Further, we show that our function

Further, we show that our function satisfies several recurrence relations.
The relationship of our counting function with different classes of integers is then examined. These classes include: different kind of figurate numbers, the number of points on the surface of a square pyramid, the magic constants, the truncated square numbers, the coefficients of the Chebyshev polynomials, the Catalan numbers, the Dellanoy numbers, the Sulanke numbers, the numbers of the coordination sequences, and the number of the crystal ball sequences of a cubic lattice.
In the last part of the paper, we prove that several configurations are counted by our function. Some of these are: the number of spanning subgraphs of the complete bipartite graph, the number of square containing in a square, the number of coloring's of points on a line, the number of divisors of some particular numbers, the number of all parts in the compositions of an integer, the numbers of the weak compositions of integers, and the number of particular lattice paths.
We conclude by counting the number of possible moves of the rook, bishop, and queen on a chessboard.
The most statements in the paper are provided by bijective proofs in terms of insets, which are defined in the paper. With this we want to show that different configurations may be counted by the same method.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ต่อไป เราแสดงว่า ฟังก์ชันของเราตอบสนองสัมพันธ์ประจำหลาย แล้วมีการตรวจสอบความสัมพันธ์ของฟังก์ชั่นเรานับชั้นแตกต่างกันของจำนวนเต็ม คลาสที่เหล่านี้รวมถึง: หมายเลข figurate จำนวนของจุดบนพื้นผิวของพีระมิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส คงวิเศษ หมายเลขตารางตัด สัมประสิทธิ์ Chebyshev polynomials หมายเลขคาตาลัน หมายเลข Dellanoy, Sulanke หมายเลข หมายเลขลำดับการประสานงาน และจำนวนของลำดับลูกบอลคริสตัลของตาข่ายลูกบาศก์ที่แตกในส่วนท้ายของกระดาษ เราพิสูจน์ว่า หลายโครงแบบจะถูกนับตามหน้าที่ของเรา บางส่วนมี: จำนวนขยาย subgraphs กราฟสองส่วนบริบูรณ์สมบูรณ์ หมายเลขของตารางที่ประกอบด้วยในตาราง สีของจุดบนเส้นจำนวน เลขตัวหารของตัวเลขเฉพาะ จำนวนชิ้นส่วนทั้งหมดในองค์ประกอบของจำนวนเต็ม หมายเลขขององค์ประกอบอ่อนจำนวนเต็ม และจำนวนของเส้นทางโดยเฉพาะตาข่าย เราสรุป โดยการนับจำนวนการเคลื่อนไหวเป็นไป ของโกง บิชอป ราชินีบนกระดานหมากรุกในการ งบมากที่สุดในกระดาษโดย bijective ปรู๊ฟในแง่ insets ซึ่งกำหนดไว้ในกระดาษ นี้ เราต้องแสดงว่า อาจนับค่าแตกต่างกัน โดยวิธีการเดียวกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นอกจากนี้เราแสดงให้เห็นว่าการทำงานของเราตอบสนองความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นอีกหลาย.
ความสัมพันธ์ของฟังก์ชั่นการนับของเรากับการเรียนที่แตกต่างกันของจำนวนเต็มคือการตรวจสอบแล้ว ชั้นเรียนเหล่านี้รวมถึง: ชนิดที่แตกต่างของตัวเลข figurate จำนวนของจุดบนพื้นผิวของพีระมิดตารางที่คงความมหัศจรรย์หมายเลขตารางที่ถูกตัดทอนค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามเซฟที่หมายเลขคาตาลัน, ตัวเลข Dellanoy หมายเลข Sulanke, ตัวเลขของลำดับการประสานงานและจำนวนของลำดับลูกบอลคริสตัลของตาข่ายลูกบาศก์.
ในส่วนสุดท้ายของกระดาษที่เราพิสูจน์ให้เห็นว่าการกำหนดค่าต่างๆที่มีการนับโดยฟังก์ชั่นของเรา บางส่วนของเหล่านี้คือ: จำนวนของทอด subgraphs ของฝ่ายกราฟสมบูรณ์จำนวนของตารางที่มีในตารางจำนวนสีของจุดบนเส้นจำนวนของตัวหารของตัวเลขโดยเฉพาะอย่างยิ่งบางจำนวนของชิ้นส่วนทั้งหมดที่อยู่ใน องค์ประกอบของจำนวนเต็มตัวเลขขององค์ประกอบที่อ่อนแอของจำนวนเต็มและจำนวนของเส้นทางตาข่ายโดยเฉพาะอย่างยิ่ง.
เราสรุปได้โดยการนับจำนวนของการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ของการโกงที่บาทหลวงและพระราชินีบนกระดานหมากรุก.
งบมากที่สุดในกระดาษ ที่ให้บริการโดยพิสูจน์ bijective ในแง่ของความขุ่นซึ่งมีการกำหนดไว้ในกระดาษ ด้วยเหตุนี้เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าการกำหนดค่าที่แตกต่างกันอาจจะนับโดยวิธีการเดียวกัน