 3(mod 4) xp . Thus, x is odd, the

 3(mod 4) x
p . Thus, x is odd, then  2(mod5) x
p or  3(mod5) x
p . Since 5 0(mod5) 
y
, it follows
that 2
z  2(mod5) or
2
z  3(mod5) . This is a contradiction.
Therefore, by case 1 and 2, the Diophantine equations 2
  5
x y
p z has no non-negative integer
solution if p  3(mod 4) and p  2(mod5).
Theorem 3.4 The Diophantine equations 2
  5
x y
p z where p  3(mod 4) and p  3(mod5), has
no non-negative integer solution.
Proof. Let p be prime number and x, y and z be non-negative integer solutions of 2
  5
x y
p z
Suppose p  3(mod 4) and p  3(mod5).
Case 1: If x or y is zero, then by Lemma 2.2 the Diophantine equations 2
  5
x y
p z has no positive
integer solution. On the other hand, the case z  0 is obviously not possible. Hence, these equations have no
non-negative integer solution.
Case 2: Let x  1 and y 1. Similarly prove to the case 2 in Theorem 3.2 we conclude that the
Diophantine equations 2
  5
x y
p z has no non-negative integer solution if p  3(mod 4) and p  3(mod5)
Therefore, by case 1 and 2, the Diophantine equations 2
  5
x y
p z has no non-negative integer
solution if p  3(mod 4) and p  3(mod5).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

 3 (มด 4) xp ดังนั้น x เป็นคี่ แล้ว 2(mod5) x3(mod5) p หรือ xp ตั้งแต่ 5 0(mod5) yมันตามที่ 2z  2(mod5) หรือ2z  3(mod5) นี่คือความขัดแย้งดังนั้น โดยกรณีที่ 1 และ 2, Diophantine ในสมการ 2 5x yจำนวนเต็มไม่เป็นลบไม่ได้ p zวิธีการแก้ไขปัญหาถ้า p  3 (มด 4) และ p  2(mod5)ทฤษฎีบท 3.4 สมการ Diophantine 2 5x yp z ซึ่ง p  3 (มด 4) และ p  3(mod5) มีแก้ปัญหาจำนวนเต็มไม่เป็นลบไม่หลักฐาน ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ x, y และ z เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบโซลูชัน 2 5x yp zสมมติว่า p  3(mod 4) และ p  3(mod5)กรณีที่ 1: ถ้า x หรือ y เป็นศูนย์ แล้วตามหน่วยการ 2.2 สมการ Diophantine 2 5x yบวกไม่ได้ p zแก้ปัญหาจำนวนเต็ม บนมืออื่น ๆ กรณี z 0 แน่นอนไม่ได้ ดังนั้น ไม่มีสมการเหล่านี้วิธีการแก้ไขปัญหาจำนวนเต็มไม่เป็นลบกรณีที่ 2: ให้ x  1 และ y 1 ในทำนองเดียวกัน พิสูจน์กรณี 2 ในทฤษฎีบท 3.2 เราสรุปได้ว่าการสมการ Diophantine 2 5x yp z มีโซลูชันที่ไม่มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบถ้า p  3 (มด 4) และ p  3(mod5)ดังนั้น โดยกรณีที่ 1 และ 2, Diophantine ในสมการ 2 5x yจำนวนเต็มไม่เป็นลบไม่ได้ p zวิธีการแก้ไขปัญหาถ้า p  3 (มด 4) และ p  3(mod5)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

 3 (4 สมัย) x
P ดังนั้น x เป็นเลขคี่แล้ว 2 (mod5) x
P หรือ 3 (mod5) x
P ตั้งแต่ 5 0 (mod5) 
Y
มันตาม
ที่ 2
Z  2 (mod5) หรือ
2
Z  3 (mod5) นี่คือความขัดแย้ง.
ดังนั้นในกรณีที่ 1 และ 2, Diophantine สม 2
 5
x Y
P Z ไม่มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ
วิธีการแก้ปัญหาถ้า P  3 (4 สมัย) และ P  2 (mod5).
ทฤษฎีบท 3.4 สม Diophantine 2
 5
x Y
P Z ที่ P  3 (4 สมัย) และ P  3 (mod5) ได้
ไม่มีการแก้ปัญหาไม่ใช่จำนวนเต็มลบ.
หลักฐาน โดยสมมติให้ p จำนวนเฉพาะและ X, Y และ Z เป็นโซลูชั่นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ 2
 5
x Y
P Z
P สมมติ 3 (4 สมัย) และ P  3 (mod5).
กรณีที่ 1: ถ้า X หรือ Y เป็นศูนย์ แล้วโดยแทรก 2.2 สมการ Diophantine 2
 5
x Y
P Z ไม่มีบวก
วิธีการแก้ปัญหาจำนวนเต็ม บนมืออื่น ๆ ที่ Z กรณี 0 จะเห็นได้ชัดไม่ได้ ดังนั้นสมการเหล่านี้ไม่ได้มี
การแก้ปัญหาไม่ใช่จำนวนเต็มลบ.
กรณีที่ 2: Let x  1 และ Y 1 ในทำนองเดียวกันพิสูจน์ให้กรณีที่ 2 ในทฤษฎีบท 3.2 เราสรุปได้ว่า
Diophantine สม 2
 5
x Y
P Z มีไม่มีการแก้ปัญหาไม่ใช่จำนวนเต็มลบถ้า P  3 (4 สมัย) และ P  3 (mod5)
ดังนั้นในกรณีที่ 1 และ 2 ที่ Diophantine สม 2
 5
x Y
P Z ไม่มีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ
วิธีการแก้ปัญหาถ้า P  3 (4 สมัย) และ P  3 (mod5)