We start with the initial approxima

We start with the initial approximation y0 =1.The next iterates y1,y2,y3,...are given below respectively. y1 =1+x2,
2 x4 y2=1+x +2!,
2 x4 x6 y3=1+x +2!+3!,
2 x4 x6 x8 y4=1+x +2!+3!+4!,
..
Hence, the solution series in general gives 2 x4 x6 x8 x10
y(x)=1+x +2!+3!+4!+ 5! +···. (27) The closed form of the series (27) is y (x)=ex2 which gives an exact solution of the problem.
5. Conclusion
In this paper, the variational iteration method (VIM) has been successfully employed to obtain the approximate-exact solutions of various Lane–Emden type equations. The variational iteration method yields solutions in the forms of convergent series with easily calculable terms. It is shown that the variational iteration method is a promising tool for singular IVP’s of Lane–Emden type, and in some cases, yields exact solutions in few iterations.
References
[1] S. Chandrasekhar, Introduction to the Study of Stellar Structure, Dover, New York, 1967.
[2] H.T. Davis, Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations, Dover, New York, 1962.
[3] O.U. Richardson, The Emission of Electricity from Hot Bodies, Zongmans Green and Company, London, 1921.
[4] C.M. Bender, K.A. Milton, S.S. Pinsky, L.M. Simmons, A new perturbation approach to nonlinear problems, J. Math. Phys. 30 (1989) 1447–1455.
[5] N.T. Shawagfeh, Non-perturbative approximate solution for Lane–Emden equation, J. Math. Phys. 34 (9) (1993) 4364–4369.
[6] A-M. Wazwaz, A new algorithm for solving differential equations of Lane–Emden type, Appl. Math. Comput. 118 (2001) 287–310.
[7] A-M Wazwaz, A new method for solving singular value problems in the second order ordinary differential equations , Appl . Math. Comput. 128(2001)
45–57.
[8] M.I. Nouh, Accelerated power series solution of polytropic and isothermal gas spheres, New Astron. 9 (2004) 467–473.
[9] V.B. Mandelzweig, F. Tabakin, Quasilinearization approach to nonlinear problems in physics with application to nonlinear ODEs, Comput. Phys.
Commun. 141 (2001) 268–281.
[10] J.I. Ramos, Linearization method in classical and quantum mechanics, Comput Phys. Commun. 153 (2003) 199–208.
[11] Y. Bozkhov, A.C.G. Martins, Lie point symmetries and exact solutions of quasilinear differential equations with critical exponents, Nonlinear Anal. 57
(2004) 773–793.
[12] E. Momoniat, C. Harley, Approximate implicit solution of a Lane–Emden equation, New Astron. 11 (2006) 520–526.
[13] H. Goenner, P. Havas, Exact solutions of the generalized Lane–Emden equation, J. Math. Phys. 41 (2000) 7029–7042.
[14] S. Liao, A new analytic algorithm of Lane–Emden type equations, Appl. Math. Comput. 142 (2003) 1–16.
[15] J.H. He, Variational approach to the Lane–Emden equation, Appl. Math. Comput. 143 (2003) 539–541.
[16] J.I. Ramos, Series approach to the Lane–Emden equation and comparison with the homotopy perturbation method, Chaos Solitons Fractals (2006)
doi:10.1016/j.chaos.2006.11.018.
[17] T. Öziş, A. Yıldırım, Solutions of singular IVP’s of Lane–Emden type by homotopy pertutbation method, Phys. Lett. A 369 (2007) 70–76.
[18] M.S.H. Chowdhury, I. Hashim, Solutions of a class of singular second-order IVPs by homotopy-perturbation method, Phys. Lett. A. (2007)
doi:10.1016/j.physleta.2007.02.002.
[19] M. Dehghan, F.Shakeri, Approximate solution of a differential equation arising in astrophysics using the variational iteration method, NewAstron.13
(2008) 53–59.
[20] J.H. He, Variational iteration method — A kind of non-linear analytical technique: Some examples, Int. J. Nonlinear Mech. 34 (4) (1999) 699–708.
[21] J.H. He, Some asymptotic methods for strongly nonlinear equations, Int. J. Mod. Phys. B 20 (10) (2006) 1141–1199.
[22] J.H. He, Variational iteration method—Some recent results and new interpretations, J. Comput. Appl. Math. doi:10.1016/j.cam.2006.07.009.
[23] J.H He, Non-Perturbative Methods for Strongly nonlinear Problems, Dissertation, de-verlag im Internet GmbH, Berlin, 2006.
[24] J.H. He, X.H. Wu, Construction of solitary solution and Compton-like solution by variational iteration method, Chaos Solitons Fractals 29 (2006)
108–113.
[25] N. Bildik, A. Konuralp, The use of variational iteration method, differential transform method and adomian decomposition method for solving different
types of nonlinear partial differential equations, Int. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 7 (2006) 65–70.
[26] Z. M. Odibat, S. Momani, Application of variational iteration method to nonlinear differential equations of fractional order ,Int. J. NonlinearSci. Numer.
Simul. 7 (2006) 27–34.
[27] S. Momani, S. Abuasad, Application of He’s variational iteration method to Helmotz equation, Chaos Solitons Fractals 27 (2006) 1119–1123.
[28] T. Öziş, A. Yıldırım, A study of nonlinear oscillators with u 1/3 force by He’s variational iteration method, J. Sound Vib. 306 (1–2) (2007) 372–376.
[29] S. Momani, Z.M. Odibat, Numerical comparison of methods for solving linear differential equations of fractional order, Chaos Solitons Fractals 31
(2007) 1248–1255.
[30] H. Tari, D.D. Ganji, M. Rostamian, Approximate solutions of K(2,2), KdV and modified KdV equations by variational iteration method, homotopy
perturbation method and homotopy analysis method, Int. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 8 (2) (2007) 203–210.
[31] N.H.Sweilam,M.M.khader,Variationaliterationmethodforonedimensionalnonlinearthermoelasticity,ChaosSolitonsFractals32(2007)145–149.
[32] E. Yusufoğlu, Variational iteration method for construction of some compact and noncompact structures of Klein-Gordon equations, Int. J. Nonlinear
Sci. Numer. 8 (2) (2007) 153–158.
[33] H. Özer, Application of the variational iteration method to thin circular plates, Int. J. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 9 (1) (2008) 27–32.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราเริ่มต้นประมาณ y0 =1.The ถัดไปคำนวณซ้ำ y1, y2, y3,...ให้ด้านล่างตามลำดับ y1 = 1 + x 22 x 4 y2 = 1 + x + 2 !,2 x 4 x 6 y3 = 1 + x + 2 ! + 3 !,2 x 4 x 6 x 8 y4 = 1 + x + 2 ! + 3 ! + 4 !,..ด้วยเหตุนี้ ชุดโซลูชันทั่วไปทำให้ 2 x 4 x 6 x 8 x 10y (x) = 1 + x + 2 ! + 3 ! + 4 ! + 5 +···. (27 แบบชุด (27))ปิดคือ y (x) = ex2 ที่ให้โซลูชั่นแน่นอนของปัญหา5. บทสรุปในเอกสารนี้ วิธีการเกิดซ้ำ variational (VIM) มีการสำเร็จจ้างรับการประมาณแน่นอนแก้สมการชนิดเลน – Emden ต่าง ๆ วิธีการเกิดซ้ำ variational ทำให้โซลูชั่นในรูปแบบของชุด convergent ด้วยเงื่อนไขง่าย ๆ calculable มันจะแสดงวิธีการเกิดซ้ำ variational เป็นเครื่องมือสำหรับเอกพจน์ IVP ของเลน – Emden ชนิด และ ในบางกรณีที่สัญญา ทำให้โซลูชั่นที่แน่นอนในไม่กี่ซ้ำการอ้างอิง[1] S. จันทรเศขร แนะนำการศึกษาโครงสร้างของดาวฤกษ์ โดเวอร์ นิวยอร์ก 1967[2] H.T. Davis แนะนำการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นเป็นสมการ โดเวอร์ นิวยอร์ก 1962[3] O.U. ริชาร์ดสัน มลพิษไฟฟ้าจากร้อนร่างกาย Zongmans สีเขียว และ บริษัท ลอนดอน 1921Bender C.M. [4] มิลตัน K.A. สโมสรฟุตบอล Pinsky, L.M. ซิ มมอนส์ perturbation วิธีการใหม่สำหรับปัญหาไม่เชิงเส้น J. ทางคณิตศาสตร์ นับ 30 (1989) 1447-1455 นั่นเอง[5] N.T. Shawagfeh, perturbative ไม่ใช่แก้โดยประมาณเลน – Emden สมการ J. ทางคณิตศาสตร์ นับ 34 (9) (1993) 4364-4369[6] A-M Wazwaz อัลกอริทึมใหม่สำหรับแก้สมการเชิงอนุพันธ์ชนิดเลน – Emden คณิตศาสตร์ประยุกต์ Comput 118 (2001) 287-310[7] A M Wazwaz วิธีการใหม่ในการแก้ปัญหาค่าเอกพจน์ในสองสั่งปกติสมการเชิงอนุพันธ์ Appl คณิตศาสตร์ Comput 128(2001)45-57[8] รัฐบาลท้องถิ่น M.I. Nouh โซลูชั่นพลังงาน Accelerated ของ polytropic และ isothermal ก๊าซ 9 Astron. ใหม่ (2004) 467-473 วิธี:[9] V.B. Mandelzweig, F. Tabakin วิธี Quasilinearization ปัญหาไม่เชิงเส้นในวิชาฟิสิกส์ ด้วยการไม่เชิงเส้น ODEs, Comput มีอยู่จริงCommun 141 (2001) 268-281[10] J.I. Ramos วิธี Linearization ในคลาสสิกและควอนตัม Commun กายภาพ Comput 153 (2003) 199-208[11] Y. Bozkhov, A.C.G. Martins นอนจุด symmetries และโซลูชั่น quasilinear สมการเชิงอนุพันธ์มี Anal ไม่เชิงเส้น เลขชี้กำลังสำคัญแน่นอน 57(2004) 773-793[12] E. Momoniat, C. ฮาร์เล่ย์ โซลูชั่นนัยโดยประมาณของสมการเป็นเลน – Emden ใหม่ 11 Astron. (2006) 520-526[13] H. Goenner, P. Havas โซลูชั่นที่แน่นอนของสมการเลน – Emden เมจแบบทั่วไป J. ทางคณิตศาสตร์ กายภาพ 41 (2000) 7029-7042[14] S. เลี้ยว ตัวใหม่คู่อัลกอริทึมของเลน – Emden ชนิดสมการ คณิตศาสตร์ประยุกต์ Comput 142 (2003) 1 – 16[15] J.H. เขา วิธีสมการเลน – Emden, Variational คณิตศาสตร์ประยุกต์ Comput 143 (2003) 539-541[16] J.I. Ramos ชุดวิธีการสมการเลน – Emden และเปรียบเทียบกับวิธี homotopy perturbation, Chaos Solitons Fractals (2006)doi:10.1016/j.chaos.2006.11.018[17] ต. Öziş, A. Yıldırım โซลูชั่นของเอกพจน์ IVP ของเลน – Emden ชนิดโดยวิธี homotopy pertutbation, Lett นับ 369 การ (2007) 70-76[18] M.S.H. Chowdhury ฮาชิม I. โซลูชั่นของคลาสของเอกพจน์ IVPs ลำดับที่สองโดยวิธี homotopy perturbation, Lett กายภาพ อ. (2007)doi:10.1016/j.physleta.2007.02.002[19] M. Dehghan, F.Shakeri โซลูชั่นโดยประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์ที่เกิดขึ้นในฟิสิกส์ดาราศาสตร์ที่ใช้วิธีการเกิดซ้ำ variational, NewAstron.13(2008) 53-59[20] J.H. เขา วิธีการเกิดซ้ำ Variational — แบบไม่เชิงเส้นเทคนิควิเคราะห์: ตัวอย่าง อินต์ J. ไม่เชิงเส้น Mech. 34 (4) (1999) 699-708[21] J.H. เขา วิธี asymptotic บางสมการไม่เชิงเส้นขอ Mod J. ของดอกเบี้ย กายภาพ B 20 (10) (2006) 1141-1199[22] J.H. เขา วิธีการเกิดซ้ำ Variational — ผลล่าสุดและตีความใหม่ J. Comput บาง ใช้คณิตศาสตร์ doi:10.1016/j.cam.2006.07.009[23] เขา J.H, Perturbative ไม่ใช่วิธีขอไม่เชิงเส้นปัญหา วิทยานิพนธ์ ชื่น verlag im อินเทอร์เน็ต GmbH เบอร์ลิน 2006[24] J.H. เขา X.H. Wu ก่อสร้างโซลูชันปัจเจกและคอมป์ตันเหมือนการแก้ปัญหา โดยวิธีการเกิดซ้ำ variational, Chaos Solitons Fractals 29 (2006)108-113[25] N. Bildik, A. Konuralp การใช้วิธีการเกิดซ้ำ variational วิธีการแปลงที่แตกต่าง และ adomian แยกส่วนประกอบวิธีการแก้ไขแตกต่างกันชนิดไม่เชิงเส้นสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน J. ของดอกเบี้ยที่ไม่เชิงเส้น Sci. Numer Simul 7 (2006) 65-70[26] Odibat z.ม. S. Momani โปรแกรมประยุกต์ของวิธีการเกิดซ้ำ variational สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นของใบสั่งเป็นบางส่วน NonlinearSci J. ของดอกเบี้ย NumerSimul 7 (2006) 27 – 34[27] S. Momani, S. Abuasad แอพลิเคชันของเขา variational วิธีการเกิดซ้ำให้สมการ Helmotz, Chaos Solitons Fractals 27 (2006) 1119-1123[28] ต. Öziş, A. Yıldırım, A วิชา oscillators ไม่เชิงเส้นกับ 1/3 แรง โดยเขา variational วิธีการเกิดซ้ำ J. เสียง Vib 306 (1-2) (2007) 372-376[29] S. Momani, Z.M. Odibat เปรียบเทียบตัวเลขของวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นของใบสั่งเป็นบางส่วน Chaos Solitons Fractals 31(2007) ก่อ-1255[30] H. Tari, D.D. Ganji, M. Rostamian โซลูชั่นประมาณ K(2,2), KdV และสมการ KdV แก้ไข โดยวิธีการเกิดซ้ำ variational, homotopyวิธี perturbation และวิธีการวิเคราะห์ homotopy, J. ของดอกเบี้ยที่ไม่เชิงเส้น Sci. Numer Simul 8 (2) (2007) 203-210[31] N.H.Sweilam,M.M.khader,Variationaliterationmethodforonedimensionalnonlinearthermoelasticity,ChaosSolitonsFractals32 (2007) 145-149[32] E. Yusufoğlu วิธีการเกิดซ้ำ Variational สำหรับการก่อสร้างโครงสร้างบางกะทัดรัด และ noncompact ของสมการ Klein Gordon, Nonlinear J. ของดอกเบี้ยSci. Numer 8 (2) (2007) 153-158[33] H. Özer โปรแกรมประยุกต์ของวิธีการเกิดซ้ำ variational บางแผ่นวงกลม ของดอกเบี้ย J. Sci. Numer ไม่เชิงเส้น Simul 9 (1) (2008) 27 – 32

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราเริ่มต้นด้วยการเริ่มต้นประมาณ y0 = 1. ต่อไป iterates y1, y2, y3 ... ได้รับด้านล่างตามลำดับ y1 = 1 + x2,
x4 2 y2 = 1 + x 2 !,
2 x4 x6 y3 = 1 + x 2! 3 !,
2 x4 x6 x8 y4 = 1 + x 2! 3! 4! ,
..
ดังนั้นชุดแก้ปัญหาโดยทั่วไปให้ 2 x4 x6 x8 x10
และ (x) = 1 + x 2! 3! 4! + 5! + ··· (27) รูปแบบปิดของซีรีส์ (27) คือ y (x) = EX2 ซึ่งจะช่วยให้การแก้ปัญหาที่แท้จริงของปัญหา.
5 สรุป
ในบทความนี้วิธีการทวนแปรผัน (VIM) ได้รับการว่าจ้างประสบความสำเร็จที่จะได้รับการแก้ปัญหาโดยประมาณ-แน่นอนของต่างๆเลนแอ็มสมชนิด วิธีการทวนแปรผันอัตราผลตอบแทนการแก้ปัญหาในรูปแบบของชุดกันกับคำคะเนได้อย่างง่ายดาย มันแสดงให้เห็นว่าวิธีการทวนแปรผันเป็นเครื่องมือที่มีแนวโน้มการ IVP เอกพจน์ของชนิดเลนแอ็มและในบางกรณีการแก้ปัญหาอัตราผลตอบแทนที่แน่นอนในการทำซ้ำไม่กี่.
อ้างอิง
[1] เอ Chandrasekhar, Introduction to การศึกษาโครงสร้างดาวฤกษ์โดเวอร์ , New York, 1967.
[2] HT เดวิส, Introduction to ไม่เชิงเส้นที่แตกต่างกันและสมการหนึ่งโดเวอร์, New York, 1962.
[3] OU ริชาร์ด, การปล่อยกระแสไฟฟ้าจากแหล่งความร้อน, Zongmans สีเขียวและ บริษัท ลอนดอน 1921
[4] CM ประมาท KA มิลตัน, เอสเอส Pinsky, LM ซิมมอนส์, วิธีการก่อกวนใหม่ปัญหาเชิงคณิตศาสตร์เจ สรวง 30 (1989) 1447-1455.
[5] NT Shawagfeh, การแก้ปัญหาไม่ perturbative ประมาณสำหรับสมเลนแอ็มเจคณิตศาสตร์ สรวง 34 (9) (1993) 4364-4369.
[6] AM Wazwaz, อัลกอริทึมใหม่สำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ประเภทเลนแอ็ม Appl คณิตศาสตร์ คอมพิวเต 118 (2001) 287-310.
[7] AM Wazwaz, วิธีการใหม่สำหรับการแก้ปัญหาค่าเอกพจน์ในลำดับที่สองสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ Appl คณิตศาสตร์ คอมพิวเต 128 (2001)
45-57.
[8] MI Nouh พลังงานเร่งแก้ปัญหาชุดของ polytropic และทรงกลมก๊าซ isothermal, New Astron 9 (2004) 467-473.
[9] VB Mandelzweig เอฟ Tabakin วิธี Quasilinearization ปัญหาไม่เชิงเส้นในฟิสิกส์กับการประยุกต์ใช้ในการ ODEs เชิงคอมพิวเต สรวง.
Commun 141 (2001) 268-281.
[10] JI รามอส, วิธี Linearization ในกลศาสตร์คลาสสิกและควอนตัมคอมพิวเตสรวง Commun 153 (2003) 199-208.
[11] วาย Bozkhov, ACG มาร์ติน, สมมาตรจุดโกหกและการแก้ปัญหาที่แท้จริงของสมการเชิงอนุพันธ์ quasilinear กับเลขยกกำลังที่สำคัญไม่เชิงเส้นที่ก้น 57
(2004) 773-793.
[12] อี Momoniat, C. ฮาร์เลย์, การแก้ปัญหาโดยปริยายโดยประมาณของสมเลนแอ็มใหม่ Astron 11 (2006) 520-526.
[13] เอช Goenner, P. Havas การแก้ปัญหาที่ถูกต้องของสมการทั่วไปเลนแอ็มเจคณิตศาสตร์ สรวง 41 (2000) 7029-7042.
[14] เอเหลียว, ขั้นตอนวิธีการวิเคราะห์ใหม่ของสมการประเภทเลนแอ็ม Appl คณิตศาสตร์ คอมพิวเต 142 (2003) 1-16.
[15] JH เขาวิธีการแปรค่าสมเลนแอ็ม Appl คณิตศาสตร์ คอมพิวเต 143 (2003) 539-541.
[16] JI รามอส, ชุดแนวทางการสมเลนแอ็มและการเปรียบเทียบกับวิธีการก่อกวน homotopy โกลาหล solitons Fractals (2006)
ดอย:. 10.1016 / j.chaos.2006.11.018
[17 ] T. Ozis, A. Yıldırımโซลูชั่นของเอกพจน์ IVP ของชนิดเลนแอ็มโดยวิธี pertutbation homotopy, สรวง เลท 369 (2007) 70-76.
[18] MSH ก่อสร้าง, I. ฮิมโซลูชั่นของชั้นเรียนของ IVPs เอกพจน์สองสั่งซื้อโดยวิธี homotopy-ก่อกวน, สรวง เลท A. (2007)
ดอย: 10.1016 / j.physleta.2007.02.002.
[19] M. Dehghan, F.Shakeri, การแก้ปัญหาโดยประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์ที่เกิดขึ้นในดาราศาสตร์ใช้วิธีย้ำแปร NewAstron.13
(2008) 53 . -59
[20] JH เขาแปรผันวิธีการทวน - ชนิดของเทคนิคการวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้น: ตัวอย่างบางส่วน, Int เจเชิง Mech 34 (4) (1999) 699-708.
[21] JH เขาบางวิธี asymptotic สำหรับสมการเชิงเส้นอย่างยิ่ง Int เจ Mod สรวง B 20 (10) (2006) 1141-1199.
[22] JH เขาแปรผันซ้ำวิธี-บางผลล่าสุดและการตีความใหม่เจคอมพิวเต Appl คณิตศาสตร์ ดอย:. 10.1016 / j.cam.2006.07.009
. [23] JH เขาไม่ perturbative วิธีการสำหรับปัญหาไม่เชิงเส้นอย่างยิ่ง, วิทยานิพนธ์, de-Verlag im Internet GmbH, เบอร์ลิน 2006
[24] JH เขา XH วูก่อสร้าง ของการแก้ปัญหาและการแก้ไขปัญหาที่โดดเดี่ยวเหมือนคอมป์ตันด้วยวิธีการทวนแปรผันโกลาหล solitons Fractals 29 (2006)
108-113.
[25] N. Bildik, A. Konuralp, การใช้วิธีการซ้ำแปรผันแตกต่างเปลี่ยนวิธีการและวิธีการสลายตัว adomian สำหรับ การแก้ที่แตกต่างกัน
ประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น Int เจเชิงวิทย์ numer Simul 7 (2006) 65-70.
[26] ZM Odibat เอ Momani, การประยุกต์ใช้วิธีการทวนแปรผันสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของคำสั่งเศษส่วน Int เจ NonlinearSci numer.
Simul 7 (2006) 27-34.
[27] เอ Momani เอ Abuasad, แอพลิเคชันของเขาเป็นวิธีการทวนแปรผันสม helmotz โกลาหล solitons Fractals 27 (2006) 1119-1123.
[28] T. Ozis, A. Yıldırım การศึกษา Oscillators ไม่เชิงเส้นกับ U 1/3 แรงโดยเขาเป็นวิธีการทวนแปรผันเจเสียง Vib 306 (1-2) (2007) 372-376.
[29] เอ Momani, ZM Odibat เปรียบเทียบตัวเลขของวิธีการในการแก้สมการเชิงเส้นแตกต่างของการสั่งซื้อเศษโกลาหล solitons Fractals 31
(2007) 1248-1255.
[30] H. Tari, DD Ganji เอ็มรอสตาเมีย, การแก้ปัญหาโดยประมาณของ K (2,2), KDV และแก้ไขสม KDV โดยวิธีการทวนแปร homotopy
วิธีการก่อกวนและวิธีการวิเคราะห์ฮอมอโท, Int เจเชิงวิทย์ numer Simul 8 (2) (2007) 203-210.
[31]
อี Yusufoglu วิธีย้ำแปรผันสำหรับการก่อสร้างบางส่วนโครงสร้างขนาดกะทัดรัดและ noncompact ของสมการ Klein กอร์ดอน, Int เจเชิง
วิทย์ numer 8 (2) (2007) 153-158.
[33] เอชÖzer, การประยุกต์ใช้วิธีการทวนแปรผันไปยังแผ่นกลมบาง Int เจเชิงวิทย์ numer Simul 9 (1) (2008) 27-32

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราเริ่มต้นด้วยการเริ่มต้นประมาณ y0 = ความต่อไปกล่าวย้ำ y1 , Y2 , Y3 , . . . มีให้ด้านล่างตามลำดับ y1 = 1 x2 , x4 Y2
2 = 1 x 2 2 x4 X6
, Y3 = 1 x 2 3 2 x4 X6 X8
, y4 = 1 x 2 3 4
. ,
ดังนั้นโซลูชั่นชุดทั่วไปให้ 2 x4 x6 x8 x 10
y ( x ) = 1 x 2 3 4 5 ··· . ( 27 ) รูปแบบปิดของชุด ( 27 ) Y ( x ) = . 4 ซึ่งให้โซลูชั่นที่แน่นอนของปัญหา .
5 สรุป
ในกระดาษนี้ , วิธีทำซ้ำแบบ ( วิม ) ได้ใช้เพื่อให้ได้โซลูชั่นที่ตรงกับประมาณต่างๆ เลน–มเด็นพิมพ์สมการ ทำซ้ำวิธีแปรผันผลผลิตโซลูชั่น ในรูปแบบของการมาบรรจบกันแบบ มีเงื่อนไขที่สามารถคำนวณได้ง่าย มันแสดงให้เห็นว่าวิธีการทำซ้ำการเป็นเครื่องมือที่มีศักยภาพเอกพจน์ IVP ของเลน–มเด็นชนิดและในบางกรณี , ผลผลิตที่แน่นอนโซลูชั่นในไม่กี่รอบอ้างอิง
.
[ 1 ] . จันทรเศขร แนะนำการศึกษาโครงสร้างดาวฤกษ์นิวยอร์ก 1967 .
[ 2 ] เส้นใย เดวิส แนะนำไม่เชิงเส้นอันดับและสมการปริพันธ์นิวยอร์ก 1962 .
[ 3 ] o.u. ริชาร์ดสัน , ปล่อยกระแสไฟฟ้าจากร่างกายร้อน zongmans สีเขียวและ บริษัท ลอนดอน 1921 .
[ 4 ] ซีเอ็ม Bender , สารคดีมิลตัน , SS พินสกี้ L.M . ซิมมอนส์ ใหม่วิธีการปัญหาคณิตศาสตร์สมการแบบไม่เชิงเส้น . . ว. . 30 ( 1989 ) 1336 –ฉันไม่ .
[ 5 ] n.t. shawagfeh perturbative โดยประมาณไม่โซลูชั่นสำหรับเลน–มเดนสมการคณิตศาสตร์ . . ว. . 34 ( 9 ) ( 1993 ) 4364 – 4369 .
[ 6 ] a-m. wazwaz , ขั้นตอนวิธีใหม่สำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของเลน–มเด็นชนิด แอปเปิ้ล คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ . 118 ( 2001 ) 287 – 310 .
[ 7 ] wazwaz a-m ,เป็นวิธีการใหม่ในการแก้ไขปัญหามูลค่าเอกพจน์ในใบที่สองสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ , แอปเปิ้ล คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ . 128 ( 2001 ) 45 - 57
.
[ 8 ] ป่าว มิชิแกน , ชุดโซลูชั่นเร่งพลังของ polytropic ทรงกลม , ก๊าซออกไซด์ใหม่ Astron . 9 ( 2004 ) และ ( 473 .
[ 9 ] สิเพื่อน mandelzweig , F . tabakin quasilinearization , วิธีการเชิงเส้นปัญหาฟิสิกส์ประยุกต์ใช้กับบทกวีเชิงเส้นคอมพิวเตอร์ . ว. .
การสื่อสาร . 141 ( 2001 ) 268 ) 281 .
[ 10 ] j.i. รามอส เชิงเส้นวิธีการคลาสสิกและกลศาสตร์ ควอนตัมคอมพิวเตอร์ว. . การสื่อสาร . 153 ( 2003 ) 199 - 208 .
[ 11 ] Y bozkhov a.c.g. , มาร์ติน , โกหก symmetries จุดแน่นอน และโซลูชั่นของ quasilinear สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นที่มีผู้สนับสนุนอย่างทวารหนัก 57
( 2004 ) 773 – 793 .
[ 12 ] E momoniat ซี ฮาเลย์โดยประมาณโดยปริยาย โซลูชั่นของเลน–มเดนสมการใหม่ Astron . 11 ( 2006 ) 520 – 526 .
[ 13 ] h goenner , หน้า havas , โซลูชั่นที่แน่นอนของตัวเลน–มเดนสมการคณิตศาสตร์ . . ว. . 41 ( 2000 ) 7029 – 7042 .
[ 14 ] S . Liao , วิธีวิเคราะห์ใหม่ของเลน–มเด็นประเภทสมการ , แอปเปิ้ล คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ . 142 ( 2546 ) 1 – 16 .
[ 15 ] j.h. เขา การเข้าหาเลน–มเดนสมการ , แอปเปิ้ล คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ . 143 ( 2003 ) จำกัด 539 541 .
[ 16 ] j.i. รามอส ชุดแนวทางเลน–มเดนสมการและการเปรียบเทียบกับฮอมอโทปีขนมปังวิธีเคออสโซลิตอน Fractals ( 2006 )
ดอย : 10.1016 / j.chaos . 2006.11.018 .
[ 17 ] . O ̈ซิส̧ , A . Y ı LD ı R ıม. โซลูชั่นของเอกพจน์ IVP ของเลน–มเด็นชนิดโดยวิธี pertutbation ฮอมอโทปีว. . หนังสือ เป็นพวก ( 2007 ) 70 และ 76 .
[ 18 ] m.s.h. Chowdhury . ฮิ , ,โซลูชั่นของชั้นเรียนของพจน์ที่สอง ivps โดยวิธีสมการฮอมอโทปีว. . หนังสือ A . ( 2007 )
ดอย : 10.1016 / j.physleta . 2007.02.002 .
[ 19 ] ม. dehghan , F . shakeri ประมาณคำตอบของสมการอนุพันธ์ที่เกิดในดาราศาสตร์ โดยใช้การทำซ้ำวิธี newastron 13
( 2008 ) 53 – 59 .
[ 20 ] j.h. เขาวิธี - ชนิดของเทคนิคการวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้นการทำซ้ำ :บางตัวอย่าง , Int . J . เส้น mech . 34 ( 4 ) ( 2542 ) ( 699 708 .
[ 21 ] j.h. เขา วิธีเฉลี่ยสำหรับขอเส้นสมการ , Int . J . mod ว. . B 20 ( 10 ) ( 2006 ) 1013 – 1199
[ 22 ] j.h. เขาวิธีทำซ้ำแบบล่าสุด ผลลัพธ์และการตีความใหม่ เจ. คอมพิวเตอร์ . แอปเปิ้ล คณิตศาสตร์ ดอย : 10.1016 / j.cam . 2006.07.009 .
[ 23 ] J . H เขาไม่ perturbative วิธีการขอแบบไร้ปัญหาวิทยานิพนธ์ , de Verlag im อินเทอร์เน็ต GmbH , เบอร์ลิน , 2549 .
[ 24 ] j.h. เขา x.h. Wu สร้างโซลูชั่นที่โดดเดี่ยวและคอมป์ตันต้องการโซลูชั่นโดยวิธีทำซ้ำแบบสับสนวุ่นวายโซลิตอน Fractals 29 ( 2006 )
108 – 113 .
[ 25 ] . bildik อ. konuralp ใช้แบบวิธีทำซ้ำ , ค่าแปลงและวิธีการแก้ปัญหาที่แตกต่างกัน
adomian การย่อยสลายประเภทของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้น , เส้น Int . J . Sci . numer . พร้อ . 7 ( 2006 ) 65 - 70 .
[ 26 ] Z . M . odibat เอส momani การใช้วิธีทำซ้ำแปรผันกับสมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นเพื่อเศษ Int . J . nonlinearsci . numer .
พร้อ . 7 ( 2006 ) 27 – 34 .
[ 27 ] momani เอส เอส abuasad การประยุกต์ใช้มันแปรผันวิธีสมการ helmotz ซ้ำ ,ความโกลาหลโซลิตอน Fractals 27 ( 2006 ) 1119 – 1123 .
[ 28 ] . O ̈ซิส̧ , A . Y ı LD ı R ı M , การศึกษาของ oscillators ไม่เชิงเส้นด้วย 1 / 3 เขาบังคับโดยวิธีทำซ้ำแบบ เจ เสียงอื่น คือ ( 1 ) ( 2 ) ( 2007 ) 372 – 376 .
[ 29 ] . momani z.m. , odibat เปรียบเทียบเชิงตัวเลขของสมการอนุพันธ์เชิงเส้นวิธีการแก้ปัญหาเพื่อเศษความวุ่นวายโซลิตอน Fractals 31
( 2007 ) ที่แย่มากและก็ .
[ 30 ] H . ตารี , DD . Ganji ม. rostamian ประมาณโซลูชั่นของ K ( 2 , 2 ) , kdv และแก้ไขสมการ ktv โดยวิธีทำซ้ำแบบฮอมอโทปี
วิธีคงที่และวิธีวิเคราะห์แบบฮอมอโทปี Int J , สภาวะโลกร้อน numer . พร้อ . 8 ( 2 ) ( 2007 ) 203 – 210 .
[ 31 ] n.h.sweilam m.m.khader variationaliterationmethodforonedimensionalnonlinearthermoelasticity chaossolitonsfractals32 , , , ( 2007 ) 145 – 149 .
[ 32 ] E yusufog ̆ลู่วิธีทำซ้ำแบบเพื่อการก่อสร้างโครงสร้างบางกะทัดรัดและ noncompact ของไคลน์ กอร์ดอนสมการไม่เชิงเส้น Int . J .
Sci . numer . 8 ( 2 ) ( 2007 ) 153 ) 158 .
[ 33 ] H . o ̈เซอร์ การใช้วิธีทำซ้ำแบบจานกลมบาง , Int . J . ไม่เชิงเส้นและสภาวะโลกร้อน numer . พร้อ . 9 ( 1 ) ( 2008 ) 28 – 32