The general solution of Pythagoras'

The general solution of Pythagoras' 3-square equation, namely x 2 + j 2 = z2, for integer
triples (x, y9 z), has been known since Euclid in the 4th century B.C. In 1988, Georg Schaake and
John Turner discovered a new way of finding all solutions, using the rational number tree to help
find and classify them [5]. Their methods were heavily dependent on continued fractions, and
hence closely related to the arithmetic of Fibonacci sequences.
Recently, when considering properties of certain triangles in R3 in relation to Fibonacci
sequences, Turner discovered solutions for the 4-square equation x2 +y2 +z2 -w2 in integer
quadruples (x, y, z, w), with x, y, z, w each being a function of Fibonacci numbers. A simple number
tree helped in this discovery too. The idea easily generalized (see Section 3, below), providing
a two-variable identity which defined a more general class of integer solutions to the 4-square
equation.
The two-variable identity that we found turned out to be a special case of one given by
Catalan in 1877; it was discovered independently by Dainelli, and published also in 1877 (see [1],
[2], [3]). Modern treatments of the 4-square equation do not refer to these identities, and the
general solutions of it do not point to or suggest relationships with Fibonacci numbers (see, e.g.,
Sierpinski's book [6]).
We believe that our manner of finding such relationships may be new, and that the story of
their discovery, from a triangle which we decided to call an F-triangle, will be found interesting.
Moreover, we show how the vector geometric approach may be exploited, and discover further
interesting results about sequences of F-triangles, presenting us with a variety of Fibonacci identities.
Further study of the 4-square identity led to discovery of infinite classes of integer-solutions,
in terms of Fn_x, Fn, and F„+1, for both the 3-square equation (Pythagoras') and the 5-square
equation. Later we extended this process to provide solution-class formulas for the /w-square
equation, with m = 6, 7,8,.... These formulas for the solutions of the infinite sequence of equations
are presented in the final section of the paper.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การแก้ปัญหาทั่วไปของสมการ 3-สแควร์ของ Pythagoras คือ x 2 + j 2 = z2 สำหรับจำนวนเต็มtriples (x, y9 z), เป็นที่รู้จักตั้งแต่ยุคลิดในบีเซนจูรี่ 4 ในปี 1988, Schaake จอร์จ และจอห์นเทอร์เนอร์ค้นพบวิธีใหม่ของการค้นหาโซลูชั่นทั้งหมด ใช้ต้นไม้จำนวนตรรกยะเพื่อช่วยค้นหา และจัดประเภทพวกเขา [5] วิธีการของพวกเขาได้มากขึ้นอยู่กับเศษส่วนต่อเนื่อง และดังนั้น อย่างใกล้ชิดสัมพันธ์กับเลขคณิตลำดับ Fibonacciเมื่อเร็ว ๆ นี้ เมื่อพิจารณาคุณสมบัติของสามเหลี่ยมบางใน R3 เกี่ยวกับ Fibonacciลำดับ เทอร์เนอร์ค้นพบโซลูชั่นสำหรับสแควร์ 4 สมการ x 2 + y2 + z2-w2 ในจำนวนเต็มquadruples (x, y, z, w), กับ x, y, z, w แต่ละเป็นฟังก์ชั่นของเลขฟีโบนัชชี ตัวเลขอย่างง่ายแผนภูมิช่วยในการค้นพบนี้เกินไป ความคิดง่าย ๆ ตั้งค่าทั่วไป (ดูหมวดที่ 3 ด้านล่าง), ให้ตัวสองตัวแปรซึ่งกำหนดระดับทั่วไปของโซลูชั่นเต็มไป 4-สมการตัวแปรสองตัวที่เราพบให้ กรณีพิเศษหนึ่งโดยคาตาลันใน 1877 มันถูกค้นพบโดยอิสระ โดย Dainelli และยังประกาศใน 1877 (ดู [1],[2], [3]). รักษาที่ทันสมัยของสมการ 4-สแควร์ได้อ้างถึงข้อมูลเหล่านี้ และวิธีแก้ไขปัญหาทั่วไปของมันไม่ชี้ หรือแนะนำความสัมพันธ์กับเลขฟีโบนัชชี (ดู เช่นของ Sierpinski สมุด [6])เราเชื่อว่า ลักษณะของการหาความสัมพันธ์ดังกล่าวอาจใหม่ และเรื่องราวของค้นพบของพวกเขา จากสามเหลี่ยมที่เราตัดสินใจที่จะเรียกเป็น F-สามเหลี่ยม จะพบที่น่าสนใจนอกจากนี้ เราแสดงวิธีวิธีการเรขาคณิตเวกเตอร์อาจสามารถ และค้นพบเพิ่มเติมผลลัพธ์ที่น่าสนใจเกี่ยวกับลำดับของ F-สามเหลี่ยม นำเสนอเรา มีหลากหลายประจำฟีโบนัชชีศึกษาต่อของตน 4 สแควร์นำไปสู่การค้นพบชั้นอนันต์เต็มโซลูชั่นFn_x, Fn และ F "+ 1 สมการ 3-สแควร์ (Pythagoras') และ 5-สแควร์สมการ ภายหลังเราขยายกระบวนการนี้ให้คลาสโซลูชันสูตร /w-squareสมการ กับ m = 6, 7,8, ... สูตรการแก้ไขปัญหาของลำดับอนันต์ของสมการเหล่านี้มีแสดงในส่วนท้ายของกระดาษ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

วิธีการแก้ปัญหาทั่วไปของ Pythagoras 'สมการ 3 ตารางคือ x 2 + เจ 2 = z2
สำหรับจำนวนเต็มอเนกประสงค์(x, Y9 ซี) ได้รับการรู้จักกันมาตั้งแต่ยุคลิดในศตวรรษที่ 4 ในปี 1988 เฟรดริก Schaake
และจอห์นเทอร์เนอค้นพบวิธีการใหม่ในการหาการแก้ปัญหาทั้งหมดโดยใช้ต้นไม้จำนวนจริงที่จะช่วยให้การค้นหาและจัดให้ [5]
วิธีการของพวกเขามากขึ้นอยู่กับ fractions
ต่อเนื่องและด้วยเหตุที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับเลขคณิตของลำดับฟีโบนักชี.
เมื่อเร็ว ๆ นี้เมื่อพิจารณาถึงคุณสมบัติของสามเหลี่ยมบางอย่างใน R3 ในความสัมพันธ์กับ Fibonacci
ลำดับเทอร์เนอค้นพบโซลูชั่นสำหรับ 4 ตารางสมการ x2 + y2 + z2 -W2 ในจำนวนเต็ม
quadruples (x, y, z w,) กับ x, y, z w, แต่ละฟังก์ชั่นเป็นของตัวเลข Fibonacci
จำนวนที่เรียบง่ายต้นไม้ช่วยในการค้นพบนี้มากเกินไป ความคิดทั่วไปได้อย่างง่ายดาย (ดูมาตรา 3 ด้านล่าง)
ให้เป็นเอกลักษณ์ที่สองตัวแปรที่กำหนดระดับที่กว้างขึ้นของการแก้ปัญหาจำนวนเต็ม4
ตารางสม.
ตัวตนสองตัวแปรที่เราพบจะกลายเป็นกรณีพิเศษของ
หนึ่งที่ได้รับจากคาตาลันใน1877; มันถูกค้นพบโดยอิสระโดย Dainelli และตีพิมพ์ใน 1877 (ดู [1],
[2], [3]) การรักษาที่ทันสมัยของสมการ 4
ตารางไม่ได้หมายถึงตัวตนเหล่านี้และการแก้ปัญหาทั่วไปของมันไม่ได้ชี้หรือแสดงให้เห็นความสัมพันธ์กับตัวเลขFibonacci
(ดูเช่นหนังสือSierpinski ของ [6]).
เราเชื่อว่าลักษณะของเราในการหา
ความสัมพันธ์ดังกล่าวอาจจะใหม่และเรื่องราวของการค้นพบของพวกเขาจากรูปสามเหลี่ยมที่เราตัดสินใจที่จะเรียกF-รูปสามเหลี่ยมจะพบที่น่าสนใจ. นอกจากนี้เราแสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์วิธีการทางเรขาคณิตอาจจะใช้ประโยชน์และค้นพบต่อไปผลลัพธ์ที่น่าสนใจเกี่ยวกับลำดับของ F-สามเหลี่ยมนำเสนอให้เรามีความหลากหลายของตัวตน Fibonacci. นอกจากนี้การศึกษาของตัวตนที่ 4 ตารางที่นำไปสู่การค้นพบของการเรียนอนันต์ของจำนวนเต็มการแก้ปัญหาในแง่ของการFn_x, Fn และ F "1 ทั้ง สมการ 3 ตาราง (Pythagoras ') และ 5 ตารางสมการ ต่อมาเราขยายกระบวนการนี้เพื่อให้สูตรการแก้ปัญหาระดับสำหรับ w / ตารางสมกับm = 6, 7,8, .... สูตรเหล่านี้สำหรับการแก้ปัญหาของลำดับอนันต์ของสมการถูกแสดงไว้ในส่วนสุดท้ายของกระดาษ.