Corollary 12. As P varies on the ci

Corollary 12. As P varies on the circumcircle of Δ then the family of conics KΔ,P
is Poncelet’s pencil for Δ.
Proof. Given a conic in Poncelet’s pencil let P be the antipodal to its circumcircle
point then by the Theorem above this conic is KΔ,P . 
Corollary 13. The conic KΔ,P is tangent to the circumcircle iff P is antipodal to
a vertex of Δ.
Proof. The circumcircle is tangent to K iff the circumcircle point H1 is a vertex of
the triangle iff (Corollary 4 ) P is antipodal to a vertex of Δ. 
Theorem 14. Suppose P lies on the circumcircle of Δ. The reflections of P in the
sides of Δ lie on a line M parallel to the line L, the isogonal transform of KΔ,P .
This line M is also parallel to the Wallace-Simson line of P and passes through
H. Thus L = σG,−1
2
(M).
Proof. This follows immediately from Corollary 7 of [2] since P is antipodal the
circumcircle point H1. The second and third statements follow from Theorems 5,
6 of [2]. Also since M passes through H, then σG,−1
2
(M) passes through O since
σG,−1
2
(H)= O and thus L = σG,−1
2
(M). 


ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

12. ผลที่แตกต่างกันไปในฐานะที่เป็น P ใน circumcircle ของΔแล้วครอบครัวของ conics KΔ, P
คือดินสอ Poncelet สำหรับΔ.
หลักฐาน กำหนดรูปกรวยดินสอ Poncelet ของให้ P เป็นตรงกันข้ามกับเท้าเพื่อ circumcircle
ของจุดแล้วโดยทฤษฎีดังกล่าวข้างต้นมีรูปกรวยนี้KΔพี ?
ควันหลง 13 KΔรูปกรวย, P สัมผัสกันไป circumcircle IFF P
จะตรงกันข้ามกับเท้าไปยังจุดสุดยอดของΔได้.
หลักฐาน circumcircle สัมผัสกันไป K สมมุติแค่สมมุติจุด circumcircle H1
เป็นจุดสุดยอดของสามเหลี่ยมสมมุติแค่สมมุติ(ควันหลง 4) P นั้นตรงกันข้ามกับเท้าไปยังจุดสุดยอดของΔ ?
ทฤษฎีบท 14. สมมติว่า P อยู่บน circumcircle ของΔ อีกชั้น ections ของ P
ในด้านของความเท็จΔบนเส้นM ขนานไปกับเส้น L ที่ isogonal เปลี่ยนของKΔพี.
สาย M นี้ยังเป็นที่ขนานไปกับเส้นวอลเลซ Simson ของ P
และผ่านเอช ดังนั้น L = σG, -1
2
(M).
หลักฐาน นี้ตามทันทีจากควันหลง 7 [2] ตั้งแต่ P
นั้นตรงกันข้ามกับเท้าจุดcircumcircle H1 งบที่สองและสามตามมาจากทฤษฎีบท 5,
6 [2] นอกจากนี้ตั้งแต่ M ผ่าน H แล้วσG, -1
2
(M)
ผ่านโอตั้งแต่σG, -1
2
(H) = O และจึง L = σG, -1
2
(M)
??

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ควันหลง 12 เป็น P แตกต่างกันไปใน circumcircle ของΔแล้วครอบครัวของภาคตัดกรวย K Δ p
เป็นดินสอ poncelet สำหรับΔ .
พิสูจน์ ได้รับ poncelet เป็นรูปกรวยในดินสอให้ p เป็นแอนติโพแดลจุด circumcircle
ของมันแล้วโดยทฤษฎีบทข้างต้นนี้มีรูปกรวยเป็นΔ K , P . 
ควันหลง 13 การΔ K รูปกรวย , P คือสัมผัสกับ circumcircle IFF P เป็นจุดยอดของΔแอนติโพแดล

.
พิสูจน์การ circumcircle คือแทนเจนต์ K IFF ที่ circumcircle จุด H1 เป็นจุดยอดของสามเหลี่ยม IFF ( ควันหลง
4 ) P เป็นแอนติโพแดลกับจุดสุดยอดของΔ . 
ทฤษฎีบท 14 สมมติว่า P อยู่ใน circumcircle ของΔ . Re fl ections P ใน
ข้างΔนอนบนสาย M ขนานกับเส้นผม , isogonal แปลงΔ k , P .
สาย M ยังขนานกับวอลเลซ ซิมสันสาย P และผ่าน
hดังนั้นฉัน = σ G − 1
2
( M )
พิสูจน์ นี้ต่อไปนี้ทันทีจากควันหลง 7 [ 2 ] เพราะ P เป็นแอนติโพแดล
circumcircle จุด H1 . ข้อที่สอง และที่สามตามมาจากทฤษฎีบท 5
6 [ 2 ] นอกจากนี้ตั้งแต่ M ผ่าน H แล้วσ G − 1
2
( M ) ผ่าน O เนื่องจาก
σ G − 1
2
( H ) = O และดังนั้นฉัน = σ G − 1
2
( M )