Maxwell–Boltzmann distributionFrom

Maxwell–Boltzmann distribution
From Wikipedia, the free encyclopedia
Maxwell–Boltzmann
Probability density function
Maxwell-Boltzmann distribution pdf.svg
Cumulative distribution function
Maxwell-Boltzmann distribution cdf.svg
Parameters a>0,
Support xin (0;infty)
PDF sqrt{frac{2}{pi}} frac{x^2 e^{-x^2/(2a^2)}}{a^3}
CDF extrm{erf}left(frac{x}{sqrt{2} a}
ight) -sqrt{frac{2}{pi}} frac{x e^{-x^2/(2a^2)}}{a} where erf is the Error function
Mean mu=2a sqrt{frac{2}{pi}}
Mode sqrt{2} a
Variance sigma^2=frac{a^2(3 pi - 8)}{pi}
Skewness gamma_1=frac{2 sqrt{2} (16 -5 pi)}{(3 pi - 8)^{3/2}}
Ex. kurtosis gamma_2=4frac{(-96+40pi-3pi^2)}{(3 pi - 8)^2}
Entropy ln(asqrt{2pi})+gamma-frac{1}{2}
Not to be confused with Maxwell–Boltzmann statistics.

In statistics the Maxwell–Boltzmann distribution is a particular probability distribution named after James Clerk Maxwell and Ludwig Boltzmann. It was first defined and used in physics (in particular in statistical mechanics) for describing particle speeds in idealized gases where the particles move freely inside a stationary container without interacting with one another, except for very brief collisions in which they exchange energy and momentum with each other or with their thermal environment. Particle in this context refers to gaseous particles (atoms or molecules), and the system of particles is assumed to have reached thermodynamic equilibrium.[1] While the distribution was first derived by Maxwell in 1860 on heuristic grounds,[2] Boltzmann later carried out significant investigations into the physical origins of this distribution.

A particle speed probability distribution indicates which speeds are more likely: a particle will have a speed selected randomly from the distribution, and is more likely to be within one range of speeds than another. The distribution depends on the temperature of the system and the mass of the particle.[3] The Maxwell–Boltzmann distribution applies to the classical ideal gas, which is an idealization of real gases. In real gases, there are various effects (e.g., van der Waals interactions, vortical flow, relativistic speed limits, and quantum exchange interactions) that make their speed distribution sometimes very different from the Maxwell–Boltzmann form. However, rarefied gases at ordinary temperatures behave very nearly like an ideal gas and the Maxwell speed distribution is an excellent approximation for such gases. Thus, it forms the basis of the kinetic theory of gases, which provides a simplified explanation of many fundamental gaseous properties, including pressure and diffusion.[4]

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การกระจายของแมกซ์เวลล์ตัวโบลทซ์มานน์จากวิกิพีเดีย สารานุกรมฟรีตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าเป็นPdf.svg กระจายตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมCdf.svg กระจายตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์พารามิเตอร์การ > 0สนับสนุน xin (0, infty)PDF sqrt{frac{2}{pi } } frac{x^2 e^{-x^2/(2a^2) } } {การ ^ 3 }CDF extrm{erf}left (frac {x } { sqrt { 2 } เป็น}
ight) -sqrt{frac{2}{pi } } frac{x e^{-x^2/(2a^2) } } {ตัว} erf คือ ฟังก์ชันข้อผิดพลาดหมายถึง mu=2a sqrt{frac{2}{pi } }โหมด sqrt{2 } เป็นSigma^2=frac{a^2 ผลต่าง (3 pi - 8) } {pi }ความเบ้ gamma_1=frac{2 sqrt{2 } (16 -5 pi) } { (3 pi - 8) ^ {3 2 } }เช่นเคอร์โทซิ gamma_2=4frac{(-96+40pi-3pi^2) } { (3 pi - 8) ^ 2 }Ln เอนโทรปี (asqrt {2pi }) + gamma-frac { 1 } { 2 }ไม่สับสนกับสถิติตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์In statistics the Maxwell–Boltzmann distribution is a particular probability distribution named after James Clerk Maxwell and Ludwig Boltzmann. It was first defined and used in physics (in particular in statistical mechanics) for describing particle speeds in idealized gases where the particles move freely inside a stationary container without interacting with one another, except for very brief collisions in which they exchange energy and momentum with each other or with their thermal environment. Particle in this context refers to gaseous particles (atoms or molecules), and the system of particles is assumed to have reached thermodynamic equilibrium.[1] While the distribution was first derived by Maxwell in 1860 on heuristic grounds,[2] Boltzmann later carried out significant investigations into the physical origins of this distribution.การกระจายความน่าเป็นความเร็วอนุภาคแสดงความเร็วที่มีแนวโน้ม: อนุภาคจะมีความเร็วในการเลือกสุ่มจากการกระจาย และยิ่งไปช่วงหนึ่งของความเร็วกว่าอีกด้วย การกระจายขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของระบบและมวลของอนุภาค [3] การกระจายของแมกซ์เวลล์ตัวโบลทซ์มานน์ใช้กับแก๊สอุดมคติคลาสสิก ซึ่งเป็นการ idealization ของก๊าซจริง ก๊าซจริง มีหลายลักษณะพิเศษ (เช่น van der Waals โต้ตอบ กระแส vortical, relativistic จำกัดความเร็ว และควอนตัมแลกเปลี่ยนโต้ตอบ) ที่ทำให้การกระจายความเร็วบางมากแตกต่างจากแบบตัวแมกซ์เวลล์โบลทซ์มานน์ อย่างไรก็ตาม ก๊าซหลาย ๆ ที่อุณหภูมิปกติที่ทำงานมากเกือบเหมือนเป็นแก๊สอุดมคติ และการกระจายความเร็วของแมกซ์เวลล์เป็นการประมาณที่ดีสำหรับก๊าซดังกล่าว จึง มันเป็นพื้นฐานของทฤษฎีจลน์ของก๊าซ ซึ่งให้คำอธิบายง่ายมากพื้นฐานเป็นต้นคุณสมบัติ ความดันและการแพร่ [4]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กระจาย Maxwell-Boltzmann
จากวิกิพีเดียแมกซ์เวล-Boltzmann ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นMaxwell-Boltzmann กระจาย pdf.svg ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมMaxwell-Boltzmann cdf.svg กระจายพารามิเตอร์> 0 , สนับสนุน x in (0 infty) รูปแบบไฟล์ PDF sqrt { frac {2} { ปี่}} frac {x ^ 2 ที่ e ^ {- x ^ 2 / (2a ^ 2)}} {a ^ 3} CDF textrm {ERF} left ( frac {x} { sqrt {2} A} ขวา) - sqrt { frac {2} { ปี่}} frac {XE ^ {- x ^ 2 / (2a ^ 2)}} {a} ที่ ERF เป็นหน้าที่ของข้อผิดพลาดหมายถึง หมู่ = 2a sqrt { frac {2} { ปี่}} โหมด sqrt {2} แปรปรวน ซิก ^ 2 = frac {a ^ 2 (3 ปี่ - 8)} { ปี่} Skewness gamma_1 = frac {2 sqrt {2} (16 -5 ปี่)} {(3 ปี่ - 8) ^ {3/2}} อดีต โด่ง gamma_2 = 4 frac {(- 96 + 40 ปี่-3 ปี่ ^ 2)} {(3 ปี่ - 8) ^ 2} เอนโทรปี LN (ก sqrt {2 ปี่}) + แกมมา - frac {1} {2} เพื่อไม่ให้สับสนกับสถิติ Maxwell-Boltzmann. ในสถิติ Maxwell-Boltzmann กระจายเป็นกระจายโดยเฉพาะอย่างยิ่งการตั้งชื่อตามเสมียนเจมส์แมกซ์เวลและ Ludwig Boltzmann มันเป็นครั้งแรกที่กำหนดและใช้ในฟิสิกส์ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์สถิติ) สำหรับการอธิบายความเร็วอนุภาคก๊าซอุดมคติที่อนุภาคเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระภายในภาชนะนิ่งโดยไม่ต้องมีปฏิสัมพันธ์กับคนอื่นยกเว้นการชนกันสั้นมากในการที่พวกเขาแลกเปลี่ยนพลังงานและโมเมนตัมกับ แต่ละอื่น ๆ หรือกับสภาพแวดล้อมของพวกเขาระบายความร้อน อนุภาคในบริบทนี้หมายถึงอนุภาคก๊าซ (อะตอมหรือโมเลกุล) และระบบการทำงานของอนุภาคจะถือว่ามีรายได้ถึงความสมดุลทางอุณหพลศาสตร์. [1] ในขณะที่การจัดจำหน่ายที่ได้มาครั้งแรกโดยแมกซ์เวลในปี 1860 ในพื้นที่แก้ปัญหา [2] Boltzmann ดำเนินการในภายหลัง การตรวจสอบอย่างมีนัยสำคัญออกไปสู่ต้นกำเนิดทางกายภาพของการกระจายนี้. กระจายความน่าจะเป็นความเร็วอนุภาคบ่งบอกถึงความเร็วที่มีแนวโน้มมากขึ้น: อนุภาคจะมีความเร็วในการสุ่มเลือกจากการกระจายและมีแนวโน้มที่จะได้รับภายในหนึ่งช่วงของความเร็วกว่าที่อื่น การจัดจำหน่ายขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของระบบและมวลของอนุภาค. [3] การกระจาย Maxwell-Boltzmann ใช้กับแก๊สอุดมคติคลาสสิกซึ่งเป็นอุดมการณ์ของก๊าซที่แท้จริง ก๊าซที่แท้จริงมีผลกระทบต่างๆ (เช่นแวนเดอร์ Waals ปฏิสัมพันธ์ไหล vortical จำกัด ความเร็วความสัมพันธ์และการมีปฏิสัมพันธ์แลกเปลี่ยนควอนตัม) ที่ทำให้การกระจายความเร็วของพวกเขาบางครั้งความแตกต่างจากรูปแบบ Maxwell-Boltzmann แต่ก๊าซซึ่งได้ทำให้บริสุทธิ์ที่อุณหภูมิสามัญประพฤติเกือบเหมือนก๊าซที่เหมาะและการกระจายความเร็วแมกซ์เวลเป็นประมาณที่ดีเยี่ยมสำหรับก๊าซดังกล่าว ดังนั้นจึงเป็นรูปแบบพื้นฐานของทฤษฎีการเคลื่อนไหวของก๊าซซึ่งมีคำอธิบายที่เรียบง่ายของก๊าซหลายคุณสมบัติพื้นฐานรวมทั้งความดันและการกระจาย. [4]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กระจายแมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์ ) จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี แมกซ์เวลล์ - Boltzmann


ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นการแจกแจงแมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์ PDF SVG
ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม
แมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์กระจาย CDF . svg
ค่า > 0 ,
x ในการสนับสนุน ( 0 ; infty )
{ frac PDF / SQRT { 2 } { pi } } frac { x
2 E
{ - x
2 / ( 2a
2 } } { 3 }

{ textrm CDF ERF } ( N แล้ว frac { x } { 2 } { SQRT } ) N { frac SQRT { 2 } { pi } { x } frac e
{ - x
2 / ( 2a
2 } } { } ที่ ERF คือ ข้อผิดพลาดการทำงาน
หมายความว่าหมู่ = 2A / SQRT { frac { 2 } { pi } }
{ 2 } SQRT โหมดแปรปรวน Sigma

2 = frac {
2 pi - 8 ) } { pi }
เบ้ gamma_1 = frac { 2 { 2 } SQRT ( 16 - 5 pi ) } { ( 3 pi - 8 )
2 } { 3 } /
. 4 frac โด่ง gamma_2 = { ( - 96 40 pi-3 pi
2 } { ( 3 pi - 8 )
2 }
เอนโทรปี ( { 2 pi } SQRT ) Gamma N frac { 1 } { 2 }
ไม่ต้องสับสนกับ Maxwell - Boltzmann สถิติ

ในสถิติ แมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์และการกระจายความน่าจะเป็นโดยตั้งชื่อตามเจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ และลุดวิกโบลทซ์มันน์ .มันเป็นครั้งแรกที่กำหนดและใช้ในวิชาฟิสิกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์สถิติ ) อธิบายอนุภาคในแก๊สอุดมคติที่ความเร็วอนุภาคย้ายได้อย่างอิสระภายในภาชนะนิ่งไม่มีการโต้ตอบกับคนอื่น ยกเว้นการชนที่สั้นมากในการที่พวกเขาแลกเปลี่ยนพลังงานและโมเมนตัมกับแต่ละอื่น ๆหรือความร้อนกับสภาพแวดล้อมของพวกเขาอนุภาคในบริบทนี้หมายถึงอนุภาค ( อะตอมหรือโมเลกุลก๊าซ ) และ ระบบอนุภาค คือ สันนิษฐานว่ามีถึงภาวะสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ [ 1 ] ในขณะที่การกระจายเป็นครั้งแรกที่ได้มาโดยแมกซ์เวลล์ในปี 1860 ในการแก้ปัญหาพื้นที่ [ 2 ] ต่อมาดำเนินการสอบสวนรวมสําคัญในการกำเนิดทางกายภาพของการกระจายนี้

อนุภาคความเร็วการแจกแจงความน่าจะเป็นที่บ่งบอกซึ่งความเร็วมีโอกาส : อนุภาคจะมีความเร็วที่เลือกโดยการสุ่มจากการแจกแจง และมีแนวโน้มที่จะเป็นในช่วงหนึ่งจะเร็วกว่าอีก การกระจายขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของระบบและมวลของอนุภาค . [ 3 ] การกระจายแมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์เพื่อใช้กับก๊าซในอุดมคติแบบคลาสสิกซึ่งเป็นแหลกละเอียดของแก๊สจริง ในก๊าซที่แท้จริง มีลักษณะต่างๆ ( เช่น แวนเดอวาลส์ ปฏิสัมพันธ์ ไหลวนจำกัด ความเร็วเชิงสัมพัทธภาพและควอนตัมของตรา ) ที่ทำให้การกระจายความเร็วของพวกเขาบางครั้งแตกต่างจากรูปแบบของแมกซ์เวลล์โบลทซ์มันน์และ . อย่างไรก็ตามก๊าซที่อุณหภูมิปกติทำตัว rarefied มากเกือบเหมือนแก๊สอุดมคติและ Maxwell ความเร็วกระจายเป็นประมาณที่ยอดเยี่ยมสำหรับก๊าซดังกล่าว ดังนั้นจึงเป็นพื้นฐานของทฤษฎีจลน์ของก๊าซ ซึ่งมีตัวย่อคำอธิบายคุณสมบัติของก๊าซพื้นฐานมากมาย รวมถึงความดันและการแพร่กระจาย [ 5 ]