Submitted by plusadmin on September

Submitted by plusadmin on September 1, 1997


Sir Walter Raleigh is perhaps best known for laying down his cloak in the mud for Queen Elizabeth I (though sadly this act of chivalry is probably a myth!) However, he also started a mathematical quest which to this day remains unsolved.

Sir Walter posed a simple question to his mathematical assistant, Thomas Harriot. How can I calculate the number of cannon balls in a stack? Harriot solved this problem without difficulty but started to wonder about a more general problem. What arrangement of the balls takes up the least space?

Harriot wrote about the problem to his colleague Johannes Kepler, best known for his work on planetary orbits. Kepler experimented with the problem and concluded that an arrangement known as the face centred cubic packing, a pattern favoured by fruit sellers, could not be bettered. This statement has become known as "Kepler's conjecture" or simply the sphere packing problem.
Fruit stacked.
Fruit stacked using the face centred cubic packing.
To measure how good an arrangement is, mathematicians imagine that all of space is filled with spheres. They calculate the proportion of this infinite space, or volume, occupied by the spheres themselves. The remainder of the volume or space is formed by the gaps between the spheres.

The sphere packing problem has various applications. Firstly, it extends quite simply into other dimensions (in two dimensions it becomes the circle packing problem). It is also analogous to the problem of constructing optimal codes (see "Coding theory: the first 50 years" elsewhere in this issue). A proof of the conjecture may also help physicists to understand the structure of crystals, something that Harriot himself urged Kepler to consider in his work on optics.

Although the sphere packing problem has frustrated mathematicians for nearly four centuries there is light at the end of the tunnel. In 1953 the Hungarian, László Fejes-Tóth showed that given sufficient computing power the problem could be solved. The American mathematician, Thomas Hales is currently trying to do just that and is hopeful that within "a year or two" he will complete the calculations.
Spheres.
The face centred cubic packing (left) consists of layers of spheres. Each layer is positioned so that the spheres rest on the 'holes' of the layer below. This arrangement is not unique, the hexagonal close packing (right) is constructed in a similar way and is equally efficient.
The trouble with Hales' solution is that it cuts right to the heart of what many believe a mathematical proof should be. If Hales is successful there may be a feeling of anti-climax with no new insight immediately apparent.

It is therefore not surprising that some people are convinced that a more traditional proof is possible. Wu-Yi Hsiang, from California published just such a proof in 1990 but after much deliberation, the majority of mathematicians in the field remain sceptical claiming that there are holes in his argument.

Whether the holes in Hsiang's proof will be filled before Hales finishes his computation remains to be seen but it seems likely that Kepler's conjecture will, at least for the time being, remain a mathematical mystery.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เขียน โดย plusadmin เมื่อ 1 กันยายน ปี 1997Sir Walter Raleigh เป็นทีรู้จักกันดีสำหรับวางลงฮูดในโคลนในควีนเอลิซาเบธฉัน (แม้เศร้า chivalry บัญญัตินี้อาจเป็นตำนาน) อย่างไรก็ตาม เขายังเริ่มต้นเควสทางคณิตศาสตร์ซึ่งถึงวันนี้ยังคงอยู่ยังไม่ได้แก้ไขSir Walter อึ้งถามอย่างผู้ช่วยของเขาทางคณิตศาสตร์ Thomas Harriot วิธีฉันสามารถคำนวณจำนวนลูกปืนใหญ่ในกองซ้อนหรือไม่ Harriot แก้ไขปัญหานี้ได้โดยไม่ยาก แต่เริ่มสงสัยเกี่ยวกับปัญหาทั่วไป จัดสิ่งของลูกใช้เนื้อที่น้อยที่สุดHarriot เขียนเกี่ยวกับปัญหาการร่วมงานของเขาโยกฎ รู้จักกันดีสำหรับงานของเขาในวงโคจรของดาวเคราะห์ กฎเบื้องกับปัญหา และสรุปว่า การจัดเรียกว่าลูกบาศก์บรรจุศูนย์กลางหน้า รูปแบบที่โปรดปรานผลไม้ขาย สามารถไม่สามารถ bettered งบนี้ได้กลายเป็นเรียกว่า "กฎข้อความคาดการณ์" หรือเพียงแค่ทรงกลมบรรจุปัญหาผลไม้ที่ซ้อนผลไม้แบบกองซ้อนใช้หน้าศูนย์กลางบรรจุลูกบาศก์วัดจัดเป็นวิธีที่ดีคือ mathematicians จินตนาการว่า ทุกพื้นที่จะเต็มไป ด้วยทรงกลม พวกเขาคำนวณสัดส่วนของนี้อนันต์พื้นที่ ปริมาตร การครอบครอง โดยรัฐบาลท้องถิ่นตัวเอง ส่วนเหลือของปริมาตรหรือพื้นที่จะเกิดขึ้น โดยเว้นช่องว่างระหว่างท้องถิ่นทรงกลมบรรจุปัญหาใช้งานต่าง ๆ ได้ ประการแรก มันครอบคลุมไปถึงมิติอื่นน่า (ในมิติที่สอง เป็นวงกลมที่บรรจุปัญหา) ก็ยังคล้ายคลึงกับปัญหาของการสร้างรหัสที่เหมาะสม (ดู "รหัสทฤษฎี: 50 ปีแรก" อื่น ๆ ในเรื่องนี้) หลักฐานข้อความคาดการณ์อาจช่วย physicists เข้าใจโครงสร้างของผลึก สิ่งที่ Harriot ตัวเองกระตุ้นให้กฎพิจารณาในงานของเขาบนเลนส์แม้ทรงกลมบรรจุปัญหามี mathematicians ผิดหวังเกือบสี่ศตวรรษ มีแสงที่ปลายอุโมงค์ ในปีค.ศ. 1953 ฮังการี László Fejes Tóth ชี้ให้เห็นว่าให้พลังคอมพิวเตอร์ที่เพียงพอสามารถแก้ไขปัญหา นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน Thomas Hales กำลังพยายามทำสิ่งเหล่า และมีความหวังว่า ภายใน "ปีหรือสอง" เขาจะทำการคำนวณรัฐบาลท้องถิ่นหน้าศูนย์กลางบรรจุลูกบาศก์ (ซ้าย) ประกอบด้วยชั้นของทรงกลม แต่ละชั้นอยู่เพื่อให้ท้องถิ่นวางตัวบน 'หลุม' ของชั้นด้านล่าง การจัดเรียงนี้ไม่เฉพาะ ปิดหกเหลี่ยมที่บรรจุ (ขวา) สร้างขึ้นในลักษณะคล้ายกัน และมีประสิทธิภาพอย่างเท่าเทียมกันปัญหากับโซลูชันของ Hales คือ ว่า มันตัดขวาไปแห่งสิ่งที่หลายคนเชื่อควรพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ถ้า Hales ประสบความสำเร็จ อาจมีความรู้สึกต่อต้านจุดสุดยอดด้วยไม่เข้าใจใหม่ทันทีชัดเจนจึงไม่น่าแปลกใจที่บางคนมั่นใจว่าหลักฐานดั้งเดิมได้ด้วย เซียงวูยี่ จากแคลิฟอร์เนียประกาศเพียงเช่นกันในปี 1990 แต่ยังคงความอ้างว่า มีหลุมในอาร์กิวเมนต์ของเขาหลังจากสุขุมมาก ส่วนใหญ่ของ mathematicians ในฟิลด์ว่าหลุมในเซียงของกันไว้ก่อนคำนวณของเขาเสร็จสิ้น Hales ยังคงได้ แต่ดูเหมือนมีแนวโน้มว่า ข้อความคาดการณ์ของกฎ น้อยพลาง ๆ ยังคง ลึกลับทางคณิตศาสตร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

Submitted by plusadmin บน 1 กันยายน 1997 เซอร์วอลเตอร์ราลีอาจจะเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการวางลงเสื้อคลุมของเขาในโคลนสมเด็จพระราชินีเอลิซาเบผม (แต่น่าเศร้าที่การกระทำของความกล้าหาญนี้น่าจะเป็นตำนาน!) แต่เขาก็เริ่มแสวงหาทางคณิตศาสตร์ที่จะ ในวันนี้ยังคงเป็นปริศนา. เซอร์วอลเตอร์โพสต์คำถามง่ายๆที่จะช่วยทางคณิตศาสตร์ของเขาโทมัสริออท ฉันจะคำนวณจำนวนลูกปืนใหญ่ในกองหรือไม่? Harriot แก้ปัญหานี้โดยไม่ยาก แต่เริ่มสงสัยเกี่ยวกับปัญหาทั่วไปมากขึ้น สิ่งที่จัดเรียงของลูกใช้พื้นที่น้อย? Harriot เขียนเกี่ยวกับปัญหาเพื่อนร่วมงานของเขาฮันเนสเคปเลอร์รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการทำงานในวงโคจรของดาวเคราะห์ของเขา เคปเลอร์ทดลองกับปัญหาและได้ข้อสรุปว่าการจัดเรียงที่รู้จักกันเป็นใบหน้าศูนย์กลางบรรจุลูกบาศก์รูปแบบที่ได้รับการสนับสนุนโดยผู้ขายผลไม้ไม่สามารถดีขึ้น คำสั่งนี้ได้กลายเป็นที่รู้จักกันว่า "เคปเลอร์ของการคาดเดา" หรือแค่ปัญหาบรรจุทรงกลม. ผลไม้ซ้อนกัน. ผลไม้ซ้อนกันโดยใช้ใบหน้าเป็นศูนย์กลางการบรรจุลูกบาศก์. การวัดวิธีการที่ดีจัดเป็นนักคณิตศาสตร์คิดว่าทุกพื้นที่เต็มไปด้วยความทรงกลม พวกเขาคำนวณสัดส่วนของพื้นที่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดนี้หรือปริมาณครอบครองโดยทรงกลมตัวเอง ที่เหลือของปริมาณหรือพื้นที่ที่จะเกิดขึ้นโดยช่องว่างระหว่างทรงกลม. ปัญหาการบรรจุทรงกลมมีการใช้งานต่างๆ ประการแรกก็ขยายมากเพียงเข้าไปในมิติอื่น ๆ (ในสองมิติมันจะกลายเป็นปัญหาบรรจุวงกลม) นอกจากนี้ยังจะคล้ายคลึงกับปัญหาของการสร้างรหัสที่ดีที่สุด (ดูที่ "ทฤษฎีการเข้ารหัส: ครั้งแรก 50 ปี" ที่อื่น ๆ ในเรื่องนี้) หลักฐานการคาดเดานอกจากนี้ยังอาจช่วยให้นักฟิสิกส์ที่จะเข้าใจโครงสร้างของผลึกสิ่งที่ Harriot ตัวเองเรียกร้องให้เคปเลอร์จะต้องพิจารณาในการทำงานของเขาในเลนส์. แม้ว่าปัญหาการบรรจุทรงกลมมีนักคณิตศาสตร์ผิดหวังเกือบสี่ศตวรรษมีแสงสว่างที่ปลาย อุโมงค์ ในปี 1953 ฮังการีLászló Fejes-Tóthแสดงให้เห็นว่าอำนาจการใช้คอมพิวเตอร์เพียงพอที่จะได้รับปัญหาที่เกิดขึ้นสามารถแก้ไขได้ นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันโทมัสเฮลส์ในปัจจุบันคือการพยายามที่จะทำเพียงแค่นั้นและมีความหวังว่าภายใน "ปีหรือสองปี" เขาจะเสร็จสิ้นการคำนวณ. Spheres. ใบหน้าศูนย์กลางบรรจุลูกบาศก์ (ซ้าย) ประกอบด้วยชั้นของทรงกลม แต่ละชั้นอยู่ในตำแหน่งเพื่อให้ทรงกลมส่วนที่เหลือที่ 'หลุม' ของชั้นด้านล่าง ข้อตกลงนี้จะไม่ซ้ำที่บรรจุใกล้หกเหลี่ยม (ขวา) ถูกสร้างในลักษณะที่คล้ายกันและมีประสิทธิภาพเท่าเทียมกัน. ปัญหาเกี่ยวกับการแก้ปัญหา Hales 'ก็คือว่ามันตัดสิทธิที่จะเป็นหัวใจของสิ่งที่หลายคนเชื่อว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ควรจะเป็น หาก Hales จะประสบความสำเร็จอาจจะมีความรู้สึกของการต่อต้านจุดสุดยอดโดยไม่เข้าใจใหม่ทันทีที่เห็นได้ชัด. ดังนั้นจึงเป็นเรื่องไม่น่าแปลกใจที่บางคนเชื่อว่าหลักฐานแบบดั้งเดิมมากขึ้นเป็นไปได้ วูยี่ยงจากแคลิฟอร์เนียเผยแพร่เพียงเช่นหลักฐานในปี 1990 แต่หลังจากใคร่ครวญมากส่วนใหญ่ของนักคณิตศาสตร์ในสนามยังคงสงสัยอ้างว่ามีหลุมในข้อโต้แย้งของ. ไม่ว่าจะเป็นหลุมในการพิสูจน์ยงที่จะเต็มไปก่อน Hales เสร็จสิ้นของเขา คำนวณคงที่จะเห็น แต่มันดูเหมือนว่าการคาดเดาของเคปเลอร์จะอย่างน้อยในขณะนี้ยังคงเป็นปริศนาทางคณิตศาสตร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ส่งโดย plusadmin เมื่อวันที่ 1 กันยายน 2540


ท่าน Walter Raleigh เป็นที่รู้จักอาจจะดีที่สุดสำหรับวางของเขาซ่อนอยู่ในโคลนเพื่อ Queen Elizabeth ฉัน ( แต่น่าเศร้านี้การกระทำของความกล้าหาญเป็นตำนาน ! อย่างไรก็ตาม เขายังเริ่มแสวงหาทางคณิตศาสตร์ ซึ่งวันนี้ยังคงเป็นปริศนา

เซอร์วอลเตอร์ถูกวางคำถามง่ายๆกับผู้ช่วยคณิตศาสตร์ของเขาทอมัส แฮร์เรียต .ฉันจะคำนวณจำนวนลูกปืนใหญ่ในกองซ้อน แก้ไขปัญหานี้ได้โดยไม่ยาก แฮร์เรียต แต่เริ่มสงสัยเกี่ยวกับปัญหาทั่วไปมากขึ้น สิ่งที่จัดเรียงของลูกใช้พื้นที่น้อยที่สุด

แฮร์เรียต เขียนเรื่อง ปัญหาเพื่อนร่วมงานของเขา โยฮันเนส เคปเลอร์ที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการทำงานของเขาในการโคจรของดาวเคราะห์เคปเลอร์ทดลองที่มีปัญหาและสรุปได้ว่า การจัดเรียงที่รู้จักกันเป็นใบหน้าที่มีการบรรจุลูกบาศก์ , รูปแบบ favoured โดยผู้ขายผลไม้ไม่สามารถ bettered . ประกาศนี้ได้กลายเป็นที่รู้จักในฐานะ " เคปเลอร์การคาดเดา " หรือเพียงแค่ทรงกลมบรรจุปัญหา .

ผลไม้ผลไม้เรียงซ้อนกัน ใช้หน้าศูนย์กลางการบรรจุลูกบาศก์ .
วัดจัดเป็นอย่างไรดีนักคณิตศาสตร์คิดว่าทุกพื้นที่เต็มไปด้วยทรงกลม พวกเขาคำนวณสัดส่วนของพื้นที่นี้ไม่มีที่สิ้นสุด หรือปริมาณที่ถูกครอบครองโดยรัฐบาลท้องถิ่นเอง ส่วนที่เหลือของหมวดหรือพื้นที่ เกิดจากช่องว่างระหว่างทรงกลม ทรงกลม ขนาด

มีปัญหาการใช้งานต่าง ๆ ประการแรกมันขยายมากเพียงเข้าไปในมิติอื่น ๆ ( สองมิติกลายเป็นวงกลมบรรจุปัญหา ) นอกจากนี้ยังคล้ายคลึงกับปัญหาของการสร้างรหัสที่เหมาะสม ( ดู " การเข้ารหัสทฤษฎี : 50 ปีแรก " ที่อื่น ๆในเรื่องนี้ ) ข้อพิสูจน์ของออยเลอร์ยังอาจช่วยให้นักฟิสิกส์เข้าใจโครงสร้างของผลึกบางอย่างที่ แฮร์เรียตเองกระตุ้นให้เคปเลอร์จะพิจารณาในงานของเขาบนเครื่องแก้ไขภาพกล้อง

แม้ว่าปัญหาบรรจุทรงกลมมีผิดหวังนักคณิตศาสตร์เกือบสี่ศตวรรษ มีแสงสว่างที่ปลายอุโมงค์ ในปี 1953 ฮังการี , L . kgm ó SZL fejes-t ó th พบว่า ให้พลังงานคอมพิวเตอร์เพียงพอ ปัญหาอาจจะแก้ไขได้ นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันโทมัส เฮลส์กำลังพยายามจะทำ และมีความหวังว่าใน " สองปี " เขาจะเสร็จสิ้นการคํานวณ

หน้าศูนย์กลางทรงกลม บรรจุลูกบาศก์ ( ซ้าย ) ประกอบด้วยชั้นของทรงกลม แต่ละชั้นวางเพื่อให้ส่วนที่เหลือทรงกลมบน ' หลุม ' ของชั้นด้านล่าง การจัดเรียงนี้ไม่ใช่เฉพาะหกเหลี่ยมปิดบรรจุ ( ขวา ) ถูกสร้างขึ้นในลักษณะที่คล้ายกันและมีประสิทธิภาพเท่าเทียมกัน
ปัญหากับเฮล ' โซลูชั่นที่ตัดเข้าไปในหัวใจของสิ่งที่หลายคนเชื่อการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ควรเป็น ถ้าเฮลส์ประสบความสำเร็จอาจจะมีความรู้สึกแอนตี้ไคลแม็กซ์ ด้วยไม่มีความเข้าใจแจ่มแจ้งทันที

จึงไม่น่าแปลกใจที่บางคนเชื่อว่าหลักฐานแบบดั้งเดิมมากขึ้นก็เป็นไปได้ อู๋อี้เซียง จากแคลิฟอร์เนียตีพิมพ์เพียงเช่นหลักฐานในปี 1990 แต่หลังจากไตร่ตรอง ส่วนใหญ่ของนักคณิตศาสตร์ในฟิลด์ยังคงสงสัยอ้างว่ามีหลุมในการโต้เถียงของเขา

ไม่ว่าจะอยู่ในเซี่ยง หลักฐานจะเต็มก่อนเฮลเสร็จสิ้นการคำนวณของเขายังคงที่จะเห็น แต่ดูเหมือนว่าเคปเลอร์คือการคาดเดาจะอย่างน้อยสำหรับตอนนี้ ก็ยังคงเป็นปริศนาทางคณิตศาสตร์