าวอีกว่าการลงทุนทุกคน ในกรณีที่มีการผ่อนชำระรูปทรงเรขาคณิตที่มีระบบอื่น ๆ ที่เห็นได้ชัดที่จะเปรียบเทียบคือรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด ดังนั้นวิธีการที่จะพิสูจน์อย่างจริงจังว่าสมมุติขนานเป็นอิสระจากหลักการอื่น ๆ ของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดคือการแสดงให้เห็นว่าเราสามารถพัฒนารูปทรงเรขาคณิตใหม่ซึ่งสอดคล้องสมมติว่ารูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดสอดคล้อง. วิธีการหนึ่งที่จะทำเช่นนี้? คำตอบคือการใช้รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดที่จะสร้างรูปแบบของไม่เรขาคณิตแบบยุคลิด ถ้าคุณต้องการที่จะรู้ว่าสิ่งที่รูปแบบเป็นแล้วคุณควรจะไปที่ส่วนที่สองหลักสูตรเกี่ยวกับลอจิกตั้งทฤษฎีและการคำนวณ (หรืออ่านล่วงหน้าในหนังสือ PT Johnstone ของหมายเหตุเกี่ยวกับลอจิกและตั้งทฤษฎี) นี่คือความหมายที่ไม่เป็นทางการ หากคุณกำลังได้รับชุดของสัจพจน์ (เช่นการไม่เรขาคณิตแบบยุคลิด) แล้วแบบสำหรับหลักการเหล่านั้นคือการก่อสร้างทางคณิตศาสตร์ภายในซึ่งหลักการนี้เป็นจริง นัยในความคิดนี้คือการที่คุณตีความหลักการภายในรูปแบบ - นั่นคือการกำหนดสิ่งที่คุณหมายถึงคำพูดในหลักการ แต่เพียงผู้เดียวในแง่ของการก่อสร้างทางคณิตศาสตร์ที่คุณโทรรูปแบบของคุณ. แนวคิดของรูปแบบการให้ไม่ได้ทั้งหมดว่าง่าย ที่จะใช้ในในนามธรรม แต่กลายเป็นดังนั้นทันทีที่เห็นตัวอย่าง หนึ่งในรูปแบบที่มีประโยชน์มากที่สุดสำหรับการผ่อนชำระเรขาคณิตเป็นรูปแบบแผ่นดิสก์ รุ่นนี้ประกอบด้วยแผ่นดิสก์หน่วยเปิดร่วมกับตัวชี้วัดซึ่งเป็นความแตกต่างจากยุคลิดตัวชี้วัด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณเข้าใกล้ขอบของแผ่นดิสก์ที่ระยะทางในตัวชี้วัดใหม่กลายเป็นญาติที่มีขนาดใหญ่มากที่จะระยะทางแบบยุคลิด เพื่อที่จะตีความหลักการหนึ่งต้องให้ความหมายกับคำเช่นเส้นตรงวงกลมรัศมี r, สอดคล้องกัน RightAngle ทั้งหมดนี้สามารถทำและจะทำในการเรียนการสอน. โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นเส้นตรงในรูปแบบนี้เป็นทั้งส่วนของเส้นตรงแบบยุคลิดร่วมงานกับสองจุดตรงข้ามของวงกลม (แต่ไม่รวมพวกเขา) และด้วยเหตุนี้ผ่านศูนย์กลางของ แผ่นดิสก์หรือตัดกับแผ่นวงกลมยุคลิดที่ตรงกับขอบเขตของแผ่นดิสก์ที่ rightangles ไป นี้แสดงให้เห็นเป็นจุดสำคัญมากเมื่อการตีความคำในรูปแบบมันไม่สำคัญว่าคุณทำมันตราบเท่าที่หลักการมีความพึงพอใจ ดังนั้นมันไม่สำคัญว่าสายตรงในรูปแบบแผ่นดิสก์ไม่ปรากฏที่จะตรง ภายในรูปแบบแผ่นดิสก์นี้เป็นความหมายของการตรง. the ถ้าคุณยังคงพบว่ามันไม่สงบว่าควรเรียกส่วนโค้งของวงกลมเป็นเส้นตรงแล้วคลิกที่นี่เพื่อเหตุผลต่อไปของการปฏิบัติที่แปลกประหลาดนี้. กลับมาตอนนี้คำถามที่ว่า "สิ่งที่เป็น เครื่องบินซึ่งเกินความจริง? " คำตอบก็คือว่ามันเป็นวัตถุนามธรรมพื้นที่ตัวชี้วัดที่มีสมมาตรบางอย่างและความพึงพอใจหลักการบางอย่างที่สามารถรับรู้ในรูปแบบต่างๆ (ที่มีรูปแบบต่างๆ) ไม่มีใครที่สามารถจะกล่าวว่าเป็นวิธีที่ดีที่สุด นี่คือสถานการณ์ที่คุณได้พบแล้ว ยกตัวอย่างเช่นกลุ่มในแง่นามธรรมเป็นชุดพร้อมกับดำเนินการทวิภาคความพึงพอใจของหลักการบางอย่าง แต่มากมักจะเป็นหนึ่งที่จะนำเสนอด้วยรูปแบบของหลักการผู้ที่อยู่ในรูปแบบที่เป็นรูปธรรมมากขึ้นเช่นการเก็บรวบรวม symmetries หรือเพิ่มเงินหรือ การฝึกอบรมหรือสิ่งที่มีคุณ อีกตัวอย่างหนึ่งซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ Tripos เป็นตัวเลขการก่อสร้างจริง reals มีการกำหนดเป็นนามธรรมเป็นที่สมบูรณ์แบบที่ไม่ซ้ำกันสนามที่สั่งซื้อ แสดงให้เห็นว่าความคิดนี้ทำให้รู้สึกหนึ่งที่มีการ "สร้าง" reals ซึ่งหมายความว่าหารูปแบบสำหรับหลักการของสนามที่สั่งซื้อที่สมบูรณ์ ซึ่งสามารถทำได้ในทุกประเภทของวิธีการ:. ตัด Dedekind เรียนเท่าเทียมกันของลำดับ Cauchy ของ rationals และอื่น ๆมีโชคถ้าคุณแบกรับการพิจารณาตรรกะเหล่านี้ในใจคุณจะรู้สึกสะดวกสบายมากขึ้นกับความคิดของรูปทรงเรขาคณิตผ่อนชำระ แต่จะเตือนว่าทั้งหมดที่ฉันได้พยายามที่จะทำในหน้านี้เป็นบล็อกลบทางจิตวิทยาในการทำความเข้าใจเรื่อง แต่นั่นไม่ได้หมายความว่ามันสามารถเข้าใจกับการทำงานไม่มี เพื่อที่จะทำความคุ้นเคยกับรูปแบบต่าง ๆ มีแทนสำหรับการเรียนรู้บันทึกการบรรยายของคุณและพยายามที่ปัญหาบนแผ่นตัวอย่างไม่มี. คลิกที่นี่เพื่อกลับไปยังหน้าหลักเรขาคณิต

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.I have a test in chemistry.