Definition[edit]A set is a well def

Definition[edit]

A set is a well defined collection of distinct objects. The objects that make up a set (also known as the elements or members of a set) can be anything: numbers, people, letters of the alphabet, other sets, and so on. Georg Cantor, the founder of set theory, gave the following definition of a set at the beginning of his Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:[1]
A set is a gathering together into a whole of definite, distinct objects of our perception [Anschauung] or of our thought – which are called elements of the set.
Sets are conventionally denoted with capital letters. Sets A and B are equal if and only if they have precisely the same elements.[2]
As discussed below, the definition given above turned out to be inadequate for formal mathematics; instead, the notion of a "set" is taken as an undefined primitive in axiomatic set theory, and its properties are defined by the Zermelo–Fraenkel axioms. The most basic properties are that a set "has" elements, and that two sets are equal (one and the same) if and only if every element of one is an element of the other.
Describing sets[edit]

There are two ways of describing, or specifying the members of, a set. One way is by intensional definition, using a rule or semantic description:
A is the set whose members are the first four positive integers.
B is the set of colors of the French flag.
The second way is by extension – that is, listing each member of the set. An extensional definition is denoted by enclosing the list of members in curly brackets:
C = {4, 2, 1, 3}
D = {blue, white, red}.
Every element of a set must be unique; no two members may be identical. (A multiset is a generalized concept of a set that relaxes this criterion.) All set operations preserve this property. The order in which the elements of a set or multiset are listed is irrelevant (unlike for a sequence or tuple). Combining these two ideas into an example
{6, 11} = {11, 6} = {11, 6, 6, 11}
because the extensional specification means merely that each of the elements listed is a member of the set.
For sets with many elements, the enumeration of members can be abbreviated. For instance, the set of the first thousand positive integers may be specified extensionally as:
{1, 2, 3, ..., 1000},
where the ellipsis ("...") indicates that the list continues in the obvious way. Ellipses may also be used where sets have infinitely many members. Thus the set of positive even numbers can be written as {2, 4, 6, 8, ... }.
The notation with braces may also be used in an intensional specification of a set. In this usage, the braces have the meaning "the set of all ...". So, E = {playing card suits} is the set whose four members are ♠, ♦, ♥, and ♣. A more general form of this is set-builder notation, through which, for instance, the set F of the twenty smallest integers that are four less than perfect squares can be denoted:
F = {n2 − 4 : n is an integer; and 0 ≤ n ≤ 19}.
In this notation, the colon (":") means "such that", and the description can be interpreted as "F is the set of all numbers of the form n2 − 4, such that n is a whole number in the range from 0 to 19 inclusive." Sometimes the vertical bar ("|") is used instead of the colon.
One often has the choice of specifying a set intensionally or extensionally. In the examples above, for instance, A = C and B = D.
Membership[edit]

Main article: Element (mathematics)
The key relation between sets is membership – when one set is an element of another. If a is a member of B, this is denoted a ∈ B, while if c is not a member of B then c ∉ B. For example, with respect to the sets A = {1,2,3,4}, B = {blue, white, red}, and F = {n2 − 4 : n is an integer; and 0 ≤ n ≤ 19} defined above,
4 ∈ A and 12 ∈ F; but
9 ∉ F and green ∉ B.
Subsets[edit]
Main article: Subset
If every member of set A is also a member of set B, then A is said to be a subset of B, written A ⊆ B (also pronounced A is contained in B). Equivalently, we can write B ⊇ A, read as B is a superset of A, B includes A, or B contains A. The relationship between sets established by ⊆ is called inclusion or containment.
If A is a subset of, but not equal to, B, then A is called a proper subset of B, written A ⊊ B (A is a proper subset of B) or B ⊋ A (B is a proper superset of A).
Note that the expressions A ⊂ B and B ⊃ A are used differently by different authors; some authors use them to mean the same as A ⊆ B (respectively B ⊇ A), whereas other use them to mean the same as A ⊊ B (respectively B ⊋ A).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำนิยาม [แก้ไข]

ชุดเป็นชุดที่กำหนดไว้อย่างดีของวัตถุที่แตกต่างกัน วัตถุที่ทำขึ้นชุด (หรือเรียกว่าองค์ประกอบหรือสมาชิกของชุด) สามารถเป็นอะไรก็ได้: หมายเลขคนตัวอักษรของตัวอักษรชุดอื่น ๆ และอื่น ๆ georg ต้นเสียงผู้ก่อตั้งทฤษฎีเซตให้นิยามของคำว่าชุดที่จุดเริ่มต้นของการBeiträge zur เขาbegründungเด transfiniten Mengenlehre: [1]
ชุดคือการรวบรวมเข้าด้วยกันเป็นที่ชัดเจนทั้งวัตถุที่แตกต่างของการรับรู้ของเรา [anschauung] หรือความคิดของเรา -. ซึ่งเรียกว่าองค์ประกอบของชุด
ชุดจะแสดงตามอัตภาพด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ . ชุด A และ B มีความเสมอภาคและถ้าหากพวกเขาได้อย่างแม่นยำองค์ประกอบเดียวกัน
ตามที่กล่าวไว้ด้านล่างคำนิยามดังกล่าวข้างต้นเปิด [2] ออกไปจะไม่เพียงพอสำหรับคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการแทนความคิดของ "ตั้ง" จะถูกนำมาเป็นไม่ได้กำหนดดั้งเดิมในการตั้งทฤษฎีซึ่งเป็นจริงและคุณสมบัติของมันจะถูกกำหนดโดยหลักการ zermelo-Fraenkel คุณสมบัติพื้นฐานที่สุดที่ชุด "มี" องค์ประกอบและที่สองชุดที่มีค่าเท่ากัน (หนึ่งเดียวกัน) และถ้าหากองค์ประกอบของทุกคนเป็นองค์ประกอบของอื่น ๆ .
อธิบายชุด [แก้ไข]

มี สองวิธีการอธิบายหรือระบุสมาชิกของชุด วิธีหนึ่งคือการนิยาม intensional ใช้กฎหรือคำอธิบายความหมาย:
เป็นชุดที่มีสมาชิกเป็นครั้งแรกที่สี่จำนวนเต็มบวก
b เป็นชุดของสีของธงชาติฝรั่งเศส
วิธีที่สองคือการขยาย - ที่.. รายชื่อสมาชิกของแต่ละชุด คำนิยาม extensional จะแสดงโดยแนบรายชื่อของสมาชิกที่อยู่ในวงเล็บปีกกา:
c = {4, 2, 1,3}
d = {สีฟ้า, สีขาว, สีแดง}
องค์ประกอบของชุดทุกคนจะต้องไม่ซ้ำกัน. ไม่มีสองสมาชิกอาจจะเหมือนกัน (MultiSet เป็นแนวคิดทั่วไปของการตั้งค่าที่ผ่อนคลายเกณฑ์นี้.) การดำเนินการตั้งค่าทั้งหมดรักษาสถานที่ให้บริการนี​​้ ลำดับที่องค์ประกอบของชุดหรือ MultiSet มีการระบุไว้เป็นที่ไม่เกี่ยวข้อง (ต่างจากการเรียงลำดับหรือ tuple) รวมทั้งสองความคิดเป็นเช่น
{6, 11} = {11, 6} = {116, 6, 11}
เพราะสเปค extensional หมายความเพียงว่าแต่ละองค์ประกอบที่ระบุไว้เป็นสมาชิกของชุด.
สำหรับชุดกับหลายองค์ประกอบนับสมาชิกที่สามารถย่อ ตัวอย่างเช่นชุดแรกพันจำนวนเต็มบวกอาจจะระบุเป็น extensionally:
{1, 2, 3, ... , 1000}
ที่จุดไข่ปลา ("... ") แสดงให้เห็นว่ารายการต่อไปใน วิธีที่ชัดเจนวงรีนอกจากนี้อาจใช้ชุดที่มีสมาชิกมากมายหลาย ดังนั้นชุดของตัวเลขแม้บวกสามารถเขียนเป็น {2, 4, 6, 8, ... }.
สัญกรณ์ด้วยเครื่องหมายวงเล็บอาจถูกนำมาใช้ในสเปคของชุด intensional ในการใช้งานนี้จัดฟันมีความหมาย "ชุดของทุก ... " ดังนั้น, E = {การเล่นที่เหมาะสมกับบัตร} คือชุดที่มีสมาชิกสี่♠, ♦, ♥และ♣รูปแบบทั่วไปมากขึ้นนี้จะสัญกรณ์ตั้งสร้างผ่านที่ตัวอย่างเช่นชุด f ของยี่สิบจำนวนเต็มน้อยที่สุดที่สี่น้อยกว่าสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบที่สามารถแสดง:
f = {n 2 - 4: n เป็นจำนวนเต็ม; . และ 0 ≤ n ≤ 19}
ในสัญกรณ์นี้ลำไส้ใหญ่ (":") หมายถึง "เช่นว่า" และคำอธิบายที่สามารถตีความได้ว่า "เอฟเป็นชุดของตัวเลขทั้งหมดของรูปแบบ n2 - 4,เช่นที่ n คือจำนวนทั้งหมดอยู่ในช่วง 0-19 รวม "บางครั้งแถบแนวตั้ง. (" | "). ถูกนำมาใช้แทนของลำไส้ใหญ่
หนึ่งมักจะมีทางเลือกของการระบุหรือกำหนด intensionally extensionally ในตัวอย่าง. ข้างต้นเช่น c = b และ d =
สมาชิก [แก้ไข]

บทความหลัก. องค์ประกอบ (คณิตศาสตร์)
ความสัมพันธ์ที่สำคัญระหว่างชุดเป็นสมาชิก - เมื่อหนึ่งชุดเป็นองค์ประกอบของอื่น ถ้าเป็นสมาชิกของขนี้จะแสดง∈ B, ในขณะที่ถ้าคไม่ได้เป็นสมาชิกของขแล้วค∉ข ตัวอย่างเช่นที่เกี่ยวกับชุด = {1,2,3,4}, B = {สีฟ้า, สีขาว, สีแดง} และ f = {n 2 - 4: n เป็นจำนวนเต็มและ 0 ≤ n ≤ 19} ที่กำหนดไว้ข้างต้น
4 ∈∈และ 12 ฉ; แต่
9 ฉ∉และสีเขียว∉ b
ย่อย [แก้ไข]
บทความหลัก.ย่อย
ถ้าสมาชิกของชุดทุกยังเป็นสมาชิกของชุดขแล้วบอกว่าจะเป็นชุดย่อยของขเขียน⊆ b (ยังเป็นที่เด่นชัดที่มีอยู่ในข) เท่าที่เราสามารถเขียนข⊇อ่านเป็น b เป็น superset ของขรวมถึง, หรือ b มี ความสัมพันธ์ระหว่างชุดที่จัดตั้งขึ้นโดย⊆ที่เรียกว่าการรวมหรือบรรจุ.
ถ้าเป็นส่วนหนึ่งของ แต่ไม่เท่ากับ b,จากนั้นจะเรียกว่าเซตย่อยที่เหมาะสมของขเขียน⊊ข (เป็นส่วนย่อยที่เหมาะสมของข) หรือ b ⊋ (ขเป็น superset เหมาะสมของ).
ทราบว่าสำนวน b และ b ⊂⊃เป็น ใช้แตกต่างกันโดยผู้เขียนที่แตกต่างกันบางคนเขียนใช้พวกเขาในความหมายเดียวกับ⊆ข (ตามลำดับข⊇) ในขณะที่คนอื่น ๆ ใช้พวกเขาในความหมายเดียวกับ⊊ b (b ⊋ตามลำดับ)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

[แก้ไข] นิยาม

ชุดเป็นชุดของวัตถุทั้งหมดที่กำหนดไว้ วัตถุที่ประกอบขึ้นเป็นชุด (หรือที่เรียกว่าองค์ประกอบหรือสมาชิกของชุด) สามารถเป็นอะไรก็ได้: หมายเลข คน ตัวอักษร ชุดอื่น ๆ และอื่น ๆ จอร์จคันทอร์ ผู้ก่อตั้งทฤษฎีเซต ให้คำนิยามต่อไปนี้ชุดของเขา Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre: [1]
รวบรวมกันไปทั้งหมดแน่นอน แตกต่างวัตถุ ของการรับรู้ของเรา [Anschauung] หรือ ความ คิดของเรา – ซึ่งเรียกว่าองค์ประกอบของชุดเป็นชุด
ชุดดี denoted ด้วยตัวอักษรตัวใหญ่ ชุด A และ B เท่ากันถ้าและเดียวถ้ามีองค์ประกอบเหมือนกันทุกประการ[2]
ตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง คำนิยามที่ให้ไว้ข้างต้นกลายเป็นไม่เพียงพอสำหรับทางคณิตศาสตร์ แทน แนวคิดของ "ชุด" จะมาเป็นกับขึ้นไม่มีในทฤษฎีเซต axiomatic และกำหนดคุณสมบัติ โดยสัจพจน์ Zermelo–Fraenkel คุณสมบัติพื้นฐานว่า ชุด "มี" องค์ประกอบ และที่สองชุดจะเท่า (เดียว) ถ้าและเพียงแต่ว่าทุกองค์ประกอบของ องค์ประกอบอื่น ๆ ของการ
อธิบายชุด [แก้ไข]

มีสองวิธีในการอธิบาย หรือระบุสมาชิกของ ชุด ทางเดียวคือ โดยนิยาม intensional การใช้กฎหรืออธิบายความหมาย:
เป็นชุดที่มีสมาชิกอยู่ห้าบวกเต็ม
B คือ ชุดของสีของฝรั่งเศสธง
วิธีที่สองคือ โดยนามสกุล – คือ รายการกรรมการแต่ละชุด สามารถระบุข้อกำหนด extensional ด้วยรายชื่อของสมาชิกในวงเล็บหยัก:
C = {4, 2, 1 3 }
D = {สีฟ้า สีขาว สีแดง} .
ทุกองค์ประกอบของชุดต้องไม่ซ้ำกัน สมาชิกสองไม่ได้เหมือนกัน (ชุดหลายชุดที่เป็นแนวคิดเมจแบบทั่วไปของชุดที่ผ่อนเกณฑ์นี้) ดำเนินการตั้งค่าทั้งหมดเก็บรักษาคุณสมบัตินี้ ใบสั่งจะแสดงองค์ประกอบของชุดหรือชุดหลายชุดที่มีความเกี่ยวข้อง (ซึ่งแตกต่างจากลำดับหรือทูเพิล) รวมความคิดที่สองเหล่านี้เป็นตัวอย่าง
{6, 11 } = {11, 6 } = {11 6, 6, 11 }
เนื่องจากสเปค extensional หมาย เพียงแต่ละองค์ประกอบแสดงสมาชิกของชุด
สำหรับชุดมีองค์ประกอบจำนวนมาก สามารถ abbreviated แจงนับสมาชิก ตัวอย่าง ชุดของจำนวนเต็มบวกก่อนพันอาจระบุ extensionally เป็น:
{ 1, 2, 3,..., 1000 },
ที่จุดไข่ปลา ("...") บ่งชี้ว่า รายการยังคงแบบชัดเจนได้ นอกจากนี้ยังสามารถใช้รูปวงรีที่ชุดมีจำนวนสมาชิกมากเพียง ดังนั้น สามารถเขียนชุดคู่บวกเป็น {2, 4, 6, 8,...}
สัญลักษณ์ ด้วยวงเล็บปีกกาอาจใช้ในการระบุชุดการ intensional ในการใช้นี้ วงเล็บมีความหมาย "ตั้งของ..." ดังนั้น E = {เล่นชุดบัตร} คือ ชุดที่มีสมาชิกสี่คือ ♠ ♦ ♥ และ♣ แบบทั่วไปนี้เป็นตัวสร้างชุดบันทึก ที่ เช่น F ตั้งค่าจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดยี่สิบที่มีสี่น้อยกว่าสมบูรณ์แบบสี่เหลี่ยมสามารถแทน:
F = { n2 − 4: n เป็นเลขจำนวนเต็ม และ 0 ≤ n ≤ 19 } .
ในสัญกรณ์นี้ คู่ (": ") หมายถึง "ที่" และคำอธิบายที่สามารถแปลเป็น " F คือ ชุดของตัวเลขทั้งหมดของ−ฟอร์ม n2 ที่ 4, ให้ n เป็นจำนวนเต็มในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 19 รวม" บางครั้งแถบแนวตั้ง (" | ") ถูกใช้แทนโคลอน
หนึ่งมักจะมีความหลากหลายในการระบุชุด intensionally หรือ extensionally ในตัวอย่างข้างต้น เช่น A = C และ B = D.
สมาชิก [แก้ไข]

บทความหลัก: องค์ประกอบ (คณิตศาสตร์)
ความสัมพันธ์ที่สำคัญระหว่างชุดเป็นสมาชิก – เมื่อจากกัน องค์ประกอบอื่น ถ้าเป็นเป็นสมาชิกของ B นี้จะสามารถบุ a ∈ B ในขณะที่ถ้า c ไม่ได้เป็นสมาชิกของ B แล้ว c ∉ B. ตัวอย่าง กับ A ชุด = { 1,2,3,4 } B = {สีฟ้า สีขาว สีแดง}, และ F = { n2 − 4: n เป็นเลขจำนวนเต็ม และ 0 ≤ n ≤ 19 } กำหนดข้าง,
4 ∈ A และ 12 ∈ F แต่
9 ∉ F และกรี∉ B.
ย่อย [แก้ไข]
บทความหลัก: ย่อย
ถ้าทุกสมาชิกของ A เป็นสมาชิกของชุดเซ็ต B แล้ว A ว่า เป็น เซตย่อยของ B เขียน⊆ B (ออกยังเสียง A อยู่ใน B) Equivalently เราสามารถเขียน B ⊇ A อ่านเป็น B ประจำของ A, B มี A หรือ B ประกอบด้วยอ. เรียกว่าความสัมพันธ์ระหว่างชุดที่ตั้งขึ้น โดย⊆รวมหรือบรรจุ
ถ้า A เป็นเซตย่อย ของ แต่ไม่เท่ากับ B แล้ว A คือเซตย่อยของ B เขียน⊊ B เหมาะสม (A เป็นเซตย่อยของ B เหมาะสม) หรือ B ⊋ A (B คือ ประจำที่เหมาะสมของ A) .
หมายเหตุว่า ⊂นิพจน์ A B และ B ⊃ A ใช้แตกต่างกัน โดยผู้เขียนแตกต่างกัน ผู้เขียนบางใช้เพื่อหมายถึง เหมือน⊆ B (ตามลำดับ B ⊇ A), ในขณะที่อื่น ๆ ใช้เพื่อหมายถึง เหมือน⊊ B (ตามลำดับ B ⊋ A)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

High Definition [แก้ไข]ตั้งค่า

เป็นคอลเลคชั่นกำหนดอย่างดีของวัตถุที่แตกต่างกัน สิ่งที่ทำให้ขึ้นมาชุดหนึ่ง(นอกจากนั้นยังรู้จักกันในชื่อที่เป็นส่วนประกอบหรือสมาชิกในการตั้งค่าที่จะได้หมายเลขอะไรประชาชนตัวอักษรของตัวอักษรตัวที่ตั้งค่าอื่นๆและใน เขตพื้นที่ St Georg ยัง cantor ผู้ก่อตั้งทฤษฎีตั้งค่าทำให้ความละเอียดต่อไปนี้ในการตั้งค่าที่ที่ตอนต้นของศูร์ beiträge ของเขา begründung เดอร์ transfiniten mengenlehre :[ 1 ],
ตั้งค่าที่มีการเก็บรวบรวมไว้ด้วยกันที่ไปสู่ทั้งของวัตถุที่แตกต่างกันอย่างชัดเจนในการรับรู้ของเรา[ anschauung ]หรือความคิดของเรา - ซึ่งเรียกกันว่าองค์ประกอบของตั้งค่า.
ชุดที่ได้รับโดยธรรมเนียมปฏิบัติที่มีผู้อุทิศให้กับตัวพิมพ์ใหญ่ ตั้งค่า A และ B มีจำนวนเท่ากับจำนวนหากและเท่านั้นหากพวกเขาได้อย่างแม่นยำได้เหมือนกับองค์ประกอบ.[ 2 ],
ตามที่อธิบายไว้ด้านล่างความละเอียดที่ให้ไว้ด้านบนออกไปได้ไม่เพียงพอสำหรับนำมาคำนวณอย่างเป็นทางการแทนความคิดที่จะ"ตั้ง"เป็นไปไม่ได้กำหนดเป็นแบบดั้งเดิมที่อยู่ในทฤษฎีตั้งค่าที่เห็นได้โดยง่ายและคุณสมบัติของโรงแรมมีที่กำหนดโดยไม่ต้องพิสูจน์) zermelo-fraenkel ได้ มากที่สุดคุณสมบัติขั้นพื้นฐานที่มีที่ตั้งอยู่ที่"มี"องค์ประกอบและที่สองชุดมีเท่ากัน(เป็นหนึ่งเดียวกันและได้)หากและเท่านั้นหากทุกองค์ประกอบของหนึ่งในนั้นคือส่วนของชุดที่อธิบายถึงอื่น.
[แก้ไข]

มีสองวิธีของอธิบายหรือการระบุว่าสมาชิกของชุด. วิธีหนึ่งคือโดย intensional High Definition ,โดยใช้กฎข้อที่หรือเกี่ยวกับความหมายของคำคำอธิบาย:
เป็นที่ตั้งไว้ซึ่งสมาชิกได้สี่ครั้งแรกในเชิงบวก integers .
B เป็นที่ตั้งของสีของฝรั่งเศสธง.
ที่สองทางคือทางการขยายที่มีรายชื่อสมาชิกแต่ละท่านของที่ตั้งค่าไว้. High Definition extensional เป็นรายการที่มีผู้อุทิศให้ด้วยการใส่เครื่องหมายวงเล็บที่สมาชิกในผมไม่ลีบแบนลอนผมดัดตัวยึด:
c ={ 4213 }
D ={}สีฟ้าสีขาวสีแดง..
ทุกองค์ประกอบของชุดจะต้องไม่ซ้ำกันไม่มีสองสมาชิกอาจจะเหมือนกัน ( multiset ที่มีแนวความคิดโดยทั่วไปของชุดที่ผ่อนคลายเกณฑ์นี้)การตั้งค่าทั้งหมดรักษาที่พักแห่งนี้ การสั่งซื้อที่องค์ประกอบของ multiset หรือตั้งค่าที่อยู่ในรายการไม่มี(ไม่เหมือนกับสำหรับ tuple หรือตามลำดับ) ทั้งสองแนวคิดเหล่านี้ไปตัวอย่างเช่น
{ 6 }={ 11116 }={ 116611 }
เนื่องจากข้อมูลจำเพาะ extensional ซึ่งหมายความว่าเป็นเพียงส่วนประกอบที่แต่ละรายการเป็นสมาชิกของชุด.
สำหรับตั้งค่าพร้อมด้วยส่วนประกอบจำนวนมากระบุของสมาชิกจะได้เป็นตัวย่อ. ตัวอย่างเช่น,ที่ตั้งของที่แรกพันในเชิงบวก integers อาจต้องระบุ extensionally เป็น:
{ 1 , 2 , 3 ,..., 1000 },
ที่เครื่องหมายแสดงว่ามีต่อกับ...")จะระบุว่ารายการยังคงอยู่ในที่ที่เห็นได้ชัดทาง.เหนียวอาจจะใช้ชุดที่มีสมาชิกจำนวนมากยังไม่สิ้นสุด จึงได้ทำการตั้งของตัวเลขจำนวนบวกแม้จะสามารถเขียนเป็น{ 2468 }เครื่องหมาย
ที่พร้อมด้วยเชือกโยงอาจจะใช้ในข้อมูลจำเพาะของ intensional ที่ตั้งค่าได้ด้วย ในการใช้งานนี้วงเล็บที่มีความหมายที่"ตั้งค่าของทั้งหมด" E ={}เหมาะกับการเล่นการ์ดเป็นชุดที่มีสี่สมาชิก ♠ ♦♥และสอดคล้องตาม♣.ที่ทั่วไปมากกว่ารูปแบบของโรงแรมแห่งนี้มีการตั้งค่า - ผู้สร้างชื่อเสียง,ผ่านซึ่งเป็นที่ตั้งค่า F ของที่มีขนาดเล็กที่สุด integers ยี่สิบสี่ที่มีน้อยกว่าสมบรูณ์แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถที่มีผู้อุทิศให้:
F ={ N 2 - 4 : N เป็นจำนวนเต็มและ 0 :≤ N :≤ 19 }
ในรูปแบบนี้,ที่โคลอน(":")หมายถึง"ที่",และรายละเอียดจะสามารถได้รับการตีความเป็น" F เป็นที่ตั้งของห้องพักทั้งหมดหมายเลขของรูปแบบ N 2 - 4 ,เช่นที่ n คือจำนวนทั้งหมดในพื้นที่ที่จาก 0 ถึง 19 แบบครบวงจร"บางครั้งที่บาร์ในแนวตั้ง("|")แทนการใช้ที่ลำไส้ใหญ่.
เรามักจะมีทางเลือกของการระบุที่ตั้งค่า intensionally หรือ extensionally . ในตัวอย่างข้างต้นสำหรับตัวอย่างเช่น= c และ B = D .
การเป็นสมาชิก[แก้ไข]ที่

ข้อหลักส่วน(คณิตศาสตร์)
ความสัมพันธ์ระหว่างชุดคือการเป็นสมาชิก–เมื่อชุดหนึ่งเป็นของอีกคนหนึ่ง หากที่อยู่ซึ่งเป็นสมาชิกของ B ,โรงแรมแห่งนี้คือที่ที่มีผู้อุทิศให้∈ B ,ในขณะที่ถ้าการเชื่อมต่อระหว่าง C เป็นสมาชิกของ B และ C ∉ B .ตัวอย่างเช่นในชุด A ={ 1,2,3,4 }, B ={สีฟ้า,สีขาว,สีแดง, time , long },และ F ={ N 2 - 4 : N เป็นจำนวนเต็มและ 0 :≤ N :≤ 19 }กำหนด,
4 ∈และ 12 ∈ F ;แต่
9 ∉ F และสีเขียว∉ B .
ย่อย[แก้ไข]
หลักข้อ:ย่อย
หากสมาชิกทุกท่านของที่ตั้งอยู่นอกจากนั้นยังเป็นสมาชิกของ B ตั้งค่าแล้วที่ได้รับการกล่าวว่าบางส่วนที่เป็นลายลักษณ์อักษร⊆ B (ที่มีอยู่ใน B ) อย่างทัดเทียมหรือไม่เราสามารถเขียน B ⊇ที่อ่านเป็น B คือ superset ของ A , B ประกอบด้วย A หรือ B ประกอบด้วย a .ความสัมพันธ์ระหว่างตั้งค่าจัดตั้งขึ้นโดย⊆เรียกว่าแก้ไขปัญหาหรือการรวม.
ถ้าเป็นชุดย่อยของแต่ไม่เท่ากับ Bแล้วที่มีชื่อว่าที่ที่เหมาะสมส่วนย่อยของ B ,เป็นลายลักษณ์อักษร⊊ B (ที่เป็นที่ที่เหมาะสมส่วนย่อยของ B )หรือ B ⊋( B คือที่ที่เหมาะสม superset ของ). n บันทึกไว้ด้วยว่าสำนวนที่⊂ B และ B ⊃ที่มีการใช้อย่างแตกต่างกันไปโดยผู้เขียนแตกต่างกัน;บางส่วนผู้เขียนใช้ได้ในความหมายเหมือนกันเป็น⊆ B (ตามลำดับ B ⊇),ในขณะที่อื่นๆใช้ให้ความหมายเหมือนกันเป็น⊊ B (ตามลำดับ B ⊋)