4.4 เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม เส้นข

4.4 เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม


เส้นขนาน




เส้นขนาน หมายถึง เส้นตรงตั้งแต่สองเส้นขึ้นไปที่มีระยะทางระหว่างเส้นเท่ากันไปตลอดไม่ว่าจะลากต่อปลายออกไปยาวเท่าไรก็ตามจะไม่พบกัน นอกจากนี้เส้นโค้งก็ยังเป็นเส้นขนานได้ เรียกว่า โค้งขนาน
เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันต่อเมื่อเส้นตรงทั้งสอง มีระยะห่างเท่ากันเสมอ และใช้สัญลักษณ์ "// " แทนการขนาน จากรูปเส้นตรง รล ขนานกับเส้นตรง วย เพราะมีระยะห่างเท่ากัน การพิสูจน์ว่าเส้นตรงทั้งสองมีระยะห่างเท่ากัน มีขั้นตอนดังนี้คือ

ขั้นที่ 1 กำหนดจุดบนเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่งอย่างน้อย 2 ตำแหน่ง โดยให้ตำแหน่งจุดที่กำหนดอยู่ค่อนปลายเส้นทางซ้ายและทางขวาที่ละตำแหน่ง
ขั้นที่ 2 ทำมุมฉาก ณ จุดที่กำหนด
ขั้นที่ 3 ลากเส้นมุมฉาก
ขั้นที่ 3 ใช้ไม้บรรทัดวัดเส้นที่ลากเป็นมุมฉาก ว่ามีความยาวเท่ากันหรือไม่ ถ้าเท่าแสดงว่าเส้นตรงทั้งสองขนานกัน

รูปสามเหลี่ยม (อังกฤษ: triangle) เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี3 มุมหรือจุดยอด และมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรงรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B, และ C เขียนแทนด้วย ABC

ในเรขาคณิตแบบยุคลิดจุด 3 จุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว และเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว(เช่นระนาบสองมิติ)

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก(perpendicular bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้าน และตั้งฉากกับด้านนั้น นั่นคือ ทำมุมฉากกับด้านนั้น เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามจะพบกันที่จุดเดียว คือ ศูนย์กลางวงล้อม(circumcenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อม(circumcircle) ซึ่งเป็นวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสาม เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมสามารถหาได้จากกฎไซน์ที่กล่าวไปในข้างต้น

ทฤษฎีบทของธาลีส(Thales' theorem) กล่าวว่า ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมแล้ว มุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่นอกรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน



จุดตัดของส่วนสูงคือ จุดออร์โทเซนเตอร์

ส่วนสูง(altitude) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉาก (ทำมุมฉาก)กับด้านตรงข้าม ด้านตรงข้ามนั้นเรียกว่าฐาน (base) ของส่วนสูง และจุดที่ส่วนสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนที่ขยายออกมา) นั้นเรียกว่า เท้า (foot)ของส่วนสูง ความยาวของส่วนสูงคือระยะทางระหว่างฐานกับจุดยอด ส่วนสูงทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว เรียกจุดนั้นว่า จุดออร์โทเซนเตอร์(orthocenter)ของรูปสามเหลี่ยม จุดออร์โทเซนเตอร์จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน จุดยอดทั้งสามและจุดออร์โทเซนเตอร์นั้นอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก(orthocentric system)



จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุม ใช้หาจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน
เส้นแบ่งครึ่งมุม(angle bisector)คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอด ซึ่งแบ่งมุมออกเป็นครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน (incircle)ของรูปสามเหลี่ยม วงกลมแนบในคือวงกลมที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม และสัมผัสด้านทั้งสาม มีอีกสามวงกลมที่สำคัญคือ วงกลมแนบนอก (excircle)คือวงกลมที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่งด้านและส่วนที่ขยายออกมาทั้งสอง จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก


เซนทรอยด์เป็นศูนย์ถ่วง

เส้นมัธยฐาน (median) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ซึ่งจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นพื้นที่ที่เท่ากัน เส้นมัธยฐานทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ เซนทรอยด์ (centroid)ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้จะเป็นศูนย์ถ่วง (center of gravity) ของรูปสามเหลี่ยมด้วย ถ้ามีไม้ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถทำให้มันสมดุลได้ที่เซนทรอยของมันหรือเส้นใดๆที่ลากผ่านเซนทรอยด์ เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานด้วยอัตราส่วน 2:1 นั่นคือระยะทางระหว่างจุดยอดกับเซนทรอยด์ จะเป็นสองเท่าของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม


วงกลมเก้าจุด แสดงความสมมาตรที่จุดหกจุดอยู่บนวงกลมเดียวกัน

จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสาม และเท้าของส่วนสูงทั้งสาม จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน คือ วงกลมเก้าจุด (nine point circle) ของรูปสามเหลี่ยม อีกสามจุดที่เหลือคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดกับจุดออร์โทเซนเตอร์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของส่วนสูง รัศมีของวงกลมเก้าจุดจะเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีวงกลมล้อม มันจะสัมผัสวงกลมแนบใน (ที่จุด Feuerbach) และสัมผัสวงกลมแนบนอก



เส้นออยเลอร์ คือเส้นที่ลากผ่าน เซนทรอยด์ (สีเหลือง) , จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน) , ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง)



เซนทรอยด์ (สีเหลือง) , จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน) , ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (จุดสีแดง) ทั้งหมดจะอยู่บนเส้นเดียวกัน ที่เรียกว่า เส้นออยเลอร์ (Euler's line) (เส้นสีแดง) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กับศูนย์กลางวงล้อม ระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางวงล้อมจะเป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดออร์โทเซนเตอร์


จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในโดยทั่วไปจะไม่อยู่บนเส้นออยเลอร์

ภาพสะท้อนของเส้นมัธยฐานที่เส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดยอดเดียวกัน เรียกว่า symmedian symmedianทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุด symmedian (symmedian point) ของรูปสามเหลี่ยม

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

4.4 เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม เส้นขนาน เส้นขนานหมายถึงเส้นตรงตั้งแต่สองเส้นขึ้นไปที่มีระยะทางระหว่างเส้นเท่ากันไปตลอดไม่ว่าจะลากต่อปลายออกไปยาวเท่าไรก็ตามจะไม่พบกันนอกจากนี้เส้นโค้งก็ยังเป็นเส้นขนานได้เรียกว่าโค้งขนาน เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันต่อเมื่อเส้นตรงทั้งสองมีระยะห่างเท่ากันเสมอและใช้สัญลักษณ์ " / / " แทนการขนานจากรูปเส้นตรงรลขนานกับเส้นตรงวยเพราะมีระยะห่างเท่ากันการพิสูจน์ว่าเส้นตรงทั้งสองมีระยะห่างเท่ากันมีขั้นตอนดังนี้คือขั้นที่ 1 กำหนดจุดบนเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่งอย่างน้อย 2 ตำแหน่งโดยให้ตำแหน่งจุดที่กำหนดอยู่ค่อนปลายเส้นทางซ้ายและทางขวาที่ละตำแหน่งจุดที่กำหนดณทำมุมฉากขั้นที่ 2ลากเส้นมุมฉากขั้นที่ 3ขั้นที่ 3 ใช้ไม้บรรทัดวัดเส้นที่ลากเป็นมุมฉากว่ามีความยาวเท่ากันหรือไม่ถ้าเท่าแสดงว่าเส้นตรงทั้งสองขนานกัน รูปสามเหลี่ยม (อังกฤษ: สามเหลี่ยม) เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี3 มุมหรือจุดยอดและมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรงรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B และ C เขียนแทนด้วย ABCในเรขาคณิตแบบยุคลิดจุด 3 จุดใด ๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกันจะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียวและเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว(เช่นระนาบสองมิติ)เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (เส้น bisector) คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านและตั้งฉากกับด้านนั้นนั่นคือทำมุมฉากกับด้านนั้นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามจะพบกันที่จุดเดียวคือ ศูนย์กลางวงล้อม(circumcenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อม(circumcircle) ซึ่งเป็นวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสามเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมสามารถหาได้จากกฎไซน์ที่กล่าวไปในข้างต้นทฤษฎีบทของธาลีส (ทฤษฎีบทของ Thales) กล่าวว่าถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมแล้วมุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉากนอกจากนี้ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมแล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลมถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่นอกรูปสามเหลี่ยมแล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้านจุดตัดของส่วนสูงคือจุดออร์โทเซนเตอร์ส่วนสูง(altitude) ของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉาก (ทำมุมฉาก) กับด้านตรงข้ามด้านตรงข้ามนั้นเรียกว่าฐาน (ฐาน) ของส่วนสูงและจุดที่ส่วนสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนที่ขยายออกมา) นั้นเรียกว่าเท้า (เท้า) ของส่วนสูงความยาวของส่วนสูงคือระยะทางระหว่างฐานกับจุดยอดส่วนสูงทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียวเรียกจุดนั้นว่าจุดออร์โทเซนเตอร์ (orthocenter) ของรูปสามเหลี่ยมจุดออร์โทเซนเตอร์จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้านจุดยอดทั้งสามและจุดออร์โทเซนเตอร์นั้นอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก (ระบบ orthocentric) จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมใช้หาจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในเส้นแบ่งครึ่งมุม (มุม bisector) คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดซึ่งแบ่งมุมออกเป็นครึ่งหนึ่งเส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียวคือ (วงกลมแนบใน) จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยมวงกลมแนบในคือวงกลมที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสด้านทั้งสามมีอีกสามวงกลมที่สำคัญคือวงกลมแนบนอก (excircle) คือวงกลมที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่งด้านและส่วนที่ขยายออกมาทั้งสองจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก เซนทรอยด์เป็นศูนย์ถ่วงเส้นมัธยฐาน (ค่ามัธยฐาน) ของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามซึ่งจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นพื้นที่ที่เท่ากันเส้นมัธยฐานทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียวคือเซนทรอยด์ (เซนทรอยด์) ของรูปสามเหลี่ยมจุดนี้จะเป็นศูนย์ถ่วง (ศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง) ของรูปสามเหลี่ยมด้วยถ้ามีไม้ที่เป็นรูปสามเหลี่ยมคุณสามารถทำให้มันสมดุลได้ที่เซนทรอยของมันหรือเส้นใดๆที่ลากผ่านเซนทรอยด์เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานด้วยอัตราส่วนนั่นคือระยะทางระหว่างจุดยอดกับเซนทรอยด์ 2:1 จะเป็นสองเท่าของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามวงกลมเก้าจุดแสดงความสมมาตรที่จุดหกจุดอยู่บนวงกลมเดียวกันจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามและเท้าของส่วนสูงทั้งสามจะอยู่บนวงกลมเดียวกันคือ (วงกลมเก้าจุด) วงกลมเก้าจุดของรูปสามเหลี่ยมอีกสามจุดที่เหลือคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดกับจุดออร์โทเซนเตอร์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของส่วนสูงรัศมีของวงกลมเก้าจุดจะเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีวงกลมล้อมมันจะสัมผัสวงกลมแนบใน (ที่จุดฟอยเออบัช) และสัมผัสวงกลมแนบนอกเส้นออยเลอร์คือเส้นที่ลากผ่านเซนทรอยด์ (สีเหลือง), จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน), ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง) เซนทรอยด์ (สีเหลือง), จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน), ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) (จุดสีแดง) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดทั้งหมดจะอยู่บนเส้นเดียวกันที่เรียกว่าเส้นออยเลอร์ (เส้นของออยเลอร์) ระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางวงล้อมจะเป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดออร์โทเซนเตอร์จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กับศูนย์กลางวงล้อม (เส้นสีแดง)จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในโดยทั่วไปจะไม่อยู่บนเส้นออยเลอร์ภาพสะท้อนของเส้นมัธยฐานที่เส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดยอดเดียวกันเรียกว่า symmedian symmedianทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือจุด (จุด symmedian) symmedian ของรูปสามเหลี่ยม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

4.4 เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม







เส้นขนานเส้นขนานหมายถึงเส้นตรงตั้งแต่สองเส้นขึ้นไปที่มีระยะทางระหว่างเส้นเท่ากันไปตลอดไม่ว่าจะลากต่อปลายออกไปยาวเท่าไรก็ตามจะไม่พบกันนอกจากนี้เส้นโค้งก็ยังเป็นเส้นขนานได้เรียกว่าโค้งขนาน
เส้นตรงสองเส้นจะขนานกันต่อเมื่อเส้นตรงทั้งสองมีระยะห่างเท่ากันเสมอและใช้สัญลักษณ์ " / / " แทนการขนานจากรูปเส้นตรงรลขนานกับเส้นตรงวยเพราะมีระยะห่างเท่ากันการพิสูจน์ว่าเส้นตรงทั้งสองมีระยะห่างเท่ากัน
ขั้นที่ 1 กำหนดจุดบนเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่งอย่างน้อย 2 ตำแหน่งโดยให้ตำแหน่งจุดที่กำหนดอยู่ค่อนปลายเส้นทางซ้ายและทางขวาที่ละตำแหน่ง
ขั้นที่ 2 ทำมุมฉากณจุดที่กำหนดขั้นที่ลากเส้นมุมฉาก

3ขั้นที่ 3 ใช้ไม้บรรทัดวัดเส้นที่ลากเป็นมุมฉากว่ามีความยาวเท่ากันหรือไม่ถ้าเท่าแสดงว่าเส้นตรงทั้งสองขนานกัน

รูปสามเหลี่ยม ( อังกฤษ :สามเหลี่ยม ) เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิตคือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี 3 มุมหรือจุดยอดและมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรงรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A , B , C เขียนแทนด้วย

และ ABCในเรขาคณิตแบบยุคลิดจุด 3 จุดใดๆที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกันจะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียวและเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว ( เช่นระนาบสองมิติ )

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก ( เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก ) ความเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้านและตั้งฉากกับด้านนั้นนั่นคือทำมุมฉากกับด้านนั้นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามจะพบกันที่จุดเดียวความศูนย์กลางวงล้อม ( circumcenter )จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อม ( circumcircle ) ซึ่งเป็นวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสามเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมสามารถหาได้จากกฎไซน์ที่กล่าวไปในข้างต้น

ทฤษฎีบทของธาลีส ( ทฤษฎีบทไทยรัฐ ' ) กล่าวว่าถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมแล้วมุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉากนอกจากนี้ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมแล้วถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่นอกรูปสามเหลี่ยมแล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน





จุดตัดของส่วนสูงคือจุดออร์โทเซนเตอร์ส่วนสูง ( ความสูง ) ของรูปสามเหลี่ยมความเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉาก ( ทำมุมฉาก ) กับด้านตรงข้ามด้านตรงข้ามนั้นเรียกว่าฐาน ( ฐาน ) ของส่วนสูงและจุดที่ส่วนสูงตัดกับฐาน ( หรือส่วนที่ขยายออกมา ) นั้นเรียกว่าเท้าความยาวของส่วนสูงคือระยะทางระหว่างฐานกับจุดยอดส่วนสูงทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียวเรียกจุดนั้นว่าจุดออร์โทเซนเตอร์ ( อ ์โทเซนเตอร์ ) ของรูปสามเหลี่ยมจุดยอดทั้งสามและจุดออร์โทเซนเตอร์นั้นอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก ( ระบบ orthocentric )




จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุมใช้หาจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในเส้นแบ่งครึ่งมุม ( เส้นแบ่งครึ่งมุม ) ความเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดซึ่งแบ่งมุมออกเป็นครึ่งหนึ่งเส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียวความจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน ( วงกลมแนบใน ) ของรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสด้านทั้งสามมีอีกสามวงกลมที่สำคัญคือวงกลมแนบนอก ( excircle ) คือวงกลมที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่งด้านและส่วนที่ขยายออกมาทั้งสอง



เซนทรอยด์เป็นศูนย์ถ่วงเส้นมัธยฐาน ( median ) ของรูปสามเหลี่ยมความเส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามซึ่งจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นพื้นที่ที่เท่ากันเส้นมัธยฐานทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียวความเซนทรอยด์จุดนี้จะเป็นศูนย์ถ่วง ( ศูนย์ของแรงโน้มถ่วง ) ของรูปสามเหลี่ยมด้วยถ้ามีไม้ที่เป็นรูปสามเหลี่ยมคุณสามารถทำให้มันสมดุลได้ที่เซนทรอยของมันหรือเส้นใดๆที่ลากผ่านเซนทรอยด์เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานด้วยอัตราส่วน 21 นั่นคือระยะทางระหว่างจุดยอดกับเซนทรอยด์จะเป็นสองเท่าของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม




วงกลมเก้าจุดแสดงความสมมาตรที่จุดหกจุดอยู่บนวงกลมเดียวกันจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามและเท้าของส่วนสูงทั้งสามจะอยู่บนวงกลมเดียวกันความวงกลมเก้าจุด ( วงกลมเก้าจุด ) ของรูปสามเหลี่ยมอีกสามจุดที่เหลือคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดกับจุดออร์โทเซนเตอร์รัศมีของวงกลมเก้าจุดจะเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีวงกลมล้อมมันจะสัมผัสวงกลมแนบใน ( ที่จุด Feuerbach ) และสัมผัสวงกลมแนบนอก



เส้นออยเลอร์คือเส้นที่ลากผ่านเซนทรอยด์ ( สีเหลือง ) จุดออร์โทเซนเตอร์ ( สีน้ำเงิน ) ศูนย์กลางวงล้อม ( สีเขียว ) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด ( สีแดง )



เซนทรอยด์ ( สีเหลือง ) จุดออร์โทเซนเตอร์ ( สีน้ำเงิน )ศูนย์กลางวงล้อม ( สีเขียว ) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด ( จุดสีแดง ) ทั้งหมดจะอยู่บนเส้นเดียวกันที่เรียกว่าเส้นออยเลอร์ ( ทั้งเส้น ) ( เส้นสีแดง )ระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางวงล้อมจะเป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดออร์โทเซนเตอร์




จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในโดยทั่วไปจะไม่อยู่บนเส้นออยเลอร์ภาพสะท้อนของเส้นมัธยฐานที่เส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดยอดเดียวกันเรียกว่า symmedian symmedian ทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียวความจุด symmedian ( symmedian จุด ) ของรูปสามเหลี่ยม