Let C be a nite set of colors. Giv

Let C be a nite set of colors. Given a polyhedral piece shape, let k1 be the
number of potentially visible sides, and let k2 be the number of sides that arevisible in any given conguration. In this paper, we restrict ourselves to pieces
in the shape of a right prism, which often implies that k1 = k2. For each (poten-
tially visible) side of the piece shape, we assign a unique number from the set
f1; : : : ; k1g. Hence, a single piece can be represented by a tuple in Ck1 assigning
a color to each of the k1 sides. When dening a piece, we sometimes use the
special symbol , which represents a unique color used once in the entire puzzle.
The set of possible congurations of a single piece is given by the piece
congurations P  f1; : : : ; k1gk2 . Each piece conguration indicates how the
colors in the original piece should be assigned to the visible sides. Specically, a
piece conguration is a mapping from each of the k2 visible sides to the index of
one of the sides of the piece shape. A single side of a single piece cannot appear
on multiple sides of the puzzle, so each piece conguration has the additional
restriction that no element of the tuple is repeated.
For each visible side 1  i  k2, we dene the function Fi : Ck1  P ! C to
return the color of side i, given a piece and its conguration. Formally, we say:
Fi(ha1; : : : ; ak1 i; hq1; : : : ; qk2 i) = aqi :
As an example, we consider the original Instant Insanity puzzle. Each cube
has k1 = 6 sides with colors on them; only k2 = 4 of those sides are visible when
the cubes are stacked vertically. Suppose that we number the sides as depicted
in Fig. 4. Then there are 24 possible piece congurations: 6 ways to choose the
side that faces down, and 4 possible ways to rotate the visible faces. These 24
piece congurations are listed in Fig. 5.
Many piece shapes, including the cube, have a number of symmetries. In
particular, many have the following property:
Denition 1. The set of piece congurations P is rotationally symmetric if P
is closed under cyclic shifts.
Using this combinatorial denition of piece congurations, we can formally
dene two variants of the Instant InsanityDenition 2. The Complete-Insanity(P) problem is dened as follows:
Input: A set of colors C and a sequence of pieces A1; : : : ;An, where n = jCj.
Output: Yes if and only if there is a sequence of congurations p1; : : : ; pn 2 P
such that for each side 1  i  k2, the set of visible colors fFi(Aj ; pj) j 1 
j  ng = C.
Denition 3. The Partial-Insanity(P) problem is dened as follows:
Input: A set of colors C and a sequence of pieces A1; : : : ;An, where n  jCj.
Output: Yes if and only if there is a sequence of congurations p1; : : : ; pn 2 P
such that for each side 1  i  k2, all of the visible colors Fi(Aj ; pj) on side
i are distinct.
Note that both problems require all visible colors on a single side to be dis-
tinct; however, the Partial-Insanity(P) problem only requires a subset of all of
the colors to be visible on a single side, while the Complete-Insanity(P) prob-
lem requires all colors to be visible. Clearly, the Partial-Insanity(P) problem
is at least as hard as the Complete-Insanity(P) problem, and both are con-
tained in the complexity class NP.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ C สามารถตั้งไนท์สี ได้รับรูปร่างชิ้น polyhedral ให้ k1 เป็นการจำนวนด้านอาจมองเห็นได้ และให้ k2 ได้จำนวนด้านที่ arevisible ใน guration การกำหนดคอน ในกระดาษนี้ เราจำกัดตัวเองชิ้นในรูปของปริซึมขวา ซึ่งมักจะหมายถึงว่า k1 = k2 สำหรับแต่ละ (พันธกิจของ-ด้าน tially ที่มองเห็น) ของรูปร่างชิ้น เรากำหนดหมายเลขเฉพาะจากชุดf1 : : : ; k1g ด้วยเหตุนี้ สามารถแสดงชิ้นเดียวตาม tuple ในกำหนด Ck1สีแต่ละด้าน k1 เมื่อเดหนิงชิ้น บางครั้งใช้การสัญลักษณ์พิเศษ ซึ่งแสดงถึงสีเฉพาะที่ใช้กันในปริศนาทั้งหมดชุดของ gurations ปรับได้ของชิ้นเดียวที่ถูกกำหนด โดยชิ้นปรับ f1 gurations P : : : ; k1gk2 แต่ละชิ้นคอน guration บ่งชี้ว่า วิธีการควรจะกำหนดสีในชิ้นเดิมด้านข้างมองเห็นได้ Speci cally การชิ้นคอน guration คือการแมปจาก k2 แต่ละ ข้างมองเห็นได้ลงในดัชนีของหนึ่งด้านของรูปร่างชิ้นส่วน ด้านเดียวชิ้นเดียวไม่ปรากฏหลายด้านของปริศนา ดังนั้นแต่ละชิ้นคอน guration มีเพิ่มเติมข้อจำกัดที่ว่า ไม่มีองค์ประกอบของทูเพิลที่ซ้ำสำหรับแต่ละด้านที่มองเห็น 1 ฉัน k2 เราเด ne ฟังก์ชันไร้สาย: Ck1 P C เพื่อกลับสีด้าน i ชิ้นส่วนและการปรับ guration อย่างเป็นทางการ เราบอกว่า:เน็ต (ha1;:::; ak1 i; hq1;:::; qk2 i) = aqi:ตัวอย่างเช่น เราพิจารณาปริศนาบ้าทันทีเดิม แต่ละก้อนมี k1 = 6 ด้าน มีสีพวกเขา เพียง k2 = 4 คนด้านข้างจะสามารถมองเห็นได้เมื่อก้อนจะซ้อนกันในแนวตั้ง สมมติว่า เราได้ตัวเลขด้านข้างที่เป็นในรูป 4 แล้วมี 24 ชิ้นสามารถปรับ gurations: 6 วิธีการเลือกการด้านที่หันหน้าลง และวิธีหมุนใบมองเห็นได้ 4 24 นี้gurations การปรับชิ้นส่วนอยู่ในรูปที่ 5หลายชิ้นส่วนรูปร่าง cube รวมทั้งมีจำนวน symmetries ในโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีคุณสมบัติต่อไปนี้:เด nition 1 ชุดของชิ้นส่วนคอน gurations P เป็นแบบ rotationally ถ้า Pปิดอยู่ใต้กะทุกรอบใช้นี้ nition เด combinatorial ของชิ้นส่วนคอน gurations เราสามารถทำอย่างเป็นทางการเดอ ne สองสายพันธุ์ nition InsanityDe ทันที 2 ปัญหา Complete-Insanity(P) คือ เด ned เป็นดังนี้:ป้อนข้อมูล: ชุดของสี C และลำดับของชิ้น A1 : : : ; ซึ่ง n = jCjเอาท์พุท: ใช่ถ้าหากมีลำดับการปรับ gurations p1 : : : ; pn 2 Pดังกล่าวว่า แต่ละด้าน 1 ฉัน k2 ชุดของสีมองเห็น fFi (Aj; pj) j 1ฉบับ j =คเด nition 3 ปัญหา Partial-Insanity(P) คือ เด ned เป็นดังนี้:ป้อนข้อมูล: ชุดของสี C และลำดับของชิ้น A1 : : : ; อัน n jCjเอาท์พุท: ใช่ถ้าหากมีลำดับการปรับ gurations p1 : : : ; pn 2 Pดังกล่าวว่า แต่ละด้าน 1 ฉัน k2 สีทั้งหมดเห็นเทอร์ (Aj; pj) ด้านแตกต่างกันหมายเหตุว่า ปัญหาทั้งสองต้องใช้สีทั้งหมดสามารถมองเห็นได้ด้านเดียวจะ dis-tinct อย่างไรก็ตาม ปัญหา Partial-Insanity(P) เท่านั้นต้องใช้ชุดย่อยของทั้งหมดสีจะปรากฏอยู่บนด้านเดียว ในขณะที่ prob Complete-Insanity(P)-ทิ้งต้องมีทุกสีจะมองเห็นได้ ปัญหาอย่างชัดเจน Partial-Insanity(P)น้อยยากเป็นปัญหา Complete-Insanity(P) ทั้ง con-tained ในระดับซับซ้อน NP

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ C เป็นชุด Nite ของสี กำหนดรูปร่างชิ้น polyhedral ให้ K1 เป็น
จำนวนของด้านที่อาจมองเห็นได้และให้ K2 เป็นจำนวนของด้านที่ arevisible ในไฟล์โครงสร้าง Con ใดก็ตาม ในบทความนี้เราจะ จำกัด ตัวเองเป็นชิ้น ๆ
ในรูปของปริซึมขวาซึ่งมักจะหมายความว่า K1 = K2 สำหรับแต่ละ (poten-
มองเห็น tially) ด้านข้างของรูปร่างชิ้นที่เรากำหนดหมายเลขที่ไม่ซ้ำกันจากชุดที่
F1; :::; k1g ดังนั้นชิ้นเดียวสามารถแสดงโดย tuple ใน CK1 การกำหนด
สีให้กับแต่ละด้าน K1 เมื่อหนิงชิ้นบางครั้งเราใช้
สัญลักษณ์พิเศษหรือไม่? ซึ่งหมายถึงสีที่เป็นเอกลักษณ์ที่ใช้ครั้งเดียวในปริศนาทั้งหมด.
ชุดของ gurations Con เป็นไปได้ของชิ้นเดียวจะได้รับจากชิ้น
Con gurations P? F1; :::; k1gk2 แต่ละไฟล์โครงสร้างชิ้น Con บ่งชี้ว่า
สีในชิ้นเดิมที่ควรจะได้รับมอบหมายให้ฝ่ายที่มองเห็นได้ ถอนรากถอนโคน speci เป็น
ไฟล์โครงสร้างชิ้น Con คือการทำแผนที่จากแต่ละฝ่ายที่มองเห็น K2 เพื่อดัชนีของ
หนึ่งในด้านของรูปทรงชิ้น ด้านเดียวชิ้นเดียวไม่สามารถปรากฏ
ในหลายด้านของจิ๊กซอว์เพื่อให้แต่ละชิ้น Con ไฟล์โครงสร้างมีเพิ่มเติม
ข้อ จำกัด ว่าองค์ประกอบของ tuple ไม่มีซ้ำแล้วซ้ำอีก.
สำหรับแต่ละด้านที่มองเห็นได้ 1? ผม ? K2 เราเด NE ฟังก์ชัน Fi: CK1? P! C เพื่อ
กลับสีของผมด้านข้างที่ได้รับชิ้นส่วนและไฟล์โครงสร้าง Con ของมัน อย่างเป็นทางการที่เราบอกว่า:
Fi (HA1;:::; ak1 ฉัน; hq1;:::; qk2 i) = AQI:
ตัวอย่างเช่นเราพิจารณาปริศนาบ้าเดิมทันที แต่ละก้อน
มี K1 = 6 ด้านด้วยสีบนพวกเขา; เพียง K2 = 4 ด้านเหล่านี้จะมองเห็นได้เมื่อ
ก้อนที่ซ้อนกันในแนวตั้ง สมมติว่าเราหมายเลขด้านข้างเป็นที่ปรากฎ
ในรูป 4. จากนั้นก็มีความเป็นไปได้ 24 ชิ้น gurations Con: 6 วิธีที่จะเลือก
ด้านที่ใบหน้าลงและ 4 วิธีที่เป็นไปได้ในการหมุนใบหน้าที่มองเห็นได้ เหล่านี้ 24
gurations Con ชิ้นมีการระบุไว้ในรูป 5.
รูปทรงชิ้นส่วนหลายคนรวมทั้งก้อนที่มีจำนวนของสมมาตร ใน
โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลายคนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
De nition 1. ชุดของชิ้น Con gurations P สมมาตร rotationally ถ้า P
ปิดให้บริการภายใต้การเปลี่ยนแปลงวงจร.
นี้โดยใช้ combinatorial nition ของ gurations ชิ้น Con เราสามารถอย่างเป็นทางการ
เด NE สองสายพันธุ์ของ ทันที InsanityDe nition 2. สมบูรณ์บ้า (P) ปัญหาคือ ned ดังนี้
อินพุต: ชุดของสีซีและลำดับของชิ้น A1 นั้น :::; โดยที่ n = JCJ.
เอาท์พุท: ใช่และถ้าหากมีลำดับของ Con gurations P1 นั้น :::; PN 2 P
เช่นว่าแต่ละด้านที่ 1? ผม ? K2, ชุดของสีที่มองเห็น FFI (ที่ Aj; PJ) J 1
J? NG = ซี
De nition 3. บางส่วนบ้า (P) ปัญหาคือ ned ดังนี้
อินพุต: ชุดของสีซีและลำดับของชิ้น A1 นั้น :::; โดยที่ n? . JCJ
เอาท์พุท: ใช่และถ้าหากมีลำดับของ Con gurations P1 นั้น :::; PN 2 P
เช่นว่าแต่ละด้านที่ 1? ผม ? K2 ทั้งหมดของสีที่มองเห็น Fi (Aj; PJ) ในด้านของ
ฉันมีความแตกต่าง.
โปรดทราบว่าปัญหาทั้งสองต้องใช้สีที่เห็นทั้งหมดในด้านเดียวที่จะปรากฏ
tinct; อย่างไรก็ตาม (P) ปัญหาบ้าบางส่วนต้องใช้เพียงส่วนหนึ่งของทั้งหมดของ
สีที่จะปรากฏบนด้านเดียวในขณะที่สมบูรณ์บ้า (P) กำหนดปัญหาที่
LEM ต้องใช้สีทั้งหมดที่จะมองเห็น เห็นได้ชัดว่าบางส่วนของความบ้า (P) ปัญหา
คืออย่างน้อยเป็นเรื่องยากที่สมบูรณ์-บ้า (P) ปัญหาและทั้งสองจะทำา
tained ในระดับความซับซ้อน NP

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ C เป็นไนท์ ชุดสี ให้รูปร่างชิ้นซึ่งมีให้ K1 เป็นจำนวนด้านของมองเห็นซ่อนเร้นและปล่อยให้ K2 เป็นหมายเลขของฝ่ายที่ arevisible ในใด ๆ ให้ conguration . ในกระดาษนี้เรา จำกัด ตัวเองเพื่อชิ้นในรูปร่างของปริซึมขวาซึ่งมักจะหมายความว่า K1 K2 = . สำหรับแต่ละ ( poten -tially ) มองเห็นด้านข้างของรูปร่างชิ้น เรากำหนดหมายเลขเฉพาะจากชุดF1 ; : : : ; k1g ดังนั้น ชิ้นเดียวสามารถแทนได้ด้วย ทูเปิลใน CK1 มอบหมายสีสำหรับแต่ละของ K1 ด้าน เมื่อดินิ่งชิ้น บางครั้งเราใช้สัญลักษณ์พิเศษ ซึ่งแสดงถึงเอกลักษณ์สีใช้ครั้งเดียวในปริศนาทั้งหมดชุด congurations เป็นไปได้ของชิ้นส่วนจะได้รับโดยชิ้นcongurations F1 P ; : : : ; k1gk2 . แต่ละชิ้น conguration บ่งชี้ว่าสีในชิ้นเดิมควรมอบหมายให้ฝ่ายที่มองเห็นได้ specically ,ชิ้น conguration เป็นแผนที่มาจากแต่ละของ K2 ที่มองเห็นด้านดัชนีของหนึ่งในด้านของชิ้นส่วนรูปร่าง ด้านเดียว ชิ้นเดียวก็ปรากฏในอีกหลายด้านของปริศนาดังนั้นแต่ละชิ้น conguration มีเพิ่มเติมข้อ จำกัด ที่ไม่มีองค์ประกอบของ tuple คือซ้ำสำหรับแต่ละที่มองเห็นด้านข้าง 1 K2 เราคาดฟังก์ชัน fi : CK1 P ! ซีกลับสีด้านผมได้รับชิ้นส่วนของ conguration . อย่างเป็นทางการ เราพูดว่าฟี ( ha1 ; : : : ; ak1 ผม ; hq1 ; : : : ; qk2 ) = ป้าย :เช่น เราพิจารณาต้นฉบับปริศนาบ้าทันที แต่ละก้อนมี 6 ด้านด้วย K1 = สีบนพวกเขาเท่านั้น K2 = 4 ด้านนั้นจะปรากฏเมื่อก้อนซ้อนกันในแนวตั้ง สมมติว่า เราเบอร์ด้านข้างเป็นภาพในรูปที่ 4 แล้วมี 24 ชิ้น congurations เป็นไปได้ : 6 วิธีที่จะเลือกด้านหน้าลง และ 4 วิธีที่เป็นไปได้ที่จะหมุนใบหน้าที่มองเห็นได้ เหล่านี้ 24ชิ้น congurations จะแสดงในรูปที่ 5รูปทรงชิ้นมากมาย รวมถึงก้อนมีหมายเลขของสมมาตร . ในโดยเฉพาะ มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้เด็ก 1 ชุดของชิ้นส่วน congurations P เป็น rotationally สมมาตรถ้า pปิดใต้กะเป็นวงกลม .โดยใช้วิธีการของชิ้น congurations เด็กนี้ เราสามารถ อย่างเป็นทางการเดนสองสายพันธุ์ของทันที insanitydenition 2 ความบ้าที่สมบูรณ์ ( P ) ปัญหาคือ dened ดังนี้ใส่ : ชุดสี C และลำดับของชิ้นส่วน A1 ; : : : ; เมื่อ n = jcj .ออกครับถ้าและเพียงถ้ามันเป็นลำดับของ congurations P1 ; : : : ; ? 2 pซึ่งแต่ละข้าง 1 K2 , ชุดสีที่มองเห็นธุรกิจ ( AJ ; PJ ) J 1J ng = Cเด็ก 3 ความบ้าบางส่วน ( P ) ปัญหาคือ dened ดังนี้ใส่ : ชุดสี C และลำดับของชิ้นส่วน A1 ; : : : ; เมื่อ n jcj .ออกครับถ้าและเพียงถ้ามันเป็นลำดับของ congurations P1 ; : : : ; ? 2 pซึ่งแต่ละข้าง 1 K2 , ทั้งหมดของสีที่มองเห็น Fi ( AJ ; PJ ) ด้านผมมี ที่แตกต่างกันทราบว่าทั้งสองปัญหาเป็นสีที่มองเห็นด้านเดียวที่จะ dis -tinct ; อย่างไรก็ตาม , บ้าบางส่วน ( P ) ปัญหาที่ต้องใช้เพียงบางส่วนของทั้งหมดของสีที่สามารถมองเห็นได้ในด้านเดียว ในขณะที่ความบ้าที่สมบูรณ์ ( P ) - พร็อพเล็ม มีทุกสีให้เห็น ชัดเจน , ความบ้าบางส่วน ( P ) ปัญหาอย่างน้อยเท่าที่ความบ้าที่สมบูรณ์ ( P ) และทั้งสองคอน - ปัญหาtained ในความซับซ้อนเรียน NP