22 N. AnghelABCDPQRSOMCEFigure 1. A

22 N. Anghel
A
B
C
D
P
Q
R
S
O
M
C
E
Figure 1. A maximal-perimeter inscribed parallelogram ABCD and its associ-
ated circumscribed rectangle P QRS
parallelogram being continuous, an inscribed parallelogram of maximal perimeter
always exists.
Let now ABCD be such a parallelogram. In the family of ellipses with foci A
and C there is an unique ellipse E such that C∩E = ∅, but C∩E-
= ∅ for any el-
lipse E-
in the family whose major axis is greater than the major axis of E. In other
words, E is the largest ellipse with foci A and C intersecting C. Consequently, C
and E have the same tangent lines at any point in C∩E. Notice that C∩E contains
at least two points, symmetric with respect to the center O of C. The maximality
of ABCD implies that B and D belong to C∩E and the familiar reflective prop-
erty of ellipses guarantees the reflective property with respect to the ‘mirror’ C of
the parallelogram ABCD at the vertices B and D. A similar argument applied
to the family of ellipses with foci B and D yields the reflective property of the
parallelogram ABCD at the other two vertices, A and C.
Assume now that the tangent lines to C at A, B, C, and D, meet at P, Q, R, and
S (see Figure 1). By symmetry, P QRS is a parallelogram with the same center as
C. The reflective property of ABCD and symmetry imply that, say AP B and
CQB are similar triangles. Consequently, the parallelogram P QRS has two
adjacent angles congruent, so it must be a rectangle.
Referring to Figure 1, let M be the midpoint of AB. Similarity inside ABC
shows that the mid-segment MO is parallel to BC and MO = BC
2 . Now, in the
right triangle AP B, PM = BM = AB
2 , since the segment PM is the median

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Anghel 22 ตอนเหนือบีC D P Q R S โอเอ็มซีอีรูปที่ ABCD และ Associ ของ -สี่เหลี่ยมเส้น circumscribed P QRS สี่เหลี่ยมด้านขนานต่อเนื่อง กขคง fociและ C มีเฉพาะรูปวงรี E เช่นที่C∩E = ∅ แต่C∩E - = ∅สำหรับเอลใด ๆ - lipse E- ในครอบครัว ๆคำวงใหญ่กับ foci และ C ที่อินเตอร์เซกกันซีเป็นดังนั้นC และ E มีเส้นสัมผัสกันที่จุดใด ๆ ในC∩Eประกาศที่C∩Eประกอบด้วยน้อยตั้งขึ้นสองจุดสมมาตรกับตัวO เซลเซียสMaximality ที่หุ้นABCD หมายความว่า B และ D เป็นของC∩Eและคุ้นเคยสะท้อน prop- คุณสมบัติสะท้อนแสงกับ 'กระจก' C ของรับประกัน erty วงรีของแบบสี่เหลี่ยมด้านขนานABCD ที่จุดยอดและ B foci B และ D ABCD ที่อื่นสองจุดยอดและคสมมติที่แทนเจนต์บรรทัดถึงC ที่ A, B, C และ D ตรงกับที่ P, Q, R และS (ดูรูปที่ 1) โดยสมมาตร P QRS สะท้อนคุณสมบัติของเอบีซีและสมมาตรนัยว่าว่าจุด B และCQB สามเหลี่ยมคล้ายเป็นดังนั้นสี่เหลี่ยมด้านขนานP QRS สองมีมุมที่อยู่ติดแผงดังนั้นมันต้องเป็นสี่เหลี่ยมอ้างถึงรูปที่ 1 ให้ M เป็นจุดกึ่งกลางของ AB คล้ายภายในเอบีซีแสดงว่า MO ส่วนกลางขนานกับปีก่อนคริสตกาลและ MO = BC 2 ตอนนี้ในหัวเรื่อง: การสามเหลี่ยมมุมฉากที่B AP, PM = BM AB = 2 เนื่องจากเซ็กเมนต์ PM ค่ามัธยฐาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

22 เอ็น Anghel B C D P Q R S O M C E รูปที่ 1 ABCD และ associ- ของated สี่เหลี่ยมผืนผ้า circumscribed Pกขคงfoci กและC มีวงรี E ที่ไม่ซ้ำกันเช่นที่C∩E? = ∅ แต่C∩E- = ∅สำหรับ EL- ใดE- ของอีแกนในอื่น ๆคำ E เป็นวงรีที่ใหญ่ที่สุดกับ foci และ C ตัดซีดังนั้น, C และ E maximality ของเอบีซีแสดงให้เห็นว่า B และ D เป็นC∩Eและ prop- คุ้นเคยสะท้อนerty กับ 'กระจก' C ของสี่เหลี่ยมด้านขนานABCD ที่จุด B และB และ D C ที่ A, B, C, D และพบกันที่ P, Q, R และS (ดูรูปที่ 1) โดยสมมาตร PAP และB? CQB QRS สี่เหลี่ยมด้านขนาน1 ให้ M เป็นจุดกึ่งกลางของ ขนานกับปีก่อนคริสตกาลและ MO = BC 2 ตอนนี้ในสามเหลี่ยมมุมฉาก AP B, PM = BM AB = 2 เนื่องจากส่วน PM เป็นค่ามัธยฐาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

22 Anghel B C D พีคิวอาร์s o มC E 1 รูปเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD โดยรอบสลักและจากพื้นที่ที่จํากัด (พ่อพันธุ์ QRS อย่างต่อเนื่อง ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในครอบครัวของวงรีกับบันทึกเป็นC มีเฉพาะวงรี E เช่น C ∩ E = ∅ แต่∩ E - ค


















= ∅สำหรับเอ - อี -. lipse ในครอบครัวที่มีแกนใหญ่เหนือกว่าแกนใหญ่ในคำ อื่น ๆอีเป็นวงรีวางที่ใหญ่ที่สุดกับและ C ตัด C ดังนั้น C และ E มีเหมือนกันสัมผัสสายที่จุดใด ๆ ใน∩ CEC ∩สังเกตเห็นว่า maximality C o





ของ ABCD หมายถึง B และ C เป็น D E ∩และคุ้นเคยดังยัน -
erty 'กระจก' C ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD
ที่จุด B และ D
วงรีกับวาง B และ D สามารถสะท้อนคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD
ที่อีก 2 จุด, และซี.
ถือว่าตอนนี้สัมผัสสาย C ที่ A, B, C และ D พบใน p, q, R,
(ดูรูปที่ 1) โดย สมมาตร P QRS
คุณสมบัติสะท้อนแสงของเอบีซีและสมมาตรแปลว่าพูด?
เอพีบี? CQB เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจากนั้นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน P QRS
สองมุมได้ติดกันที่คุณต้องสอดคล้องกัน
1 ให้ M เป็นจุดกึ่งกลางของ AB ความเหมือนภายใน?
เอบีซีแสดงว่าส่วนกลางโมขนานกับปีก่อนคริสตกาลและโม= BC
2
นี้ในตอนสามเหลี่ยมถูกเอพีบีน. = BM AB =
2 เพราะส่วน PM คือมัธยฐาน