13. Looking back. Even fairly good

13. Looking back. Even fairly good students, when they have obtained the solution of the problem and written down neatly the argument, shut their books and look for something else. Doing so, they miss an important and instructive phase of the work. By looking back at the completed solution, by reconsidering and reexamining the result and the path that led to it, they could consoli-

date their knowledge and develop their ability to solve problems. A good teacher should understand and impress on his students the view that no problem whatever is completely exhausted. There remains always something to do; with sufficient study and peneuation, we could improve and, in any we can always improve our understanding of the solution.
The student has now carried through his plan. He has written down the solution, checking each step. Thus, he should have good reasons to believe that his solution is correct. Nevertheless, errors are always possible, especially if the argument is long and involved. Hence, verifications are desirable. Especially, if there is some rapid and in- tuitive procedure to test either the result or the argument, it should not be overlooked. Can you check the Tesult? Can you check the argument?
In order to convince ourselves of the presence or of the quality of an object, we like to see and to touch it. And e prefer perception through two different senses, so e prefer conviction by two different proofs: Can you derive the result diferently? We prefer, of course, a short and intuitive argument to a long and heavy one: Can you see it at a glance?

One of the first and foremost duties of the teacher is not to give his students the impression that mathematical problems have little connection with each other, and no connection at all with anything else. We have a natural investigate the connections of a problem opportunity to when looking back a its solution. The students will find looking back at the solution really interesting if they have made an honest effort, and have the consciousness of having done well. Then they are eager to see what else they could accomplish with that effort, and how they could do equally well another time. The teacher should encourage the students to imagine cases in which they

could utilize again the procedure used, or apply the result obtained. Can you use the result, or the method, for some other problem?
14. Example. In section 12, the students finally obtained the solution: If the three edges of a rectangular parallelogram, issued from the same corner, are a, b, c, the diagonal is Can you check the result? The teacher cannot expect a good answer to this question from inexperienced stu- dents. The students, however, should acquire fairly early the experience that problems"in letters" have a great advantage over purely numerical problems; if the prob- lem is given"in letters" its result is accessible to several tests to which a problem in numbers" is not susceptible at all. Our example, although fairly simple, is sufhcient to show this. The teacher can ask several questions about the result which the students may readily answer with"Yes"; but an answer"No" would show a serious flaw in the result. "Did you use all the data? Do all the data a, b, c appear in your formula for the diagonal?" "Length, width, and height play the same role in our question; our problem is symmetric with respect to a, b, c Is the expression you obtained for the diagonal sym- metric in a, b, c? Does it remain unchanged when a, b c are interchanged?" "Our problem is a problem of solid geometry: to find the diagonal of a parallelepiped with given dimensions a, b, c, our problem is analogous to a problem of plane geometry: to find the diagonal of a rectangle with given dimensions a, b. Is the result of our'solid' problem anal- ogous to the result of the'plane' problem?" "If the height c decreases, and finally vanishes, the

parallelepiped becomes a parallelogram. If you put c o n your formula, do you obtain the correct formula for the diagonal of the rectangular parallelogram?
"If the height c increases, the diagonal inaeases. Does your formula show this?"
"if all three measures a, b, c of the parallelepiped in- crease in the same proportion, the diagonal also increases in the same proportion. If, in your formula, you substi- tute 12a, 12b, 12c for a, b, c respectively, the expression of the diagonal, owing to this substitution, should also be multiplied by 12. Is that so?"
If a, b, c are measured in feet, your formula gives the diagonal measured in feet too; but if you change all meas ures into inches, the formula should remain correct. Is that so?"
(The two last questions are essentially equivalent; see TEST BY DIMENSION.)
These questions have several good effects. First, an intelligent student cannot help being impressed by the fact that the formula passes so many tests. He was convinced before that the formula is correct because he derived it carefully. But now he is more convinced, and his gain in confidence comes from a different source; it is due to a sort of evidence." to the foregoing questions, the details of the formula acquire new significance, and are linked up with various facts. The formula has therefore a better chance of being re membered, the knowledge of the student is consolidated. Finally, these questions can be easily transferred to similar problems. After some experience with similar problems, an intelligent student may perceive the underlying general ideas: use of all relevant data, variation of the data, symmetry, analogy. If he gets into the of directing his attention to such points, his ability to solve problems may definitely profit.

Can you check the argument? To recheck the argument step by step may be necessary in difficult and important cases. Usually, it is enough to pick out"touchy" points for rechecking. In our case, it may be advisable to discuss retrospectively the question which was less advisable to discuss as the solution was not yet attained: Can you prove that the triangle with sides x, y, c is a right triangle? (See the end of section 12) Can you use the result or the method for some other problem? With a little encouragement, and after one or two examples, the students easily find applications which consist essentially in giving some concrete interpretation to the abstract mathematical elements of the problem. The teacher himself used such a concrete interpretation s he took the room in which the discussion takes place for the parallelepiped of the problem. A dull student may propose, as application, to calculate the diagonal of the cafeteria instead of the diagonal of the classroom. If the students do not volunteer more imaginative remarks, the teacher himself may put a slightly different problem, for instance: "Being given the length, the width, and the height of a rectangular parallelepiped, find the distance of the center from one of the corners." The students may use the Tesult of the problem they just solved, observing that the distance required is one half of the diagonal they just calculated. Or they may use the method, introducing suitable right triangles(the latter alternative is less obvious and somewhat more clumsy in the present case) After this application, the teacher may discuss the configuration of the four diagonals of the parallelepiped, and the six pyramids of which the six faces are the bases, the center the common vertex, and the semidiagonals the lateral edges, When the geometric imagination of the students is sufficiently enlivened, the teacher should come

back to his question: can you use the result, or the method, for some other problemr Now there is a better chance that the students may find some more interesting concrete interpretation, for instance, the following:
"In the center of the flat rectangular top of a building hich is 21 yards long and 16 yards wide, a flagpole is erected, 8 yards high. To support the pole, we need tour equal cables. The cables should start from the same point, 2 yards under the top of the pole, and end at the tour corners of the top of the building. How long is each cable?"
The students may use the method of the problem they solved in detail introducing a right triangle in a vertical plane, and another one in a horizontal plane. Or they may use the result, imagining a rectangular parallele piped of which the diagonal, x, is one of the four cables and the edges are
By straightforward application of the formula, x =14.5.
For more examples, see CAN You USE THE RESULT?
15.Various approaches. Let us still retain, for a while, the problem we considered in the foregoing sections 8, 10, 12, 14. The main work, the discovery of the plan, was described in section 10. Let us observe that the teacher could have proceeded differently. Starting from the same point as in section 10, he could have followed a somewhat different line, asking the following questions
"Do you know any related problem?"
"Do you know an analogous problem?"
"You see, the proposed problem is a problem of solid geometry. Could you think of a simpler analogous prob lem of plane geometry?"
"You see, the proposed problem is about a figure in space, it is concerned with the diagonal of a rectangular

parallelepiped. What might be an analogous problem about a figure in the plane? It should be concerned with-the diagonal-of-a rectangular "Parallelogram."
The students, even if they are very slow and indifferent,

date their knowledge and develop their ability to solve problems. A good teacher should understand and impress on his students the view that no problem whatever is completely exhausted. There remains always something to do; with sufficient study and peneuation, we could improve and, in any we can always improve our understanding of the solution. 
 The student has now carried through his plan. He has written down the solution, checking each step. Thus, he should have good reasons to believe that his solution is correct. Nevertheless, errors are always possible, especially if the argument is long and involved. Hence, verifications are desirable. Especially, if there is some rapid and in- tuitive procedure to test either the result or the argument, it should not be overlooked. Can you check the Tesult? Can you check the argument? 
 In order to convince ourselves of the presence or of the quality of an object, we like to see and to touch it. And e prefer perception through two different senses, so e prefer conviction by two different proofs: Can you derive the result diferently? We prefer, of course, a short and intuitive argument to a long and heavy one: Can you see it at a glance?

One of the first and foremost duties of the teacher is not to give his students the impression that mathematical problems have little connection with each other, and no connection at all with anything else. We have a natural investigate the connections of a problem opportunity to when looking back a its solution. The students will find looking back at the solution really interesting if they have made an honest effort, and have the consciousness of having done well. Then they are eager to see what else they could accomplish with that effort, and how they could do equally well another time. The teacher should encourage the students to imagine cases in which they

could utilize again the procedure used, or apply the result obtained. Can you use the result, or the method, for some other problem?
 14. Example. In section 12, the students finally obtained the solution: If the three edges of a rectangular parallelogram, issued from the same corner, are a, b, c, the diagonal is Can you check the result? The teacher cannot expect a good answer to this question from inexperienced stu- dents. The students, however, should acquire fairly early the experience that problems"in letters" have a great advantage over purely numerical problems; if the prob- lem is given"in letters" its result is accessible to several tests to which a problem in numbers" is not susceptible at all. Our example, although fairly simple, is sufhcient to show this. The teacher can ask several questions about the result which the students may readily answer with"Yes"; but an answer"No" would show a serious flaw in the result. "Did you use all the data? Do all the data a, b, c appear in your formula for the diagonal?" "Length, width, and height play the same role in our question; our problem is symmetric with respect to a, b, c Is the expression you obtained for the diagonal sym- metric in a, b, c? Does it remain unchanged when a, b c are interchanged?" "Our problem is a problem of solid geometry: to find the diagonal of a parallelepiped with given dimensions a, b, c, our problem is analogous to a problem of plane geometry: to find the diagonal of a rectangle with given dimensions a, b. Is the result of our'solid' problem anal- ogous to the result of the'plane' problem?" "If the height c decreases, and finally vanishes, the

parallelepiped becomes a parallelogram. If you put c o n your formula, do you obtain the correct formula for the diagonal of the rectangular parallelogram? 
 "If the height c increases, the diagonal inaeases. Does your formula show this?" 
 "if all three measures a, b, c of the parallelepiped in- crease in the same proportion, the diagonal also increases in the same proportion. If, in your formula, you substi- tute 12a, 12b, 12c for a, b, c respectively, the expression of the diagonal, owing to this substitution, should also be multiplied by 12. Is that so?" 
 If a, b, c are measured in feet, your formula gives the diagonal measured in feet too; but if you change all meas ures into inches, the formula should remain correct. Is that so?" 
(The two last questions are essentially equivalent; see TEST BY DIMENSION.) 
 These questions have several good effects. First, an intelligent student cannot help being impressed by the fact that the formula passes so many tests. He was convinced before that the formula is correct because he derived it carefully. But now he is more convinced, and his gain in confidence comes from a different source; it is due to a sort of evidence." to the foregoing questions, the details of the formula acquire new significance, and are linked up with various facts. The formula has therefore a better chance of being re membered, the knowledge of the student is consolidated. Finally, these questions can be easily transferred to similar problems. After some experience with similar problems, an intelligent student may perceive the underlying general ideas: use of all relevant data, variation of the data, symmetry, analogy. If he gets into the of directing his attention to such points, his ability to solve problems may definitely profit.

Can you check the argument? To recheck the argument step by step may be necessary in difficult and important cases. Usually, it is enough to pick out"touchy" points for rechecking. In our case, it may be advisable to discuss retrospectively the question which was less advisable to discuss as the solution was not yet attained: Can you prove that the triangle with sides x, y, c is a right triangle? (See the end of section 12) Can you use the result or the method for some other problem? With a little encouragement, and after one or two examples, the students easily find applications which consist essentially in giving some concrete interpretation to the abstract mathematical elements of the problem. The teacher himself used such a concrete interpretation s he took the room in which the discussion takes place for the parallelepiped of the problem. A dull student may propose, as application, to calculate the diagonal of the cafeteria instead of the diagonal of the classroom. If the students do not volunteer more imaginative remarks, the teacher himself may put a slightly different problem, for instance: "Being given the length, the width, and the height of a rectangular parallelepiped, find the distance of the center from one of the corners." The students may use the Tesult of the problem they just solved, observing that the distance required is one half of the diagonal they just calculated. Or they may use the method, introducing suitable right triangles(the latter alternative is less obvious and somewhat more clumsy in the present case) After this application, the teacher may discuss the configuration of the four diagonals of the parallelepiped, and the six pyramids of which the six faces are the bases, the center the common vertex, and the semidiagonals the lateral edges, When the geometric imagination of the students is sufficiently enlivened, the teacher should come

back to his question: can you use the result, or the method, for some other problemr Now there is a better chance that the students may find some more interesting concrete interpretation, for instance, the following: 
 "In the center of the flat rectangular top of a building hich is 21 yards long and 16 yards wide, a flagpole is erected, 8 yards high. To support the pole, we need tour equal cables. The cables should start from the same point, 2 yards under the top of the pole, and end at the tour corners of the top of the building. How long is each cable?" 
 The students may use the method of the problem they solved in detail introducing a right triangle in a vertical plane, and another one in a horizontal plane. Or they may use the result, imagining a rectangular parallele piped of which the diagonal, x, is one of the four cables and the edges are 
 By straightforward application of the formula, x =14.5. 
 For more examples, see CAN You USE THE RESULT? 
 15.Various approaches. Let us still retain, for a while, the problem we considered in the foregoing sections 8, 10, 12, 14. The main work, the discovery of the plan, was described in section 10. Let us observe that the teacher could have proceeded differently. Starting from the same point as in section 10, he could have followed a somewhat different line, asking the following questions
 "Do you know any related problem?" 
 "Do you know an analogous problem?" 
 "You see, the proposed problem is a problem of solid geometry. Could you think of a simpler analogous prob lem of plane geometry?" 
 "You see, the proposed problem is about a figure in space, it is concerned with the diagonal of a rectangular

parallelepiped. What might be an analogous problem about a figure in the plane? It should be concerned with-the diagonal-of-a rectangular "Parallelogram." 
 The students, even if they are very slow and indifferent,

0/5000

จาก: -

เป็น: -

ผลลัพธ์ (ไทย) 1: [สำเนา]

คัดลอก!

13. มองกลับ นักเรียนได้ค่อนข้างดี เมื่อพวกเขาได้รับการแก้ปัญหาของปัญหา และเขียนลงอย่างอาร์กิวเมนต์ ปิดสมุดบัญชีของตน และค้นหาสิ่ง ทำเช่นนั้น พวกเขาพลาดขั้นตอนที่สำคัญ และให้คำแนะนำงาน โดยมองกลับที่แก้ปัญหาเสร็จสมบูรณ์ reconsidering และ reexamining ผลและเส้นทางที่นำไปนั้น พวกเขาสามารถคอนโซลิวันความรู้ และพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหา อาจารย์ที่ดีควรทำความเข้าใจ และประทับใจในนักเรียนของเขาดูว่าปัญหาใดก็ตามทั้งเหนื่อย มีอยู่เสมอให้ทำ มีการศึกษาพอและ peneuation เราสามารถปรับปรุง และ ในใด ๆ เราจะช่วยให้เราเข้าใจการแก้ปัญหา นักเรียนได้ดำเนินผ่านแผนขณะนี้ เขาได้เขียนลงแก้ปัญหา การตรวจสอบแต่ละขั้นตอน ดังนั้น เขาควรมีเหตุผลที่ดีเชื่อว่า โซลูชันของเขาถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดได้เสมอเป็นไปได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าอาร์กิวเมนต์ยาว และเกี่ยวข้อง ดังนั้น verifications จะต้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้ามีบางอย่างรวดเร็ว และใน tuitive กระบวนการทดสอบผลหรืออาร์กิวเมนต์ มันควรไม่สามารถมองข้าม คุณสามารถตรวจสอบ Tesult คุณสามารถตรวจสอบอาร์กิวเมนต์ การมั่นใจตนเองอยู่ หรือคุณภาพของวัตถุ เราต้อง การดู และ การสัมผัส และ e ต้องรับรู้ผ่านสองความรู้สึกแตกต่างกัน เพื่ออีต้องคดีตามหลักฐานอื่นที่สอง: คุณสามารถมา diferently ผล เราต้องการ หลักสูตร อาร์กิวเมนต์ที่ง่าย และสั้นไปยาว และหนัก: คุณสามารถเห็นมันได้อย่างรวดเร็ว หนึ่งสำคัญ และหน้าที่ของครูคือการช่วยให้นักเรียนของเขาว่า ปัญหาทางคณิตศาสตร์มีน้อยการเชื่อมต่อกัน และไม่เชื่อมต่อกับอะไรเลย เรามีธรรมชาติการตรวจสอบการเชื่อมต่อของโอกาสปัญหาเมื่อมองย้อนไปดูตัวของโซลูชัน นักเรียนจะค้นหามองกลับมาที่ทางออกน่าสนใจจริง ๆ ถ้าพวกเขาได้ทำความพยายามซื่อสัตย์ และมีจิตสำนึกของทำดี แล้วจะอยากดูอะไรที่พวกเขาสามารถบรรลุ ด้วยความพยายามนั้น และว่าพวกเขาสามารถทำเวลาเท่า ๆ กันอีกด้วย ครูควรส่งเสริมให้นักเรียนคิดกรณีที่พวกเขาอาจใช้อีกวิธีการใช้ หรือไปผลที่ได้รับ คุณสามารถใช้ผลลัพธ์ หรือวิธีการ ปัญหาอื่น ๆ 14. ตัวอย่าง ในส่วนที่ 12 นักเรียนจนได้รับการแก้ปัญหา: ถ้ามีขอบเป็นสี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนาน ออกจากมุมเดียวกัน 3 a, b, c เส้นทแยงมุมได้คุณสามารถตรวจสอบผลหรือไม่ ครูไม่คาดหวังคำตอบที่ดีคำถามนี้จาก stu dents มือใหม่ นักเรียน อย่างไรก็ตาม ควรได้รับค่อนข้างเร็วประสบการณ์ว่า ปัญหา "ในจดหมาย" มีประโยชน์มากกว่าปัญหาตัวเลขเพียงอย่างเดียว ถ้า prob lem จะกำหนดเป็น "ตัวอักษร" ผลคือให้ทดสอบหลายที่สามารถเข้าถึงปัญหาตัวเลข "ไม่ไวต่อเลย ตัวอย่างของเรา แม้ว่าค่อนข้างง่าย มี sufhcient แสดงนี้ ครูสามารถถามคำถามต่าง ๆ เกี่ยวกับผลลัพธ์ซึ่งนักเรียนอาจตอบพร้อมกับ "ใช่" แต่คำตอบ "ไม่" จะแสดงข้อบกพร่องร้ายแรงในผลลัพธ์ "ไม่ต้องข้อมูลทั้งหมดหรือไม่ ทำข้อมูล a, b, c ที่ปรากฏในสูตรของคุณสำหรับทแยงมุม" "ความยาว ความกว้าง ความสูง และเล่นในบทบาทเดียวกันในคำถามของเรา ปัญหาของเราคือสมมาตรกับ a, b, c คือ นิพจน์ที่คุณได้รับสำหรับทแยงมุมแรมซิมวัดใน a, b, c หรือไม่ ไม่จะยังคงไม่เปลี่ยนเมื่อ a, b c คือ interchanged ? " "ปัญหาของเราคือ ปัญหาของเรขาคณิตของแข็ง: หาเส้นทแยงมุมของ parallelepiped ที่มีให้ขนาด a, b, c ปัญหาคือปัญหาของเรขาคณิตระนาบคู่: หาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมให้มิติได้ เกิดเป็นผลลัพธ์ของ our'solid' ปัญหาทางทวารหนัก-ogous เพื่อดูผลของ the'plane' ปัญหา? " "ถ้า c ความสูงลดลง และสุดท้าย หายไป การparallelepiped กลาย เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้าคุณใส่ c o n สูตรของคุณ คุณได้สูตรเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปสี่เหลี่ยมถูกต้อง "ถ้า c ความสูงเพิ่มขึ้น inaeases เส้นทแยงมุม ทำดูสูตรของคุณ" "ถ้ามาตรการที่สามทุก a, b, c ของ parallelepiped ในรอยพับตรงในสัดส่วนเดียวกัน ทแยงมุมยังเพิ่มขึ้นในสัดส่วนเดียวกัน ถ้า คุณสูตร คุณ substi-tute 12a, 12b, 12c สำหรับ a, b, c ตามลำดับ ค่าของเส้นทแยงมุม เพราะทดแทนนี้ ควรยังคูณ ด้วย 12 มีที่ให้หรือไม่? " ถ้า a, b, c จะวัดเท้า เส้นทแยงมุมที่วัดในเท้าเกินไป ทำให้สูตรของคุณ แต่ถ้าคุณเปลี่ยนทุกส ures นิ้ว สูตรควรยังคงถูกต้อง มีที่ให้หรือไม่? " (คำถามสุดท้ายสองเทียบเท่าหลัก ดูทดสอบตามขนาด) คำถามเหล่านี้มีผลกระทบหลายอย่างดี นักเรียนอัจฉริยะเป็นครั้งแรก ไม่สามารถช่วยการประทับใจ โดยความเป็นจริงว่า สูตรที่ผ่านการทดสอบมาก เขาไม่เชื่อก่อนว่า สูตรถูกต้อง เพราะเขามาได้อย่างระมัดระวัง แต่ตอนนี้ เขายิ่งเชื่อมั่น และรับในความเชื่อมั่นที่มาจากแหล่งแตกต่างกัน ก็เนื่องจากการเรียงลำดับของหลักฐาน"คำถามเหล่านี้ รายละเอียดของสูตรได้รับความสำคัญใหม่ และเชื่อมโยงขึ้นกับข้อเท็จจริงต่าง ๆ สูตรดังนั้นมีโอกาสที่ดีของการรี membered รวมความรู้ของนักเรียน สุดท้าย คำถามเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายแล้วปัญหาคล้ายกัน หลังจากบางประสบการณ์ มีปัญหาคล้ายกัน นักเรียนอัจฉริยะที่อาจสังเกตความคิดทั่วไปต้น: ใช้ข้อมูลที่เกี่ยวข้องทั้งหมด รูปแบบของข้อมูล สมมาตร เปรียบเทียบได้ ถ้าเขาได้รับในตัวของผู้กำกับความสนใจไปยังจุดดังกล่าว ความสามารถในการแก้ปัญหาของเขาอาจแน่นอนกำไรได้Can you check the argument? To recheck the argument step by step may be necessary in difficult and important cases. Usually, it is enough to pick out"touchy" points for rechecking. In our case, it may be advisable to discuss retrospectively the question which was less advisable to discuss as the solution was not yet attained: Can you prove that the triangle with sides x, y, c is a right triangle? (See the end of section 12) Can you use the result or the method for some other problem? With a little encouragement, and after one or two examples, the students easily find applications which consist essentially in giving some concrete interpretation to the abstract mathematical elements of the problem. The teacher himself used such a concrete interpretation s he took the room in which the discussion takes place for the parallelepiped of the problem. A dull student may propose, as application, to calculate the diagonal of the cafeteria instead of the diagonal of the classroom. If the students do not volunteer more imaginative remarks, the teacher himself may put a slightly different problem, for instance: "Being given the length, the width, and the height of a rectangular parallelepiped, find the distance of the center from one of the corners." The students may use the Tesult of the problem they just solved, observing that the distance required is one half of the diagonal they just calculated. Or they may use the method, introducing suitable right triangles(the latter alternative is less obvious and somewhat more clumsy in the present case) After this application, the teacher may discuss the configuration of the four diagonals of the parallelepiped, and the six pyramids of which the six faces are the bases, the center the common vertex, and the semidiagonals the lateral edges, When the geometric imagination of the students is sufficiently enlivened, the teacher should comeกลับไปคำถามของเขา: คุณสามารถใช้ผลลัพธ์ หรือวิธี สำหรับบางอื่น ๆ problemr ตอนนี้มีโอกาสดีที่นักเรียนอาจพบบางอย่างน่าสนใจมากขึ้นคอนกรีตตี เช่น ต่อไปนี้: "ในด้านบนสี่เหลี่ยมแบนของใดอาคารมาหลายาว 21 เมตรกว้าง 16 ค้ำเป็น เกร็ง หลาสูง 8 รองรับเสา เราต้องทัวร์สายเท่ากัน สายควรเริ่มต้นจากจุดเดียวกัน 2 หลาใต้ด้านบนสุดของเสา และสิ้นสุดที่มุมทัวร์ด้านบนของอาคาร ระยะคือสาย นักเรียนอาจใช้วิธีการปัญหาที่จะแก้ไขในรายละเอียดแนะนำสามเหลี่ยมมุมฉากในระนาบแนวตั้ง และหนึ่งในระนาบแนวนอน หรืออาจใช้ผล imagining ส่งผ่าน parallele สี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุม x เป็นหนึ่งในสี่สาย และขอบ โดยโปรแกรมประยุกต์ที่ตรงไปตรงมาของสูตร x = 14.5 ตัวอย่างเพิ่มเติม การที่คุณสามารถใช้ผลลัพธ์ 15 วิธีการต่าง ๆ เรายังคงรักษา ขณะ ปัญหาที่เราพิจารณาในส่วนเหล่านี้ 8, 10, 12, 14 งานหลัก การค้นพบของแผน มีการอธิบายไว้ในส่วน 10 ให้เราสังเกตว่า ครูไม่มีครอบครัวแตกต่างกัน เริ่มต้นจากจุดเดียวกันในส่วน 10 เขาไม่ได้ปฏิบัติตามรายการต่าง ถามคำถามต่อไปนี้ "คุณรู้ปัญหาที่เกี่ยวข้องหรือไม่" "คุณรู้มีปัญหาคู่" "คุณเห็น ปัญหานำเสนอ ปัญหาของเรขาคณิตของแข็ง ไม่คิดว่า ของ lem prob คู่เรียบง่ายของเรขาคณิตระนาบ" "คุณดู เสนอปัญหาเกี่ยวกับตัวเลขในช่องว่าง เกี่ยวข้องกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมparallelepiped อะไรอาจจะมีปัญหาคู่เกี่ยวกับรูปในระนาบหรือไม่ ควรมีความเกี่ยวข้องกับเส้นทแยงมุมของแบบสี่เหลี่ยม "สี่เหลี่ยมด้านขนาน" นักเรียน แม้จะช้ามาก และ สนใจ

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:[สำเนา]

คัดลอก!

13. มองย้อนกลับไป แม้เป็นธรรมนักเรียนที่ดีเมื่อพวกเขาได้รับการแก้ปัญหาของปัญหาและเขียนลงอย่างเรียบร้อยโต้แย้งปิดหนังสือของพวกเขาและมองหาสิ่งอื่น การทำเช่นนั้นพวกเขาพลาดขั้นตอนที่สำคัญและให้คำแนะนำในการทำงาน โดยมองกลับไปที่การแก้ปัญหาเสร็จสมบูรณ์โดยการหารือและทำการทดสอบผลและเส้นทางที่นำไปสู่มันพวกเขาสามารถ consoli- วันที่ความรู้และพัฒนาความสามารถของพวกเขาในการแก้ปัญหาของพวกเขา ครูที่ดีควรจะเข้าใจและสร้างความประทับใจในมุมมองของนักศึกษาที่ไม่มีปัญหาอะไรก็ตามที่จะหมดอย่างสมบูรณ์ ยังคงอยู่เสมอมีบางสิ่งบางอย่างที่จะทำ; กับการศึกษาที่เพียงพอและ peneuation เราสามารถปรับปรุงและในที่ใด ๆ เรามักจะสามารถปรับปรุงความเข้าใจของเราของการแก้ปัญหา. นักเรียนได้ดำเนินการในขณะนี้ผ่านแผนของเขา เขาได้เขียนลงวิธีการแก้ปัญหาการตรวจสอบในแต่ละขั้นตอน ดังนั้นเขาควรจะมีเหตุผลที่ดีที่จะเชื่อว่าการแก้ปัญหาของเขาถูกต้อง อย่างไรก็ตามมีข้อผิดพลาดได้เสมอโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นเวลานานและมีส่วนร่วม ดังนั้นการตรวจสอบเป็นที่พึงประสงค์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามีบางขั้นตอนที่รวดเร็วและ tuitive หเพื่อทดสอบผลอย่างใดอย่างหนึ่งหรือโต้แย้งก็ไม่ควรมองข้าม คุณสามารถตรวจสอบ Tesult หรือไม่ คุณสามารถตรวจสอบการโต้แย้งหรือไม่เพื่อที่จะโน้มน้าวตัวเองของการแสดงตนหรือคุณภาพของวัตถุที่เราต้องการที่จะเห็นและสัมผัสมัน และ e ชอบการรับรู้ผ่านประสาทสัมผัสทั้งสองแตกต่างกันดังนั้นอีที่ต้องการความเชื่อมั่นสองพิสูจน์ที่แตกต่างกัน: คุณสามารถได้มาซึ่งผลที่ได้ diferently? เราต้องการที่แน่นอนอาร์กิวเมนต์ที่สั้นและง่ายที่จะเป็นหนึ่งที่ยาวและหนัก: คุณสามารถเห็นมันได้อย่างรวดเร็วหนึ่งในหน้าที่แรกและสำคัญที่สุดของครูไม่ได้ที่จะให้นักเรียนของเขารู้สึกว่าปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่มีการเชื่อมต่อเล็กๆ น้อย ๆ กับแต่ละอื่น ๆ และการเชื่อมต่อที่ทุกคนกับสิ่งอื่น เรามีการตรวจสอบการเชื่อมต่อธรรมชาติของโอกาสปัญหาเมื่อมองย้อนกลับไปที่การแก้ปัญหา นักเรียนจะได้พบกับมองกลับไปที่การแก้ปัญหาที่น่าสนใจจริงๆถ้าพวกเขาได้ทำให้ความพยายามที่ซื่อสัตย์และมีจิตสำนึกของมีการกระทำที่ดี แล้วพวกเขาก็มีความกระตือรือร้นที่จะเห็นสิ่งอื่นที่พวกเขาจะประสบความสำเร็จด้วยความพยายามที่และวิธีการที่พวกเขาสามารถทำอย่างเท่าเทียมกันทั้งในเวลาอื่น ครูควรส่งเสริมให้นักเรียนที่จะจินตนาการถึงกรณีที่พวกเขาสามารถใช้อีกครั้งตามขั้นตอนที่ใช้หรือใช้ผลที่ได้รับ คุณสามารถใช้ผลหรือวิธีการสำหรับบางปัญหาอื่น ๆ14 ตัวอย่าง ในมาตรา 12 นักเรียนในที่สุดได้รับการแก้ปัญหา: ถ้าสามขอบของสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่เหลี่ยมออกจากมุมเดียวกันเป็น b, c, เส้นทแยงมุมคุณสามารถตรวจสอบผลหรือไม่ ครูไม่สามารถคาดหวังคำตอบที่ดีสำหรับคำถามจากรอยบุบ stu- ประสบการณ์นี้ นักเรียน แต่ควรจะได้รับอย่างเป็นธรรมในช่วงต้นประสบการณ์ว่าปัญหา "ในตัวอักษร" มีข้อได้เปรียบที่ดีกว่าปัญหาตัวเลขหมดจด; ถ้า LEM กำหนดปัญหาที่จะได้รับ "ในตัวอักษร" ผลของมันคือสามารถเข้าถึงการทดสอบหลายที่มีปัญหาในตัวเลข "ไม่ไวต่อที่ทุกคน. ตัวอย่างของเราแม้ว่าจะค่อนข้างง่ายเป็น sufhcient ที่จะแสดงนี้. ครูสามารถถามคำถามหลาย เกี่ยวกับผลการที่นักเรียนได้อย่างง่ายดายอาจจะตอบด้วย "ใช่" แต่คำตอบ "ไม่" จะแสดงให้เห็นข้อบกพร่องร้ายแรงในผลที่ตามมา "คุณใช้ข้อมูลทั้งหมด. ทำทุกข้อมูล, B, C ปรากฏในสูตรของคุณสำหรับเส้นทแยงมุม "" ความยาวความกว้างและความสูงเล่นบทบาทเดียวกันในคำถามของเรา; ปัญหาของเราคือส่วนที่เกี่ยวกับ b, c คือการแสดงออกที่คุณได้รับสำหรับตัวชี้วัดเส้นทแยงมุม sym- ใน b, c? มันยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อ, BC จะสบตา "" ปัญหาของเราเป็นปัญหาของเรขาคณิตที่เป็นของแข็ง: หาเส้นทแยงมุมของ parallelepiped กับขนาดที่กำหนด b, c, ปัญหาของเราจะคล้ายคลึงกับปัญหาของเรขาคณิตเครื่องบินที่จะ หาเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมที่มีขนาดที่กำหนดข เป็นผลมาจาก our'solid 'ปัญหา anal- ogous ผลการ the'plane ของปัญหาได้หรือไม่ "" ถ้าความสูงของคลดลงและในที่สุดก็หายไปที่parallelepiped กลายเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน หากคุณใส่ con สูตรของคุณที่คุณได้รับสูตรที่ถูกต้องสำหรับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่เหลี่ยม? "ถ้าความสูงที่เพิ่มขึ้นของคที่ inaeases เส้นทแยงมุม. ไม่มีสูตรของคุณจะแสดงนี้หรือไม่?" "ถ้าทั้งสามมาตรการ b, c ของ parallelepiped เพิ่มความในสัดส่วนเดียวกันในแนวทแยงยังเพิ่มขึ้นในสัดส่วนเดียวกัน. ถ้าในสูตรของคุณคุณการแทนที่ tute 12a, 12b, 12c สำหรับ, B, C ตามลำดับการแสดงออกของเส้นทแยงมุมที่เนื่องจาก ทดแทนนี้ควรที่จะคูณด้วย 12 คือเพื่อให้ "? ถ้า b, c ที่วัดในฟุตสูตรของคุณให้เส้นทแยงมุมวัดเท้าเกินไป แต่ถ้าคุณเปลี่ยนทุก Ures meas นิ้วเข้าไปในสูตรจะยังคงถูกต้อง เป็นเช่นนั้น "? (ทั้งสองคำถามที่ผ่านมาเป็นหลักคิดดูทดสอบจำแนก DIMENSION.) คำถามเหล่านี้มีผลดีหลายประการประการแรกเป็นนักเรียนฉลาดไม่สามารถช่วยให้มีการสร้างความประทับใจด้วยความจริงที่ว่าสูตรผ่านการทดสอบจำนวนมากดังนั้นเขาก็เชื่อ.. ก่อนที่จะว่าสูตรที่ถูกต้องเพราะเขามาเป็นอย่างดี แต่ตอนนี้เขามีความมั่นใจมากขึ้นและได้รับความเชื่อมั่นของเขาในการมาจากแหล่งที่มาที่แตกต่างกัน. มันเกิดจากการเรียงลำดับของหลักฐาน ". คำถามที่กล่าวมาแล้วรายละเอียดของสูตรได้รับความสำคัญใหม่และมีการเชื่อมโยงกับข้อเท็จจริงต่างๆ สูตรจึงมีโอกาสที่ดีกว่าของการเป็นสมาชิกอีกครั้งความรู้ของนักเรียนเป็นรวม สุดท้ายคำถามเหล่านี้จะสามารถโอนได้อย่างง่ายดายในการแก้ไขปัญหาที่คล้ายกัน หลังจากที่มีประสบการณ์กับปัญหาที่คล้ายกันบางเป็นนักเรียนฉลาดอาจรู้สึกความคิดพื้นฐานทั่วไป: การใช้ข้อมูลที่เกี่ยวข้องทุกรูปแบบของข้อมูลที่สมมาตรเปรียบเทียบ ถ้าเขาได้รับในการกำกับความสนใจของเขาไปยังจุดดังกล่าวความสามารถของเขาในการแก้ปัญหาอาจกำไรแน่นอน. คุณสามารถตรวจสอบการโต้แย้งหรือไม่ เพื่อตรวจสอบขั้นตอนการโต้แย้งโดยขั้นตอนอาจมีความจำเป็นในกรณีที่ยากและมีความสำคัญ โดยปกติแล้วมันก็เพียงพอที่จะเลือกออก "งอน" คะแนนสำหรับ rechecking ในกรณีของเราก็อาจจะแนะนำให้เลือกเพื่อหารือเกี่ยวกับคำถามย้อนหลังซึ่งน้อยแนะนำให้เลือกเพื่อหารือเกี่ยวกับการแก้ปัญหาในขณะที่ยังไม่ได้บรรลุยัง: คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน x, y, c คือสามเหลี่ยมใช่มั้ย? (ดูที่ท้ายของมาตรา 12) ที่คุณสามารถใช้ผลหรือวิธีการสำหรับปัญหาอื่น ๆ หรือไม่? ด้วยการให้กำลังใจเล็ก ๆ น้อย ๆ และหลังจากที่หนึ่งหรือสองตัวอย่างนักเรียนได้อย่างง่ายดายพบการใช้งานซึ่งประกอบด้วยหลักในการให้ตีความบางอย่างเป็นรูปธรรมเพื่อองค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมของปัญหา ครูของตัวเองมาใช้เช่นการตีความคอนกรีตที่เขาเอาห้องที่การอภิปรายจะเกิดขึ้นสำหรับ parallelepiped ของปัญหาที่ นักเรียนหมองคล้ำอาจเสนอเช่นการประยุกต์ใช้ในการคำนวณเส้นทแยงมุมของโรงอาหารแทนเส้นทแยงมุมของห้องเรียน หากนักเรียนไม่ได้เป็นอาสาสมัครพูดความคิดสร้างสรรค์มากขึ้นครูตัวเองอาจทำให้เป็นปัญหาที่แตกต่างกันเล็กน้อยเช่น: "การกำหนดความยาวความกว้างและความสูงของ parallelepiped สี่เหลี่ยมหาระยะของศูนย์จากหนึ่งใน มุม. " นักเรียนอาจใช้ Tesult ของปัญหาที่พวกเขาเพียงแค่แก้ไขสังเกตว่าระยะทางที่จำเป็นคือครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมพวกเขาเพียงแค่คำนวณ หรือพวกเขาอาจใช้วิธีการแนะนำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เหมาะสม (ทางเลือกที่หลังเป็นที่เห็นได้ชัดน้อยลงและค่อนข้างเงอะงะมากขึ้นในกรณีที่ปัจจุบัน) หลังจากที่โปรแกรมนี้ครูอาจหารือเกี่ยวกับการกำหนดค่าของสี่เส้นทแยงมุมของ parallelepiped และหกปิรามิด ที่หกใบหน้าฐานศูนย์จุดสุดยอดที่พบบ่อยและ semidiagonals ขอบด้านข้างเมื่อจินตนาการทางเรขาคณิตของนักเรียนที่มีการเกื้อกูลพอที่ครูควรจะมากลับไปที่คำถามของเขาที่คุณสามารถใช้ผลหรือวิธีการสำหรับบาง problemr อื่น ๆ ขณะนี้มีโอกาสที่ดีที่นักเรียนอาจพบบางคนตีความน่าสนใจมากขึ้นเป็นรูปธรรมเช่นต่อไปนี้: "ในใจกลางของด้านบนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบนของ hich อาคารคือ 21 หลายาวและ 16 หลากว้าง เสาธงจะถูกสร้างขึ้น 8 หลาสูง. เพื่อสนับสนุนขั้วที่เราต้องเดินทางสายเท่ากับ. สายควรจะเริ่มต้นจากจุดเดียวกัน 2 หลาใต้ของเสาและสิ้นสุดที่มุมทัวร์ของด้านบนของอาคาร . นานแค่ไหนแต่ละสาย? "นักเรียนอาจใช้วิธีการของปัญหาที่พวกเขาแก้ไขในรายละเอียดแนะนำสามเหลี่ยมมุมฉากในระนาบแนวตั้งและอีกคนหนึ่งในแนวระนาบ. หรือพวกเขาอาจใช้ผลจินตนาการ Parallele สี่เหลี่ยมประปาของ ซึ่งเส้นทแยงมุม x เป็นหนึ่งในสี่สายและขอบที่มีโดยการประยุกต์ใช้ตรงไปตรงมาของสูตร, x = 14.5. สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติมโปรดดูที่คุณสามารถใช้ผลหรือไม่15.Various วิธี. ขอให้เรายังคงรักษาสำหรับ ในขณะที่ปัญหาที่เราพิจารณาในส่วนดังกล่าวข้างต้น 8, 10, 12, 14 งานหลักของการค้นพบของแผนได้รับการอธิบายไว้ในส่วนที่ 10 ขอให้เราสังเกตว่าครูจะได้ดำเนินการที่แตกต่างกัน. เริ่มต้นจากจุดเดียวกัน ในขณะที่มาตรา 10 เขาจะได้ปฏิบัติตามแนวที่แตกต่างกันบ้างถามคำถามต่อไปนี้"คุณรู้หรือปัญหาใด ๆ ที่เกี่ยวข้อง?" "คุณรู้ว่าเป็นปัญหาที่คล้ายคลึง?" "คุณเห็นปัญหาที่นำเสนอปัญหาของเรขาคณิตที่เป็นของแข็ง คุณสามารถคิด LEM prob คล้ายรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายของเครื่องบิน? "" คุณเห็นปัญหาที่นำเสนอเป็นเรื่องเกี่ยวกับตัวเลขในพื้นที่ก็เป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมparallelepiped สิ่งที่อาจจะเป็นปัญหาที่คล้ายคลึงกันเกี่ยวกับตัวเลขในเครื่องบินหรือไม่? มันควรจะเกี่ยวข้องกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม "สี่เหลี่ยมด้านขนาน." นักเรียนถึงแม้ว่าพวกเขาจะช้ามากและไม่แยแส

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:[สำเนา]

คัดลอก!

13 . มองกลับมา ได้ค่อนข้างดี นักเรียน เมื่อพวกเขาได้รับการแก้ไขปัญหา และเขียนลงอย่างเรียบร้อย อาร์กิวเมนต์ ปิดหนังสือ และมองหาอะไรบางอย่าง การทำเช่นนั้น พวกเขาพลาดที่สำคัญและให้คำแนะนำขั้นตอนของงาน โดยมองย้อนกลับไปที่โซลูชั่นที่สมบูรณ์ โดยการพิจารณา และ reexamining ผลและเส้นทางที่นำไปสู่มัน พวกเขาสามารถ คอนโซลิ -

วันที่ความรู้และพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหา ครูที่ดีควรเข้าใจ และสร้างความประทับใจให้กับนักเรียนของเขาดู ว่าไม่มีปัญหาอะไรจะสมบูรณ์หมด ยังคงมีเสมอสิ่งที่ต้องทำ กับการศึกษาที่เพียงพอและ peneuation เราสามารถปรับปรุงและ ในใด ๆเราสามารถปรับปรุงความเข้าใจของสารละลาย
นักเรียนได้ดำเนินการผ่านแผนของเขาเขาได้เขียนลงในโซลูชั่นการตรวจสอบแต่ละขั้นตอน ดังนั้น เขาต้องมีเหตุผลที่ดีที่จะเชื่อว่าวิธีการแก้ปัญหาของเขาถูกต้อง อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดจะเป็นไปได้เสมอ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าอาร์กิวเมนต์ยาวและที่เกี่ยวข้อง ดังนั้น โทรศัพท์มือถือที่พึงประสงค์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีบางอย่างรวดเร็ว และในขั้นตอนการทดสอบ tuitive ทั้งผล หรือ โต้แย้ง ก็ไม่ควรมองข้ามคุณสามารถตรวจสอบ tesult ? คุณสามารถตรวจสอบการโต้แย้ง ?
เพื่อที่จะโน้มน้าวตัวเองของตนหรือของที่มีคุณภาพของวัตถุที่เราต้องการที่จะเห็นและสัมผัสมัน และ E ชอบการรับรู้ผ่านประสาทสัมผัสที่แตกต่างกันสอง ดังนั้น E ชอบลงโทษโดยสองปรู๊ฟที่แตกต่างกัน : คุณสามารถได้รับผล diferently ? เราชอบ แน่นอน สั้นและง่าย อาร์กิวเมนต์ที่ยาวและหนักหนึ่ง :คุณสามารถเห็นมันได้อย่างรวดเร็ว ?

หน้าที่หนึ่งแรกและสำคัญที่สุดของครู คือ อย่าให้นักเรียนรู้สึกว่าปัญหาทางคณิตศาสตร์มีความสัมพันธ์กับแต่ละอื่น ๆและไม่มีการเชื่อมต่อกับสิ่งอื่น เรามีธรรมชาติศึกษาความสัมพันธ์ของปัญหา โอกาส เมื่อมองกลับของโซลูชั่นนักเรียนจะหากลับมามองที่โซลูชั่นที่น่าสนใจจริง ๆถ้าพวกเขาได้ทำให้ความพยายามที่ซื่อสัตย์ และมีจิตสำนึกในการกระทำดี แล้วพวกเขาจะกระตือรือร้นที่จะเห็นสิ่งอื่นที่พวกเขาจะประสบความสำเร็จกับความพยายามและวิธีการที่พวกเขาจะทำอย่างงั้นอีก ครูควรส่งเสริมให้นักเรียนคิดกรณีที่พวกเขา

อาจจะใช้อีกวิธี ใช้หรือใช้ผลที่ได้ คุณสามารถใช้ผลหรือวิธี บางปัญหาอื่น ๆ
14 ตัวอย่าง ในมาตรา 12 นักเรียนในที่สุดได้รับการแก้ปัญหา : ถ้าสามขอบของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่เหลี่ยมออกจากมุมเดียวกัน คือ A , B , C , เส้นทแยงมุมคือคุณสามารถตรวจสอบผล ? ครูไม่สามารถคาดหวังคำตอบที่ดีนี้คำถามจากมือใหม่สตู - dents .นักเรียน , อย่างไรก็ตาม , ควรได้รับค่อนข้างเร็วประสบการณ์ปัญหา " ในตัวอักษร " มีข้อดีกว่าปัญหาหมดจดตัวเลข ; ถ้าปัญหาไรจะได้รับ " จดหมาย " ผลของมันคือสามารถเข้าทดสอบต่าง ๆ ที่เป็นปัญหาในตัวเลข " ไม่เสี่ยงเลย ตัวอย่างของเรา แม้ว่าจะค่อนข้างง่าย , sufhcient ที่จะแสดงนี้ครูถามคำถามหลายเกี่ยวกับผลซึ่งนักเรียนอาจพร้อมตอบว่า " ใช่ " แต่คำตอบ " ไม่ " จะแสดงข้อบกพร่องร้ายแรงในผล . เคยใช้ข้อมูลทั้งหมด ทำข้อมูลทั้งหมด A , B , C ปรากฏในสูตรของคุณสำหรับแนวทแยง ? " ความยาว ความกว้าง และความสูงเล่นบทบาทเดียวกันในปัญหาของเรา ปัญหาของเราคือสมมาตรที่เกี่ยวกับ A , B

การแปล กรุณารอสักครู่..

ภาษาอื่น ๆ

การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.