Let ABC be the given circle, and DE

Let ABC be the given circle, and DEF the given triangle. So it is required to circumscribe a triangle, equiangular with triangle DEF, about circle ABC.
Let EF have been produced in each direction to points G and H. And let the center K of circle ABC
have been found [Prop. 3.1]. And let the straight-line KB have been drawn, at random, across (ABC). And let (angle) BKA, equal to angle DEG, have been constructed on the straight-line KB at the point K on it,and (angle) BKC, equal to DFH [Prop. 1.23]. And let the (straight-lines) LAM, MBN, and NCL have been drawn through the points A, B, and C (respectively), touching the circle ABC.
And since LM, MN, and NL touch circle ABC at points A, B, and C (respectively), and KA, KB, and
KC are joined from the center K to points A, B, and the angles at points A, B, and C are thus right-angles [Prop. 3.18]. And since the (sum of the) four angles of quadrilateral AMBK is equal to four right angles, inasmuch as AMBK (can) also (be) divided into two triangles [Prop. 1.32], and angles KAM and KBM are (both) right angles, the (sum of the) remaining AKB and AMB, is thus equal to two right-angles. And DEG and DEF is also equal to two right-angles [Prop. 1.13]. Thus, AKB and AMB is equal to DEG and DEF, of which AKB is equal to DEG. Thus, the remainder AMB is equal to the remainder DEF. So, similarly, it can be shown that LNB is also equal to DFE. Thus, the remaining (angle) MLN is also equal to the [remaining] (angle) EDF [Prop. 1.32]. Thus, triangle LMN is equiangular with triangle DEF. And it has been drawn around circle ABC. Thus, a triangle, equiangular with the given triangle, has been circumscribed about the given circle. (Which is) the very thing it was required to do.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้เป็นวงกลมกำหนด ABC และกำหนดรูปสามเหลี่ยม DEF ดังนั้นจึงจำเป็นต้อง circumscribe สามเหลี่ยม มุมเท่ากับสามเหลี่ยม DEF เกี่ยวกับวงกลม ABC.
EF ให้มีการผลิตในแต่ละทิศทางจุด G และ H. และให้ศูนย์ K ของวง ABC
พบ [Prop. 3.1] และให้ KB แบบเส้นตรงได้ ออก สุ่ม ข้าม (ABC) ให้ (มุม) BKA เท่ากับมุมองศาเซลเซียส จะถูกสร้างบน KB วิธีที่ K จุดที่มัน และ (มุม) BKC เท่ากับ DFH [Prop. 1.23] ให้ (ตรงบรรทัด) ลำ MBN และ NCL ได้ออกผ่านจุด A, B และ C (ตามลำดับ), สัมผัสวงกลม ABC.
และเนื่อง จาก LM, MN และ NL สัมผัสวงกลม ABC ที่จุด A, B และ C (ตามลำดับ), KA, KB และ และ
KC รวมจากศูนย์ K จุด A, B และมุมที่จุด A, B และ C ขวามุม [Prop. 3.18] และตั้งแต่ (ผลรวมของการ) สี่มุมของ quadrilateral AMBK คือเท่ากับ 4 มุมขวา inasmuch เป็น AMBK (สามารถ) ยัง () แบ่งออกเป็นสองสามเหลี่ยม [Prop. 1.32], และมุมกำและ KBM อยู่มุมขวา (ทั้ง) (ผลรวมของการ) เหลือ AKB และ AMB จึงเท่ากับสองขวามุม และ DEG และ DEF ก็เท่ากับสองขวามุม [Prop. 1.13] ดังนั้น AKB และ AMB จะเท่ากับองศาเซลเซียสและ DEF ของ AKB จะเท่ากับองศาเซลเซียส , AMB เหลือจึงเท่ากับเริ่มต้นส่วนเหลือ ดังนั้น ในทำนองเดียวกัน มันสามารถแสดงว่า LNB ก็เท่ากับ DFE ดังนั้น ที่เหลือ (มุม) MLN ได้ยังเท่ากับ [เหลือ] (มุม) EDF [Prop. 1.32] ดังนั้น สามเหลี่ยม LMN เป็นมุมเท่ากับสามเหลี่ยมเริ่ม และการออกรอบวง ABC ดังนั้น สามเหลี่ยม มุมเท่ากับสามเหลี่ยมที่กำหนด มีการ circumscribed เกี่ยวกับวงกลมกำหนด (ซึ่งอยู่) ในสิ่งที่ถูกต้องไม่

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เอบีซีให้เป็นวงกลมที่กำหนดและ DEF สามเหลี่ยมที่กำหนด ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีการวงรูปสามเหลี่ยมมีมุมทุกมุมเท่ากันด้วยสามเหลี่ยม DEF ประมาณวงกลม ABC
ให้ EF ได้รับการผลิตในทิศทางที่จะชี้จีและเอชและให้ศูนย์ K ของวงกลมแต่ละเอบีซี
ได้รับการค้นพบ [ฉาก 3.1] และให้เส้นตรงกิโลไบต์ได้รับการวาดที่สุ่มทั่ว (ABC) และปล่อยให้ (มุม) BKA เท่ากับมุมหยามได้รับการสร้างขึ้นบนเส้นตรง KB ที่ K จุดในนั้นและ (มุม) BKC เท่ากับ DFH [ฉาก 1.23] และปล่อยให้ (ตรงเส้น) LAM, MBN และ NCL ได้รับการลากผ่านจุด A, B และ C (ตามลำดับ) สัมผัสวงกลม ABC
และเนื่องจาก LM, มินนิโซตาและ NL ABC สัมผัสวงกลมที่จุด, B และ C (ตามลำดับ) และ KA, KB, และ
เคซีจะเข้าร่วมจากใจกลาง K ที่จุด A, B, และมุมที่จุด A, B และ C จึงมุมขวา [ฉาก 3.18] และตั้งแต่ (ผลรวมของ) สี่มุมของ AMBK สี่เหลี่ยมเท่ากับสี่มุมขวาด้วยว่า AMBK (สามารถ) ก็ (ต้อง) แบ่งออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยม [ฉาก 1.32] และมุม KAM และ KBM เป็น (ทั้งสอง) มุมขวา (ผลรวมของ) AKB ที่เหลืออยู่และ AMB, จึงเท่ากับสองมุมขวา และหยามและป้องกันยังเท่ากับสองมุมขวา [ฉาก 1.13] ดังนั้น AKB และ AMB เท่ากับหยามและ DEF ซึ่ง AKB เท่ากับหยาม ดังนั้น AMB ส่วนที่เหลือจะมีค่าเท่ากับส่วนที่เหลือ DEF ดังนั้นในทำนองเดียวกันก็สามารถแสดงให้เห็นว่ายัง LNB เท่ากับ DFE ดังนั้นที่เหลืออยู่ (มุม) MLN ยังมีค่าเท่ากับ [ที่เหลือ] (มุม) EDF [ฉาก 1.32] ดังนั้นสามเหลี่ยม LMN มีมุมทุกมุมเท่ากันเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีพลังป้องกัน และได้รับการวาดรอบวงกลมเอบีซี ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมมีมุมทุกมุมเท่ากันกับรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ได้รับการ circumscribed เกี่ยวกับวงกลมที่กำหนด (ซึ่งเป็น) สิ่งที่ดีมันก็จำเป็นต้องทำ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ ABC เป็นให้ def ให้วงกลมและสามเหลี่ยม ดังนั้นจึงต้องจำกัดรูปสามเหลี่ยมมุมเท่ากับ DEF สามเหลี่ยมกับวงกลม ABC
ให้ EF ได้ถูกผลิตในแต่ละทิศทางจุด G และ H . ให้ศูนย์ K กลม ABC
ได้เจอ [ prop 3.1 ] ให้ตรงและบางครั้งได้รับการวาด , สุ่ม , ข้าม ( ABC ) และให้ ( มุม ) bka เท่ากับมุมองศา ,ได้ถูกสร้างขึ้นบนเส้นตรงบางครั้งที่จุด K บนมันและ ( มุม ) BKC เท่ากับ dfh [ prop 1.23 ] และปล่อยให้ ( เส้นตรง ) Lam MBN และค่าจะถูกดึงผ่านจุด A , B และ C ( ตามลำดับ ) สัมผัสวงกลม ABC .
และเนื่องจาก LM , MN , และฉันสัมผัสวงกลม ABC ที่จุด A , B และ C ( ตามลำดับ ) และบางครั้ง และกา
KC จะเข้าร่วมจากศูนย์ k ที่จุด A , Bและมุมที่จุด A , B และ C เป็นมุมขวา [ prop 3.18 ] และเนื่องจาก ( ผลรวมของ ) สี่มุมของรูปสี่เหลี่ยม ambk เท่ากับสี่มุมขวาเพราะ ambk ( สามารถ ) ยัง ( ต้อง ) แบ่งออกเป็นสองสามเหลี่ยม [ prop 1.32 ] , และมุมและ ( 2 ) คำ kbm มุมขวา ( ผลรวมของ akb ) และที่เหลือด้วย จึงเป็นเท่ากับสองมุมขวาและ องศา และ . ยังเท่ากับสองมุมขวา [ prop 1.13 ] ดังนั้น และเท่ากับ akb ด้วยองศา และ def ที่ akb เท่ากับองศาดังนั้นส่วนที่เหลือด้วย เท่ากับส่วนที่เหลือ Sample ดังนั้น ในทำนองเดียวกัน มันสามารถแสดงให้เห็นว่า LNB ก็เท่ากับ dfe . ดังนั้น ที่เหลือ ( มุม ) มินก็เท่ากับ [ เหลือ ] ( มุม ) EDF [ prop 1.32 ] ดังนั้น สามเหลี่ยมเป็นมุมเท่ากับ lmn . สามเหลี่ยมและมันได้ถูกวาดรอบวงกลม ABC ดังนั้น สามเหลี่ยม , รูปสามเหลี่ยมมุมเท่ากับให้มีพื้นที่ที่ จํากัด เรื่องให้วงกลม ( ซึ่งเป็น ) สิ่งที่มันต้องทำ .