MULTIPLICATION AND DIVISIONMultipli

MULTIPLICATION AND DIVISION
Multiplication as Repeated Addition
We think of a multiplication statement like “2 × 3” as meaning “Add two threes together”, or

3 + 3

and “4 × 9” as “add 4 nines together”, or

9 + 9 + 9 + 9.

In general, a × b means to add b’s together such that the number of b’s is equal to a:

a × b = b + b + b + . . . + b (a times)
Multiplication with Signed Numbers
We can apply this same rule to make sense out of what we mean by a positive number times a negative number. For example,
3 × (–4)
just means to take 3 of the number “negative four” and add them together:
3 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12
Unfortunately, this scheme breaks down when we try to multiply a negative number times a number. It doesn’t make sense to try to write down a number a negative number of times. There are two ways to look at this problem.
One way is to use the fact that multiplication obeys the commutative law, which means that the order of multiplication does not matter:
a × b = b × a.
This lets us write a negative times a positive as a positive times a negative and proceed as before:
(–3) × 4 = 4 × (–3) = (–3) + (–3) + (–3) + (–3) = –12
However, we are still in trouble when it comes to multiplying a negative times a negative. A better way to look at this problem is to demand that multiplication obey a consistent pattern. If we look at a multiplication table for positive numbers and then extend it to include negative numbers, the results in the table should continue to change in the same pattern.
For example, consider the following multiplication table:
a b a × b
3 2 6
2 2 4
1 2 2
0 2 0
The numbers in the last column are decreasing by 2 each time, so if we let the values for a continue into the negative numbers we should keep decreasing the product by 2:
a b a × b
3 2 6
2 2 4
1 2 2
0 2 0
–1 2 –2
–2 2 –4
–3 2 –6
We can make a bigger multiplication table that shows many different possibilities. By keeping the step sizes the same in each row and column, even as we extend into the negative numbers, we see that the following sign rules hold for multiplication:
Sign Rules for Multiplication
(+)(+) = (+)
(–)(–) = (+)
(–)(+) = (–)
(+)(–) = (–)
Multiplication Table
Notice how the step size in each row or column remains consistent, regardless of whether we are multiplying positive or negative numbers.
          
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           


For math purists, here’s the real reason:
The Real Reason
It should be obvious that the presentation of the rules of arithmetic given here is just a collection of motivational arguments, not a formal development. The formal development of the real number system starts with the field axioms. The field axioms are postulated, and then all the other properties follow from them. The field axioms are
1. The associative and commutative laws for addition and multiplication
2. The existence of the additive and multiplicative identities (0 and 1)
3. The existence of the additive inverse (opposites, or negatives) and the multiplicative inverse (the reciprocal)
4. The distributive law
All of these are essential, but the distributive law is particularly important because it is what distinguishes the behavior of multiplication from addition. Namely, multiplication distributes over addition but not vice-versa.
The rules of arithmetic like “a negative times a negative gives a positive” are what they are because that is the only way the field axioms would still hold. For example, the distributive law requires that
–2(3 – 2) = (–2)(3) + (–2)(–2)
We can evaluate the left side of this equation by following the order of operations, which says to do what is in parentheses first, so
–2(3 – 2) = –2(1) = –2.
Now for the distributive law to be true, the right side must also be equal to2, so
(–2)(3) + (–2)(–2) = –2
If we use our sign rules for multiplication then it works out the way it should:
(–2)(3) + (–2)(–2) = –6 + 4 = –2

Notation for Multiplication
We are used to using the symbol “×” to represent multiplication in arithmetic, but in algebra we prefer to avoid that symbol because we like to use the letter “x” to represent a variable, and the two symbols can be easily confused. So instead, we adopt the following notation for multiplication:
1. Multiplication is implied if two quantities are written side-by-side with no other symbol between them.
Example: ab means a × b.
2. If a symbol is needed to prevent confusion, we use a dot.

Example: If we need to show 3 times 5, we cannot just write them next to each other or it would look like the number thirty-five, so we write 3 • 5.
• We can also use parentheses to separate factors. 3 times 5 could be written as 3(5) or (3)5 or (3)(5).
Division
There are two ways to think of division: as implying a related multiplication, or as multiplying by the reciprocal.
Division as Related Multiplication
The statement “12 ÷ 3 = 4” is true only because 3 × 4 = 12. A division problem is really asking the question “What number can I multiply the divisor by to get the dividend?”; and so every division equation implies an equivalent multiplication equation. In general:
a ÷ b = c if and only if a = b × c
This also shows why you cannot divide by zero. If we asked “What is six divided by zero?” we would mean “What number times zero is equal to six?”, but any number times zero gives zero, so there is no answer to this question.
Multiplicative Inverse (The Reciprocal)
For every real number a (except zero) there exists a real number denoted by 1/a such that
a(1/a) = 1
• The number 1/a is called the reciprocal or multiplicative inverse of a.
• Note that the reciprocal of 1/a is a. The reciprocal of the reciprocal gives you back what you started with.
This allows us to define division as multiplication by the reciprocal:
a ÷ b = a × (1/b)
This is usually the most convenient way to think of division when you are doing algebra.
Notation for Division
Instead of using the symbol “  ” to represent division, we prefer to write it using the fraction notation:

Sign Rules for Division
Because division can always be written as a multiplication by the reciprocal, it obeys the same sign rules as multiplication.
If a positive is divided by a negative, or a negative divided by a positive, the result is negative:

but if both numbers are the same sign, the result is positive:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การคูณและการหารคูณเป็นเพิ่มซ้ำเราคิดว่า คำสั่งคูณเช่น "2 × 3" เป็นความหมาย "เพิ่ม threes กันสอง" หรือ 3 + 3 และ "4 × 9" เป็น "เพิ่ม 4 ท่ามกลางบรรยากาศกัน" หรือ 9 + 9 + 9 + 9 ทั่วไป × b หมาย ถึงเพิ่ม b's กันที่จำนวน b's มีค่าเท่ากับ a: × b = b b + b +... + b (ครั้ง)คูณกับตัวเลขที่ได้รับการรับรองเราสามารถใช้กฎเดียวกันนี้การทำความเข้าใจจากสิ่งที่เราหมายถึงโดยตัวเลขค่าบวกเวลาตัวเลขค่าลบ ตัวอย่าง3 × (–4)หมายถึงเพียงการใช้ 3 จำนวน "ลบสี่" และเพิ่มกัน:3 × (–4) = (–4) + (–4) + (–4) = –12อับ นี้แบ่งเมื่อเราพยายามคูณตัวเลขค่าลบเวลาตัวเลข มันไม่ทำให้ความพยายามที่จะเขียนลงในจำนวนครั้งที่ลบ มีสองวิธีในการมองปัญหานี้วิธีหนึ่งคือการ ใช้ความจริงที่ว่า คูณปฏิบัติตามกฎหมายสลับ ซึ่งหมายความ ว่า ลำดับที่ของการคูณไม่ว่า:× b b × =เป็นซึ่งช่วยให้เราเขียนลบเวลาการบวกเป็นบวกเวลาเป็นค่าลบ และดำเนินการได้ก่อน:(–3) × 4 = 4 × (–3) = (–3) + (–3) + (–3) + (–3) = –12อย่างไรก็ตาม เราได้ในปัญหาเมื่อมันมาถึงคูณลบเวลาเป็นค่าลบ การมองปัญหานี้จะต้องให้ คูณฟังรูปแบบสอดคล้องกัน ถ้าเราดูตารางสูตรคูณสำหรับบวก และขยายให้รวมตัวเลขติดลบ ผลในตารางควรทำการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบเดียวกันพิจารณาตัวอย่าง ตารางสูตรคูณต่อไปนี้:บีบีซื้อ3 2 62 2 41 2 20 2 0ตัวเลขในคอลัมน์สุดท้ายจะลดลง โดย 2 กัน ดังนั้นถ้าเราให้ค่าสำหรับการดำเนินการต่อเป็นตัวเลขค่าลบ เราควรเก็บลดผลิตภัณฑ์ โดย 2:บีบีซื้อ3 2 62 2 41 2 20 2 02 – 1 –2–2 2 –4–3 2 –6เราสามารถทำการคูณใหญ่ที่แสดงแตกต่างกันไปมากมาย โดยรักษาขนาดขั้นตอนเดียวกันในแต่ละแถวและคอลัมน์ แม้ในขณะที่เราขยายเป็นตัวเลขติดลบ เราเห็นว่า ถือกฎเครื่องหมายต่อไปนี้สำหรับการคูณ:กฎหมายการคูณ(+)(+) = (+)(–) (–) = (+)(–) (+) = (–)(+) (–) = (–)ตารางสูตรคูณสังเกตว่า ขนาดขั้นตอนในแต่ละแถวหรือคอลัมน์มีความสม่ำเสมอ ไม่ว่าเราจะคูณตัวเลขค่าบวก หรือค่าลบ  สำหรับคณิตศาสตร์ purists นี่คือสาเหตุแท้จริง:สาเหตุแท้จริงควรชัดเจนว่านำเสนอกฎของคณิตศาสตร์ที่นี่เพียงคอลเลกชันของอาร์กิวเมนต์หัด ไม่เป็นทางการพัฒนา การพัฒนาอย่างเป็นทางการของระบบจำนวนจริงเริ่มต้น ด้วยสัจพจน์ของเขตข้อมูล สัจพจน์ของเขตข้อมูลเป็น postulated และคุณสมบัติทั้งหมดอื่น ๆ ทำตามจากพวกเขาแล้ว สัจพจน์ของฟิลด์ได้1.กฎหมายที่เกี่ยวข้อง และสลับเพิ่มและคูณ2. การดำรงอยู่ของ identities additive และเชิงการคูณ (0 และ 1)3. การดำรงอยู่ของตัวผกผันการบวก (ตรงกันข้าม หรือค่าลบ) และตัวผกผัน (ซึ่งกันและกัน)4. กฎหมายการแจกแจงทั้งหมดนี้เป็นสิ่งจำเป็น แต่แจกแจงกฎหมายมีความสำคัญอย่างยิ่ง เพราะเป็นสิ่งแตกต่างลักษณะการทำงานของคูณจากนี้ คือ คูณกระจายมากกว่านี้แต่กลับไม่กฎของเลขคณิตเช่น "ลบครั้งลบให้เป็นบวก" คืออะไรเนื่องจากเป็นวิธีเดียวที่สัจพจน์ของเขตข้อมูลจะยังคงเก็บ ตัวอย่าง แจกแจงกฎหมายจำเป็นต้อง–2 (3-2) = (–2)(3) + (–2)(–2)เราสามารถประเมินด้านซ้ายของสมการนี้ตามลำดับของการดำเนินงาน ซึ่งกล่าวว่า การทำสิ่งที่อยู่ในวงเล็บแรก ดังนั้น–2 (3-2) = –2(1) = –2ขณะนี้ กฎหมายแจกแจงเป็นความจริง ด้านขวายังต้องเท่ากับ to2 ดังนั้น(–2) (3) + (–2)(–2) = –2ถ้าเราใช้กฎของเราเครื่องหมายคูณ แล้วทำงานออกแบบควร:(–2) (3) + (–2)(–2) = –6 + 4 = –2 สัญกรณ์สำหรับการคูณเราใช้การใช้สัญลักษณ์ "ลอก" ถึงคูณ ในเลขคณิต แต่ ในพีชคณิตที่เราต้องการหลีกเลี่ยงสัญลักษณ์นั้นเนื่อง จากเราต้องการใช้ตัวอักษร "x" เพื่อแสดงตัวแปร สัญลักษณ์สองสามารถจะสับสนได้ง่าย ดังนั้นแทน เรานำสัญลักษณ์สำหรับการคูณต่อไปนี้:1. คูณเป็นนัยถ้าปริมาณทั้งสองจะเขียน--เคียงข้างกันกับสัญลักษณ์อื่น ๆ ไม่มีการตัวอย่าง: ab หมายถึง × b2. ถ้าเป็นสัญลักษณ์เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อป้องกันความสับสน เราใช้จุด ตัวอย่าง: ถ้าเราต้องการแสดง 5 3 ครั้ง เราไม่สามารถเขียนให้อยู่ติดกัน หรือมันจะเหมือนเลขสามสิบห้า ดังนั้นเราเขียน 3 • 5•นอกจากนี้เรายังสามารถใช้วงเล็บเพื่อแยกปัจจัย 5 3 ครั้งอาจจะเขียนเป็น 3(5) หรือ (3) 5 หรือ (3)(5)ส่วนมีสองวิธีในการคิดของฝ่าย: เป็นหน้าที่คูณที่เกี่ยวข้อง หรือคูณด้วยส่วนกลับหารเป็นคูณที่เกี่ยวข้องคำสั่ง "/นักเรียน 12 3 = 4" เป็นจริงเท่านั้นเนื่องจาก 3 × 4 = 12 ปัญหาหารมีจริง ๆ ถามคำถาม "เลขอะไรสามารถฉันคูณหารโดยจะได้รับเงินปันผลหรือไม่" และดังนั้น สมการทุกฝ่ายหมายถึงสมการคูณเทียบเท่า โดยทั่วไป:บี/นักเรียน =ถ้า c และเท่ากับ = b × cนี้ยังแสดงทำไมคุณไม่สามารถหาร ด้วย 0 ถ้าเราถามอะไรคือ 6 หาร ด้วยศูนย์ "เราจะหมายถึง "เวลาเลขศูนย์คือเท่ากับหก แต่ทุกครั้งที่หมายเลขศูนย์ให้ศูนย์ ดังนั้นจึงไม่ตอบคำถามนี้ตัวผกผันการคูณ (การซึ่งกันและกัน)สำหรับจำนวนจริงทุก (ยกเว้นศูนย์) มีจำนวนจริงสามารถบุ โดย 1/เป็น ที่a(1/a) = 1•หมายเลข 1/a เรียกว่าซึ่งกันและกันหรือตัวผกผันการคูณของตัวหมายเหตุ•ที่ซึ่งกันและกันของ 1/a ส่วนกลับของส่วนกลับให้กลับสิ่งที่คุณเริ่มต้นด้วยการนี้ช่วยให้เราสามารถกำหนดหารเป็นคูณ ด้วยส่วนกลับ:บี/นักเรียน =× (บี 1)ซึ่งโดยปกติจะตามสะดวกคิดฝ่ายเมื่อคุณทำการพีชคณิตเครื่องหมายหารแทนที่จะใช้สัญลักษณ์ "" ถึงฝ่าย เราต้องการเขียนโดยใช้สัญลักษณ์เศษส่วน: กฎเครื่องหมายหารเพราะเสมอสามารถเขียนเป็นการคูณหาร ด้วยส่วนกลับ จะปฏิบัติตามกฎหมายเดียวกันเป็นการคูณถ้าเป็นค่าบวกถูกแบ่งออกเป็นค่าลบ หรือลบตัวหารเป็นบวก ผลที่เป็นค่าลบ: แต่หากทั้งสองเลข หมายเดียวกัน ผลบวก:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คูณและหาร
คูณเป็นบวกซ้ำ ๆ
เราคิดว่าของคำสั่งการคูณเช่น "2 × 3" ความหมาย "เพิ่มสองสามเข้าด้วยกัน" หรือ3 + 3 และ "4 × 9" ขณะที่ "เพิ่ม 4 เก้าด้วยกัน" หรือ9 + 9 + 9 + 9 โดยทั่วไป×ขหมายถึงการเพิ่มขร่วมกันดังกล่าวว่าจำนวนของขเท่ากับการ: ข× b = b + b + + . . + B (ครั้ง) คูณกับตัวเลขลงนามเราสามารถใช้กฎเดียวกันนี้เพื่อให้ความรู้สึกที่ออกมาจากสิ่งที่เราหมายถึงโดยครั้งจำนวนบวกจำนวนลบ ยกตัวอย่างเช่น3 × (-4) ก็หมายความว่าจะใช้เวลา 3 ของจำนวน "เชิงลบสี่" และเพิ่มพวกเขาร่วมกัน: 3 × (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12 แต่น่าเสียดายที่โครงการนี้แบ่งลงเมื่อเราพยายามที่จะเพิ่มจำนวนครั้งจำนวนลบจำนวน มันไม่ได้ทำให้ความรู้สึกที่จะพยายามที่จะเขียนลงตัวเลขจำนวนลบครั้ง . มีสองวิธีที่จะมองไปที่ปัญหานี้เป็นวิธีหนึ่งคือการใช้ความจริงที่ว่าคูณเชื่อฟังกฎหมายสับเปลี่ยนซึ่งหมายความว่าคำสั่งของคูณไม่สำคัญ: . × = ขข× นี้จะช่วยให้เราเขียนครั้งในเชิงลบ บวกเป็นครั้งบวกลบและดำเนินการก่อน(-3) × 4 × 4 = (-3) = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12 อย่างไรก็ตาม เรายังคงมีปัญหาเมื่อมันมาถึงการคูณครั้งลบเชิงลบ วิธีที่ดีกว่าที่จะมองปัญหานี้คือการเรียกร้องให้คูณปฏิบัติตามรูปแบบที่สอดคล้อง ถ้าเราดูที่ตารางสูตรคูณสำหรับตัวเลขในเชิงบวกและจากนั้นขยายไปยังรวมถึงตัวเลขติดลบผลในตารางควรจะยังคงมีการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบเดียวกัน. ตัวอย่างเช่นพิจารณาตารางสูตรคูณต่อไปนี้: ABA ข× 3 2 6 2 2 4 1 2 2 0 0 2 ตัวเลขในคอลัมน์สุดท้ายจะลดลง 2 ในแต่ละครั้งดังนั้นหากเราปล่อยให้ค่าสำหรับดำเนินการต่อไปตัวเลขติดลบที่เราควรจะให้ลดลงผลิตภัณฑ์โดย 2: ABA ข× 3 2 6 2 2 4 1 2 2 2 0 0 2 -1 -2 -2 2 -4 -3 2 -6 เราสามารถทำให้ตารางสูตรคูณที่ใหญ่กว่าที่แสดงให้เห็นความเป็นไปได้ที่แตกต่างกัน โดยทำให้ขั้นตอนขนาดเดียวกันในแต่ละแถวและคอลัมน์แม้ในขณะที่เราขยายเป็นตัวเลขเชิงลบเราจะเห็นว่ากฎสัญญาณต่อไปนี้ถือคูณ: เข้าสู่ระบบกฎระเบียบสำหรับการคูณ(+) (+) = (+) (-) (-) = (+) (-) (+) = (-) (+) (-) = (-) ตารางการคูณแจ้งให้ทราบว่าขนาดขั้นตอนในแต่ละแถวหรือคอลัมน์ยังคงสอดคล้องโดยไม่คำนึงถึงว่าเราจะบวกหรือคูณ จำนวนลบ.                 สำหรับครูสอนคณิตศาสตร์ นี่คือเหตุผลที่แท้จริง: เหตุผลที่แท้จริงก็ควรที่จะเห็นได้ชัดว่าการนำเสนอของกฎของเลขคณิตให้ที่นี่เป็นเพียงคอลเลกชันของการขัดแย้งสร้างแรงบันดาลใจไม่ได้พัฒนาอย่างเป็นทางการ การพัฒนาอย่างเป็นทางการของระบบจำนวนจริงเริ่มต้นด้วยหลักการสนาม สัจพจน์สนามจะตั้งสมมติฐานและจากนั้นทุกคุณสมบัติอื่น ๆ ตามมาจากพวกเขา สัจพจน์สนามเป็น1 กฎหมายเชื่อมโยงและการเปลี่ยนแปลงสำหรับการเพิ่มและการคูณ2 การดำรงอยู่ของสารเติมแต่งและเอกลักษณ์การคูณ (0 และ 1) 3 การดำรงอยู่ของสารเติมแต่งผกผัน (ตรงข้ามหรือเชิงลบ) และผกผัน (ซึ่งกันและกัน) 4 กฎหมายการจำหน่ายทั้งหมดเหล่านี้มีความจำเป็น แต่กฎหมายการจำหน่ายที่มีความสำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะมันเป็นสิ่งที่แตกต่างของพฤติกรรมการคูณจากการเพิ่ม คือคูณจัดจำหน่ายมากกว่านอกจากนี้ แต่ไม่ในทางกลับกัน. กฎของเลขคณิตเช่น "ครั้งลบเชิงลบให้เป็นบวก" เป็นสิ่งที่พวกเขาเพราะเห็นว่าเป็นวิธีเดียวที่สัจพจน์สนามจะยังคงถือ ยกตัวอย่างเช่นกฎหมายกำหนดว่าการจำหน่าย-2 (3-2) = (-2) (3) + (-2) (- 2) เราสามารถประเมินด้านซ้ายของสมการนี้โดยทำตามคำสั่งของการดำเนินงานที่กล่าวว่า ที่จะทำสิ่งที่อยู่ในวงเล็บแรกดังนั้น-2 (3-2). = -2 (1) = -2 ตอนนี้สำหรับกฎหมายการจำหน่ายที่จะเป็นจริงทางด้านขวายังต้องto2เท่ากันดังนั้น(-2 ) (3) + (-2) (- 2) = -2 ถ้าเราใช้กฎการเข้าสู่ระบบของเราสำหรับการคูณแล้วก็ทำงานออกวิธีที่มันควรจะ: (-2) (3) + (-2) (- 2) = -6 + 4 = -2 โน้ตสำหรับคูณเราจะใช้ในการใช้สัญลักษณ์ "×" เพื่อเป็นตัวแทนในการคำนวณการคูณ แต่ในพีชคณิตเราชอบที่จะหลีกเลี่ยงสัญลักษณ์ว่าเป็นเพราะเราชอบที่จะใช้ตัวอักษร "x" เพื่อเป็นตัวแทนของตัวแปร และทั้งสองสัญลักษณ์จะสับสนได้อย่างง่ายดาย ดังนั้นแทนที่จะเรานำสัญกรณ์ต่อไปนี้สำหรับการคูณ: 1 คูณเป็นนัยถ้าสองปริมาณที่ถูกเขียนด้านโดยด้านที่ไม่มีสัญลักษณ์อื่น ๆ ระหว่างพวกเขา. ตัวอย่าง: AB หมายความ×ข. 2 ถ้าสัญลักษณ์เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อป้องกันความสับสนเราจะใช้จุด. ตัวอย่าง: ถ้าเราต้องการที่จะแสดง 3 ครั้งที่ 5 เราสามารถไม่เพียง แต่พวกเขาเขียนติดกันหรือมันจะมีลักษณะจำนวนสามสิบห้าดังนั้นเราเขียน 3 • 5. •นอกจากนี้เรายังสามารถใช้วงเล็บปัจจัยแยก 3 ครั้งที่ 5 อาจจะเขียนเป็น 3 (5) หรือ (3) 5 หรือ (3) (5). ส่วนที่มีสองวิธีที่จะคิดว่าส่วนคือ. เป็นนัยว่าคูณที่เกี่ยวข้องหรือเป็นคูณด้วยซึ่งกันและกันเป็นฝ่ายที่เกี่ยวข้อง คูณคำสั่ง "12 ÷ 3 = 4" เป็นความจริงเพียงเพราะ 3 × 4 = 12 ส่วนปัญหาที่เป็นจริงถามคำถาม "สิ่งที่ฉันสามารถจำนวนคูณหารโดยที่จะได้รับเงินปันผล"; และเพื่อให้สมการทุกส่วนหมายถึงสมการคูณเทียบเท่า โดยทั่วไป: ข÷ = c ถ้าหาก b = ×คนี้ยังแสดงให้เห็นว่าทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ ถ้าเราถามว่า "อะไรคือสิ่งที่หกหารด้วยศูนย์" เราจะหมายถึง "สิ่งที่ครั้งจำนวนศูนย์เท่ากับหก?" แต่จำนวนครั้งใด ๆ ที่จะช่วยให้ศูนย์ศูนย์จึงมีคำตอบสำหรับคำถามนี้. คูณผกผัน (ซึ่งกันและกัน) สำหรับทุกจำนวนจริง (ยกเว้นศูนย์) มีอยู่เป็นจำนวนจริงแสดงโดย 1 / ดังกล่าวว่า(1 /) = 1 •จำนวน 1 / เรียกว่าผกผันซึ่งกันและกันหรือคูณของ. •โปรดทราบว่าซึ่งกันและกัน 1 / เป็น ซึ่งกันและกันของซึ่งกันและกันจะช่วยให้คุณกลับสิ่งที่คุณเริ่มต้นด้วย. นี้ช่วยให้เราที่จะกำหนดเป็นส่วนคูณด้วยซึ่งกันและกัน: ข÷× = (1 / ข) ซึ่งมักจะเป็นวิธีที่สะดวกที่สุดที่จะคิดว่าส่วนเมื่อคุณอยู่ . ทำพีชคณิตสัญลักษณ์สำหรับกองแทนการใช้สัญลักษณ์ "" เพื่อเป็นตัวแทนของส่วนเราชอบที่จะเขียนโดยใช้สัญกรณ์ส่วน: เข้าสู่ระบบกฎระเบียบสำหรับกองเพราะส่วนจะสามารถเขียนเป็นคูณด้วยซึ่งกันและกันก็เชื่อฟังเครื่องหมายเดียวกัน กฎระเบียบที่เป็นคูณ. ถ้าบวกโดยแบ่งเป็นเชิงลบหรือเชิงลบโดยแบ่งออกเป็นบวกผลที่ได้คือลบ: แต่ถ้าทั้งสองตัวเลขที่มีเครื่องหมายเดียวกันผลที่เป็นบวก:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การคูณและการหารการคูณและการบวกซ้ำ

เราคิดว่าคูณงบเช่น " 2 × 3 " ความหมาย " เพิ่มสองสามครั้งด้วยกัน " หรือ

3

" 4 × 9 " เป็น " เพิ่ม 4 เก้าด้วยกัน " หรือ

9 9 9 9 .

ในทั่วไป a × b หมายถึงเพิ่ม B ด้วยกันเช่นหมายเลขของ B เท่ากับ A :

a × b = b b b . . . . . . . . B ( ครั้ง )
การคูณด้วยตัวเลข
เซ็นเราสามารถใช้กฎเดียวกันนี้ที่จะทำให้ความรู้สึกของสิ่งที่เราหมายถึงจำนวนครั้ง บวกลบเลข ตัวอย่างเช่น
3 × ( - 4 )
หมายความว่าเอาไป 3 จํานวนลบ " สี่ " และเพิ่มพวกเขาร่วมกัน :
3 × ( - 4 ) = ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( - 4 ) = – 12
น่าเสียดายที่โครงการนี้แบ่งลงเมื่อเราลองคูณจำนวนครั้งที่ลบตัวเลขมันไม่ได้ทำให้ความรู้สึกที่จะพยายามที่จะเขียนลงหมายเลขเลขลบครั้ง มีสองวิธีที่จะมองปัญหานี้ .
วิธีหนึ่งคือการใช้ข้อเท็จจริงการคูณเชื่อฟังกฎหมายที่เกี่ยวกับการสับเปลี่ยนซึ่งหมายความว่าลำดับของการคูณไม่สำคัญ :
a × b = b × A .
นี้ช่วยให้เราเขียนลบคูณบวกเป็นบวกเป็นลบ และดำเนินการก่อนที่ครั้ง :
( - 3 ) × 4 = 4 × ( - 3 ) = ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) ( - 1 ) = - 12
อย่างไรก็ตามเรายังคงมีปัญหาเมื่อมันมาถึงคูณลบครัลบ วิธีที่ดีกว่าที่จะมองปัญหานี้คือความต้องการที่คูณเชื่อฟังรูปแบบที่สอดคล้องกัน ถ้าเราดูสูตรคูณสำหรับบวกเลขแล้วขยายเพื่อรวมเลขลบผลลัพธ์ในโต๊ะควรเปลี่ยนไปในรูปแบบเดียวกัน
ตัวอย่างเช่นพิจารณาสูตรคูณต่อไปนี้ :
B a × b
3
2 6 2 2 4 1 2
2
0 2 0
ตัวเลขในคอลัมน์สุดท้ายลดลง 2 ครั้ง ดังนั้น หากเราปล่อยให้ ค่าสำหรับต่อเข้าเบอร์ลบเราต้องลดสินค้า :
2 B a × b
3
6
2 2 2 4 1 2 2 2 0

0 – 1 – 2 – 2
4
2 – 22 – 3 – 6
เราสามารถทำให้ใหญ่ขึ้นสูตรคูณที่แสดงความเป็นไปได้ที่แตกต่างกันมาก โดยการรักษาขั้นตอนขนาดเดียวกันในแต่ละคอลัมน์แถวและแม้ในขณะที่เราขยายเป็นจำนวนลบ เราเห็นว่า ตามป้ายกฎถือการคูณ :
กฎเครื่องหมายคูณ
( ) ( ) = ( )
( - ) ( - ) ( ) ( ) (
) ) = ( ( ) ( ) (
- ) = ( - )

สูตรคูณสังเกตว่าขั้นตอนขนาดในแต่ละแถวหรือคอลัมน์นั้นสอดคล้องกัน ไม่ว่าเราจะคูณบวกหรือลบตัวเลข














สำหรับ purists คณิตศาสตร์ นี่คือเหตุผลที่แท้จริง :

เหตุผลจริงๆ มันควรจะชัดเจนว่า การนำกฎของเลขคณิตให้ที่นี่เป็นเพียงคอลเลกชันของการสร้างแรงจูงใจ ไม่ใช่ทางการพัฒนา การพัฒนาอย่างเป็นทางการของระบบจํานวนจริง เริ่มจากเขตสัจพจน์ . เขตสัจพจน์ซึ่งมี ,แล้วทั้งหมดอื่น ๆ คุณสมบัติตามจากพวกเขา เขตสัจพจน์เป็น
1 และกฎหมายที่เกี่ยวข้องสมบัติการสลับที่สำหรับการบวกและการคูณ
2 การดำรงอยู่ของเพิ่มและการคูณ อัตลักษณ์ ( 0 และ 1 )
3 การดำรงอยู่ของจังหวัดชวาตะวันตก ( ตรงข้าม หรือลบ ) และตัวผกผันการคูณ ( ซึ่งกันและกัน )
4 กฎหมายการกระจาย
ทั้งหมดนี้สรุปแต่กฎหมายกระจายเป็นสิ่งสำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะมันเป็นสิ่งที่แตกต่างจากพฤติกรรมของการคูณและ คือ คูณกระจายมากกว่านอกจากนี้แต่ไม่ในทางกลับกัน
กฎของเลขคณิต เช่น " ลบคูณลบให้บวก " คืออะไร เพราะนั่นเป็นวิธีเดียวที่สนามสัจพจน์ยังคงถือ ตัวอย่างเช่นกฎหมายการกระจายต้องที่
2 ( 3 ) ( 2 ) = ( - 2 ) ( 3 ) ( - 2 ) ( - 2 )
เราสามารถประเมินด้านซ้ายของสมการนี้ตามคำสั่งของการดำเนินงาน ซึ่งกล่าวว่า อะไรเป็นสิ่งที่อยู่ในวงเล็บแรก ดังนั้น
2 ( 2 – 3 – ( 1 ) ( 2 ) = = ) 2 .
ตอนนี้กฎหมายการกระจายที่จะเป็นจริง ด้านขวาก็จะเท่ากับ 2
( ดังนั้น ( 2 ) ( 3 ) ( - 2 ) ( - 2 )
2 = -ถ้าเราใช้กฎหมายของเราคูณแล้วมันทำงานออกวิธีการที่ควร :
( - 2 ) ( 3 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) = – 4 – 6 = 2

หมายเหตุสำหรับการคูณ
เราเคยใช้สัญลักษณ์ " × " แทนการคูณคณิตศาสตร์ แต่ใน พีชคณิต เราต้องการหลีกเลี่ยงสัญลักษณ์ว่าเพราะเราชอบใช้ตัวอักษร " X " ของตัวแปร , และสองสัญลักษณ์สามารถสับสน ดังนั้น แทนเราใช้เครื่องหมายคูณต่อไปนี้ :
1 การคูณคือว่าถ้าสองปริมาณเขียนไว้เคียงข้าง ไม่มีสัญลักษณ์อื่น ๆระหว่างพวกเขา .
ตัวอย่าง : AB หมายถึง× B .
2 ถ้าสัญลักษณ์เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อป้องกันความสับสน เราใช้จุด ตัวอย่าง

: ถ้าเราต้องการแสดง 3 ครั้งที่ 5 เราไม่สามารถเพียงแค่เขียนพวกเขาต่อไปกับแต่ละอื่น ๆหรือจะดูเลขห้าตัว เราก็เลยเขียน
3 - 5- เราสามารถใช้วงเล็บเพื่อแยกองค์ประกอบ 3 ครั้งที่ 5 สามารถเขียนเป็น 3 ( 2 ) หรือ ( 3 ) หรือ ( 4 ) ( 5 ) กอง

มี 2 วิธีคิด ส่วนที่อ้างว่าเกี่ยวข้องกับคูณ หรือคูณด้วยส่วนกลับ .

ส่วนที่เกี่ยวข้องคูณงบ " 12 ÷ 3 = 4 ” เป็นความจริงเพียงเพราะ 3 × 4 = 12ปัญหากองก็ถามคำถาม " เลขอะไรฉันสามารถคูณตัวหารโดยได้รับเงินปันผล ? " และเพื่อให้ทุกกองสมการบางเทียบเท่าคูณสมการ ทั่วไป : : ÷ B = C ถ้าและเพียงถ้า a = b × C
นี้ยังแสดงให้เห็นว่าทำไมคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ ถ้าเราถามว่า " อะไรคือ 6 หารด้วยศูนย์ " เราจะหมายถึง " สิ่งที่จํานวนเท่าศูนย์เท่ากับหก "แต่จำนวนครั้งที่ศูนย์ให้ศูนย์ ดังนั้น ไม่มีคำตอบให้คำถามนี้
ตัวผกผันการคูณ ( ซึ่งกันและกัน )
สำหรับทุกจำนวนจริง ( ยกเว้นศูนย์ ) มีอยู่จำนวนจริงเขียนแทนด้วย 1 / เช่น
( 1 / ) = 1
- หมายเลข 1 / เรียกว่า ส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณของ A .
- ทราบว่ากฎแห่งกรรม 1 / Aส่วนกลับของซึ่งกันและกัน ให้คุณกลับไปที่คุณเริ่มต้นกับ นี้ช่วยให้เราสามารถกำหนด
กองเป็นการคูณโดยซึ่งกันและกัน :
a ÷ B = × ( 1 / b )
นี้โดยปกติจะเป็นวิธีที่สะดวกที่สุดที่จะคิดแบ่งเมื่อคุณกำลังทำพีชคณิต .

แทนการใช้สัญกรณ์สำหรับกอง สัญลักษณ์ "  " แทน ส่วนเราชอบเขียนโน้ต :

ใช้เศษส่วนป้ายกฎสำหรับกอง
เพราะกองสามารถจะเขียนเป็นการคูณด้วยส่วนกลับ มันเชื่อฟังกฎหมายเช่นเดียวกับการคูณ .
ถ้าบวกหารด้วยด้านลบ หรือ ลบ หารบวก ผลเป็นลบ :

แต่ถ้าตัวเลขเป็นสัญลักษณ์เดียวกัน ผลคือ บวก :