n the previous proof we may proceed

n the previous proof we may proceed a little differently. Complete a square on sides AB and AD of the two triangles. Its area is, on one hand, b² and, on the other,

b² = Area(ABMD)
= Area(AECD) + Area(CMD) + Area(BCE)
= c²/2 + b(b - a)/2 + a(b - a)/2
= c²/2 + b²/2 - a²/2,
which amounts to the same identity as before.

Douglas Rogers who observed the relationship between the proofs 46-49 also remarked that a square could have been drawn on the smaller legs of the two triangles if the second triangle is drawn in the "bottom" position as in proofs 46 and 47. In this case, we will again evaluate the area of the quadrilateral ABCD in two ways. With a reference to the second of the diagrams above,

c²/2 = Area(ABCD)
= Area(EBCG) + Area(CDG) + Area(AED)
= a² + a(b - a)/2 + b(b - a)/2
= a²/2 + b²/2,
as was desired.

He also pointed out that it is possible to think of one of the right triangles as sliding from its position in proof #46 to its position in proof #48 so that its short leg glides along the long leg of the other triangle. At any intermediate position there is present a quadrilateral with equal and perpendicular diagonals, so that for all positions it is possible to construct proofs analogous to the above. The triangle always remains inside a square of side b - the length of the long leg of the two triangles. Now, we can also imagine the triangle ABC slide inside that square. Which leads to a proof that directly generalizes #49 and includes configurations of proofs 46-48. See below.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

n หลักฐานก่อนหน้านี้ที่เราอาจดำเนินการแตกต่างกันเล็กน้อย ทำสี่เหลี่ยมบนด้าน AB และโฆษณาของสามเหลี่ยมสอง มีป่าไม้ มือหนึ่ง b² และ,,b² = Area(ABMD) = Area(AECD) + Area(CMD) + Area(BCE) = c²/2 + b(b-a)/2 + a(b-a)/2 = c²/2 + b²/2-a²/2ซึ่งจำนวนถึง identity เดียวเป็นมาก่อนโรเจอร์สดักลาสที่สังเกตความสัมพันธ์ระหว่างหลักฐาน 46-49 กล่าวว่า สี่เหลี่ยมไม่มีการออกบนขาเล็กของสามเหลี่ยมสองถ้าสามเหลี่ยมสองออกในตำแหน่ง "ล่าง" ในปรู๊ฟ 46 และ 47 ในกรณีนี้ เราอีกจะประเมินพื้นที่ ABCD quadrilateral ในสองวิธีการ มีการอ้างอิงที่สองของไดอะแกรมข้างต้นc²/2 = Area(ABCD) = Area(EBCG) + Area(CDG) + Area(AED) = a² + a(b-a)/2 + b(b-a)/2 = a²/2 + b²/2เป็นที่ต้องการเขายังชี้ให้เห็นว่า เป็นไปได้ที่จะนึกถึงสามเหลี่ยมขวาเป็นการเลื่อนจากตำแหน่งใน #46 หลักฐานไปยังตำแหน่งในหลัก #48 เพื่อให้ขามันสั้น glides ตามขายาวของสามเหลี่ยมอื่น ๆ อย่างใดอย่างหนึ่ง ที่ตำแหน่งใด ๆ กลางที่มีปัจจุบัน quadrilateral ที่ มีเท่ากัน และเส้นทแยง เพื่อให้สำหรับตำแหน่งทั้งหมด ไปสร้างหลักฐานคล้ายคลึงกับข้างต้น สามเหลี่ยมยังคงอยู่ภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้าน b - ความยาวของขาที่ยาวของสามเหลี่ยมสองเสมอ ตอนนี้ เรายังสามารถจินตนาการภาพนิ่ง ABC รูปสามเหลี่ยมภายในช่องสี่เหลี่ยมนั้น ซึ่งนำไปสู่หลักฐานที่ generalizes #49 โดยตรง และมีการตั้งค่าคอนฟิกของปรู๊ฟ 46-48 ดูด้านล่าง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

n หลักฐานก่อนหน้านี้เราอาจดำเนินการแตกต่างกันเล็กน้อย กรอกตารางด้าน AB และโฆษณาของทั้งสองรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของมันคือบนมือข้างหนึ่งb²และที่อื่น ๆb² = พื้นที่ (ABMD) = พื้นที่ (AECD) + พื้นที่ (CMD) + พื้นที่ (คริสตศักราช) = c² / 2 + ข (ข - ก) / 2 + (ที่ข - ก) / 2 = c² / 2 + b² / 2 - รฒร / 2 ซึ่งจะมีจำนวนตัวตนเช่นเดียวกับก่อน. ดักลาสโรเจอร์สที่สังเกตเห็นความสัมพันธ์ระหว่างการพิสูจน์ 46-49 นอกจากนี้ยังตั้งข้อสังเกตว่าตารางจะได้รับ วาดบนขาเล็ก ๆ สองรูปสามเหลี่ยมถ้ารูปสามเหลี่ยมที่สองคือการวาดใน "ด้านล่าง" ตำแหน่งในขณะที่หลักฐาน 46 และ 47 ในกรณีนี้เราจะมีการประเมินอีกครั้งในพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ในสองวิธี มีการอ้างอิงถึงสองของแผนภาพข้างต้นc² / 2 = พื้นที่ (ABCD) = พื้นที่ (EBCG) + พื้นที่ (CDG) + พื้นที่ (AED) = รฒร + A (ข - ก) / 2 + ข (ข - ก) / 2 = รฒร / 2 + b² / 2 เป็นเป็นที่ต้องการ. นอกจากนี้เขายังชี้ให้เห็นว่ามันเป็นไปได้ที่จะคิดว่าเป็นหนึ่งในสามเหลี่ยมที่เหมาะสมตามที่เลื่อนจากตำแหน่งในหลักฐาน # 46 ตำแหน่งในหลักฐานที่ 48 เพื่อให้ ที่ขาสั้นติดทนนานพร้อมขายาวของสามเหลี่ยมอื่น ๆ ที่ตำแหน่งกลางใด ๆ ที่มีในปัจจุบันรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากันและตั้งฉากเพื่อให้สำหรับทุกตำแหน่งก็เป็นไปได้ที่จะสร้างหลักฐานอันคล้ายคลึงกับการดังกล่าวข้างต้น สามเหลี่ยมยังคงอยู่เสมอภายในตารางด้านข - ความยาวของขายาวของทั้งสองรูปสามเหลี่ยม ตอนนี้เรายังสามารถจินตนาการสามเหลี่ยม ABC สไลด์ภายในตารางที่ ซึ่งนำไปสู่ข้อพิสูจน์ว่าโดยตรง generalizes # 49 และรวมถึงการกำหนดค่าของการพิสูจน์ 46-48 ดูด้านล่าง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หลักฐานที่เราอาจดำเนินการ N ก่อนหน้านี้แตกต่างกันเล็กน้อย สมบูรณ์ตารางบนด้าน AB และ AD ของสามเหลี่ยม . พื้นที่ดังกล่าวเป็นหนึ่งในมือ B พนักงานขาย และ บน อื่น ๆ ,

b ( พนักงานขาย = พื้นที่ abmd )
= พื้นที่ ( aecd ) พื้นที่ ( CMD ) พื้นที่ ( ECB )
= c พนักงานขาย / 2 B ( B - ) / 2 ( B - ) / 2
= c พนักงานขาย / พนักงานขาย / 2 - 2 B พนักงานขาย / 2
ยอดเงินที่เอกลักษณ์เหมือนเดิม

ดักลาส โรเจอร์ที่สังเกตความสัมพันธ์ระหว่างการพิสูจน์ 46-49 ยังกล่าวว่าตารางจะถูกวาดลงบนขาของสามเหลี่ยมเล็ก ถ้าสามเหลี่ยมสองจะถูกวาดในตำแหน่งล่าง” ในหลักฐานที่ 46 และ 47 ในกรณีนี้เราอีกครั้งจะประเมินพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ในสองวิธี ด้วยการอ้างอิงถึงสองของแผนภาพข้างต้น

พนักงานขายพื้นที่ C / 2 =
= ( ABCD ) พื้นที่ ( ebcg ) พื้นที่ ( CDG ) พื้นที่ ( แอ๊ด )
= พนักงานขาย ( B - ) / 2 B ( B - ) 2
2 B = พนักงานขาย / พนักงานขาย / 2


อย่างที่ต้องการ เขาก็ชี้ มันเป็นไปได้ที่จะคิดว่าของหนึ่งของสามเหลี่ยมขวาเลื่อนจากตำแหน่งของมันในการพิสูจน์# 46 ตําแหน่งในการพิสูจน์# 48 เพื่อให้ติดทนนานพร้อมขา ขาสั้นยาวของรูปอื่น ๆที่ตำแหน่งกลางมีเท่ากัน และตั้งฉากกับปัจจุบันรูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุม ดังนั้นทุกตำแหน่งมันเป็นไปได้ที่จะสร้างหลักฐานที่คล้ายคลึงกับที่กล่าวข้างต้น สามเหลี่ยมยังคงอยู่เสมอภายในตารางของฝั่ง B - ความยาวของขายาวของสามเหลี่ยม . ตอนนี้เรายังสามารถจินตนาการสามเหลี่ยม ABC สไลด์ภายในตารางที่ซึ่งจะนำไปสู่การพิสูจน์โดยตรงเช่นนี้ได้ขยาย# 49 และรวมถึงการกําหนดค่าหลักฐาน 46-48 . ดูที่ด้านล่าง